Wielowartościowość w logikach modalnych i w lingwistyce formalnej - Szymon Frankowski - pdf, ebook – Ibuk.pl

Łódź 2016

Szymon Frankowski – Uniwersytet Łódzki, Wydział Filozoficzno-Historyczny Instytut Filozofii, 90-232 Łódź, ul. Kopcińskiego 16/18

RECENZENT

REDAKTOR INICJUJĄCY

SKŁAD KOMPUTEROWY

PROJEKT OKŁADKI

Zdjęcie wykorzystane na okładce: © Depositphotos.com/IdeaStudios

Wydrukowano z gotowych materiałów dostarczonych do Wydawnictwa UŁ przez Wydział Filozoficzno-Historyczny

© Copyright by Szymon Frankowski, Łódź 2016

© Copyright for this edition by Uniwersytet Łódzki, Łódź 2016

Wydane przez Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego Wydanie I. W.07012.15.0.M

Ark. druk. 9,125

ISBN 978-83-8088-100-6 e-ISBN 978-83-8088-101-3

Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego 90-131 Łódź, ul. Lindleya 8 www.wydawnictwo.uni.lodz.pl

e-mail: ksiegarnia@uni.lodz.pl

tel. (42) 665 58 63

Spis treści

Wstęp 5

0.1 Logiki wielowartościowe i logiki modalne . . . . 5

0.2 Wielowartościowe logiki modalne . . . . 6

1 Preliminaria matematyczno-logiczne 13 1.1 Teoria mnogości . . . . 13

1.2 Algebra . . . . 17

1.3 Konsekwencja logiczna . . . . 19

1.4 Logiki modalne . . . . 22

2 Logiki modalne oparte o wielowartościową logikę Łukasiewicza 35 2.1 Wprowadzenie . . . . 35

2.2 Prezentacja języka i logiki . . . . 36

2.3 Logika K

zbazowana na logice Ł

. . . . 39

2.4 Logiki KD

, T

, K4

, KB

. . . . 46

2.5 Skończenie wartościowa logika Łukasiewicza Den

. . . . 48

2.6 Pozostałe wielowartościowe logiki Łukasiewicza KD

, KDC

, T

, 4

, KB

, K5

. . . . 49

2.7 Krata wielowartościowych logik modalnych Łukasiewicza . . . . . 51

2.8 Warunki specjalne dla skończenie wartościowych logik Łukasiewicza 52 2.9 Filtracja w skończenie wartościowych logikach Łukasiewicza . . . 54

2.10 Obliczanie ilości relacji przechodnich . . . . 57

3 O pewnych zastosowaniach wielowartościowych logik Łukasie- wicza 61 3.1 Klasyczna P DL . . . . 61

3.2 Wielowartościowa P DL . . . . 62

3.3 Wielowartościowe logiki Łukasiewicza a logika Nelsona . . . . 70

4 Uogólnione modele Kripkego 79 4.1 Sumy rozłączne i podmodele generowane . . . . 81

4.2 Homomorfizmy i bisymulacje . . . . 82

4.3 Bisymulacja w sensie H.P.Gumma i T.Schr¨ odera . . . . 88

4 SPIS TREŚCI

5 Topologiczne A-modele Kripkego 91

5.1 Semantyka topologiczna dla logik modalnych . . . . 91 5.2 Semantyka topologiczna dla wielowartościowych logik modalnych 92

6 Macierze kratowe 103

6.1 Zastosowania algebr liniowych w teorii krat . . . 103 6.2 Modele Kripkego i bisymulacje . . . 108 6.3 Przykład . . . 113 7 Ekspresyjność wielowartościowych automatów i gramatyk 119 7.1 Związki logik modalnych z automatami skończonymi. Gramatyki 120 7.2 BL-automaty . . . 122 7.3 Gramatyki probabilistyczne . . . 127

