1 Metryczne przestrzenie o´srodkowe
Przestrze´n metryczn ¾a (X; d) nazywamy przestrzeni ¾a o´srodkow ¾aje´sli istnieje przeliczalny zbiór D g ¾esty w X
Przyk÷ady:
1. Prosta z metryk ¾a euklidesow ¾a jest przestrzeni ¾a o´srodkow ¾a
2. Przedzial h0; 1i z metryk ¾a euklidesow ¾a jest przestrzeni ¾a o´srodkow ¾a 3. Prosta z metryk ¾a dyskretn ¾a nie jest przestrzeni ¾a o´srodkow ¾a 4. P÷aszczyzna z metryk ¾a euklidesow ¾a jest przestrzeni ¾a o´srodkow ¾a
Twierdzenie. Je´sli (X; d) jest przestrzeni ¾a o´srodkow ¾a oraz A X, to przestrze´n metryczna (A; d jA A) jest o´srodkowa.
2 Metryczne przestrzenie zupe÷ ne
Przestrze´n metryczn ¾a (X; d) nazywamy przestrzeni ¾a zupe÷n ¾a je´sli dowolny ci ¾ag Cauchy’ego (xn) punktów tej przestrzeni jest ci ¾agiem zbie·znym
Przyk÷ady:
1. Prosta z metryk ¾a euklidesow ¾a jest przestrzeni ¾a zupe÷n ¾a
2. Przedzial h0; 1i z metryk ¾a euklidesow ¾a jest przestrzeni ¾a zupe÷n ¾a 3. Przedzial (0; 1) z metryk ¾a euklidesow ¾a nie jest przestrzeni ¾a zupe÷n ¾a 4. Prosta z metryk ¾a dyskretn ¾a jest przestrzeni ¾a zupe÷n ¾a
5. P÷aszczyzna z metryk ¾a euklidesow ¾a jest przestrzeni ¾a zupe÷n ¾a
Twierdzenie. Za÷ó·zmy, ·ze (X; d) jest przestrzeni ¾a zupe÷n ¾a.
Je´sli zbiór A X jest domkni ¾ety, to przestrze´n metryczna (A; d jA A) zupe÷na.
Je´sli A X oraz przestrze´n metryczna (A; d jA A) jest zupe÷na, to zbiór A jest domkni ¾ety.
1
De…nicja: ´Srednic ¾a zbioruA X nazywamy liczb ¾e diam(A) := sup fd (x; y) : x; y 2 Ag
Twierdzenie Cantora. W zupe÷nej przestrzeni metrycznej ka·zdy ci ¾ag zst ¾epuj ¾acy zbiorów domkni ¾etych o ´srednicach d ¾a·z ¾acych do zera posiada dok÷ad- nie jeden punkt wspólny.
Je´sli w przestrzeni metrycznej (X; d) ka·zdy ci ¾ag zst ¾epuj ¾acy zbiorów domkni ¾e- tych o ´srednicach d ¾a·z ¾acych do zera posiada dok÷adnie jeden punkt wspólny, to przestrze´n (X; d) jest zupe÷na.
Twierdzenie Baire’a. W zupe÷nej przestrzeni metrycznej suma przeliczal- nej ilo´sci zbiorów domkni ¾etych i brzegowych jest zbiorem brzegowym.
Twierdzenie Banacha o odwzorowaniach zw ¾e·zaj ¾acych. Odwzorowanie nazywamy przekszta÷ceniem zw ¾e·zaj ¾acym (albo kontrakcj ¾a) je´sli istnieje sta÷a k < 1 taka, ·ze
x1;x822Xd (f (x1) ; f (x2)) < k d (x1; x2)
Dla ka·zdego odwzorowania zw¾e·zaj ¾acego f : X ! X w zupe÷nej przestrzeni metrycznej (X; d) istnieje dok÷adnie jeden punkt sta÷y tego odwzorowania.
3 Podzbiory zwarte przestrzeni metrycznych
Zbiór A X nazywamy zwartym podzbiorem przestrzeni metrycznej (X; d) je´sli dla dowolnego ciagu (an) elementów zbioru A istnieje podci ¾ag zbie·zny do pewnego elementu zbioru A.
Twierdzenie. Zbiór A jest zwartym podzbiorem przestrzeni metrycznej (X; d) wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego otwartego pokrycia zbioru A istnieje jego podpokrycie sko´nczone.
2
