Kwantowa teoria pola Lewis H. Ryder

################################################################################

Kwantowa teoria pola Lewis H. Ryder

University of Kent at Canterbury

Tytuł oryginału : „Quantum field theory”

Cambridge University Press 1985, 1995

Tłumaczenie wspomagane przekładem rosyjskim Moskwa MIR 1987

********************************************************************************

Tłumaczenie z rosyjskiego: R. Waligóra

Ostatnia modyfikacja : 2011-02-10 Tłumaczenie całości książki.

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

Przypisy własne oznaczono symbolami (* ... *)

Skróty i oznaczenia zastosowane w tłumaczonym tekście.

MQ – mechanika kwantowa MK – mechanika klasyczna CP – czasoprzestrzeń

EM – elektromagnetyczna(tyczny)

STW, OTW – szczególna i ogólna teoria względności KTP – kwantowa teoria pola

KLTP – klasyczna teoria pola

Wprowadzenie redaktora przekładu rosyjskiego (* skrócone *).

Koncepcje fizyczne i formalny aparat kwantowej teorii pola (* KTP , ang. QFT *) stanowi naturalną i konsekwentną podstawę dla opisania oddziaływania cząstek elementarnych. Należy podkreślić, że pojęcie elementarności zmieniało się wraz z upływem czasu. Zgodnie ze współczesnymi poglądami, podstawowymi cegiełkami budującymi „materię” są kwarki i leptony opisywane fermionowymi polami kwantowymi. W ostatnich dwóch dziesięcioleciach KTP rozwijała się nadzwyczaj intensywnie. Razem z elektrodynamiką kwantową (* ang. QED – quantum elektrodynamics *), która przez wiele lat stanowiła jedyny konkretny, doskonale eksperymentalnie potwierdzony przykład KTP, pojawiły się nowe teorie. W pierwszej kolejności była to zunifikowana teoria oddziaływania elektromagnetycznego i słabego (* oddziaływanie elektrosłabe *) oraz teoria oddziaływań silnych – chromodynamika kwantowa

(* dynamika kolorowa – ang. QCD – quantum chromodynamics *). Obie te teorie są teoriami z cechowaniem.

( teoriami Yanga-Millsa , Y-M ). Odpowiadają im grupy symetrii wewnętrznej SU(2) × U(1) i SU(3).

Teorie te znajdują wciąż coraz to nowe potwierdzenie eksperymentalne.

Wielu fizyków jest zadnia, że jesteśmy bliscy sformułowania zunifikowanej teorii cechowania wszystkich wskazanych powyżej oddziaływań ( tzw. teorii wielkiej unifikacji ), w każdym bądź razie liczba pretendentów do roli odpowiedniej grupy symetrii jest niewielka.

W centrum uwagi znajdują się pola cechowania, spontaniczne naruszenie symetrii ( SNS ), zagadnienia kwantowania i renormalizacji pól Y-M. W aparacie teorii pojawiają się nowe metody, które są konsekwencją zarówno jej specyfiki jak i powiązania KTP z fizyką statystyczną, teorią nieliniowych równań różniczkowych (* rr *), topologią itp.

W prezentowanej książce dokonano próby wyłożenia ogólnych zasad KTP, jak i przedstawienia nowych tendencji.

Przeznaczona jest ona przede wszystkim dla studentów starszych lat, którzy mają zamiar specjalizować się w KTP, oraz teorii cząstek elementarnych. Książka będzie również pomocna dla eksperymentatorów i specjalistów w zbliżonych dyscyplinach np. teorii jądra atomowego, statystyki kwantowej itp.

Autor zakłada znajomość u czytelnika podstaw mechaniki kwantowej (* MQ *), oraz teorii względności (* STW *) Stara się on maksymalnie uprościć wykład, wprowadzając wiele konkretnych przykładów, a wiele z tematów stara się wyjaśnić bardzo dokładnie.

(* Zalecana literatura wstępna :

1) „Elementy klasycznej i kwantowej teorii pola” - Jerzy Karaśkiewicz ; UMCS 2003 2) „Elementy mechaniki kwantowej” - Stanisław Szpikowski ; UMCS 1999 3) “Kwantowa teoria pola w zadaniach” - Voja Radovanovic ; WN-PWN 2008 4) „Wstęp do teorii pól kwantowych” - Iwo Białynicki-Birula ; PWN 1971

5) „Elektrodynamika kwantowa” - Iwo Białynicki-Birula , Zofia Białynicka-Birula ; PWN 1974 6) „Kwantowa teoria oddziaływań - Adam Bechler ; PWN 1991

elektromagnetycznych”

7) „Wykłady z kwantowej teorii pola” - Marek Wolf ; S-UWr Wrocław 1988 8) „Relatywistyczna teoria kwantów” - J. D. Bjorken, S. D. Drell ; PWN 1985 9) „Wstęp do teorii oddziaływań kwarków i leptonów” - E. Leader, E. Predazzi ; PWN 1990

10) „Wstęp do fizyki wysokich energii” - D. H. Perkins ; PWN 1989 11) „Klasyczne pola cechowania – Teorie bozonowe” - W. A. Rubakow ( tłumaczenie własne )

12) „Wykłady z mechaniki kwantowej” - W. W. Bałaszow, W. K. Dolinow ( tłumaczenie własne ) 13) „Piętnaście wykładów z kwantowej teorii pola” - Z. Jacyna-Onyszkiewicz ; W-UAM 2009

Prezentowana książka może posłużyć jako lektura wstępna dla książki :

14) „Teoria pól kwantowych” - Steven Weinberg ; WN-PWN 1999 tom 1, 2, 3

*)

Przedsłowie (* skrócone *).

Niniejsza książka przeznaczona jest dla tych studentów, którzy zdecydowali się zostać specjalistami w dziedzinie fizyki cząstek elementarnych ,ale póki, co nie są wystarczająco zaznajomieni z KTP. Wymagana jest od nich podstawowa znajomość MQ i STW. Czytelnikami przedstawionej książki mogą być studenci starszych lat fizyki teoretycznej.

Starałem się, aby wykład uczynić prostym, na tyle tylko na ile pozwala wykładana dziedzina i przedstawiać szczegółowo dużą część obliczeń. Zgodnie z współczesnymi tendencjami w prawie całej książce wykorzystywałem metody

funkcjonalne ( chociaż jest rozdział, w którym wykładane jest kwantowanie kanoniczne ). Szereg rozdziałów poświęcono teoriom z cechowaniem, które w chwili obecnej odgrywają kluczową rolę w naszych koncepcjach

rozumienia natury cząstek elementarnych. Wszędzie tak, gdzie czułem konieczność poruszania zagadnień fizyki cząstek elementarnych, starałem się nie opierać się na bezpośrednim wykładzie tej dziedziny fizyki. Przedstawiona książka nosi, bowiem pedagogiczny, a nie encyklopedyczny charakter i wiele zagadnień np. algebra prądów, symetrie dyskretne i supersymetrię pozostawiam poza ramami jej wykładu.

W tym miejscu chciałbym wyrazić wdzięczność. prof. Higgs’owi i prof. J. Taylor’owi, którzy przekazali mi szereg ważnych rad przy pisaniu niektórych rozdziałów, starałem się wykorzystać przy tym ( chociaż wiem, że nie w pełni ) ich głębokie zrozumienie teorii pola. Miałem również szczęście uczestniczyć w wykładach prof. Wessa z teorii pola w 1974 roku, co skłania mnie do złożenia podziękowań jemu oraz kierownictwu Niemieckiej Akademii Nauk za możliwość przyjazdu do Karlsruhe.

Kent Lewis Ryder Sierpień 1984

*************************************************************************************************

Rozdział 1. Wprowadzenie: krótki przegląd fizyki cząstek.

§ 1.1 KTP

KTP zawsze stanowiła domenę specjalistów fizyki cząstek elementarnych. W ostatnich latach jej pięknu ulegli również fizycy badający materie skondensowaną (* condesnsed matter physics *), jednak ze względu na cel niniejszej książki która ma tradycyjny charakter - teorię pola studiujemy mając nadzieję, że rzuci ona nowe światło na naturę cząstek fundamentalnych oraz ich oddziaływań. Niewątpliwie ( na co argumenty podamy później ) struktura zawierająca w sobie teorię kwantową - która to okazała się nadzwyczaj płodna w rozwiązywaniu szeregu problemów fizyki atomowej na początku XX wieku - oraz teorię pola, jako język z pomocą którego dokonujemy eksploracji rzeczywistości, odkrytej przez Faradaya, Maxwella i Hertza, powinna stanowić dobre narzędzie za pomocą, którego przenikniemy ku

fundamentalnej strukturze materii.

