Power divisors of the form 2nk+l of the expressions xn+yn and xn—yn

Tadeusz Boncler

Power divisors of the form 2nk+l of

the expressions xn+yn and xn—yn

Studia Philosophiae Christianae 23/1, 217-219

PO W ER D IV ISO R S O F TH E FO R M 2 N K + 1 OF T H E E X PR ESSIO N S X n+ Y n AND X n—Yn L et be given th e follow ing po w er binom ials

(1) x n + y n and x n—y n

w h ere th e ex p o n e n t is a n a r b itr a r y n a tu ra l odd p rim e n, [n,(x±y)j = 1, x an d y being a rb itra ry , d iffe ren t fro m zero, n a tu ra l num bers, one of th e m being even, th e o th e r odd, ( x ,y ) = l.

T he binom ials (1) hav e for given x, y, n th e divisors

(2) (x + y ) an d (x—y),

respectively, w h ich w e re w rite in tra d itio n a l alg e b ra o r in n u m b e r th e o ry in th e form

(3) x n + y n = (X + y )-[x n~1—x n~2· y + x n - s -y2—...+ x 2-yn_3—x - y n" 2+ y n_1]

(4) Xn yn = (x γ )·[Χ » .-1 + χ η - 2 ^ + Χ 0 _ 3 · γ 2 - ( τ , . . + χ 2 · γ η - 3 4 х . у П - 2 - | - у П - - 1 }

T he divisors (x + y ) an d (x—y) a re said to be alg eb raic divisors. In th e ex p ressio n s (3) an d (4) th e re a p p e a r in b rac k ets p o ly n o m ia ls. ol degree n— 1, w h ich do n o t decompose- into p ro d u cts of polynom ials of low er degree. F o r th e sake of sim plicity w e sh a ll denote th e p o ly ­ nom ials in b ra c k e ts in (3) and. (4) by th e sym bols:

(5) Z n- i = x n~1—x n_2- y + x n~3-y2—. ..+ x 2-yn—8—x - y n~2+ y n_1 (6) w n_ i = x n_1+ x n_:2' y + x n“ 8,y 2+ ..;,+ x '2:y n~ 3+ x , yn_2-)-yn-:l

By (5) a n d (6) th e eq u a lities (3) an d (4) ta k e th e fo rm : (7) x a - - y " = ( x l-yl-Z n.!

(8) x"—y n = (x—y) · W n-i

We .shall p ro v e th a t Zn_i a n d Wn- i a re expressions of th e form 2 n k + l an d . th a t fo r e x a ctly d eterm in e d n u m e ric a l v alu es of n an d к also of th e fo rm 2 n k + l.

th e y m ay re p re se n t p rim e n u m b e rs o r p ro d u cts of prim es w hich are Since th e proof fo r Wn—i is q u ite analogous to th e pro o f for Zn~i w e shall e stab lish th e a s se rtio n fo r Zn- i only. T he re a d e r w ill easily accom plish th e proof fo r Wn-i.

T he polynom ials Zn an d Wn- i are c e rta in fu n ctio n s of x, y, n w hose s tru c tu re s is such th a t it is im possible to fin d w h a te v e r th e ir c h a ra c te ­ ristic p ro p e rtie s; th e re fo re w e sh a ll r e p re s e n t those polynom ials as functions depending, for exam ple, on x + y an d x. To th is pu rp o se w e w rite, for exam ple, th e te rm у (odd n u m b e r) in th e follow ing form : y = i[(x + y )—x] and in se rt th is re s u lt into th e bin o m ial x n+ y n an d get

(9) х п+ у п==хп+ [(х + у )т—x ]n

D éveloping th e ex p ressio n in b ra c k e t in (9) by th e N ew ton binom ial fo rm u la an d re d u c in g th e te rm s x n a n d —x n w e get

(10) xn+ y“=(x+ y)“—

{

](x+y)n_1· x

j(x+y)n-2·X*—...— Iηϋ

)'

( х + у ) г-х п“2+ | n2_j J ix + y j-x '1- 1

In the right member of the equality (10) each term contains (x + y ) as a common factor, so it m ay be put before the bracket. Hence

(

11

From the form ulas (3), (7) and (11) w e see that the expression in brackets in (11) is nothing but Zn- i expressed in a slightly different form than in (3). Hence w e m ay write

(12) Zn-i= > [(x + y )" -i—( f j ( x + y ) “-**JC+(£ ) ( x + y ) n- 3 .x i _ . . . _

( n ^ 2 ) ( x + y >'x,,~S + ( n - l ) 'хП"1]

In the brackets in (12) a ll the terms, except the first, are divisible by X and by n, since n is a prime, x is an even number so w e may w rite

(13) Zn_1= ,[(x + y )n -i+ 2 n · 2L[—( x + y )n -

₂

— (n— 2 )Сх+У)*хп_8+ хп_8)]

Let us n ow note that

(14) q = 2L — ( x + y j n - s + l ^ l i x + y j a - a - x —...— |£ ~ * ) ( x + y ) - x » - 2+ x « - 2]

The term q thus obtained in (14) is an integer, since x is even. It rem ains to study the term ( x + y ) n_1 w hich can, by Ferm at’s theorem (the exponent n being a prime), be represented in the follo­ wing form:

(15) ( x + y ) n_1= 2 n p + l , w here p = [(x + y )" -1—l]:(2n)

Hence the expression (13) takes the form

(16) Z „ _ ł= ( 2 n p + l+ 2 n q ) = 2 n ( p + q )+ l F inally w e get, setting p + q = k ,

(17) Zn-i= 2 n k + l Therefore

(18) x n+ y n= ( x + y ) - Z n- x = ( x + y ) >(2 n k + l)

Since the product of any number of num bers of the form 2nk + l is also of the form 2 n k + l (the easy proof of this assertion is left

to th e rea d er), th e n u m b e r Z n- b if it is n o t a p rim e, w ill be a p ro d u ct of p rim e s of th e sam e form .