Zakończenie 133

Od redakcji 143

Wstęp

0.1 Logiki wielowartościowe i logiki modalne

Główne powody powstania logik wielowartościowych miały filozoficzny charak- ter. Jednym z nich był problem wartości logicznych zdań odnoszących się do przyszłości. Już Arystoteles w Rozdziale XI O interpretacji rozpatruje zdanie

Jutro będzie bitwa morska. (1)

Jaką wartość logiczną powinno ono przyjąć, jeśli dysponujemy jedynie klasyczną (dwuwartościową) logiką? Pewnym sposobem rozwiązania (między innymi) tego problemu była logika trójwartościowa ([30]). Trzecia wartość, będąca wartością pośrednią pomiędzy prawdą i fałszem jest wartością, która ma odpowiadać nie- zdeterminowaniu zdania odnośnie co do jego prawdziwości lub fałszywości.

Kwestią czasu było rozszerzenie zbioru wartości logicznych do większej niż trzy liczby wartości [31].

Ponadto, należy mieć na uwadze, że sam Łukasiewicz proponował systemy logiki, nazwane przez niego systemami logiki modalnej ([32]). Jednym z nich jest logika czterowartościowa (oznaczana symbolem Ł) określona na języku za- wierającym spójniki jednoargumentowe – ¬, , ♦ oraz jeden dwuargumentowy

→. Semantyka zadana jest tabelkami (wartością wyróżnioną jest 11)

:

→ 11 10 01 00

11 11 10 01 00 10 11 11 01 01 01 11 10 11 10 00 11 11 11 11

¬ ♦ 

11 00 11 10 10 01 11 10 01 10 01 00 00 11 01 00

1Dowód jej pełności względem systemu zaprezentowanego przez Łukasiewicza podał Smiley [46].

6 WSTĘP

W szerszym znaczeniu

modalność może być definiowana w kategoriach poję- cia funktora modalnego ([34]): F jest funktorem modalnym działającym na zdanie A wtedy i tylko wtedy, gdy wartość logiczna zdania F (A) nie jest określona (a przynajmniej nie jest określona w sposób całkowity) przez wartość logiczną zdania A ([34]).

Tak więc modalna logika Ł, będąc ekstensjonalną, nie spełnia powyższego warunku, bowiem w logikach ekstensjonalnych wartość logiczna zdania złożone- go wyznaczona jest jednoznacznie przez wartości jego zdań składowych.

Mamy tu na myśli takie operatory jak Jest możliwe, że ..., Jest konieczne, że ....

Zauważmy bowiem, że zdania:

Beata Szydło jest premierem RP, (2)

2 + 2 = 4 (3)

są prawdziwe (przy czym zdanie (2) jest prawdziwe przynajmniej w momencie pisania tych słów).

Jeśli jednak poprzedzimy je funktorami typu koniecznościowego, otrzymuje- my zdania:

Jest konieczne, że Beata Szydło jest premierem RP, (4)

Jest konieczne, że 2 + 2 = 4. (5)

Zdania (2) oraz (3) mają tę samą wartość logiczną. Jednak różna jest wartość logiczna zdań (4) oraz (5). Pierwsze z nich jest fałszywe, drugie zaś prawdziwe.

Ostatecznie – wartość zdania postaci „Jest konieczne, że A” nie jest zdeter- minowana jedynie przez wartość logiczną zdania składowego A.

Zatem funktor Jest konieczne, że ... jest funktorem intensjonalnym – war- tość logiczna zdania, którego jest głównym spójnikiem, nie jest jednoznacznie wyznaczona poprzez wartości jego argumentów.

W niniejszej pracy rozważamy wyłącznie modalności aletyczne, a więc takie, jakie rozpatrywane są w większości znanych systemów formalnej logiki modalnej, w odróżnieniu od na przykład modalności deontycznych czy episte- micznych.

0.2 Wielowartościowe logiki modalne

Konstrukcja wielowartościowych logik modalnych może odbywać się w sposób dwojaki:

2 Owo znaczenie jest na tyle szerokie, że może zostać odczytane jako definicja spójnika intensjonalnego. Jednak biorąc pod uwagę podobieństwo spójników intensjonalnych, przyj- mujemy definicję W. Marciszewskiego.

