Długo łuku krzywej
Krzywa ( L ) : [ ] a , b ∋ x → f ( x ) ∈ , klasy C
1, ma długo = + ( ′ )
b a
dx x f
L 1 ( )
2.
Je li dane jest równanie wektorowe krzywej
=
→ =
β
∋
α
( )
)
; (
t y y
t x t x
t
t , przy czym funkcje x (t ) , y (t ) oraz ich pochodne x (t ) , y (t ) s ci głe w przedziale t ;
αt
βoraz łuk nie ma cz ci wielokrotnych, to długo łuku
wyra a si wzorem
β
α
+
=
t t
dt t y t x
L [ ( )]
2[ ( )]
2. We współrz dnych biegunowych:
β α
ϕ
ϕ
+ ϕ
= r d
L [ ( )]
2[
ddr 2] .
Przykład 19. Obliczymy długo łuku sinusoidy
y sin = x
,x ∈ [ 0 , π ]
. π π+
′ = +
=
0
2
0
2
1 cos
] ) [(sin
1 x dx x dx
L ≈ 3 , 8202
.Całk obliczono na komputerze!
Przykład 20. Obliczymy długo krzywej
y = 1 x −
2 , gdziex ∈ [ 0 ,
21]
.Dla funkcji
y = 1 x −
2 mamy1 x2
y x
−
= −
′ . Zatem
[ ] =
+
=
2 1
0
)
2(' 1 f x dx
L = = π
= −
−
+ −
0 610 2
0
2
2
21 2
1 2
1
] [arcsin 1
1
1 x
x dx dx
x x
Przykład 21. Obliczymy długo asteroidy
=
∋ =
π y t a t
t a t
t x
33sin ) (
cos ) ] (
2 , 0
[ .
a a
-a -a
= +
=
β
α
t
t
dt t y t x
L [ ( )]
2[ ( )]
2=
⋅ +
−
⋅
=
π 2
0
2 2 2
2
( sin )] [ 3 sin cos ] cos
3
[ a t t a t t dt ⋅ ⋅ + =
π 2
0
2 2 2
2
sin [sin cos ] cos
3 a t t t t dt ⋅ =
π 2
0
cos sin
3 a t t dt =
π 2
0 23
a sin 2 t dt
=
− + +
− +
=
π π π
π π
π
π 2
0 23
23 2
3
21 2
1
2 sin 2
sin 2
sin 2
sin t dt t dt t dt t dt
a
23−
12 0π+
12 ππ−
21 ππ+
12 2ππ=
2 2 3
3 2
2 1
1
cos 2 cos 2 cos 2
2
cos t t t t
a 6 a
Niech f(t),a≤t≤b, b dzie pr dko ci (intensywno ci ) wpływu towarów w chwili
t
do magazynu. Wówczasb
a
dt t f )( jest
zapasem towarów w magazynie po upływie czasu od
a
dob
.Niech funkcja z(t) opisuje zysk, jaki przynosi urz dzenie
U
w chwilit
, niech funkcja k(t) opisuje koszt eksploatacji urz dzeniaU
w chwilit
. Funkcja f(t)=z(t)−k(t) opisuje rzeczywisty zysk osi gany z zainstalowania urz dzeniaU
w chwilit
; niecha
oznacza chwil uruchomienia urz dzeniaU
,b
– maksymalny czas eksploatacji. Wówczasb
a
dt t
f )( jest równa zyskowi, jaki dało nam zainstalowanie urz dzenia
U
.We my funkcj
f : [ ] a , b →
ci gł na przedziale[ ] a, b
. Obracaj c wykres funkcjif
dookoła osix
, otrzymujemy brył obrotow , której obj to liczymy ze wzoru( )
π
=
b
a
dx x f ( )
2Vol
za pole powierzchni -
( f x ) dx
x f
b
a
+ ′ π
= 2 ( ) 1 ( )
2Pole
Przykład 22. Obliczymy obj to i pole powierzchni kuli o promieniu r.
