Zadania z Geometrii rzutowej i rzutowo-metrycznej
Seria 1. – na wtorek 4.03.2014
Zadanie 1. Wykazać, że środek ciężkości wierzchołków równoległoboku leży w punkcie przecięcia jego przekątnych wtedy i tylko wtedy, gdy obciążenia przeciwległych wierzchoł- ków są jednakowe.
Zadanie 2. Wykazać, że dla trójkąta (czworościanu) środek ciężkości jednakowo obciążo- nych wierzchołków pokrywa się ze środkiem cieżkości równomiernie obciążonej powierzchni (objętości).
Zadanie 3. Dla dowolnego czworokąta czworokąt powstały przez polączenie środków sąsiednich boków nazywa się czworokątem Varignona. Wykazać, że jest równoległobokiem oraz że jego przekątne przecinają się w środku ciężkości jednakowo obciążonych wierzchoł- ków wyjściowego czworokąta.
Zadanie 4. Wykaż, że jeśli wielokąt ma obrót własny, to środek tego obrotu pokrywa się ze środkiem ciężkości tego wielokąta.
Zadanie 5. W dowolnym czworokącie dzielimy boki na trzy jednakowe odcinki i prowa- dzimy proste przez ich końce bliższe temu samemu z wierzchołków. Proste te przecinają się w punktach będących wierzchołkami czworokąta Wittenbauera. Wykazać, że to równo- ległobok, i że jego przekątne przecinają się w środku ciężkości równomiernie obciążonej powierzchni wyjściowego czworokąta.
Zadanie 6. W dowolnym czworokącie A1A2A3A4oznaczmy odpowiednio przez B12, B23, B34, B41 środki boków A1A2, A2A3, A3A4, A4A1 i przez C1, C2, C3, C4 odpowiednio przecięcia
prostych A2B34 z A4B23, A3B41 z A1B34, A4B12 z A2B41, A1B23 z A3B12. Wykazać, że punkt przecięcia prostych C1C3 i C2C4 jest środkiem ciężkości równomiernie obciążonej powierzchni wyjściowego czworokąta.
Zadanie 7. Wykazać, że w dowolnym czworokącie odcinki łączące środki przeciwległych boków i środki przekątnych mają wspólny środek.
Zadanie 8. Wykaż, że odcinki łączące środki przeciwległych (to jest niemających wspól- nych końców) krawędzi czworościanu mają wspólny środek.
Zadanie 9. Czworokąt wpisany w okrąg ma prostopadłe przekątne. Wykazać, że odcinki łączące środki jego przeciwległych boków przecinają się w środku odcinka łączącego punkt przecięcia przekątnych ze środkiem okręgu opisanego na czworokącie.
Zadanie 10. W kwadracie jednostkowym ABCD punkt P spełnia warunek
−→AP + 3−−→
BP + 3−−→ CP +−→
AP =−→
0 . Jaka jest odległość P od środka kwadratu?
Zadanie 11. W czworokącie ABCD punkt K jest środkiem odcinka łączączego środki boków AB i CD, a P jest punktem przecięcia środkowych trójkąta BCD. Wykazać, że punkty A, K, P są współliniowe.
Zadanie 12. Dla jakiego obciążenia wierzchołków trójkąta środek ciężkości znajdzie się we wskazanym z góry punkcie? A dla czworościanu?
Zadanie 13. W wierzchołkach trójkąta ABC umieszczone są masy mA, mB i mC odpo- wiednio. Niech P będzie środkiem ciężkości tych mas, a przez 4ABC będziemy oznaczać pole trójkąta ABC. Wykazać, że wówczas
mA: mB: mC = 4BCP : 4CAP : 4ABP. 1
Co się zmieni, jeśli dopuścimy ujemne masy (czyli oprócz ciężarów będziemy rozważać też wypory )?
Zadanie 14. Wykaż, że w trójkącie środek ciężkości równomiernie obciążonego obwodu jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt utworzony przez środki jego boków. Sformułuj i sprawdź, czy jest prawdziwy odpowiednik tego faktu dla czworościanu. (Wskazówka:
poprzednie zadanie.)
Zadanie 15. Dane są jednakowo obciążone punkty A1,1, . . . , A1,n. Oznaczmy
dla i = 1, . . . , n przez A2,i środek ciężkości układu {A1,j}j6=i i analogicznie kolejno Ak+1,j jako środek ciężkości {Ak,j}j6=idla wszystkich k > 1. Wykazać, że każdy z ciągów (Ak,j)k∈N jest zbieżny. Jaka jest zależność między granicami tych ciągów?
Zadanie 16. W czworokąt wpisany jest okrąg. Odcinki stycznych od punktu styczności do wierzchołków są odpowiednio równe a, b, c, d Znaleźć stosunki w jakich punkt przecięcia dzieli odcinki łączące punkty styczności na przeciwległych bokach.
Zadanie 17. Przez punkt M poprowadzono trzy proste AA0, BB0, CC0(punkty A0, B0, C0 leżą na bokach trójkąta ABC). Oznaczmy |AC0|
|C0B| = p i |AB0|
|B0C| = q. Udowodnić wzór van Aubela: |AM |
|M A0| = p + q.
2
