Procesy stochastyczne
4. Zbieżność martyngałów
Ćw. 4.1 (Urna Pólya’ego) Wykaż, że martyngał {Mn} określony w ćw. 2.4 jest zbieżny prawie wszędzie i wyznacz EM∞.
Ćw. 4.2 (B. M. P., Ex. 3.4 p. 34) Niech (Ω, F , {Fn}n0, P ) będzie przestrzenią z filtracją. Roz- ważmy martyngał {(Mn, Fn)} taki, że dla każdego n 0 mamy |Mn| ¬ K (K 0). Niech
Xn=
n
X
k=1
1
k(Mk− Mk−1)
dla n 1. Udowodnij, że {(Xn, Fn)}n1 jest martyngałem zbieżnym prawie wszędzie i w L1.
Ćw. 4.3 (B. M. P., Ex. 3.7 p. 35) Niech X0, X1, X2, . . . będzie ciągiem zmiennych losowych o war- tościach w [0, 1], Fn= σ(X0, X1, . . . , Xn). Przyjmijmy, że X0 = a ∈ [0, 1] oraz
P
Xn+1= Xn 2 | Fn
= 1 − Xn, P
Xn+1 = 1 + Xn 2 | Fn
= Xn
dla n 0.
1. Wykaż, że {Xn} jest martyngałem zbieżnym prawie wszędzie i w L2. 2. Udowodnij, że E(Xn+1− Xn)2 = 14E(Xn(1 − Xn)).
3. Niech X∞będzie granicą ciągu {Xn}. Oblicz E(X∞(1 − X∞)). Jaki jest rozkład zmien- nej X∞?
Ćw. 4.4 (S. J., Zad. 1 str. 241) Niech {Un} będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych, o jednakowym rozkładzie
P (Un = 1) = P (Un = −1) = 1 2 dla n 1. Udowodnij, że ciąg {Zn}n1 określony wzorem
Zn = ea(U1+...+Un)−na2/2,
gdzie a ∈ R, jest nadmartyngałem względem filtracji Fn = σ(U1, . . . , Un), n 1. Zbadaj zbieżność tego ciągu prawie wszędzie i w L1. Wyznacz granicę tego ciągu (o ile istnieje).
