dr Krzysztof yjewski MiBM; S-I0.in». 7 czerwca 2015
Legalne wzory na kolokwium nr V.
Przydatne wzory:
Lp. Wzór Uwagi
1. R dx = x + c
2. R adx = ax + c
3. R xαdx = α+11 xα+1+ c α ∈ R \ {−1}
4. R sin xdx = − cos x + c
5. R cos xdx = sin x + c
6. R tg xdx = − ln | cos x| + c x 6= π2 + kπ, k ∈ N
7. R ctg xdx = ln | sin x| + c x 6= kπ, k ∈ N
8. R sinh xdx = cosh x + c 9. R cosh xdx = sinh x + c
10. R 1
cosh2xdx = tgh x + c
11. R 1
sinh2xdx = − ctgh x + c
12. R axdx = ln a1 ax+ c a > 0
13. R exdx = ex+ c
14. R 1
xdx = ln |x| + c x 6= 0
15. R 1
cos2xdx = tg x + c x 6= π2 + kπ, k ∈ N
16. R 1
sin2xdx = −ctg x + c x 6= kπ, k ∈ N
17. R 1
√a2−x2dx = arcsinxa + c a 6= 0
18. R 1
a2+x2dx = a1 arctgxa + c a 6= 0
19. R 1
√x2+adx = ln
x +√
x2 + a
+ c a ∈ R
20. R 1
a2−x2dx = 2a1 ln a+xa−x
+ c a > 0, |x| 6= a
21. R f0(x)
f (x)dx = ln |f (x)| + c
22. R 1
ax+bdx = 1aln |ax + b| + c
23. R cosnxdx = n1 sin x cosn−1x + n−1n R cosn−2xdx n ≥ 2 24. R sinnxdx = −n1 cos x sinn−1x + n−1n R sinn−2xdx n ≥ 2 25. R √
x2 + adx = 12x√
x2 + a + a2 ln |x +√
x2 + a| + c
26. R dx
(x2+1)n = 2n−21 (1+xx2)n−1 + 2n−32n−2R 1
(1+x2)n−1dx n ≥ 2
27. R √
a2 − x2dx = a22 arcsin |a|x + x2√
a2 − x2 + c
Twierdzenie 1. (caªkowanie przez cz¦±ci)
Niech funkcje f i g maj¡ ci¡gªe pochodne. Wówczas ma miejsce tzw. wzór nacaªkowanie przez cz¦±ci:
Z
f (x)g0(x)dx = f (x)g(x) − Z
f0(x)g(x)dx. (1)
1
dr Krzysztof yjewski MiBM; S-I0.in». 7 czerwca 2015
Caªkowanie pewnych caªek niewymiernych:
1. Je»eli funkcja podcaªkowa jest iloczynem funkcji wymiernej oraz pewnej ilo±ci pot¦g postaci (ax + b)m1n1, (ax + b)m2n2, . . . lub ax+bcx+dm1n1
, ax+bcx+dm2n2
, . . . gdzie ni, mi ∈ N s¡ wzgl¦dnie pierwsze to stosujemy odpowiednio podstawienia
M√
ax + b = t lub M
rax + b
cx + d = t (2)
gdzie M to najmniejsza wspólna wielokrotno±¢ m1, m2, . . . 2a. Caªk¦ postaci R √ax2dx+bx+c sprowadzamy do R √ dx
a(x−p)2+q i dokonujemy podstawienia x − p = q 1
|a|t.
2b. Caªk¦ postaci R √
ax2+ bx + cdx sprowadzamy do R pa(x − p)2+ qdx i dokonujemy podsta- wienia x − p =q
1
|a|t, a nast¦pnie stosujemy wzory(wymiennie) Z √
x2+ adx = 1 2x√
x2+ a + a
2ln |x +√
x2+ a| + c;
lub
Z √
a2− x2dx = a2
2 arcsin x
|a| + x 2
√a2 − x2 + c.
3. Caªk¦ postaci R √axW2n+bx+c(x) dx przedstawiamy jako:
Z Wn(x)
√ax2+ bx + cdx = (An−1xn−1+ . . . A1x + A0)√
ax2+ bx + c + B
Z dx
√ax2+ bx + c, w celu wyliczenia An−1, . . . , A1, A0, Bobustronnie ró»niczkujemy, mno»ymy przez√
ax2+ bx + c i otrzymujemy równanie wielomianowe.
4. Caªk¦ postaci R P (x)√
ax2+ bx + cdx poprzez pomno»eni i podzielenie funkcji podcaªkowej przez √
ax2+ bx + c przeksztaªcamy do postaci R (ax√2+bx+c)P (x) ax2+bx+c dx.
c) Caªkowanie pewnych wyra»e« trygonometrycznych:
1. Caªk¦ R W (sin x, cos x, tg x)dx obliczmy przez podstawienie t = tgx2.Wówczas mamy:
dx = 2
1 + t2dt, sin x = 2t
1 + t2, cos x = 1 − t2 1 + t2.