W istocie jest tak w rzeczywistości. Elektrodynamika kwantowa, pierwsze dziecko takiego związku, przewiduje ( podajemy oczywiście tylko jeden z przykładów jej sukcesów ) anomalny moment magnetyczny elektronu z dokładnością do szóstego miejsca po przecinku. Czego jeszcze można oczekiwać od teorii fizycznej ?

QED została zbudowana około roku 1950 wiele lat po sformułowaniu MQ. Jednakże pierwotna hipoteza Plancka o kwantach ( 1901 ) w istocie polegała na tym, że pole elektromagnetyczne (* EM *) powinno być skwantowane.

Kwanty tego pola nazywamy fotonami. Do 1925 roku idea kwantu została zastosowana do mechaniki ruchu atomu, w wyniku, czego została opracowana koncepcja dualizmu korpuskularno-falowego i sformułowano równanie falowe Schrödingera dla elektronów. Dopiero po tym zostało przeprowadzone pełne i systematyczne zbadanie skwantowanego pola EM. Można powiedzieć, że domknął się krąg badań, powracając do wejściowej hipotezy Plancka i jednocześnie ugruntowując teorię kwantową jako podstawy obszar fizyki.

W chwili obecnej, dzięki kwantowaniu różnica między cząstkami i polami stała się rozmyta. Cząstki „punktowe” stały się rozmyte, są one opisywane poprzez równanie falowe, a pole ( EM ), które w fizyce klasycznej przedstawiano jako środowisko ciągłe, przybrało charakter cząstek ( fotonów ).

Można zadać pytanie: jeśli cząstki naładowane np. elektrony oddziaływują między sobą za pośrednictwem pola EM, a kwantowanie traktuje pola i cząstki jako podobne do siebie, to czy istnieje istotna różnica między polami i cząstkami ? Poszukiwanie odpowiedzi na to pytanie prowadzi nas do fizyki cząstek elementarnych. Istotne jest to, że kwantami pola, którym opisujemy oddziaływanie między cząstkami materii są fotony. Elektrony po prostu „istnieją”, a ponieważ oddziaływują one między sobą ( w przeciwnym wypadku nie mielibyśmy pojęcia o ich istnieniu ) staje się konieczne istnienie pola EM, a zatem i fotonów. Jednakże okazuje się, że istnieją jeszcze miony, protony oraz inne cząstki naładowane, które również oddziaływują za pośrednictwem pola EM. Przyczyny istnienia wszystkich tych cząstek póki,

co są nieznane, możemy jednak skonstatować ten fakt w następujących słowach : istnieje pewne spektrum stanów odpowiadających cząstkom ( e, µ, p, Σ, Ω itd. ) oraz pole za pomocą, którego takie cząstki oddziaływują. Takie podejście do elektrodynamiki może - jak się wydaje - służyć jako przewodnik, według którego osiągniemy pełne zrozumienie natury oddziaływania cząstek elementarnych. Należy po prostu zastosować takie podejście do innych znanych nam oddziaływań.

W fizyce klasycznej znane jest jeszcze tylko jedno oddziaływanie – grawitacyjne, dlatego też teraz przejdziemy do jego omówienia.

§ 1.2 Grawitacja.

Pole grawitacyjne opisuje OTW. Jednakże kwantowanie tej teorii napotyka na poważne trudności. Po pierwsze są to trudności natury matematycznej. Równania Einsteina są znacznie bardziej złożone niż np. równania Maxwella a ponadto są to równania nieliniowe. W związku z tym istnieje dla nich problem z zastosowaniem zasady superpozycji , tj. z matematycznym wyrażeniem dualizmu fala – cząstka, który to wymaga istnienia liniowej przestrzeni wektorowej.

Po drugie w teorii Einsteina pole grawitacyjne przejawia się jako krzywizna CP, zatem jeśli np. w elektrodynamice pole jest – jak gdyby – aktorem na scenie CP, to w teorii grawitacji to sama CP jest aktorem. Zatem, w istocie sprawa dotyczy kwantowania samej CP. Pytanie jaki jest sens tego wyrażenia ?

Po trzecie istnieją również praktyczne problemy. Równania Maxwella przewidują istnienie promieniowania EM, które po raz pierwszy obserwował Hertz. Kwantowanie tego pola oznacza możliwość obserwowania oddzielnych fotonów.

Zostały one po raz pierwszy zauważone w efekcie fotoelektrycznym, którego klasyczną już analizę podał Einstein.

Analogicznie do tego, einsteinowskie równania dla pola grawitacyjnego przewidują istnienie promieniowania grawitacyjnego. Zatem, w zasadzie powinna istnieć możliwość zaobserwowania oddzielnych grawitonów tj. kwantów pola grawitacyjnego. Jednakże mimo, że anonsowano wielokrotnie o zaobserwowaniu promieniowania grawitacyjnego nadal nie mamy w tej sprawie ogólnej akceptacji. Obserwacja oddzielnych grawitonów jest bardzo trudnym

zagadnieniem, który jak się wydaje pozostanie do realizacji dla przyszłych pokoleń. Podstawową tego przyczyną jest to, ze grawitacja jest wielokrotnie słabsza od innych sił przyrody. Uwzględniając jej słabość fizycy zajmujący się cząstkami elementarnymi, pomijają siły grawitacyjne, jest to dla nich duża wygoda, bowiem pomimo wskazanych trudności jest jeszcze wiele innych problemów z nią związanych. Jednocześnie opracowane niedawno metody kwantowania

nieabelowych pól cechowania, odgrywające ważną rolę w wyjaśnieniu silnych i słabych oddziaływań jądrowych mogą być jak się wydaje zastosowane do kwantowania teorii grawitacji. Wyłożymy te zagadnienia, krótko w odpowiednim rozdziale.

§ 1.3 Oddziaływania silne.

Oprócz sił EM i grawitacyjnych w przyrodzie istnieją również siły jądrowe, są to tzw. silne i słabe siły jądrowe.

(* strong and weak nuclear forces *) Pytanie brzmi : czy siły te mogą być opisane poprzez pola ?

Yukawa dokonał założenia, ze oddziaływanie silne między protonem i neutronem w jądrze może być opisane poprzez pole, ale kwant tego pola ( w odróżnieniu od fotonu ) powinien posiadać skończoną masę. Jest to związane z tym, że siły jądrowe mają skończony dystans oddziaływania. Na rys 1.1 przedstawiono diagram Feynmana

( objaśnienie w rozdziale 6 ) odpowiadający wymianie (* exchange a virtual field quantum *) (π+ ) (* mezon pi – pion *) między protonem i neutronem. Zgodnie z zasadą nieokreśloności (* uncertainty principle *)wymiana taka może zajść przy warunku :

∆E∆t = ( mπc2 ) ∆t ≈ ħ

gdzie : mπ – masa kwantu pola ( pionu ) , ∆t – czas życia pionu.

Jeśli zakres działania siły jest równy r, to możemy podstawić r = c (∆t ), skąd przy r ≈ 10-15 [m] otrzymujemy : mπc2 ≈ ħc/r ≈ 200 [MeV]

Rys. 1.1 Wymiana kwantu pola oddziaływania silnego ( pionu ) między protonem a neutronem.

(* Dodatek własny 1.1 Diagramy Feynmana – krótki wstęp.

Diagramy Feynmana stanowią graficzną reprezentacje rachunków prowadzonych w KTP wielokrotnie ułatwiając ich interpretacje. Przykłady diagramów Feynamna pokazano na rys. D1.1 :

d)

e)

Rys D1.1 a) Diagram Feynamna ilustrujący wymianę fotonu ( kwantu pola EM ) między elektronami ( linią falistą oznacza się linie fotonu )

b) Diagram Feynamna ilustrujący kreacje pary elektron –pozyton w wyniku zamiany kwantu γ

c) Diagram Feynamna ilustrujący anihilacje pary elektron –pozyton w wyniku czego powstaje kwantu γ

d) Diagram Feynamna ilustrujący wymianę fotonu między elektronami z uwzględnieniem procesu emisji i reabsorbcji fotonu. Jak widać wirtualny foton może być emitowany i reabsorbowany przez jeden i ten sam elektron.

e) Diagram Feynamna ilustrujący wymianę fotonu między elektronami z uwzględnieniem procesu kreacji i anihilacji wirtualnych par elektronów

Rys D1.2 Diagram Feynmana w postaci drzewa ( diagram drzewiasty – tree diagram )

Rys. D1.3 Diagramy obrazujące procesy wyższych rzędów dające poprawki do rozpraszania

a), b) wymiana 2-fotonowa między dwoma elektronami , c) proces wysokiego rzędu na który składają się procesy kreacji i anihilacji par cząstek wewnętrznych. Każdy taki diagram oznacza pewną całkę w wyrażeniu analitycznym, które reprezentuje się graficznie za pomocą powyższych (przykładowych ) diagramów.

