Praca domowa 11. (na czwartek 14 I) Zadanie 1.

Praca domowa 11. (na czwartek 14 I)

Zadanie 1. Znaleźć pochodną funkcji x^x i granice 1. lim_x→∞x^x1,

2. lim_x→0x^xx−1, 3. lim_x→^π

4(tg x)^{tg 2x}, 4. limx→0 x ln(cos x)

sin x−tg x.

Zadanie 2. Dowieść, że jeśli funkcja f (x) jest nieujemna i c > 0, to funkcja cf² ma te same lokalne ekstrema co f .

Zadanie 3. Wypisać wielomiany Talora stopnia k, szeregi Taylora i reszty rzędu k we wszystkich znanych postaciach dla funkcji sin x, cos x, e^x w punkcie c = 0 i dla funkcji ln x w punkcie c = 1.

Zadanie 4. Wykazać, że jeśli x ∈ (0,^π₂), to ^2x_π < sin x < x.

Wskazówka: rozpatrzyć funkcje f (x) = ^2x_π − sin x i g(x) = sin x − x. Obie przyjmują wartość 0 w x = 0. Gdybyśmy wiedzieli, że są malejące na (0,^π₂), to musiałyby tam przyjmować wartości ujemne.

Zadanie 5. Wśród trójkątów prostokątnych o sumie przyprostokątnej i przeciwprosto- kątnej równej c wyznaczyć ten o największym polu.

Wskazówka: zapisać pole tego trójkąta jako funkcję od długości przyprostokątnej (lub przeciwprostokątnej). Jak znaleźć ekstremum?

1