0.2. WIELOWARTOŚCIOWE LOGIKI MODALNE 7

i) Poprzez wprowadzenie modalności do logiki wielowartościowej;

ii) Poprzez zwiększenie liczby wartości w pewnej wyjściowej logice modalnej.

Owe dwa podejścia, mimo iż mogą prowadzić do tych samych logik, może wiele różnić. Podejście pierwsze wyraża się poprzez proste dołączenie operatora konieczności (lub możliwości) do języka oraz dodaniu aksjomatów charaktery- zujących modalność. Jest to niewątpliwie podejście syntaktyczne. Drugie zaś wskazuje na modyfikację logik modalnych od strony semantycznej – modyfiku- jemy struktury Kripkego w taki sposób, że dopuszczamy w światach (punktach), wartościowania o przeciwdziedzinie innej niż {0, 1}.

W wielu przypadkach chcemy po prostu podać semantykę dla syntaktycznie zdefiniowanych logik. Najbliższa temu podejściu jest niewątpliwie praca [39].

Jednak najczęściej wykorzystywanym podejściem wydaje się to drugie – defi- niujemy semantykę oraz staramy się podać syntaktyczną charakterystykę defi- niowanej przez nią logiki. Semantyka z reguły dobrze oddaje intuicje, jakie stoją za budową tej czy innej logiki. Tak więc semantyka najczęściej stanowi punkt wyjścia.

Nie oznacza to jednak, że każde z tych podejść jest jednoznacznie zorientowane tylko na składnię czy tylko na semantykę. W praktyce formalnej rzadko kiedy dąży się po „sznurku do kłębka”

, modyfikując po drodze przyjęte założenia (tym bardziej, że wspomniane podejścia nie były wyrażone explicite). W każ- dym jednak przypadku możemy znaleźć pewne, mniej lub bardziej stanowcze, rozłożenie akcentów.

Nie sposób pominąć faktu, że pozaformalne (filozoficzne) intencje powstania wielowartościowych logik modalnych spotykają się z badaniami w zakresie opisu właśnie niedookreśloności informacji w bazach danych

(patrz [29]).

Bliższe naszemu (to znaczy logiczno-filozoficznemu) jest jednak ujęcie zawarte w [41] oraz [40]

, gdzie przedstawione są logiki modalne oparte na skończenie wartościowej logice Łukasiewicza.

I właśnie Rozdział 2. poświęciliśmy opisowi oraz aksjomatyzacji modalnych logik opartych na skończenie wartościowych logikach Łukasiewicza. Podajemy ponadto metodę rozstrzygania tych logik, zbazowanej na znanej z logiki modal- nej metodzie filtracji. Większość z przedstawionych przez nas logik została już zaksjomatyzowana we wspomnianej pracy [40]. My jednak przedstawiamy ak- sjomatyzację większej ich liczby, w tym logiki niemającej prostego odpowiednika w dwuwartościowej logice modalnej (RU

). Warunek nałożony na jej semantykę możemy wyrazić w następującym stwierdzeniu: Wartości zmiennych zdaniowych w świecie v, będącym następnikiem (względem relacji osiągalności w modelu)

3 W naszym przypadku znaczyłoby to, że najpierw definiujemy semantykę, a potem kon- sekwentnie określamy dla niej aksjomatykę. Ewentualnie – mając daną aksjomatykę, szukamy adekwatnej dla niej semantyki.

4 We współcześnie używanych systemach zarządzania relacyjnymi bazami danych (SQL) występuje wartość taka jak N U LL, odpowiadająca łukasiewiczowskiej wartości ¹₂. Praktycy powołują się nawet na logiki wielowartościowe [36]. W nowszych, nierelacyjnych systemach (N oSQL) takimi jak MongoDB, klucze o niezdefiniowanej wartości przyjmują po prostu war- tość undefined (zainteresowani nierelacyjnymi bazami danych mogą sięgnąć np. po [6]).

