Jakie jest prawdopodobie´, nstwo, ˙ze pewien wynik wystapi dok ladnie 2 razy?, 4

RP WNE 2019/2020, I seria zada´n

1. Zdarzenia A i B maja r´_, owne prawdopodobie´nstwo, a ponadto P(A) = 2P(A∩B). Udowodni´c,

˙ze P(B) ≤ ²₃.

2. Z talii 52 kart losujemy bez zwracania 7 kart. Jakie jest prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze a) wylosowali´smy co najmniej 6 kier´ow,

b) wylosowali´smy dok ladnie 6 kier´ow, c) nie wylosowali´smy ˙zadnego kr´ola,

d) nie wylosowali´smy ˙zadnego pika lub nie wylosowali´smy ˙zadnego asa, e) za pierwszym razem wylosowali´smy figure?_,

3. Rzucamy trzy razy sze´scienna kostk_, a. Jakie jest prawdopodobie´_, nstwo, ˙ze pewien wynik wystapi dok ladnie 2 razy?_,

4. Ze zbioru {0, 1, 2, . . . , 9} losujemy kolejno bez zwracania cztery cyfry a, b, c, d. Jakie jest prawdopodobie´nstwo zdarzenia, ˙ze

a) a jest najwieksz_, a z wylosowanych cyfr?_, b) ciag (a, b, c, d) jest rosn_, acy?_,

5. Rozdano 52 karty czterem graczom, po 13 kart ka˙zdemu. Obliczy´c prawdopodobie´nstwo zdarzenia, ˙ze ka˙zdy gracz otrzyma l co najmniej jednego pika.

6. Litery A, A, A, B, B, R, R, R ustawiono losowo w ciag. Jakie jest prawdopodobie´_, nstwo zdarzenia, ˙ze otrzymano wyraz RABARBAR?

7. Ze zbioru {1, 2, . . . , 20} losujemy ze zwracaniem 10 liczb. Obliczy´c prawdopodobie´nstwo,

˙ze najwieksz_, a z wylosowanych liczb jest 13._,

8. Do pustego pociagu sk ladaj_, acego si_, e z n wagon´_, ow wsiada a) n podr´o˙znych,

b) n + 1 podr´o˙znych.

Obliczy´c prawdopodobie´nstwo zdarzenia, ˙ze w ka˙zdym wagonie bedzie siedzia l co najmniej jeden_, podr´o˙zny.

Przyk ladowe zagadnienia na kartk´owke_,

Teoria (jaka trzeba zna´_, c po pierwszym wyk ladzie a przed tymi ´cwiczeniami):

1. Poda´c aksjomatyczna definicj_, e prawdopodobie´_, nstwa.

2. Poda´c definicje zdarzenia przeciwnego._, 3. Co to jest prawdopodobie´nstwo klasyczne?

Zadania (jakie trzeba umie´c rozwiaza´_, c po tych ´cwiczeniach):

4. Zdarzenia A, B spe lniaja warunki P(A) =_, ¹₂, P(B) = ²₃, P(A \ B) = ¹₃. Obliczy´c P(B \ A).

5. Rzucono dwa razy prawid lowa kostk_, a. Co jest bardziej prawdopodobne: uzyskanie sumy_, oczek r´ownej 7 czy wyrzucenie w obu rzutach tej samej liczby oczek?

6. Rzucono pie´_,c razy prawid lowa monet_, a. Jakie jest prawdopodobie´_, nstwo, ˙ze orze l pojawi l sie_, co najmniej dwa razy?

7. Liczby 1, 2, . . . , 7 ustawiono losowo w ciag. Jakie jest prawdopodobie´_, nstwo, ˙ze ˙zadne dwie liczby nieparzyste nie stoja obok siebie?_,