Rys. D1.4 a) Diagram Feynmana odpowiadający renormalizacji ładunku. Przedstawia on kreacje pary pozytron-elektron, a następnie jej anihilacje w polu wytworzonym przez elektron tła.

b) Przykłady tzw. niespójnych diagramów Feynmana. ( powszechnie uważa się, że nie dają one wkładu do obserwowanych efektów )

*)

(* Dodatek własny 1.2 Mezon π.

Od samego początku, kiedy dokonano odkrycia jądra atomowego ( E. Rutherford 1911 ) powstała kwestia jego budowy.

Zadawano sobie pytanie czy jądro atomu może być mieszaniną protonów i elektronów ?.

( zobacz również tekst pt. „Wprowadzenie do mechaniki kwantowej ( MQ )” )

Wiedziano jedynie, że jądro atomu jest dodatnio naładowane i skupia niemal całą masę atomu, oraz że jego rozmiary mają rząd wielkości 10-13 − 10-14 [m] ( ok. 1 [ fm] ; 1 [fm] = 10-15 [m] ).

W 1920 roku Rutherford wysunął hipotezę istnienia w jądrze cząstek obojętnych ( neutronów ) o masie zbliżonym do masy protonu . W 1930 roku neutron zostaje odkryty przez Chadwicka. Zatem w latach 30-tych XX wieku poznano główne składniki budujące jądra atomów – neutron i proton ( objęte wspólną nazwą nukleony )

Dlaczego elektron nie może być składnikiem jądra ? Zgodnie z zasadą nieokreśloności nieokreśloność pędu elektronu w jądrze ma wartość ∆p ≥ ħ / ∆x ≈ 200 [ MeV/c] (∆x dla jądra jest rzędu fm ), zatem miałby on energię o nieokreśloności

∆E ≈ 200 [ Mev/c], tymczasem elektrony emitowane przez jądro w procesie przemian β mają energię nie przekraczającą kilku MeV

Tabelka D1.1 Podstawowe własności nukleonów

Następnym problemem jaki należało rozważyć było zagadnienie stabilności jądra – jakie siły utrzymują jądro w całości przezwyciężając odpychanie kulombowskie protonów ?

Siły te ( nazwane siłami jądrowymi ) powinny być przyciągające w pewnym obszarze ( stabilność jądra ) i odpychające na mniejszych odległościach ( jądro ma skończone rozmiary i nie „zapada się w sobie” ). Ich zasięg powinien wynosić ok. 1 [fm] , a więc powinny mieć krótki zasięg , ich energia powinna być liczona w MeV ( zatem są to oddziaływania silne ), powinny zależeć od odległości i być niezależne ładunkowo ( ponieważ siły działające między protonami i neutronami są niemal jednakowe ). W tym miejscu na scenę wkracza teoria oddziaływań silnych i hipoteza kwantu tego pola. Istnienie takiej cząstki przewidział teoretycznie japoński fizyk Hideki Yukawa w 1935 roku.

Umownie przyjmuje się, że fizyka cząstek elementarnych wyodrębniła się z fizyki jądrowej, jako samodzielna dziedzina nauki pod koniec lat 40-tych wraz z odkryciem mezonu π ( pionu ) ( C. F. Powell 1947 rok – uhonorowany za to odkrycie nagrodą Nobla ).

Dziś wiemy, że istnieją trzy mezony π+ , π- , π0 – dwa mezony naładowane i jeden neutralny. Wymianie pionu w oddziaływaniu protonu z neutronem ( neutronu z protonem ) towarzyszy zmiana ładunku zatem uczestniczy w nich mezon π± , w oddziaływaniu neutron – neutron uczestniczy mezon neutralny π0. ( ich masy są niemal identyczne – zobacz tabelka w dodatku 3 ). Spin pionów jest równy zero, i są one cząstkami nietrwałymi – naładowane ulegają rozpadowi ze średnim czasem życia 2,6 • 10-8 [s] , neutralny 0,8 • 10-16 [s] .

Dodatek 1.3 Tabelka ujmująca niektóre stałe fizyczne użyteczne w KTP

*)

Kiedy ( w 1947 roku ) został odkryty mezon pi o masie 140 [MeV/c2 ] uczestniczący w oddziaływaniu silnym jądrowym, zostało to uznane za triumf teorii Yukawy. Jednakże punkt widzenia zgodnie z którym pion miał być kwantem pola oddziaływań silnych napotkał szereg trudności :

1) Przy wysokich energiach oddziaływanie proton– neutron nie mogło być zadowalająco wyjaśnione poprzez wymianę pionów.

2) Oddziaływanie między samymi pionami nie może być ( w skutek nie zachowania parzystości ) wyjaśnione poprzez wymianę jedno pionową.

3) Po odkryciu cząstek dziwnych cząstek dziwnych ( lata 50-te i początek lat 60-tych ) i po sklasyfikowaniu ich na grupy SU(3) ujawniono, że piony są tylko trzema z ośmiu członów supermultipletu, w którego skład wchodzą również mezony K i η – „zwyczajne” elementarne cząstki „materii”. Jeśli kwanty pola istotnie różnią się od kwantów „materii”, to nie powinny one wchodzić do jednego i tego samego supermultipletu.

4) W modelu kwarków (1964 ) piony są stanami związanymi pary kwark- antykwark, zatem tak jak dla pozostałych mezonów , zatem ich uprzywilejowane miejsce zostało całkowicie zniesione. ( przykładowo foton, nie składa się z kwarków )

W następnych paragrafach podamy krótki przegląd spektrum cząstek elementarnych i zaprezentujemy model kwarkowy.

Należy podkreślić jednakże, że model ten odrzucając pion ze spisu kandydatów na kwant pola oddziaływania silnego, daje nam w zamian pewne wskazówki co do kierunków poszukiwań jego zamiennika, ponieważ „właściwe”

oddziaływanie silne nie zachodzi między nukleonami, a między kwarkami. Czym zatem jest oddziaływanie między kwarkami ?

Istnieją pewne dowody ( zobacz paragraf 1.11 ) na to, że kwark posiada liczbę kwantową, która jest bardzo zbliżona do ładunku elektrycznego, ale różni się od niego tym, że :

1) posiada trzy stopnie swobody – trzy „typy” ładunku i 2) jest nie obserwowana w stanie swobodnym – tzn. że nie obserwowalne są oddzielne kwarki, a są nie obserwowalne być może dlatego, że układy posiadające taką liczbę kwantową ( jej wartością zerowa ), są zabronione w stanie swobodnym. Ta liczba kwantowa nazywa się kolorem, przy czym odpowiednie jej stopnie swobody nazywane są umownie jako czerwony, biały i niebieski lub czerwonym, zielonym, i niebieskim lub jakoś podobnie. Przyjmuje się, że występowanie koloru, tak jak ładunku elektrycznego prowadzi do pojawienia się pola kwantowego, bezmasowego o spinie jeden – tak jak dla fotonu. Za pośrednictwem tego pola dokonuje się oddziaływanie między kwarkami. Kwanty tego pola nazywamy gluonami, a dynamikę kwark- gluon nazywa się chromodynamiką kwantową ( QCD ), analogicznie do elektrodynamiki kwantowej ( QED ).

QCD odpowiedzialna jest np. za połączenie trzech kwarków w proton i neutron. Nie jest zatem dziwne, że siły działające między protonem i neutronem są tylko w przybliżeniu opisywane przez wymianę pionów – w rzeczywistości siła ta powinna być bardzo złożona, jest ona jak gdyby „szczątkową” siłą oddziaływania między kwarkowego.

§ 1.4 Oddziaływania słabe.

Aby ukończyć przegląd oddziaływań należy wymienić jeszcze czwarte oddziaływanie występujące w przyrodzie - oddziaływanie słabe jądrowe, które jest odpowiedzialne za rozpad beta. W pierwotnej teorii Fermiego oddziaływanie to było oddziaływaniem punktowym między czterema cząstkami w nim uczestniczącym.

( w rozpadzie neutronu n → p + e- + νe ).

