1
STATYSTYKA KOLOKWIUM 1 - WZ ´OR
1A) W´sr´od 10 bombek 6 jest dobrych. Wybieramy losowo 3 bombki a) ze zwracaniem b) bez zwracania.
Oblicz prawdopodobie´nstwo, ˙ze w´sr´od wylosowanych bombek b¸ed¸a dok ladnie 2 dobre.
1B) Obliczy˙c prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze wybrany losowo punkt p laszczyzny o obu wsp´o lrz¸ednych mniejszych co do modu lu od 4 jest punktem le˙z¸acym a) wewn¸atrz okr¸egu x2+ y2 = 1, b) na zewn¸atrz okr¸egu x2+ y2 = 4.
1C) Prawdopodobie´nstwo trafienia przez strzelca w cel wynosi wynosi 0.25. Ile musi odda˙c niezale˙znych strza l´ow aby prawdopodobie´nstwo, ˙ze co najmniej jeden raz trafi l w cel by lo wi¸eksze od 56
2A) Na linii l¸aczno´sci nadaje si¸e tylko dwa rodzaje sygna l´ow A i B z prawdopodobie´nstwami odpowiednio
16
100,10084. Z powodu zak l´oce´n 18 sygna l´ow A odbierana jest jako B, a 16 sygna l´ow B odbierana jest jako A.
Oblicz prawdopodobie´nstwo, ˙ze
a)odebrano sygna l A, b)nadano sygna l B je´sli odebrano sygna l B.
2B) W fabryce s¸a trzy maszyny A,B,C produkuj¸ace kule do urn. Maszyna A produkuje kule zielone, maszyny B i C produkuj¸a kule czerwone. Produkcja ka˙zdej z maszyn stanowi 13 ca lej produkcji. Maszyny A, B, C wypuszczaj¸a odpowiednio 2%, 4%, 5% brak´ow. Wylosowano wyprodukowan¸a kul¸e. Oblicz praw- dopodobie´nstwo, ˙ze jest to
a) wybrakowana kula,
b) kula czerwona je´sli stwierdzono, ˙ze jest to wybrakowana kula.
3A) G¸esto´s˙c zmiennej losowej X ma posta˙c:
f (x) =
( b
x4 , dla |x| ≥ 1
0 , dla pozosta lych x
a) Obliczy˙c sta l¸a b. b) Znale´z˙c dystrybuant¸e zmiennej losowej X. c) Obliczy´c i zaznaczy˙c na wykresach g¸esto´sci i dystrybuanty P (−4 < X ≤ 2). d) Znale´z˙c warto´s˙c oczekiwan¸a zmiennej losowej X.
3B) Zmienna losowa X ma funkcj¸e prawdopodobie´nstwa postaci: P (X = −2) = 18, P (X = −1) = 38, P (X = −0) = 18, P (X = 1) = c, P (X = 2) = 18, Znale´z˙c a) sta l¸a c, b) dystrybuant¸e zmiennej losowej X, c) rozk lad prawdopodobie´nstwa zmiennej losowej Y = (X + 1)2, d) median¸e Y , e)wariancj¸e Y .
4A) Wykonano 1000 pomiar´ow pewnej odleg lo´sci. Wynik pomiaru obarczony jest b l¸edem, kt´ory ma rozk lad N(0; 0.2). Korzystaj¸ac z przybli˙zenia rozk ladu dwumianowego rozk ladem Poissona oblicz praw- dopodobie´nstwo tego, ˙ze dok ladnie dwa pomiary b¸ed¸a obarczone b l¸edem co do modu lu wi¸ekszym ni˙z 0.6.
4B) Wynik pomiaru obarczony jest b l¸edem, kt´ory ma rozk lad r´ownomierny U(−5, 5). Ilu co najmniej pomiar´ow trzeba dokona˙c by z prawdopodobie´nstwem wi¸ekszym ni˙z 0.96 m´oc twierdzi˙c, ˙ze co najmniej jeden wynik b¸edzie obarczony b l¸edem co do modu lu wi¸ekszym ni˙z 4.
PUNKTACJA: Zadanie 1 - 4 punkty, zadanie 2 - 4 punkty, zadanie 3 - 6 punkt´ow, zadanie 4 - 4 punkty.
UWAGA! Kolokwium b¸edzie sk lada˙c si¸e z 4 zada´n. Jednego pierwszego, jednego drugiego, jednego trzeciego i jednego czwartego. Czas - 90 minut.
ODPOWIEDZI:
1A) a) 3·61023·4, b) 3·4·5·610·9·8. 1B) a) 64π, b) 1 − 16π. 1C) n > log3
4(16).
2A) a) 10016 · 78 +10084 · 16, b) 16 10084·56
100·18+10084·56. 2B) a) 13 · 0.11, b) 119 . 3A) a) b = 32, c) 2932, d) E(X) = 0,
b) F (x) =
−1
2x3 , dla x ≤ −1
1
2 , dla − 1 < x ≤ 1 1 − 2x13 , dla x > 1
3B) a) c = 28, c) P (Y = 0) = 38, P (Y = 1) = 28, P (Y = 4) = 28, P (Y = 9) = 18, d) Me = 1, e) D2(Y ) = 13916,
b) F (x) =
0 , dla x ≤ −2
1
8 , dla − 2 < x ≤ −1
4
8 , dla − 1 < x ≤ 0
5
8 , dla 0 < x ≤ 1
7
8 , dla 1 < x ≤ 2 1 , dla 2 < x 4A) 18e−6, 4B) n > log0.8(0.04).
