Zad. 1. (za 4 pkt.) Wiedz ˛ ac, ˙ze:

Kolokwium z TCiWdTD, dn. 03.12.2007

Zad. 1. (za 4 pkt.) Wiedz ˛ ac, ˙ze:

J ν (z) =

+ ∞

X

k=0

(−1) ^k z ^ν+2k

Γ (k + 1) Γ (k + ν + 1) 2 ^ν+2k dla z ∈ C, ν ∈ C, udowodni´c to˙zsamo´s´c: _dz ^d [z ^ν J ν (z)] = z ^ν J ν −1 (z).

Zad. 2. (za 3 pkt.)

Znale´z´c rozwi ˛ azanie równania: y ⁰⁰ + 2y ⁰ + 2y = f (t) z warunkami pocz ˛ atkowymi y (0 ⁺ ) = y ⁰ (0 ⁺ ) = 0, gdzie f oznacza funkcj ˛e dan ˛ a posiadaj ˛ ac ˛ a transformat ˛e Laplace’a.

Zad. 3. (za 4 pkt.)

Znale´z´c rozwi ˛ azanie równania: y (t) = cos t − 2 Z t

0

cos (t − τ ) y (τ) dτ.

Zad. 4. (za 4 pkt.)

Korzystaj ˛ ac ze wzoru

L

∙ f (t) t

¸ (s) =

Z ∞

s

F (σ) dσ,

obliczy´c L [Si (kt)] (s), gdzie Si (kt) = Z t

0

sin (kτ )

τ dτ (tzw. sinus całkowy).

Zad. 5.* (zast ˛epuje dowolne inne zadanie)

Korzystaj ˛ ac z tego, ˙ze C = −Γ ⁰ (1) pokaza´c, ˙ze Z 1

0

1 − e ^−t − e ⁻

t dt = C.

Kolokwium z TCiWdTD, dn. 03.12.2007

Zad. 1. (za 4 pkt.) Wiedz ˛ ac, ˙ze:

J ν (z) =

+ ∞

X

k=0

(−1) ^k z ^ν+2k

Γ (k + 1) Γ (k + ν + 1) 2 ^ν+2k dla z ∈ C, ν ∈ C, udowodni´c to˙zsamo´s´c: _dz ^d [z ^−ν J ν (z)] = −z ^−ν J ν+1 (z).

Zad. 2. (za 3 pkt.)

Znale´z´c rozwi ˛ azanie równania: y ⁰⁰ + 4y ⁰ + 8y = f (t) z warunkami pocz ˛ atkowymi y (0 ⁺ ) = y ⁰ (0 ⁺ ) = 0, gdzie f oznacza funkcj ˛e dan ˛ a posiadaj ˛ ac ˛ a transformat ˛e Laplace’a.

Zad. 3. (za 4 pkt.)

Znale´z´c rozwi ˛ azanie równania: y (t) = 2t + Z t

0

sin (t − τ ) y (τ ) dτ .

Zad. 4. (za 4 pkt.)

Korzystaj ˛ ac ze wzoru

L

∙ f (t) t

¸ (s) =

Z ∞

s

F (σ) dσ,

obliczy´c L [Si (kt)] (s), gdzie Si (kt) = Z t

0

sin (kτ )

τ dτ (tzw. sinus całkowy).

Zad. 5.* (zast ˛epuje dowolne inne zadanie)

Korzystaj ˛ ac z tego, ˙ze C = −Γ ⁰ (1) pokaza´c, ˙ze Z 1

0

1 − e ^−t − e ⁻

t dt = C.