ACTA ARITHMETICA LXXXIII.2 (1998)

ACTA ARITHMETICA LXXXIII.2 (1998)

Correction au travail

“Sur la densit´ e de certains ensembles de multiples, 1”

(Acta Arith. 69 (1995), 121–152) par

A. Raouj (Marrakech)

Comme a montr´ e K. K. Norton, le lemme 4.4 est faux. Les lignes 16–25

`

a la page 127 doivent ˆ etre remplac´ ees par le texte suivant :

Lemme 4.4. Soit f une fonction arithm´ etique, multiplicative, telle que f ∗ µ ≥ 0. Pour x ≥ 1, on a

(4.5) X

n≤x

f (n) ≤ x Y

p≤x

(1 − p ⁻¹ ) X

ν≥0

f (p ^ν )p ^−ν .

Nous faisons appel au lemme pr´ ec´ edent pour montrer le r´ esultat suivant.

Lemme 4.5. Soient y > 1, x > 1. On a

(4.6) nϕ(n) ⁻¹ ≤ y

pour tous les entiers n ≤ x sauf au plus  x exp(−e ^c

^y ).

D ´ e m o n s t r a t i o n. On applique le lemme pr´ ec´ edent ` a la fonction f a (n) := (nϕ(n) <sup>−1</sup> ) <sup>a</sup> , a ´ etant un param` etre positif que l’on choisit de mani` ere ` a minimiser le second membre de l’in´ egalit´ e

|{n : n ≤ x, nϕ(n) ⁻¹ > y}| ≤ y ^−a X

n≤x

f a (n).

En effet, puisque f a ∗ µ ≥ 0 on a d’apr`es le lemme 4.4, X

n≤x

f a (n) ≤ x Y

p≤x

(1 − p ⁻¹ )



1 + X

ν≥1

p ^−ν (1 − p ⁻¹ ) ^−a



≤ x Y

p≤x

(1 + V a (p)) o` u l’on a pos´ e V a (p) = p ⁻¹ ((1 − p ⁻¹ ) ^−a − 1).

D’une part, si p > a alors V a (p)  a/p ² et donc exp P

p>a V a (p)  1.

D’autre part, on a Y

p≤a

(1 + V a (p)) ≤ Y

p≤a

(1 − p ⁻¹ ) ^−a .

[197]

198 A. R a o u j

En utilisant le th´ eor` eme de Mertens, nous avons par cons´ equent uniform´ e- ment en a ≥ 1,

X

n≤x

f a (n)  x(c 2 log(a + 1)) ^a . Nous en d´ eduisons

|{n : n ≤ x, nϕ(n) ⁻¹ > y}| ≤ y ^−a X

n≤x

f a (n)  x

 y

c 2 log(a + 1)

 −a

, et nous achevons cette d´ emonstration en choisissant

a =  1 si y ≤ 3c 2 ,

e ^c

^y − 1 avec c 1 = 1/(ec 2 ) si y > 3c 2 . D’o` u le lemme.

Universit´ e Cadi-Ayyad Facult´ e des Sciences, Semlalia D´ epartement de Math´ ematiques B.P. S. 15, Marrakech, Maroc

Re¸ cu le 25.3.1997 (2459)