Innymi słowy, nie było konieczności rozpatrywania jakiegoś pola, ponieważ nie było żadnych zjawisk,

rozprzestrzeniających się z jednego punktu do innego punktu. ( Przypomnijmy, że pojęcie „pola” w fizyce pojawiło się w szczególności w związku z poszukiwaniem bardziej zadowalającego objaśnienia „działania na odległość”; jeśli nie ma oddziaływania na odległość to, oczywiście nie trzeba wprowadzać pola ). Teoria Fermiego okazała się nadzwyczaj dobra. W istocie na przestrzeni wielu dziesięcioleci nie było żadnych bezpośrednich wskazań na to, że teoria ta, zmodyfikowana po uwzględnieniu naruszenia parzystości, jest niesłuszna. Tym niemniej wiedziano, że jest ona niesłuszna dlatego, że jest ona nie renormalizowalna ( zobacz rozdział 9 ). Jednym z niedawnych sukcesów fizyki cząstek elementarnych było zbudowanie następcy teorii Fermiego. Ta nowa teoria została opracowana przez Weinberga, Salama i Glashowa. Elektromagnetyzm w tej teorii oraz oddziaływania słabe są połączone w nietrywialny sposób. Polu oddziaływania słabego zostają przypisane kwanty - bozony Z i W, które są więcej niż 80 razy cięższe od protonu. Oprócz tego przewidywane są reakcje z udziałem prądu neutralnego, są to m.in. ν + p → ν + p + ( neutralne hadrony ), przewidywane jest również czwarta generacja kwarków ( powab ) (* charm *). Odkrycie wszystkich tych obiektów ostatecznie potwierdziło teorię Weinberga–Salama–Glashowa jako rzeczywistą teorię oddziaływań słabych.

Ważnym aspektem tej teorii jest to, że jest to teoria unifikująca – teoria oddziaływań słabych i EM → teoria oddziaływań elektrosłabych. (* electroweak *). Następnym naturalnym obiektem dla opracowania jest budowa teorii „wielkiej

unifikacji” (*grand unified theory (GUT) *), która łączyłaby oddziaływania elektrosłabe i oddziaływania silne ( QCD ) jednakże w chwili pisania tej książki (1995) nie ma konkretnych świadectw na poparcie tego, że wielka unifikacja sił przyrody istnieje rzeczywiście.

Takie są podstawowe składniki współczesnych teorii cząstek elementarnych i oddziaływań. W następnych

podrozdziałach przedstawimy je bardziej szczegółowo, będzie to pomocne zwłaszcza dla tych czytelników, którym fizyka wysokich energii nie jest dobrze znana. Wtedy też okaże się jasna konieczność wyłożenia rozważań fizycznych prowadzących do badania pól kwantowych. Wprowadzimy również szereg pojęć, które wykorzystywane są w

zastosowaniach teorii pola w fizyce cząstek. Oczywiście wykład ten nie pretenduje do zupełności, jednakże pod koniec tego rozdziału podajemy pewne odsyłacze do literatury, w której można znaleźć szczegółowe wyłożenie rozpatrywanych zagadnień. Czytelnikom zaznajomionym z fizyką cząstek, rekomendujemy przejście od razu do rozdziału 2. W

pozostałej części niniejszego rozdziału będę posługiwał się bez adekwatnego wyjaśnienia niektórymi terminami i metodami technicznymi. Odnosi się to w szczególności do diagramów Feynmana. Proszę zatem czytelnika o wyrozumiałość, póki nie wprowadzę odpowiednich wyjaśnień w dalszej części książki.

§ 1.5 Leptonowe liczby kwantowe.

Cząstki fundamentalne dzielą się na trzy podstawowe kategorię : cząstki, które podlegają oddziaływaniu silnemu nazywają się hadronami, te które nie uczestniczą w oddziaływaniu silnym nazywają się leptonami i na koniec, kwanty pól odpowiadających danym oddziaływaniom. Hadrony dzielą się na bariony posiadające spin połówkowy i mezony posiadające spin całkowity ( w jednostkach ħ ; spin – jest to wielkość czysto kwantowa ). Wszystko to przedstawia poglądowo tablica 1.1

(* Dodatek własny 1.4 Przegląd cząstek elementarnych modelu standardowego.

Według modelu standardowego każdemu leptonowi naładowanemu odpowiada jego neutrino tj. obojętny elektrycznie lepton z nim stowarzyszony mamy zatem następujące generacje :

Pierwsza generacja :

elektron e, neutrino elektronowe νe , kwark górny u, kwark dolny d Druga generacja :

mion µ , neutrino mionowe νµ , kwark powabny c, kwark dziwny s Trzecia generacja :

taon τ, neutrino taonowe ντ , kwark prawdziwy t, kwark piękny b ( patrz Fig. 1 )

Neutrino elektronowe νe zostało zaobserwowane przez C. Cowana i F. Reinesa w 1956 roku.

Neutrino mionowe νµ zostało zaobserwowane w 1962 roku. Neutrino taonowe ντ - dopiero w 2000 roku.

( zatem należy w Tabeli 1.1 neutrino taonowe ντ przyjąć jako odkryte )

Eksperymenty wskazują, że neutrina mają małą masę spoczynkową ( wyznaczono doświadczalnie górną granicę tych wielkości. Silnego argumentu za tym, ze masa ta jest niezmiernie mała ( ok. 5 mln razy mniejsza niż masa elektronu ) dostarczyły obserwacje zjawiska oscylacji neutrin tj. przechodzenia jednego rodzaju neutrina w inny.

Jeśli chodzi o eksperymentalne potwierdzenie istnienia gluonów, to przyjmuje się, że występowanie dżetów hadronowych ( obserwowanych od 1979 roku ) potwierdza pośrednio ich istnienie

( zatem należy w Tabeli 1.1 gluony przyjąć jako odkryte )

Cząstki dziwne. Dziwność – ogólny schemat wprowadzania liczb kwantowych.

Badania promieni kosmicznych prowadzone pod koniec lat 40-tych XX wieku doprowadziły do odkrycia szeregu nowych cząstek, były to m.in. kaony , cząstki sigma, lambda, ksi. Wszystkie te cząstki nazwano cząstkami dziwnymi, ( nazwę tę wprowadził M. Gell- Mann w 1953 , sama nazwa miała związek właśnie z dziwnym zachowaniem się tych cząstek - warto sięgnąć do [1] str. 33 )

Rozważmy następujące reakcje : π- + p → K- + Σ+

π- + p → π- + Σ+

W obu przypadkach zarówno ładunek Q jak i liczba barionowa B są zachowane, zatem wydaje się, ze obie reakcje powinny zachodzić równie często. Analizując jednak bilans energii oczekujemy, że reakcja druga powinna zachodzić znacznie częściej niż pierwsza i tu niespodzianka, ponieważ mimo przeanalizowania milionów przypadków nigdy jej nie zauważono. Chcąc wyjaśnić ten problem po prostu wprowadzono nową własność materii, nazwaną „dziwnością” S , która to powinna być zachowana ( w oddziaływaniach silnych ). Pion i proton mają dziwność równą 0, jeżeli takie dwie cząstki oddziałują, produkując cząstkę o dziwności S = +1, to aby spełniona była zasada zachowania dziwności, musi jednocześnie powstać cząstka o dziwności S = -1. Jeżeli przyjmiemy umownie S = +1 dla K+ , to możemy wyznaczyć dziwność wszystkich innych cząstek, badając jakie reakcje zachodzą , a jakie nie. W ten sposób reakcja

π- + p -/→ π- + Σ+

( 0 + 0 0 + -1 )

nie zachodzi ponieważ nie jest w niej zachowana dziwność ( wartości w nawiasie ).

Cząstki Λ, Σ mają dziwność równą –1, Ξ ma dziwność równą – 2, dla K+ , K0 S = +1

dla K- , K0 , S = -1

Temat zakończę następującym cytatem :

„... można zadać pytanie : „ale co to jest dziwność?” .Jest to pewna własność materii, analogiczna do ładunku

elektrycznego, która pewne cząstki mają, a inne nie. Może to brzmieć nieco jałowo, ale jest to jedyna odpowiedź jakiej fizyka może obecnie dostarczyć. Fizycy wymyślają pewne pojęcia i reguły, które umożliwiają im przewidywanie rezultatów procesów zachodzących w przyrodzie. Dzięki wymyśleniu dziwności potrafimy z powodzeniem z góry powiedzieć jakie reakcje zajdą, a jakie nie. Pytanie o to „czym” jest dziwność należy dziś do metafizyki, mimo to zdobyto już pewne informacje o tym, dlaczego różne cząstki niosą takie, a nie inne konkretne wartości dziwności.”