5Mimo że w obu tych pracach znajdujemy odniesienie do [29].

8 WSTĘP

bieżącego świata w nie mogą być bardziej oddalone od liczby

niż ich wartości w w. To znaczy: Rwv implikuje |V (v, p) −

| ¬ |V (w, p) −

|. Chcemy przez to wyrazić, że w przypadku gdy relacja osiągalności jest rozumiania jako rela- cja następstwa czasowego, to w kolejnych punktach czasowych zdania atomowe mają coraz mniej dookreśloną wartość

. Może być ona traktowana jako dualna (w bardzo dużym przybliżeniu) w stosunku do logik: Nelsona i intuicjonistycznej (którymi również zajmujemy się w tej pracy).

Ponadto, o czym przed chwilą wspominaliśmy, wskazujemy na zastosowanie filtracji w procedurze rozstrzygania dla poszczególnych logik. Niejako przy oka- zji podajemy wzory na ilość skończonych struktur, w jakich trzeba sprawdzić prawdziwość formuły, aby stwierdzić, czy jest ona tezą danej logiki.

Niewątpliwie nowość stanowią wielowartościowe odpowiedniki znanej logiki P DL (propositional dynamic logic) zbazowane na wielowartościowej logice Łuka- siewicza, to znaczy – logiki P DL

zdefiniowane dla każdego n ­ 2. W Rozdziale 3. przedstawiamy aksjomatyzację i dowód twierdzenia o pełności owych logik.

Przeprowadzenie tego dowodu wymagało daleko idących modyfikacji i uzupeł- nień dowodu dla dwuwartościowych logik P DL zawartego w Rozdziale 3 [4].

W tym samym rozdziale piszemy o związkach, jakie łączą wielowartościowe lo- giki Łukasiewicza i logikę Nelsona. Piszemy o tym ze względu na fakt, że mię- dzy logiką Nelsona i trójwartościową logiką modalną Łukasiewicza S4

zachodzi związek analogiczny do tego, jaki łączy logikę intuicjonistyczną i dwuwartościo- wą logikę S4 (mamy tu oczywiście na myśli interpretowalność intuicjonizmu w S4 – patrz [35]).

Sama logika Nelsona, podobnie zresztą jak intuicjonizm, wykazuje pewne pokrewieństwo z logiką wielowartościową. Szczególnie wyraźny związek zacho- dzi, gdy przyjmiemy epistemiczną interpretację tej drugiej. Dla takich zdań jak Jutro będzie bitwa morska czy W tej chwili w Warszawie jest burza, mimo iż można przyjąć, że posiadają jakąś wartość logiczną, wartość ta pozostaje niejako w zawieszeniu (por. [20] s.15). W semantyce dla logiki Nelsona zdanie przyjmuje wartość 1, jeśli we wszystkich osiągalnych światach przyjmuje tę wartość. Zda- nie zaś jest fałszywe tylko wtedy, gdy w każdym świecie osiągalnym nie jest prawdziwe. Pod koniec rozdziału przedstawiamy propozycję uogólnienia logiki Nelsona, by była interpretowalna w logice S4

dla dowolnego n ­ 3. Wyniki formalne poprzedzamy istotnymi, według nas, rozważaniami o możliwych ugól- nieniach porządku informacyjnego, to znaczy przy przejściu od logiki trójwar- tościowej do logik o większej ilości wartości. Jeśli bowiem dysponujemy logiką trójwartościową, to wartość

jest jedynym elementem minimalnym porządku informacyjnego, zaś 1 oraz 0 są nieporównywalnymi elementami maksymalnymi.

Wprowadzając uogólnienie, naszą intencją jest odpowiedź na pytanie takie jak:

jaki jest porządek informacyjny na zbiorze {0,

,

, 1}?

