Zad. 1. (za 10 pkt.) Wiedz ˛ ac, ˙ze

Egzamin z TCiWdTD dn. 07.02.2008

...

Nazwisko i imi ˛e, grupa

1 2 3 4 5 6 Egz Cw ´ X

Zad. 1. (za 10 pkt.) Wiedz ˛ ac, ˙ze

J ν (z) = X +∞

k=0

( −1) ^k z ^ν+2k

Γ (k + 1) Γ (k + ν + 1) 2 ^ν+2k dla z ∈ C, ν ∈ C, wyrazi´c funkcj ˛e J

2

(z) za pomoc ˛ a funkcji elementarnych zmiennej z.

Zad. 2. (za 10 pkt.)

Stosuj ˛ ac transformat ˛e Laplace’a rozwi ˛ aza´c równanie y ⁰⁰⁰ + 3y ⁰⁰ + 3y ⁰ + y = 6e ^−t dla t > 0, z warunkami y ¡

0 ⁺ ¢

= y ⁰ ¡ 0 ⁺ ¢

= y ⁰⁰ ¡ 0 ⁺ ¢

= 0.

Zad. 3. a) (za 5 pkt.)

Sformułowa´c i udowodni´c twierdzenie Borela o splocie dla transformaty Laplace’a.

b) (za 5 pkt.)

Sformułowa´c i udowodni´c twierdzenie o zachowaniu si ˛e transformaty Laplace’a w nie- sko´ nczono´sci.

Zad. 4. a) (za 6 pkt.)

Wyznaczy´c pierwsz ˛ a i drug ˛ a pochodn ˛ a w sensie dystrybucyjnym funkcji f (x) = sgn (x + 1) + |x|

b) (za 4 pkt.)

Poda´c definicj ˛e no´snika dystrybucji, równo´sci dystrybucji na zbiorze otwartym, de- finicj ˛e dystrybucji temperowanej (wolnorosn ˛ acej).

Zad. 5. a) (za 3 pkt.)

Poda´c definicj ˛e niesko´ nczonej transformaty Hankela.

b) (za 3 pkt.)

Pokaza´c, ˙ze je´sli H ν [f (r)] (p) = e f ν (p) oznacza niesko´nczon ˛ a transformat ˛e Hankela funkcji f , to zachodzi wzór

H ν [f (ar)] (p) = 1 a ² f e ν

³p a

´ . c) (za 4 pkt)

Funkcj ˛e f (x) = 1 − x ² rozwin ˛ a´c na przedziale (0, 1) na szereg Fouriera-Bessela.

Zad. 6. a) (za 8 pkt)

Rozwi ˛ aza´c równanie ró˙znicowe

x n+3 − 4x ⁿ⁺² + 5x n+1 − 2x ⁿ = 3 ⁿ , gdzie x 0 = x 1 = x 2 = 0.

b) (za 2 pkt.)

Sformułowa´c i udowodni´c twierdzenie o splocie dla Z−transformaty.