αn= 1 zachodzi nierówność f Xn i=1 αixi¬ Xn i=1 αif (xi)

Jensen

Twierdzenie Jensena. Jeżeli f jest funkcja wypukł_, a w pewnym przedziale, to dla dowol-_, nych liczb x₁, x₂, . . . , x_n, (n ­ 2) z tego przedziału oraz liczb nieujemnych α₁, α₂, . . . , α_n takich, że α₁+ α₂+ . . . + α_n= 1 zachodzi nierówność

f^

Xn i=1

α_ix_i^¬

Xn i=1

α_if (x_i).

1. Udowodnij, że prawdziwa jest nierówność

3

q

3 +√³ 3 + ³

q

3 −√³

3 < 2√³ 3.

2. Udowodnij, że dla dowolnych a, b ∈ [−1, 1] zachodzi nierówność

√1 − a²+√

1 − b² ¬^q4 − (a + b)².

3. Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a1, a2, . . . , an zachodzi nierówność

Yn i=1

a^a_iⁱ ­

 P_n

i=1ai

n

Pⁿ

i=1ai

.

4. Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a₁, a₂, . . . , a_n, których suma kwadratów jest równa 1, zachodzi nierówność

Xn i=1

1 ai

− a_i



­^n − 1^√ n.

5. (Nierówność Fan-Tsy) Udowodnij, że dla dowolnych liczb a₁, a₂. . . , a_nz przedziału^0,¹₂^ zachodzi nierówność

Q_n

i=1a_i

 P_n

i=1a_i^n ¬

Q_n

i=1

1 − a_i^

 P_n

i=1

1 − a_i^n.

6. Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c zachodzi nierówność

√ a

a + b + b

√b + c + c

√c + a <^q2(a + b + c).

7. Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c zachodzi nierówność a(a + b − c)²+ b(b + c − a)² + c(c + a − b)² ­ (a²+ b²+ c²)²

a + b + c .