Istnieje jednak znacznie ogólniejsze podejście do modalnych logik wielowar- tościowych zaprezentowane przez Fittinga w [11, 12, 13]. W powyższych pra- cach formuły modalne wartościowane są w algebrach Heytinga. Ważną innowa-

6Sama nazwa RU jest skrótem od słów rising uncertainty (czyli rosnąca niepewność).

0.2. WIELOWARTOŚCIOWE LOGIKI MODALNE 9

cję stanowi wartościowanie w algebrę Heytinga samych relacji. Można wówczas mówić o stopniu zachodzenia relacji. Jednak ujęcie Fittinga nie wypływa z czystej chęci uogólniania zastanych konstrukcji. Skończona algebra Heytinga może zostać przedstawiona za pomocą zbioru agentów (ekspertów), powiedz- my {1, 2, . . . , n}, powiązanych relacją zależności (dominacji, patrz [12]). Przez wartość logiczną zmiennej zdaniowej p uznajemy tedy jakiś podzbiór zbioru {1, 2, . . . , n} określający, który z agentów uznaje zdanie p za prawdziwe. W przy- padku gdy agenci są od siebie niezależni, zdanie p może za wartość przyjąć dowolny podzbiór A zbioru agentów. Powiemy wówczas, że agent i należy do zbioru A wtw., gdy i uznaje p za prawdziwe. Wówczas wartością może być do- wolny element pełnej algebry Boole’a P({1, 2, . . . , n}). Jednak gdy na zbiorze agentów określimy częściową funkcję zależności z (lub jak woli Fitting – domi- nacji), to z naszej dziedziny możliwych wartości logicznych wykluczamy zbiory B takie, że dla pewnego i ∈ {1, 2 . . . , n}:

i 6∈ B, z jest określona na i oraz z(i) ∈ B. (6) Ostatecznie Fitting ogranicza się do wartościowań w skończonych algebrach Hey- tinga. Można łatwo pokazać, że częściowa funkcja na zbiorze {1, 2, . . . , n} wy- znacza algebrę Heytinga. Dokładniej, jeśli z jest funkcją częściową na zbiorze {1, 2 . . . , n}, to elementami algebry Heytinga L(z) będą te i tylko te podzbiory A zbioru {1, 2, . . . , n}, które spełniają warunek:

jeśli z(i) jest określony oraz z(i) ∈ A, to i ∈ A. (7) Naturalnie L(z) jest kratą, której nośnik zawiera się w P({1, 2, . . . , n}).

W naszym ujęciu dopuszczamy, by formuły modalne wartościowane były w dowolnej kracie (lub dokładniej – jeśli język zawiera operatory typu możliwo- ściowego, wymagamy, by krata była W-kratą

, gdy operatory typu konieczno- ściowego – potrzebujemy V-kraty

). Wynika to z faktu, że gdy zastąpimy czę- ściową funkcję dominacji relacją, nie musimy otrzymać algebry Heytinga. Taka formalizacja ujmuje sytuacje, gdy agent nie tyle jest uzależniony w swoich osą- dach od jednego, konkretnego agenta, lecz ’przekonać’ go może jakaś ich grupa.

Ponadto w Rozdziale 4. (którego wyniki zaprezentowane były w [15]) uogól- niamy pojęcia takie jak bisymulacja, p-morfizm itp. poprzez wprowadzenie dodatkowego parametru, umożliwiającego tworzenie bisymulacji, p-morfizmów (nazywanymi przez nas ograniczonymi morfizmami) itp., między struktura- mi relacyjnymi zbazowanymi na różnych algebrach.

Do tej pory w literaturze rozpatrywane były jedynie morfizmy (bisymulacje, ograniczone morfizmy) między strukturami wartościowanymi w tych samych al- gebrach [21]. Nasze ujęcie pozwala na zrelatywizowanie morfizmu do danego odwzorowania między algebrami (nazwijmy je h), w których wartościowane są struktury. Dlatego też nasze uogólnienia bisymulacji i ograniczonego morfizmu

7To jest takiej kraty, by dla każdego niepustego podzbioru istniał jego kres górny.