[ 3 str. 72 ]

Powszechnie stosowane nazwy cząstek elementarnych i ich pogrupowanie.

Przykład typowego obrazu z komory pęcherzykowej – produkcja stowarzyszona π- + p → Λ + K0. Hiperon Λ rozpada się w punkcie B Λ → p + π- , a mezon K (kaon ) w punkcie C K0→ π+ + π- ( zdjęcie CERN ) [ 10 zalecanej literatury wstępnej str. 22 ]

Literatura.

Doskonałym wstępem do tematu fizyki cząstek elementarnych jest książka :

1) „Stare i nowe drogi fizyki” -- Grzegorz Białkowski ; WP 1980 ,1982 tom 3 Fizyka dnia dzisiejszego

Ponadto warto sięgnąć do książek :

2) „Wstęp do fizyki jądra atomowego i - Ewa Skrzypczak, Zygmund Szefliński ; WN-PWN 1995 cząstek elementarnych”

3) „Kosmiczna cebula kwarki i wszechświat” - Frank Close ; PWN 1981

4) „Cząstki elementarne” - B.H. Bransden ,D. Evans ,J.V Major ; PWN 1981 oraz do artykułu :

5) „Cząstki modelu standardowego : co nowego ?” - J. A. Zakrzewski PF tom 54 Zeszyt 4 ; 2003

*)

Istnieją bariony i mezony o różnych spinach – odkryto bariony o spinie np. 7/2 i mezony o spinie np. 3, jednakże wszystkie leptony posiadają spin ½. Wszystkie wymienione kwanty pól mają spin równy jeden. Zakłada się, że wszystkie znane hadrony stanowią stany z odpowiednią kombinacją sześciu typów kwarków, dlatego też przyjmuje się, że istnieje także sześć leptonów.

Aby podział cząstek o spinie ½ na bariony i leptony miał sens nie powinny następować przejścia między tymi różnymi typami cząstek. Przykładowo proton nie powinien rozpadać się na pozyton ( antycząstkę elektronu ) :

Zatem rozpad : p → e+ + γ jest zabroniony (1.1)

(* standardowo reakcje (rozpad ) który jest wzbroniony zapisujemy z użyciem przekreślonej strzałki -/→ *) I w istocie takiego rodzaju rozpadu nie obserwuje się. W wyniku, czego takie rozpad jest zabroniony ?

Ładunek elektryczny w takim rozpadzie jest zachowany, zachowana jest również energia jak i moment pędu. Powinna, zatem istnieć pewna kwantowa liczba, która powinna być zachowana – nazwiemy ją liczbą barionową B, jest to taka liczba, że barionom odpowiada B = 1, a wszystkim pozostałym cząstką odpowiada wartość B = 0. Wtedy na mocy wymogu zachowania liczby barionowej rozpad (1.1) jest wzbroniony.

( Przyjęto nazywać pewne liczby zachowane „liczbami kwantowymi”. Jednakże nie jest całkowicie oczywistym, czy liczba barionowa ma jakiekolwiek odniesienie do teorii kwantowej. Jeśli bowiem by tak było, to na mocy rozpadu (1.1) materia byłaby niestabilna przy ħ → 0.

Dla teorii wielkiej unifikacji charakterystyczne jest to, że liczba barionowa nie jest absolutnie zachowana. Innymi słowy, teorie takie przewidują niestabilność protonu. Ujawnienie rozpadu protonu byłoby ważnym świadectwem prawidłowości teorii wielkiej unifikacji. )

(* obecnie przyjmuje się , że czas rozpadu protonu ( jeśli miałby on być cząstką niestabilną ) jest większy niż 2,1 • 1029 [ lat]

źródło : The Review of Particle Physics http://pdg.lbl.gov/

*)

Czytelnik może mieć wrażenie, że nie jest to wyjaśnienie, a tylko wyrażenie w innym języku faktu, że dany rozpad nie następuje. Być może, że tak jest, ale ten nowy język jest bardziej ekonomiczny !

W miejsce liczby barionowej moglibyśmy oczywiście wprowadzić liczbę leptonową L , dla leptonów L = 1, a dla wszystkich pozostałych cząstek L = 0, wraz z tą liczbą wprowadzilibyśmy warunek zachowania liczby leptonowej, który wzbraniałby rozpadu protonu. Istnieją jednak inne fakty. Miony ( które są analogami elektronu o dużej masie ) nie rozpadają się na elektrony :

Zatem rozpad : µ- → e- + γ jest zabroniony (1.2)

Z jakiego powodu nie występuje taki rozpad ?

Powinna istnieć pewna wielkość zachowana - liczba mionowa Lµ ; cząstce µ- odpowiada wartość Lµ = 1, a wszystkim pozostałym cząstką Lµ = 0, tak więc rozpad (1.2) nie następuje. Innymi słowy miony nie są całkowitymi „analogami elektronu o dużej masie”. W miejsce liczby mionowej możemy oczywiście wprowadzić liczbę elektronową L. To prowadzi do bardzo interesujących następstw. Pion naładowany rozpada się na elektron i neutrino lub na mion i neutrino π- → e + νe− , π- → µ- + νµ−

Wyposażyliśmy to neutrino ( w istocie jest to antyneutrino – oznaczenie przez symbol − ) indeksami e, µ dla dogodności odsyłaczy. Jeśli Lµ jest zachowany w tych rozpadach, to wynika z tego, że νe− i νµ− są różnymi cząstkami, ponieważ π- i e posiadają Lµ = 0 , dla νe− Lµ = 0, jednak dla νµ− Lµ = -1 ( to oznacza, że νµ ma Lµ = 1, a w związku z tym cząstką emitowanym w procesie rozpadu π- antyneutrin )

Proste rozważania dotyczące stabilności prowadzą do wniosku o tym, że w przyrodzie istnieją dwa różne typy neutrin.

Eksperymentalnie potwierdzono, że νe i νµ – są w istocie różnymi cząstkami. Analogiczne rozważania można

przeprowadzić w przypadku leptonu τ , odkrytego w 1976 roku w eksperymentach na wiązkach przeciwbieżnych e+ e- Zdarzenia typu e+ e- → µ± e± + „brakująca energia“ zostały koniec końców przyporządkowane procesowi :

e+ e- → τ+ τ-

| | → µ- νµ− ντ | → e+ νe ντ−

co daje powód do wprowadzenia wielkości zachowanej Lτ i odpowiednio trzeciego niezależnego neutrina taonowego.

§ 1.6 Hadronowe liczby kwantowe.

Przejdziemy teraz od leptonów do hadronów. Tu również następuje potrzeba wprowadzenie zachowujących się liczb kwantowych, jednakże przy tym należy przeprowadzić bardziej subtelne rozważania. Kiedy po raz pierwszy w 1954 roku w warunkach laboratoryjnych otrzymano „cząstki dziwne”, to pośród procesów zaobserwowano następujący :

π- + p → Λ + K0 (1.3)

którego bardzo duży przekrój wskazywał na to, że powinien on być wynikiem oddziaływania silnego. Jednakże czas życia Λ i K0 względem rozpadu :

Λ → p + π- , K0 → π+ + π- (1.4)

jest nadzwyczaj duży ( ~ 10-10 [s] ), co mogłoby odpowiadać jedynie procesowi przebiegającemu w wyniku oddziaływania słabego, chociaż wszystkie cząstki uczestniczące w tych rozpadach to hadrony. Dlaczego tak jest ? (* Podział związany z czasami procesów jest ogólnie taki :

procesy związane z oddziaływaniami silnymi przebiegają w czasie rzędu 10-21 - 10-24 [s]

procesy związane z oddziaływaniami EM przebiegają w czasie rzędu 10-15 - 10-17 [s]

procesy związane z oddziaływaniami słabymi przebiegają w czasie rzędu 10-6 - 10-10 [s]

Podane granice mają charakter orientacyjny. Obok czynników dynamicznych na czas procesu fizycznego mają także czynniki kinematyczne, które mogą przebieg procesu bardzo zwolnić

Literatura

„Cząstki elementarne” - G .Białkowski , R. Sosnowski ; PWN 1971 str. 24

*)