Kula taka powstaje przez obrót krzywejy= r2−x2 , −r≤x≤r, wokół osi odci tych. Dlatego
( )
π
=
b
a
dx x f ( )
2Vol ( r
2x
2) dx [ r
2x
31x
3]
xx rr 43r
3r
r
π
=
− π
=
− π
=
==−−
( f x ) dx x
f
b
a
′ + π
= 2 ( ) 1 ( )
2Pole 2
2 21
2 2 2dx 2 r dx 4 r
2x r x x
r
r
r r
r
π
= π
− = +
⋅
− π
=
−
−
Przykład 23. Obliczymy obj to i pole powierzchni powstałej przez obrót wykresu funkcji
f ( x ) = sin x , 0 ≤ x ≤ π
, wokół osix
.( )
π
=
b
a
dx x f ( )
2Vol = π =
π 0
sin
2x dx ( )
21 22 0 2 1
1
sin ⋅ cos + = π
−
π x x x
π( f x ) dx
x f
b
a
+ ′ π
= 2 ( ) 1 ( )
2Pole = π + =
π
dx x x
0
cos
21 sin
2 − = = π − + = π + =
=
−
−
= π
=
1
1 2 1
cos
1 0 cos
2
2 1
1 sin 2
cos t dt t dt
x t x
dxdt
C k x x k k x x dx k
x
2+ =
21 2+ + ln +
2+ +
( 2 ln( 1 2 ) ( 2 ln( 2 1 ) ) ( 2 2 ln( 1 2 ) )
1 ln
1
1
1 2
2
+ + + + = π + + − − + − = π + +
π
=
−
t t t
t
I. Oblicz długo ci krzywych:
1.
y = 5 x −
2 2.y ln = x
,3 ≤ x ≤ 2 2
3.y = 1− ln cos x
,0 x ≤ ≤
41π
4.
1
1
−
=
xx+ e
y e
,2 ≤ x ≤ 3
5.( y − arcsin x )
2= 1 − x
2 6.π
−
=
x
dx x y
2 1
cos
II. Oblicz obj to i pole powierzchni powstałej przez obrót wykresu funkcji
f
, wokół osix
.1.
y = 5 x −
2 2.y cos = x
,−
12π ≤ x ≤
12π
3.x
2≤ y ≤ x
,0 ≤ x ≤ 1
Całki niewła ciwe
∞
→
∞
=
b
b a a
dx x f dx
x
f ( ) lim ( )
Je li granica jest wła ciwa, całk niewła ciw nazywamy zbie n ; w przeciwnym przypadku mówimy, e całka niewła ciwa jest rozbie na.
•
2
1 2 1 2 lim 1 2
lim 1
lim
22 1 1
3 1
3
= = − = − + =
∞
→
∞
→
∞
→
∞
b x
x dx x
dx
b b b
b b
•
= = [ ] = ( − ) = ∞
∞
→
∞
→
∞
→
∞
1 ln ln lim ln
lim
lim
11 1
b x x
dx x
dx
b b b
b b
−∞
∞ →
−
=
b
a a b
dx x f dx
x
f ( ) lim ( )
Je li granica jest wła ciwa, całk niewła ciw nazywamy zbie n ; w przeciwnym przypadku mówimy, e całka niewła ciwa jest rozbie na.
•
[ ] ( )
arctg 2 0 lim arctg
1 lim 1 lim
0 0
2 0
2
= π
−
= + =
+ =
→−∞ →−∞ →−∞∞
−
a x x
dx x
dx
a a a a
a
• −
=
→−∞ −=
→∞[ ]
−=
→∞− ⋅ = −∞
∞
−
3 2 2 1
2 3 3 1
3 1
3
2
3 2 lim 3 )
( lim
lim x b
x dx x
dx
b b b b
b
∞
∞
−
∞
∞
−
+
=
b b
dx x f dx x f dx x
f ( ) ( ) ( )
Je li obie całki niewła ciwe po prawej stronie wzoru istniej , całk niewła ciw nazywamy zbie n ; w przeciwnym przypadku mówimy, e całka niewła ciwa jest rozbie na.
Funkcja jest nieograniczona w lewostronnym s siedztwie górnej granicy całkowania.
ε
−
→ ε +
=
b
a b
a
dx x f dx
x
f ( ) lim ( )
0
Je li granica istnieje, całk niewła ciw nazywamy zbie n ; w przeciwnym przypadku mówimy, e całka niewła ciwa jest rozbie na.
Funkcja jest nieograniczona w prawostronnym s siedztwie dolnej granicy całkowania.
ε
→ + ε +
=
b
a b
a
dx x f dx
x
f ( ) lim ( )
0
Je li granica istnieje, całk niewła ciw nazywamy zbie n ; w przeciwnym przypadku mówimy, e całka niewła ciwa jest rozbie na.