To p rove th a t x n—y n h as also divisors of th e fo rm 2 n k + l w e ap p ly th e tra n sfo rm a tio n —y = [ ( x —y)— x] and, p roceeding as before, w e fin a lly o b tain

(19) x n—y n = ( x —y) · W „_i= (x—y) · (2nki+ 1).

T he divisors of th e ty p e 2 n k + l a re called po w er divisors, since th e ir in te rn a l s tru c tu re is closely connected w ith th e p o w er ex p o n en t n.

TO M A SZ O LSZEW SKI

SPRAWOZDANIE Z OTWARTYCH POSIEDZEŃ KATEDRY LOGIKI ATK W ROKU AKADEMICKIM 1985/86

W o m aw ianym okresie odbyły się cztery posiedzenia. P ierw sze z nich m iało m iejsce d n ia 18 listo p ad a 1985 r. i dotyczyło X X X I K o n feren cji H isto rii L ogiki pośw ięconej L eonow i C hw istkow i; odbyła się ona w K rakow ie w d n ia ch od 18 do 20 p aź d ziern ik a 1985 r. S praw ozdanie z te j K o n fe re n cji oraz k ró tk i życiorys L. C h w istk a p rze d staw ił uczestnik tej K onferencji, m g r T. Olszew ski. K o n fe re n cja ta odbyła się w ro k po setn ej rocznicy urodzin C h w istk a i czterd ziestej jego śm ierci. C h w i­ ste k był w y b itn y m logikiem p rzede w szy stk im dokonał u d o sk o n alen ia i uproszczenia rozgałęzionej te o rii typów R u ssella i W hiteheada), m iał je d n a k ta k że am b icje zdziałan ia czegoś now ego w dziedzinie teo rii sztuki. Te w łaśn ie am bicje, p o p a rte n aw y k a m i p rzeniesionym i z dzie­ dziny n a u k fo rm aln y ch , sta ły się p rzyczyną stw o rze n ia pew n ej specy­ ficznej teorii, zw an ej te o rią w ielości rzeczyw istości. T eo ria ta , opu b li­ k o w an a w 1921 r., w zbudziła w iele k o n tro w e rsji. G łów ny zarzu t, ja k i m ożna je j postaw ić, to b r a k zrozum iałości: n ie w iadom o bow iem ja k tę te o rię zin terp reto w a ć, by pozostała w zgodzie z p rze k o n an ia m i C h w i­ stk a a p rzy ty m n ie b y ła rażąco sprzeczna z p rze k o n an ia m i in n y c h lu ­ dzi. T em u za g ad n ien iu pośw ięcony był k o m u n ik a t, k tó ry T. O lszew ski p rze d staw ił n a w sp o m n ia n ej K o n fe re n cji i k tó reg o tre ść zre fe ro w ał n a o m aw ian y m posiedzeniu. P rz ed sta w io n e pro b lem y spow odow ały d y sk u ­ sję, k tó re j w y n ik ie m był p o stu la t pow rócenia do tego zagad n ien ia na n astęp n y m posiedzeniu K ate d ry .

O m ów ieniu częściow ych a k sjo m a ty k z a w a rty c h w te o rii C h w istk a pośw ięcone było d rugie posiedzenie, k tó re odbyło się 2 g ru d n ia 1985 r. T. O lszew ski p rze d sta w ił n a nim p róbę C h w istk a zak sjo m aty zo w an ia c zterech system ów m ając y ch stanow ić te o rie czterech ro d za jó w rz e ­ czyw istości. W d y sk u sji zw racano uw agę n a liczne u s te rk i m etodologicz­ ne obciążające te o rię C h w istk a w ieloznacznością lu b w ręcz b rak ie m znaczenia. P osłu g iw an ie się p ojęciam i zaczerp n ięty m i z języ k a potocz­ nego bez odpow iednich u ściśleń czy defin icji oraz sym boliczne zapisy­ w an ie tez w ta k im języku fo rm u ło w a n y ch stw a rz a złudzenie precy zji fo rm a ln e j p rzy rzeczyw istym b ra k u ja k iejk o lw iek precyzji. C ała te o ria C h w istk a sp ra w ia w ra że n ie raczej tym czasow ych zapisków n ie zb y t ja s ­ n y ch jeszcze pom ysłów teo rety czn y ch an iżeli w y k ła d u d o jrza łej teo rii w sta d iu m u p o w aż n iając y m do je j p u b lik a cji. P ró b y pobieżnej in te r ­ p re ta c ji te j te o rii d o p ro w ad zają bądź do b a n a łu niezgodnego z m yślą je j a u to ra , bądź też do p ara d o k su . Do ad e k w atn e g o zrozum ienia i p ró ­