Rozpady hadronów na hadrony o mniejszej masie powinny następować w wyniku oddziaływania silnego przy warunku, że przy tym nie naruszane jest prawo zachowania jakiejkolwiek wielkości. Zatem, wprowadzimy liczbę kwantową S, nazwaną dziwnością (* strangeness *), przypisując wartość S = 0 cząstce π i protonowi, a wartość S = -1 cząstce Λ, zaś wartość S = +1 cząstce K0. Przy tym ustanawiamy następującą zasadę : S jest zachowana w oddziaływaniach silnych i nie jest zachowana w oddziaływaniach słabych. Wtedy, jak łatwo zauważyć, suma algebraiczna wartości S w obu częściach reakcji (1.3) jest równa zeru, tak więc dziwność S jest zachowana, przy czym tak jak to widzieliśmy i jest to reakcja zachodząca pod wpływem oddziaływań silnych. Jednakże w rozpadach (1.4) wartości S zmieniają się z –1 na 0 i z +1 na 0, tak, że nie mogą one wynikać z oddziaływania silnego, a z słabego. Analogiczna sytuacja zachodzi przy wyższych energiach. W 1975 roku ujawniono, że w wodorowej komorze bąbelkowej (* hydrogen bubble chamber *) zachodzi następująca reakcja z udziałem neutrino :

νµ + p → µ- + Λ + π+ + π+ + π+ + π-

Nie może ona być wywołana tylko poprzez oddziaływanie słabe z udziałem leptonów, ponieważ dla wszystkich takich procesów istnieje zasada : ∆S = ∆Q, gdzie ∆S i ∆Q – zmiany odpowiednio dziwności i ładunku hadronów, a w rozpatrywanej reakcji ∆S = − ∆Q. Stąd wywnioskowano [8, 9], że w istocie następuje seria reakcji :

νµ + p → µ- + Σ++

c (1.5)

Σ++

c→ Λ+

c + π+ (1.5)

Λ+

c→ Λ + π+ + π+ + π- (1.5)

Rozpad Σ++

c na Λ+

c jest wywołany oddziaływaniem silnym, a rozpad Λ+

c na Λ i piony jest wywołany

oddziaływaniem słabym. Pojawia się konieczność wprowadzenia nowej liczby kwantowej – powabu C (* charm *) Cząstce Λ+

c odpowiada wartość C = 1 i S = 0, a cząstce Λ wartości C = 0 i S = –1. Dla danego rozpadu spełniona jest zasada ∆C = ∆S = –1. Stanowi Σ++

c odpowiada również wartość C = 1 i liczba C jest zachowana w oddziaływaniach silnych.

(* Dodatek własny 1.5 Tabela zasad zachowania.

Dodatek własny 1.6 Izospin

Izospin ( spin izotopowy ) jest wielkością kwantową wprowadzoną w 1932 roku przez W. Heisenberga, który zaproponował aby traktować proton i neutron jak dwóch różnych ładunkowych stanów w którym może występować cząstka – nukleon. Do takiego wniosku doprowadzają nas bardzo podobne własności fizyczne ( poza ładunkiem elektrycznym ) obu nukleonów. Nukleonowi przypisujemy liczbę kwantową oznaczaną symbolem I, o wartości I = ½ i dwóch stanach I3 równych ± ½, neutronowi przypisujemy wartość – ½ , protonowi + ½. Formalnie jest to analogiczne do cząstki o spinie ½ i stanach J3(lub z ) = ± ½ ( w jednostkach ħ )

*)

§ 1.7 Rezonanse.

W latach 50 – 60 pośród silnie oddziałujących cząstek obserwowano „eksplozję populacji” cząstek. Częściowo

powodowane było to dzięki odkryciu cząstek dziwnych (* strange particle *), jednakże większy wkład wniosło odkrycie rezonansów, w chwili obecnej znamy ich setki. Pierwszy rezonans ( odkryty przez Fermiego w 1952 roku ) został znaleziony jako wąski pik w przekroju pion- nukleon (* large peak in the cross section for pion- nucleon scattering *) π+ + p → π± + p

Postać takiego przekroju pokazuje rysunek 1.2

Rys. 1.2 Przekrój rozpraszania elastycznego rozpraszania π+ p jako funkcja energii pionu w układzie laboratorium Pik o szerokości Γ interpretujemy jako rezonans ∆.

Ostre maksimum na krzywej przekroju σ interpretujemy zgodnie ze standardową teorią Breita-Wignera jako rezonans oznaczany obecnie przez ∆, tak więc w rzeczywistości reakcja ta ma postać :

π+ + p → ∆++ → π+ + p

Szerokość Γ≈ 110 [ MeV] można zmierzyć bezpośrednio z postaci krzywej, skąd na mocy zasady nieokreśloności otrzymujemy czas życia :

τ ~ ħ / Γ≈ 10-23 [s ]

Taki czas życia jest charakterystyczny dla oddziaływań silnych, za pośrednictwem, których rozpadają się rezonanse.

Rezonanse - są to stany o określonym spinem i parzystością, masą i ładunkiem itd. należy je rozpatrywać na równi z innymi cząstkami elementarnymi. „Cząstki stabilne” tj. te które rozpadają się w związku udziałem oddziaływania słabego lub EM – są to po prostu najlżejszymi członkami zbioru cząstek o danej wartości izospinu ( zobacz niżej ), dziwności, powabu itp. Aby cząstki „stabilne” rozpadły się te liczby kwantowe powinny zmienić się, zatem mogą one rozpadać się tylko w wyniku oddziaływania słabego lub EM. W rzeczywistości większość cząstek to rezonanse, czytelnik niewątpliwie spotkał ich listę w prezentowaną w książkach podejmujących tematykę cząstek elementarnych.

§ 1.8 Model kwarkowy.

Aby wprowadzić jakiś porządek i jasność do zbioru wymienionych cząstek, wykonajmy następujące ćwiczenie.

Wybierzmy pewną wartość spinu i parzystości JP i zestawmy diagram wartości ładunku Q i dziwności S wszystkich cząstek ( i rezonansów ), posiadających te właśnie wartości JP. W charakterze przykładu na rys. 1.3 pokazano cząstki o JP = 3/2+.

Rys. 1.3 Cząstki o JP = 3/2+. Na osi po prawej Rys. 1.4 Kwarki u, d , s Ukazano masy w jednostkach [ MeV/c2 ]

Istnieje dziesięć cząstek, które zestawiają regularny wzór. Będzie to spełnione przy dowolnej wartości JP ( po tym jak odkryto wszystkie cząstki ). Zawsze pojawiają się regularne wzory jednak najczęściej składają się one z ośmiu cząstek, a nie dziesięć. Jaka jest tego przyczyna ?

W istocie cząstki stanowią stanami złożonymi bardziej fundamentalnych obiektów, które nazwane zostały kwarkami.

W chwili obecnej przyjmuje się, ze istnieje sześć kwarków, rozróżnianych przez wartości liczb Q, S, C, jak również poprzez wartości „prawdy” i „piękna” ( lub „góry” i „dołu” ). Oznaczamy je literkami u, d, s, c, t, b. Liczby kwantowe kwarków u, d, s pokazano na rysunku 1.4. Zgodnie z modelem kwarkowym bariony są to stany związane trzech kwarków (qqq ), a mezony – stany związane par kwark-antykwark ( qq- ). Kwarki posiadają spin ½.

Teraz możemy zobaczyć jak pojawia się supermultiplet złożony z dziesięciu barionów. Bariony zbudowane są z trzech identycznych fermionów, tak więc możliwe stany mogą być sklasyfikowane zgodnie z ich symetrią względem

przestawienia symboli oznaczających kwarki. Wszystkich takich stanów może być 33 = 27. Jeden z nich jest całkowicie antysymetryczny :

uds + dsu + sud − usd − sdu − dus (1.6)

( literkami oznaczono tutaj funkcje falowe i nie normujemy stanu ) Istnieje dziesięć następujących całkowicie symetrycznych stanów :

uuu (1.7)

ddd (1.7)

sss (1.7)

uud + udu + duu (1.7)

uus + usu + suu (1.7)

udd + ddu + dud (1.7)

uss + ssu + sus (1.7)

dds + dsd + sdd (1.7)

dss + ssd + sds (1.7)

uds + dsu + sud + usd + sdu + dus (1.7)

Pokazano wszystkiego 11 stanów z 27 możliwych. Pozostałe 16 stanów rozpadają się na dwa zbiory, składające się z 8 stanów. Każdy z tych stanów posiada symetrię mieszaną – np. symetrię względem przestawienia dwóch pierwszych symboli, ale antysymetrię względem przestawienia dwóch ostatnich. Zatem, trójkwarkowe stany istnieją w postaci różnych supermultipletów, zawierających 10, 8, 8 i 1 stanów. Supermultiplet { 10 } przedstawiono na rysunku 1.3, możemy dla niego napisać ∆++ = ( uuu ), Σ0 = uds itd. Przy tym należy dokonać odpowiedniej symetryzacji. Proton i neutron [ p = (uud ), n = (udd ) ] są stanami z supermultipletu { 8 }. Dalsza szczegóły zainteresowany czytelnik może znaleźć w odpowiedniej literaturze np. [ 2 – 5 ].