Funkcja jest nieograniczona na s siedztwie punktu c poło onego wewn trz przedziału całkowania, to przyjmujemy
+
=
b c
b
dx x f dx x f dx x
f ( ) ( ) ( )
1
lim lim 1 lim 1 1 1
1 1 2 1
2
= = − = − + =
∞
→
∞
→
∞
→
∞
b x x
dx x
dx
b b b
b b
2
lim [ arctg ] lim 0 2 1 arctg 2 4
lim 4 4
0 2 21 0
2 0
2
= π
−
= + =
+ =
→−∞ →−∞ →−∞∞
−
a x
dx x
dx
a a x a a
a
3
−
3
0
)
21 (x
dx
Funkcja 2
) 1 ( ) 1
( = −
x x
f
nie jest ograniczona w s siedztwie punktuc = 1
. Mamy+ −
= −
−
3
1 2 1
0 2 3
0
2
( 1 ) ( 1 )
) 1
( x
dx x
dx x
dx
− =
1
0
)
21 (x
dx
−ε→
ε +
−
1
0 0
( 1 )
2lim x
dx =
−
= −
−ε→ ε +
1
0
1
0lim 1
x − = ∞
− ε
→+
ε
1 1 )
( lim
0Poniewa jest ona rozbie na, wi c badana całka jest równie rozbie na – nie obliczamy drugiej całki.
4
∞ 2
x ⋅ ln x
dx
⋅ dx = x x ln
1
=
=
=
dt t x
dxx dxdt x1
ln
C x C
t
t dt = + = +
= 1 ln ln ln
Korzystamy z definicji całki niewła ciwej na półprostej:
∞
=
⋅ =
⋅ =
→∞ →∞∞
A A
A
A
x
x x
dx x
x
dx
22 2
|]
ln
| [ln ln lim
ln lim
Wyj ciowa całka jest rozbie na.
5
∞ 1
+ 1
2arctg dx x
x
+ dx = x
x 1
2arctg
=
=
=
+ +
dt dx
t x
x dxdt x
2 2
1 1 1
1
arctg
C x C
t dt
t = + = +
=
21 2 21( arctg )
2 ;Korzystamy z definicji całki niewła ciwej na półprostej:
=
−
= + =
+ =
→∞ →∞ →∞∞
] ) 1 arctg ( [ ] ) arctg ( [ lim ] ) arctg ( [ 1 lim
arctg 1 lim
arctg
221 2 21
21 21
1 2 1
2
dx x A
x dx x
x x
A A A
A A
2 323 2 161 2 41
12( π − π )= π Wyj ciowa całka jest zbie na.
6
∞
−
⋅
2 2
1 x
dx x
Korzystamy z definicji całki niewła ciwej na półprostej:
∞
=
−
− =
= ⋅
−
= ⋅
−
⋅
∞
→
∞
→
∞
→
∞
A A
A A A
A
x
x dx x x
dx x x
dx x
2 2 21 2
2 2 1 2
2 2
2
lim [ ln | 1 |]
1 lim 2
lim 1
1
Wyj ciowa całka jest rozbie na.
7
∞
− 0
2
dx
xe
xC e C e dt e dt
dx x
x t x dx
xe
x dxdt= −
t= −
t+ = −
x+
−
=
=
−
=
−
=
−−2 2
21 21
21 21
2
2
Korzystamy z definicji całki niewła ciwej na półprostej:
21 21 2 0
1 0
0
) ( 0 ] [ lim
lim
2 22
= = −
−= − − =
∞
→
−
∞
→
∞
− x A
A A
x A
x
dx xe dx e
xe
Wyj ciowa całka jest zbie na.
8
∞
∞
−
+
⋅ 1 2
x
2dx x
Korzystamy z definicji całki niewła ciwej na prostej:
∞
∞
−
∞
∞
−
+
+ ⋅ +
= ⋅ +
⋅
0 2 0
2
2
1
2 1 2 1 2
x dx x x
dx x x
dx x
∞
= + + =
= ⋅ +
⋅
∞
→
∞
→
∞
A A
A
A
x
x dx x x
dx x
2 0 0
2 0
2
lim [ln | 1 |]
1 lim 2 1
2
Poniewa całka ta jest rozbie na, wi c wyj ciowa całka jest rozbie na (w takim przypadku nie musimy oblicza drugiej całki).