8To znaczy – takiej kraty, w której każdy niepusty podzbiór ma kres dolny.

10 WSTĘP

to, odpowiednio, bisymulacja ze względu na h, ograniczony morfizm ze względu na h (patrz Definicje 4.2.3 oraz 4.2.5). Aby mieć na obecnym etapie pewien wgląd w nasze podejście, przedstawimy tu uproszczone wersje pojęć z Rozdzia- łu 4. Niech A = (A, ¬

), B = (B, ¬

) będą kratami oraz h : A −→ B homo- morfizmem. Niech M = (W, R) oraz N = (W

, R

) będą strukturami takimi, że W, W

są zbiorami (światów) oraz R : W × W −→ A, R

: W

× W

−→ B (relacje wielowartościowe). Ponadto niech f : W −→ W

. Powiemy, że f jest morfizmem ze względu na h wtw. gdy h(R(w, v)) ¬ R

(f (w), f (v)).

W szczególności możemy dokonać interpretacji dowolnych kratowych warto- ściowań, w wartościowania w algebrze Heytinga. Ilustrację naszych słów może stanowić przykład zaczerpnięty z [15].

Mianowicie, rozpatrzmy dwie kraty – algebrę Heytinga BT

, określoną przez rodzinę zbiorów {∅, {1}, {2}, {1, 2}, {1, 2, 3}} oraz – BInf przedstawioną na Dia- gramie 1.

∅

@ 

@ I

{2}     : . . .

X X X X X X y



{2, 3} {2, 4}  {2, n + 2} . . .

 7

S S o {1, 2, 3, 4, . . .}

H H H H H Y {3}

 A A A K

{2, 3, 4, . . . , n + 2, . . .}

6

{1, 2, 3, 4, . . .} ∪ {∞}

BInf Diag. 1.

Naturalnie, BInf nie jest algebrą Heytinga. Zdefiniujmy funkcję h : BInf −→

BT

w następujący sposób:



 

 

 



 

 

 



h∅ = ∅;

h{3} = {1};

h{2} = h{2, 3} = h{2, 4} = . . . = h{2, n + 2} = . . .

= h{2, 3, 4, . . . , n + 2, . . .} = {2};

h{1, 2, 3, 4, . . .} = {1,2};

h{1, 2, 3, 4, . . .} ∪ {∞} = {1,2,3}.

Jak łatwo sprawdzić h jest homomorfizmem krat, zachowującym wszystkie

kresy (również zbiorów nieskończonych). Sytuację możemy opisać w następujący

0.2. WIELOWARTOŚCIOWE LOGIKI MODALNE 11

sposób: agenci 2, 3, . . . zostają utożsamieni, tworzą bowiem coś w rodzaju stron- nictwa (partii). Pewna ilość informacji o strukturze zależności między agentami została wprawdzie utracona po zastosowaniu odwzorowania h, lecz BT

-model nie tylko zawiera wszystkie informacje istotne, ale ponadto w algebrze BT

mo- żemy waluować operatory typu koniecznościowego (patrz uwaga na s. 80).

Ciekawym, lecz nie eksploatowanym do tej pory problemem jest zastosowa- nie ujęcia Fittinga do opisu praktycznego problemu replikacji baz danych (dla zainteresowanych – [25, s. 374]). Przyjmujemy dla celów poglądowych pewne uproszczenie pojęcia serwera bazodanowego, przez który będziemy rozumieć pewien nośnik (zbiór) informacji (możemy nawet założyć, że jest to rodzina cią- gów składających się z liter pewnego ustalonego alfabetu). Serwery A i B mogą pozostawać w relacji master-slave (w terminologii Fittinga – w relacji domina- cji). W przypadku gdy na serwerze nadrzędnym (serwer A – master) następuje aktualizacja danych, serwer B (slave) pobiera ją, by dane na nim zgromadzone stanowiły lustrzaną kopię danych serwera A.