Analogicznie istnieje 32 = 9 stanów mezonowych. Jeden z nich ( uu- + dd- + ss- ) inwariantny względem przestawienia kwarków, a pozostałe 8 dają nam znane pseudoskalarne ( JP = 0- ) i wektorowe ( JP = 1- ) mezony o sumarycznym spinem kwarków 0 i 1 i o zerowym memencie pędu, odpowiadającym ruchowi względnemu kwarków. Dodanie orbitalnego momentu pędu daje wyższe spinowe stany, jest to również słuszne dla barionów.

Wszystkie stany przewidywane przez model kwarkowy ( w skrajnym przypadku złożone z kwarków u, d, s ) zostały potwierdzone eksperymentalnie , mało tego nie zostały wykryte żadne inne stany. Przy uwzględnieniu czwartego kwarku c przewiduje się istnienie wielu innych stanów. Pewną ilość takich stanów już potwierdzono, jednakże nie wszystkie, przede wszystkim, dlatego, że kwark c jest cięższy niż kwarki u, d, s i kreacja takich cząstek jest znacznie utrudniona.

Zatem, mamy wszelkie powody do wnioskowania, że bariony i mezony są stanami związanymi kwarków. Istnienie prawie wszystkich znanych cząstek może być wyjaśnione, jeśli tylko zapostulujemy istnienie czterech kwarków, istnieją jednak wskazówki, że istnieje pięć lub nawet – jeśli przyjąć, ze kwarki pojawiają się parami – sześciu kwarków.

(* obecnie wszystkie sześć kwarków zostało odkryte – ostatni w 1995 roku - i model kwarkowy jest ogólnie przyjęty *) Rozpady cząstek możemy wyjaśnić prosto jako rozpady kwarków, np. rozpad neutronu :

n → p + e- + νe−

zachodzi dzięki rozpadowi kwarku d :

d → u + e- + νe− (1.8)

a rozpad ( leptonowy ) Λ [ Λ = (uds ) ] Λ→ p + e- + νe−

zachodzi dzięki rozpadowi kwarku s :

s → u + e- + νe− (1.8)

Stąd możemy wnioskować, że kwark u jest najlżejszy. Ponieważ cząstka Λ jest cięższa niż n to jak widać kwark s jest znacznie cięższy niż d. Tym wyjaśnia się zauważoną wcześniej zasadę wyboru. (* selection rules *)

Zasada ∆S = ∆Q ( Q – ładunek hadronu ) wyjaśnia rozpad Σ- i nie występowanie rozpadu Σ+ : Σ- → n + e- + νe− ; rozpad Σ+ → n + e- + νe jest zabroniony

Jednakże fakty te znacznie prościej jest wyjaśnić, zauważając, że Σ- = (dds) , Σ+ = (uus), tak, że rozpad pojedynczego kwarku wyjaśnia dlaczego Σ- rozpada się, a Σ+ nie ( mamy na względzie rozpad na cząstki pokazane powyżej ) Analogicznie Ξ- = (ssd) nie rozpada się bezpośrednio na neutron :

rozpad Ξ- → n + e- + νe− jest zabroniony

Tak właśnie być powinno, jeśli rozpady barionów zachodzą dzięki rozpadowi oddzielnego kwarku. Wcześniej nie występowanie rozpadu wyjaśniano poprzez zasadę wyboru | ∆S | = 1.

§ 1.9 SU(2), SU(3), SU(4) ,...

Cząstki ∆ ( zobacz rys. 1.3 ) mają następujący skład kwarków :

∆- = (ddd) , ∆0 = (udd) , ∆+ = (uud) , ∆++ = (uuu)

( nie uwzględniamy konieczności symetryzacji i normalizacji, które to akurat tutaj nie są istotne ).

Masy tych cząstek są bardzo zbliżone do siebie : m(∆++ ) – m(∆- ) ≈ 8 [ MeV/c2 ], tak że przyjmując energię wiązania we wszystkich rezonansach jako jednakową, dochodzimy do wniosku, że kwarki u i d są prawie zdegenerowane. Istnieje odpowiednia symetria, mieszająca kwarki u i d. Jeśli wprowadzimy oznaczenie :

ψ = ( u ) ( d ) i przyjmiemy :

ψ → Mψ (1.10)

gdzie : M – macierz 2 × 2,

to w granicy dokładnego zdegenerowania otrzymamy mieszanie czterech ∆- cząstek nie obserwowane na skutek oddziaływania EM, tj. otrzymamy symetrię tego układu. Mając na względzie uproszczenia matematyczne założymy, że przekształcenia (1.10) tworzą grupę. To oznacza, że macierze M są albo unitarne, albo ortogonalne ( macierze

hermitowskie nie tworzą grupy ). Załóżmy, że są one unitarne, tj. tworzą grupę SU(2) -grupę macierzy unitarnych w dwóch ( zespolonych ) wymiarach. Wtedy symetria U(2) powinna przejawiać się w spektrum hadronów. W istocie zawsze rozpatrujemy grupę prostą SU(2), która odpowiada zbiorowi macierzy M o wyznaczniku równym jeden, można to zawsze wykonać wydzielając czynnik fazowy odpowiadający liczbie barionowej. Macierz unitarna 2 × 2 o

wyznaczniku równym jeden może być zapisana w postaci :

M = exp( ½ iττττ θ ) (1.11)

Gdzie : θ = ( θ1, θ2 , θ3 ) – trzy dowolne parametry, ττττ = ( τ1, τ2 , τ3 ) – macierze o śladzie równym zero :

τ1 = ( 0 1 ) , τ2 = ( 0 –i ) , τ3 = ( 1 0 ) (1.12)

( 1 0 ) ( i 0 ) ( 0 – 1 )

nazywane macierzami Pauliego. Dla tych macierzy spełnione są zależności komutacyjne :

½ τ1 ½ τ2 – ½ τ2 ½ τ1 ≡ [ ½ τ1, ½ τ2 ] = ½ iτ3 (1.13)

oraz dwie inne, otrzymywane z (1.13) poprzez przestawienie cykliczne.

Są to te zależności komutacyjne, które spełniają operatory momentu pędu : J = r × p : [ J1, J2 ] = iJ3 i cykliczne przestawienia.

( przyjęliśmy ħ = 1 )

To pokazuje, że SU(2) – symetria jest symetrią względem obrotów, a odpowiednia wielkość zachowana jest wektorem, podobnym do wektora momentu pędu – wielkość tą nazywamy izospinem. Pokazuje to również, że grupa SU(2) w ogólnym ( z dokładnością do własności topologicznych ) pokrywa się z grupą obrotów O(3), tj. grupą macierzy ortogonalnych w trzech ( rzeczywistych ) wymiarach. Fakt równoważności tych grup jest dobrze znany w matematyce.

Kąty θ we wzorze (1.11) są to kąty obrotu w przestrzeni izospinowej.

Zatem, zdegenerowanie kwarków prowadzi do istnienia zdegenerowanych multipletów hadronowych i z powyższego rozumowania wynika, że multiplety te tworzą bazę nieprzywiedlnych reprezentacji grupy SU(2). Wiadomo, że grupa ta ma reprezentacje o wymiarze 1, 2, 3, 4, .. i w istocie cząstki Ω, Ξ, Σ, ∆ pokazane na rys. 1.3 tworzą bazę tych pierwszych czterech reprezentacji.

Przedstawione wnioski można oczywiście uogólnić na przypadek większej ilości kwarków. W ( hipotetycznym )

przypadku, kiedy kwark s jest zdegenerowany z kwarkami u i d, dochodzimy do inwariantności względem przekształceń ψ→ Mψ ; ψ = ( u )

( d ) ( s )

gdzie : M są teraz macierzami unitarnymi 3 × 3 tworzącymi grupę SU(3).

Wymiar nieprzywiedlnych reprezentacji takiej grupy dany jest zależnością [ 12- 15 ] :

N = ½ ( p + 1) (q + 1) ( p + q + 2 ) (1.14)

Gdzie : p, q – dodatnie liczby całkowite lub zera.