9
∞
∞
−
x
2+ 2 x + 2 dx
∞
−
−
∞
−
∞
∞
−
∞
∞
−
+ + +
+
= + +
= + +
+
1 21
2 2
2
2 2 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( x 1 ) 1
dx x
dx x
dx x
x
dx
.π + = π +
= + + =
= + + +
π
= + + =
= + +
+
∞∞
− −
∞
−
→
−
∞
−
→
−
∞
−
∞ −
− →
∞
→
∞
−
2 )] 2
1 ( arctg [ 1 lim ) 1 lim (
1 ) 1 (
)]
1 ( arctg [ 1 lim ) 1 lim ( 1 ) 1 (
2
21 1 1
2 1
2
21 1 1
2 1
2
z x
dx x x
dx x
dx
x x dx x
dx
B B B B
A A
A
A
,
10
∞
∞
−
x
2+ 4 x + 9 dx
∞
−
−
∞
−
∞
∞
−
∞
∞
−
+ + +
+
= + +
= + +
+
2 22
2 2
2
4 9 ( 2 ) 5 ( 2 ) 5 ( x 2 ) 5
dx x
dx x
dx x
x
dx
.π + = π +
= + =
= + + +
π
= + =
= + +
+
∞∞
− − +
∞
−
→
−
∞
−
→
−
∞
−
+ −
∞
− →
∞
→
∞
−
5 1 2
5 2 2 1 5
2 5 1 2
2 2
2
5 2 2 1 5
2 5 1 2
2 2
2
9 ] 4
arctg [ 5 lim ) 2 lim (
5 ) 2 (
] arctg [ 5 lim ) 2 lim ( 5 ) 2 (
x x
dx x
dx x
dx
x dx x
dx
x A A A
A
x A A
A
A
,
11 Obliczymy
∞
∞
−
dx x
f ) (
, je li>
≤
≤
−
−
−
<
=
. 1 dla
0
, 1 1 dla 1
, 1 dla
0 )
(
2x x x
x x
f
π
=
−
=
⋅ +
− +
⋅
=
−
∞
−
−
∞
−
∞
∞
−
21 1
1 2
1 1
1 2 1
1 0
1 0
)
( x dx dx x dx dx x dx
f
Do wyznaczenia funkcji pierwotnej dla funkcji podcałkowej zastosowano wzór
C
a a x
x a x dx x
a − = − + arcsin +
2
1
2 2 22
2 .
12 Obliczymy
∞
dx x
f ) (
, je li≤ ≤ π
<
= cos dla 0 ,
, 0 dla
0 )
( x x
21x x
f
1 ] [sin cos 0
cos 0
)
(
212 1
2 1 2
1
0 0
0 0
=
=
=
⋅ + +
⋅
=
π∞ π
π π
∞
−
∞
∞
−
x dx dx
dx x dx
dx x f
13 Obliczymy
∞
∞
−
dx x
f ) (
, je li>
≤
≤
<
=
. 8 dla 0
, 8 1 dla
, 1 dla 0 ) (
71x x x x
f
1 0
0 ) (
8
1 71 8 8
1 71 1
=
=
⋅ + +
⋅
=
∞
∞
−
∞
∞
−
dx dx dx dx dx x f
14 1
0
x dx
Funkcja podcałkowa nie jest ograniczona w prawostronnym s siedztwie dolnej granicy całkowania. W takim przypadku – zgodnie z definicj – mamy
2 ] 2 [ lim
lim
10 1
0 1
0
=
=
=
ε→ ε ε
→
ε + +
x
x dx x
dx
.15 −
1
0 1 x2
dx .
Funkcja podcałkowa nie jest ograniczona w lewostronnym s siedztwie górnej granicy całkowania. W takim przypadku – zgodnie z definicj – mamy
π
=
− =
− =
ε
−
→ ε ε
−
→
ε + + 1 21
0 0 1
0 2
0 1
0 2
lim [arcsin ]
1 lim
1 x
x dx x
dx
.16
4π
1
0
ctg dx x
.Funkcja podcałkowa nie jest ograniczona w prawostronnym s siedztwie dolnej granicy całkowania. W takim przypadku – zgodnie z definicj – mamy
∞
=
=
=
επ→ ε π
→ ε ε π
+ +
4 4 1
1 4
1
|]
sin
| [ln lim ctg
lim
ctg
0 00
x dx
x dx
x
.Całka jest rozbie na.