2. Caªk¦ R W (sin2x, cos2x sin x cos x)dx obliczmy przez podstawienie t = tg x. Wówczas mamy:
dx = 1
1 + t2dt, sin2x = t2
1 + t2, cos2x = 1 1 + t2.
2
dr Krzysztof yjewski MiBM; S-I0.in». 7 czerwca 2015
3. Caªk¦ postaci R sinmx cosnxdx, n, m ∈ N liczmy:
a) gdy m, n s¡ parzyste jak podpunkcie 2;
b) gdy m jest nieparzyste, przez podstawienie t = cos x, c) gdy n jest nieparzyste, przez podstawienie t = sin x.
4. Caªki postaci R sin ax sin bxdx, R cos ax cos bxdx, R sin ax cos bx obliczmy korzystaj¡c ze wzo- rów:
sin x sin y = 1
2[cos(x − y) − cos(x + y)], cos x cos y = 1
2[cos(x − y) + cos(x + y)], sin x cos y = 1
2[sin(x − y) + sin(x + y)].
Inne przydatne wzory trygonometryczne:
cos2x = 1+cos 2x2 , sin2x = 1−cos 2x2 , cos 2x = cos2x − sin2x, sin 2x = 2 sin x cos x.
Pole obszaru pªaskiego:
Je»eli krzywe y = f(x) oraz y = g(x) dla x ∈ [a, b] speªniaj¡ nierówno±¢ f(x) ≥ g(x) co oznacza,
»e wykres funkcji f znajduje si¦ powy»ej wykresu funkcji g, to pole obszaru ograniczonego tymi krzywymi oraz prostymi x = a, x = b wyra»a si¦ wzorem:
P =
b
Z
a
[f (x) − g(x)]dx.
Dªugo±¢ krzywej:
Dªugo±¢ krzywej Γ : y = f(x) dla x ∈ [a, b] wyra»a si¦ wzorem:
|Γ| =
b
Z
a
p1 + (f0(x))2dx.
Obj¦to±¢ bryª obrotowych:
Obj¦to±¢ V bryªy powstaªej z:
a) obrotu wokóª osi Ox obszaru N : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x) wyra»a si¦ wzorem:
V = π
b
Z
a
f2(x)dx,
b) obrotu wokóª osi Oy obszaru N : 0 ≤ a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x) (innymi sªowy obj¦to±¢ bryªy powstaªej z obrotu obszaru "pod krzyw¡"y = f(x)) wyra»a si¦ wzorem:
V = 2π
b
Z
a
xf (x)dx.
3
dr Krzysztof yjewski MiBM; S-I0.in». 7 czerwca 2015
Caªka niewªa±ciwa
De nicja 2. (caªka niewªa±ciwa pierwszego rodzaju)
Niech funkcja f b¦dzie okre±lona na przedziale [a, ∞). Caªk¦ niewªa±ciw¡ pierwszego rodzaju funkcji f na przedziale [a, ∞) de niujemy wzorem:
∞
Z
a
f (x)dx := lim
B→∞
B
Z
a
f (x)dx.
Analogicznie de niuje si¦ caªk¦ niewªa±ciw¡ pierwszego rodzaju na przedziale (−∞, b] :
b
Z
−∞
f (x)dx := lim
A→−∞
b
Z
A
f (x)dx.
De nicja 3. (caªka niewªa±ciwa drugiego rodzaju)
Niech funkcja f okre±lona na przedziale (a, b] oraz a b¦dzie punktem osobliwym tj. funkcja b¦dzie nieograniczona na prawostronnym s¡siedztwie punktu a. Caªk¡ niewªa±ciw¡ drugiego rodzaju funkcji f ci¡gªej na przedziale (a, b] de niujemy wzorem:
b
Z
a
f (x)dx := lim
t→a+ b
Z
t
f (x)dx.
Analogicznie de niujemy caªk¦ niewªa±ciw¡ funkcji f na przedziale [a, b) dla punktu osobliwego b tj. funkcja jest nieograniczona na lewostronnym s¡siedztwie punku b :
b
Z
a
f (x)dx := lim
t→b− t
Z
a
f (x)dx.
Je»eli punkt osobliwy c le»y wewn¡trz przedziaªu [a, b] to caªk¦ niewªa±ciw¡ de niujemy wzorem:
b
Z
a
f (x)dx := lim
t→c− t
Z
a
f (x)dx + lim
t→c+ b
Z
c+
f (x)dx.
4