W przypadku p = 3 , q = 0 mamy N = 10, co odpowiada reprezentacji przedstawionej na rys. 1.3, przypadek p = q = 1 daje N = 8, tj. znaną „oktetową” reprezentacje, a przypadki p = 1, q = 0 i p = 0, q = 1 dają trójwymiarowe reprezentacje dla kwarków i anty kwarków.

Przypomnijmy, że nieprzywiedlna reprezentacja przedstawiona na rys. 1.3 została otrzymana z rozważań symetrii i można zadać sobie pytanie, jak fakt ten jest związany z matematyczną teorią reprezentacji grup.

Odpowiedź jest taka, że reprezentacje grupy SU(n) mogą być otrzymane z pomocą tensorów o p górnych i q dolnych indeksach, według których dokonujemy symetryzacji lub antysymetryzacji. Istnieje ścisły związek między

reprezentacjami grupy SU(n),a grupą permutacji. Taki sposób znajdowania reprezentacji nazywa się schematem (tablicą ) Younga.

Dana reprezentacja grupy SU(3) zawiera, ogólnie mówiąc, kilka reprezentacji grupy SU(2), innymi słowy SU(3)- multiplet zawiera kilka multipletów izospinowych, różniących się wartością dziwności S. Widać to jasno z rysunków 1.3 i 1.4. Na rysunkach 1.5 i 1.6 przedstawiono reprezentacje (p, q ) = ( 1, 1 ), tj. 8-mio wymiarową reprezentacje grupy SU(3), odpowiadającą mezonom pseudoskalarnym. Osie współrzędnych odpowiadają hiperładunkowi Y określanemu poprzez wzór :

Y = B + S (1.15)

Rys. 1.5 Pseudoskalarny oktet JP = 0- grupy SU(3). Masy ( neutralnych ) cząstek w jednostkach [ MeV/c2 ] są następujące : m(π) = 135, m(K) = 498, m(η) = 549

Rys. 1.6 Oktet barionowy JP = ½+ grupy SU(3). Masy neutralnych cząstek w jednostkach [ MeV/c2 ] są następujące : m(N) = 939 , m(Σ) = 1192 , m(Λ) = 115 , m(Ξ ) = 1315

I3 – trzecia składowa izospinu związana jest z ładunkiem elektrycznym Q poprzez zależność :

Q = I3 + ½ Y (1.16)

Powyższa zależność nazywa się zależnością Gell-Manna – Nishijimy.

Symetria SU(3) jest ścisła tylko w granicy, kiedy wszystkie cząstki wchodzące w supermultiplet są zdegenerowane.

Wartości mas cząstek na rysunkach 1.3 i 1.5 mówią nam o tym, że symetria jest tylko przybliżona.

Rozważmy teraz czwarty kwark c. Ponieważ : ( u )

( d )

ψ = ( s ) (1.17)

( c )

mamy teraz do czynienia z ( też tylko przybliżoną ) symetrią SU(4). Tak jak i wcześniej stany trój kwarkowe i kwark- antykwark podpadają pod definicję reprezentacji grupy SU(4), każda z których zawiera kilka reprezentacji grupy SU(3), różniących się wartością powabu C. Wzór Gell-Manna – Nishijimy przyjmuje teraz postać :

Q = I3 + ½ ( B + S + C ) (1.18)

Reprezentacja o wymiarze 20 grupy SU(4) odpowiadająca barionom o spinie ½ przedstawiona jest na rys. 1.7

Rys. 1.7 Bariony ½+ w 20-to wymiarowej reprezentacji grupy SU(4). Po prawej pokazano cząstki wykryte do chwili obecnej. Do tego schematu wchodzą następujące multiplety grupy SU(3) : { 3 } przy C = 2, { 6 } i { 3 } przy C = 1;

{ 8 } przy C = 8 , tj. oktet o zerowym powabem przedstawiony na rysunku 1.6

Stan izosingletowy (cud ) utożsamiamy z Λ+

c – cząstką, figurującą w reakcjach (1.5). Posiada ona powab C = 1 tak jak cząstka Σc z izospinem 1odpowiadającym stanom ładunkowym Σ0

c , Σ+ c , Σ++

c. Inne bariony o spinie ½ i C = 1 póki co nie zostały jeszcze odkryte , nie odkryto również barionów o C = 2. Cząstka Λc posiada masę 2262 [ MeV/c2 ] , a cząstka Σc – masę 2428 [ MeV/c2 ]. Są one znacznie cięższe od SU(3)- oktetu o C = 0, a to mówi nam o tym, że kwark c powinien być znacznie cięższy od kwarków u, d, s. Odpowiednio do tego SU(4) –symetria jest raczej niezupełna.

§ 1.10 Dynamiczne dowody istnienia kwarków.

Klasyfikacja cząstek stanowi poważną wskazówką co do istnienia kwarków. Jednak nie jest to jedyny przejaw ich istnienia. Eksperymenty związane z głęboko nieelastycznym rozpraszaniu elektronów (* deep inelastic scattering *) i protonów pokazały, ze elektron rozprasza się nie na całym protonie, a na jego składowej „punktopodobnej” nazywanej partonem. Fizycy zajmujący się cząstkami nie wahali się utożsamić partony z kwarkami.

Przypomnijmy, że pod eksperymentalnym badaniem struktury rozumiemy pomiar współczynnika kształtu. W przypadku rozpraszania punktowych elektronów na protonach za pośrednictwem wymiany jednofotonowej, przedstawionej na rysunku 1.8, przekrój ma postać :

dσ/dΩ = ( dσ/dΩ )punkt { { [ G2

E + (q2 /4M2 )G2M ] / [ 1 + (q2 /4M2 ) ] } + (q2 /4M2 ) 2G2E tg2 ( ½θ) } (1.19) gdzie : ( dσ/dΩ )punkt – zadane jest wzorem Motta zastosowanym do rozpraszania elektronów na punktowych protonach GE(q2 ) i GM(q2 ) – są elektrycznymi i magnetycznymi współczynnikami kształtu, q2 – kwadrat 4-pędu fotonu q ( określony w rozdziale 2 ), θ – kąt na który rozprasza się w elektron w układzie laboratoryjnym, M – masa protonu.

Mierząc wielkość dσ/dΩ i porównując ją z ( dσ/dΩ )punkt przy różnych θ, można określić współczynniki kształtu GE(q2 ) i GM(q2 ), które jak się okazuje mają dipolowy charakter :

G(q2 ) = { 1/ [ 1 + ( q2 / Mq2 ) ] } (1.20)

Gdzie : Mq2 = 0.71 [ GeV/c2 ]2

Rys. 1.8 Rozpraszanie elektronów na protonach w wyniku wymiany jednego fotonu.

Funkcja (1.20) jest transformacją wielkości :

ρ(r) = ∫ e-iqr G(q2 ) d3q (1.21)

( wzór nierelatywistyczny , q jest 3-pędem ), która okazuje się być wykładniczym rozkładem ładunku :

ρ(r ) ≈ exp( -Mqr ) (1.22)

Zatem, taka jest struktura protonu, którą ujawnia dane doświadczenie. Niewystępowanie osobliwości przy r → 0 wskazuje na niewystępowanie dla protonu twardego rdzenia. [ Jest to nietrywialny wynik – jeśli w miejsce wyrażenia (1.20) mielibyśmy biegun, to otrzymalibyśmy w miejscu wyrażenia (1.22) potencjał Yukawy ρ(r ) ≈ [ exp( -Mqr )] /r , które jest osobliwe przy r = 0 ]

Zatem, proton nie jest podobny do śliwki z pestką w środku, bardziej przypomina truskawkę – z równomiernie rozłożonymi twardymi i punktowymi nasionkami.

Zbadajmy teraz rozpraszanie nieelastyczne, dla którego stan końcowy jest dowolnym stanem hadronowym : e- + p → e- + stan hadronowy

Diagram Feynamna dla tego procesu pokazano na rysunku 1.9.

Rys. 1.9 Nieelastyczne rozpraszanie elektron- proton. Energia początkowa i końcowa elektronu są równe E0 i E.

(* opis na rysunku hadrony o inwariantnej masie M* *)

Wielkość M* - jest to masa inwariantna końcowego stanu hadronowego ( definicja w rozdziale 2 ).

Można pokazać, że :

q2 = M2 − M*2 + 2Mν (1.23)

gdzie : q – 4-pęd fotonu, ν – energia tracona przez elektron ν = E0 – E, M – masa protonu.

Mamy również :