17
−
1
2
2
1
1 x
dx
x
.Funkcja podcałkowa nie jest ograniczona w lewostronnym s siedztwie górnej granicy całkowania. W takim przypadku – zgodnie z definicj – mamy
1 ] 1 [ lim 1
lim 1
10 2 0
1
2 0
1
2
2 1 2
1
=
−
−
− =
− =
ε
−
→ ε ε
−
→
ε + +
x
x dx x x
dx
x
.18 Oblicz pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji
1
2) 1
( x x
f = −
i osi odci tych.Poniewa
D
f= (− 1 ; 1 )
, wi c−
−
=
1
1
1
2|
| x
D dx
.Funkcja podcałkowa nie jest ograniczona w lewostronnym s siedztwie górnej granicy całkowania, ani w prawostronnym s siedztwie dolnej granicy całkowania W takim przypadku – zgodnie z definicj – mamy
π
=
− =
− =ε→ −+ε ε→ −+ε
−
+
+ 0 21
0 1 0
1 2
0 0
1 2 lim[arcsin ]
1 lim
1 x
x dx x
dx ,
π
=
− =
− =
ε
−
→ ε ε
−
→
ε + + 1 21
0 0 1
0 2
0 1
0 2 lim[arcsin ]
1 lim 1
x x
dx x
dx ,
π
− =
− +
− =
=
−
−
1
0 2
0
1 2
1
1 1 2 1 1
|
|
x dx x
dx x
D dx .
19 Oblicz pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji
x x x
f ln
) 1
( =
, gdzie1 < x ≤ e
, i osi odci tych.=
e
x x D dx
1
ln
|
|
Funkcja podcałkowa nie jest ograniczona w prawostronnym s siedztwie dolnej granicy całkowania W takim przypadku – zgodnie z definicj – mamy
2 ] ln 2 [ ln lim ln lim
|
|
11 0 1 0
=
=
=
=
+ε→ ε ε
→ +
ε + +
e e
e
x x x
dx x
x
D dx
.20 Oblicz
−
3
0
)
21 (x
dx
.Rozwi zanie.
Funkcja podcałkowa nie jest okre lona w punkcie
x = 1
. W takim przypadku post pujemy nast puj co+ −
= −
−
3
1 2 1
0 2 3
0
2
( 1 ) ( 1 )
) 1
( x
dx x
dx x
dx
.Teraz funkcja podcałkowa w pierwszej całce jest nieograniczona w lewostronnym s siedztwie górnej granicy całkowania, funkcja podcałkowa w drugiej całce jest nieograniczona w prawostronnym s siedztwie dolnej granicy całkowania. Poniewa
∞
− =
= −
= −
−
ε
−
→ ε ε
−
→
ε + +
1
0 0 1
0 0 2 1
0
2
1
lim 1 ) 1 lim ( ) 1
( x x
dx x
dx
,wi c wyj ciowa całka jest rozbie na (w takim przypadku nie musimy oblicza drugiej całki).
21
⋅
1
0
ln dx x x
Funkcja podcałkowa nie jest ograniczona w prawostronnym s siedztwie dolnej granicy całkowania W takim przypadku – zgodnie z definicj – mamy
[ ]
2 4 0
1 1 2
41 0 1
0 1
0
1
4 1 ln lim 2 )
1 ln 2 ( lim ln
lim ln
x x x
x dx
x x dx
x x
⋅
− −
−
=
−
=
⋅
=
⋅
+ + +→ ε ε
→ ε ε
→
ε 41
3 4 0
1
8
2 lim − = −
−
−
=
+→ ε
x x
1.
1
0
1 dx
x
2.∞ 3
+
2 2
4
1 dx
x
3.−
3
2
2
3
9
1 dx
x
4.1
0
1 dx
x
5.−
2
1
2
21 dx
x x
6.∞
+
0
+
2
2 2
1 dx
x
x
7.∞
− 1
dx
e
x 8.−
+
0
2
3
2
1 dx
x
9. −∞+ +
3
2
4 13
1 dx
x
x
10.∞
− 0
3 sin x dx e
x11.
∞
− 0
3
e
2dx
x
x 12.∞ 2
−
2
1 x
dx
13.∞ 0
+
2x
1
x
e dx
e
14.∞ 0
e
xdx
x
15.∞
∞
−
4 x
2+ 9 dx
16. Charakter zmian nat enia pr du elektrycznego pewnego impulsu wywołanego w obwodzie jest okre lony zale no ci
i 5 = te
t. Wyznaczy całkowity ładunek elektryczny∞
=
0