Następnym pytaniem jest, czy nasza propozycja (tzn. gdy relacja zależności nie jest funkcją) dobrze ujmuje sytuację, gdy jeden serwer podrzędny może dokonać aktualizacji, dopiero gdy zmiany w nadrzędnych względem niego (wielu) serwe- rach są identyczne (to znaczy dopuszczamy, by relacja dominacji, czyli relacja master-slave, nie była funkcją). Posłużmy się przykładem – serwer A jest zależ- ny od serwerów B oraz C. Załóżmy, że każdy z tych trzech serwerów gromadzi ten sam zestaw danych. Niech w chwili t

nastąpi zmiana zawartości serwera B. Wówczas serwer A dokonuje aktualizacji swojej zawartości dopiero w chwili t

> t

, w której dokonana została aktualizacja na serwerze C oraz jest iden- tyczna z aktualizacją jaka nastąpiła w chwili t

na serwerze A.

W Rozdziale 5. pokazujemy, że fuzzy przestrzenie topologiczne (patrz np.

[45]) mogą stanowić semantykę dla wielowartościowych logik modalnych, wystę- pujących w takiej postaci, w jakiej zostały zdefiniowane w Rozdziale 4. Fuzzy przestrzenie topologiczne stanowią uogólnienie dobrze znanych przestrzeni to- pologicznych w tym sensie, że topologie nie są rodzinami podzbiorów pewnego zbioru X, lecz są rodzinami jego fuzzy podzbiorów (oczywiście spełniającymi pewne aksjomaty właściwe dla topologii).

Nawiązując do pracy Fittinga [14], pokazujemy, jak interpretować formuły modalne w algebrach macierzy nad kratami. Jednak ze względu na fakt, że do tej pory rozpatrywaliśmy również modalności o większej niż jeden liczbie argumentów, konieczne stało się poszerzenie bazy pojęciowej, w sposób daleko wykraczający poza to, co zostało zaprezentowane w [14].

Ostatni rozdział został poświęcony wielowartościowości w teorii automatów

i gramatyk wielowartościowych. Wielość związków, jakie łączą logiki modalne

z teorią automatów, nie pozwala na szersze jej ujęcie w niniejszej pracy (zain-

teresowani formalno-lingwistycznym ujęciem logik temporalnych mogą sięgnąć

do [49], [18]). W rozdziale tym pokazujemy, że każdy automat zdefiniowany nad

skończoną BL-algebrą da się zasymulować przez automat skończony. Jednakże

12 WSTĘP

za główny wynik uważamy Twierdzenie 7.3.3 mówiące, że każdą gramatykę pro- babilistyczną określoną na liczbach z przedziału [0, 1] można aproksymować za pomocą gramatyki, której wartości nie wychodzą poza zbiór liczb wymiernych.

Ostatnim twierdzeniem zarówno rozdziału, jak i całej pracy, jest twierdzenie mówiące, że regularnie kontrolowane gramatyki, zdefiniowane w [8], mogą symu- lować dowolne gramatyki probabilistyczne. Jako naturalne pojawiło się pytanie:

czy zachodzi zależność odwrotna, to znaczy – czy dowolną gramatykę regularnie kontrolowaną da się zasymulować za pomocą pewnej gramatyki probabilistycz- nej?

Korzystając z okazji, chciałbym wyrazić wdzięczność osobom, które podjęły niewdzięczny trud przeczytania poniższej pracy, a zaliczają się do nich: Marek Nowak, Michał Zawidzki, Anna Dębska, Kaja Bednarska i Janusz Kaczmarek.

Dzięki nim książka stała się lepsza i zawiera znacznie mniej błędów (a może nawet nie zawiera ich wcale).

Na szczególną uwagę i podziękowania zasługuje praca włożona przez prof.dr.

hab. Tomasza Połacika, który podjął się zrecenzowania niniejszej książki.