(1)1 PODSTAWY BIOSTATYSTYKI dla ZB III dr in˙z Krzysztof Bry´s Wyk lad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobie´nstwa

1 PODSTAWY BIOSTATYSTYKI dla ZB III

dr in˙z Krzysztof Bry´s Wyk lad 1

Klasyczny Rachunek Prawdopodobie´nstwa.

1. Poj¸ecia wst¸epne.

Do´swiadczeniem losowym nazywamy do´swiadczenie, kt´orego wynik nie jest znany. Posiadamy jedynie informacje o zbiorze mo˙zliwych wynik´ow tego do´swiadczenia. Wynik do´swiadczenia losowego wykluczaj¸acy inne mo˙zliwe wyniki nazywamy zdarzeniem elementarnym.

UWAGA: Zak lada si¸e, ˙ze w wyniku do´swiadczenia losowego zachodzi dok ladnie jedno zdarzenie elemen- tarne.

Zbi´or wszystkich zdarze´n losowych nazywamy przestrzeni¸a zdarze´n elementarnych i oznaczamy przez Ω.

Zdarzeniem losowym nazywamy dowolny wynik do´swiadczenia losowego. Ka˙zde zdarzenie losowe jest zbiorem zdarze´n elementarnych

UWAGA: Je˙zeli Ω jest zbiorem sko´nczonym lub przeliczalnym, to zdarzeniem losowym jest dowolny podzbi´or zbioru Ω

Zdarzenie ∅ nazywamy zdarzeniem niemo˙zliwym.

Zdarzenie Ω nazywamy zdarzeniem pewnym.

Zdarzenie A = Ω \ A nazywamy zdarzeniem przeciwnym do A.

Je˙zeli dla dw´och zdarze´n A i B zachodzi A ∩ B = ∅, to m´owimy, ˙ze zdarzenia te wykluczaj¸a si¸e (s¸a roz l¸aczne).

Przyk lady. Zdarzenie A = miesi¸ac kwiecie´n ma 31 dni jest zdarzeniem niemo˙zliwym. Zdarzenie B = miesi¸ac kwiecie´n ma 30 dni jest zdarzeniem pewnym. Zdarzeniem przeciwnym do C = dzisiaj jest niedziela jest zdarzenie C = dzisiaj jest inny dzie´n tygodnia ni˙z niedziela.

Przyk lad. Rozwa˙zmy do´swiadczenie losowe polegaj¸ace na jednokrotnym rzucie monet¸a. Przestrze´n zdarze´n elementarnych sk lada sie z dw´och element´ow, zdarzenia ω_Opolegajacego na wypadni¸eciu or la i ω_O, kt´ore oznacza wypadni¸ecie reszki. Wypiszmy wszystkie mo˙zliwe podzbiory zbioru Ω (zdarzenia losowe):

A₁ = Ω = {ω_O, ω_R}, A₂ = {ω_O}, A₃ = {ω_R}, A₄ = ∅.

Zdarzenie A₁ polega na wypadni¸eciu or la lub reszki. Jest to zdarzenie pewne. Zdarzenie A₄ polegaj¸ace na niewypadni¸eciu ani or la ani reszki nie mo˙ze zaj´s´c w wyniku naszego do´swiadczenia losowego. Jest to zdarzenie niemo˙zliwe. Zdarzeniem przeciwnym do A₂ - wypad l orze l jest zdarzenie A₃ - wypad la reszka.

Zwr´o´cmy uwag¸e na to, ˙ze A₂∪A₃ = Ω (w wyniku rzutu monet¸a wypadnie orze l lub reszka) oraz A₂∩A₃ = ∅ (nie mo˙ze wypa´s´c jednocze´snie orze l i reszka).

2. Klasyczna definicja prawdopodobie´nstwa.

Niech Ω b¸edzie zbiorem sko´nczonym, to znaczy Ω = {ω₁, ω₂. . . , ω_N}. Dla dowolnego zdarzenia A ⊆ Ω takiego, ˙ze A = {ωi1, ωi2, . . . , ωik}, gdzie i1, i2, . . . , ik ∈ {1, 2, . . . N }, definiuje si¸e funkcj¸e praw- dopodobie´nstwa w nast¸epuj¸acy spos´ob:

P (A) = P ({ω_i1}) + P ({ω_i2}) + . . . + P ({ω_ik}).

W przypadku, gdy zdarzenia elementarne s¸a jednakowo prawdopodobne, to znaczy P (ω1) = P (ω2) = . . . = P (ω_N) = _N¹, otrzymujemy nast¸epuj¸acy wz´or:

P (A) = |A|

|Ω| = k

N = liczba zdarze´n elementarnych sprzyjaj¸acych zdarzeniu A liczba wszystkich zdarze´n elementarnych .

Powy˙zsza definicja prawdopodobie´nstwa nie jest poprawna w og´olno´sci, gdy˙z zbi´or Ω nie musi by´c sko´nczony a zdarzenia elementarne nie musz¸a by˙c jednakowo prawdopodobne.

2 3. Aksjomatyczna definicja prawdopodobie´nstwa.

Niech Ω b¸edzie przestrzeni¸a zdarze´n elementarnych, Z zbiorem zdarze´n losowych.

Funkcj¸a prawdopodobie´nstwa nazywamy funkcj¸e P : Z → [0, 1] spe lniaj¸ac¸a nast¸epuj¸ace trzy aksjomaty:

P 1) P (A) ≥ 0 dla ka˙zdego A ∈ Z, P 2) P (Ω) = 1

P 3) je˙zeli A₁, A₂, . . . , A_n. . . jest ci¸agiem zdarze´n roz l¸acznych (to znaczy A_i∩ A_j = ∅ dla i 6= j), to P (A1∪ A2∪ . . . ∪ An∪ . . .) = P (A1) + P (A2) + . . . + P (An) + . . .

Warto´s´c funkcji P na zbiorze A nazywamy prawdopodobie´nstwem zdarzenia A 4. W lasno´sci funkcji prawdopodobie´nstwa.

1. P (∅) = 0.

2. Je´sli A ⊆ B, to P (A) ≤ P (B).

3. Dla dowolnego A ⊆ Ω P (A) ≤ 1.

4. Je´sli A ⊆ B, to P (B \ A) = P (B) − P (A).

5. Dla dowolnego A ⊆ Ω P (A) + P (A) = 1.

6. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).

7. Je˙zeli zdarzenia A1, A2, . . . , An s¸a parami roz l¸aczne, to P (A1 ∪ A2∪ . . . ∪ An) = P (A1) + P (A2) + . . . + P (A_n).

5. Prawdopodobie´nstwo warunkowe i niezale˙zno´s˙c.

Prawdopodobie´nstwo zaj´scia zdarzenia A pod warunkiem, ˙ze zasz lo zdarzenie B:

P (A|B) = P (A ∩ B) P (B)

Do´swiadczenia niezale˙zne = dowolny wynik jednego z nich nie wpywa na wynik drugiego.

Zdarzenia niezale˙zne = zdarzenia A, B, dla kt´orych:

P (A ∩ B) = P (A) · P (B) albo

P (A|B) = P (A) lub P (B|A) = P (B) Informacja o zaj´sciu jednego z nich nie zmienia szans wyst¸apienia drugiego.

5. Zupe lny uk lad zdarze´n. Wz´or Bayesa

Zdarzenia A₁, . . . , A_n tworz¸a zupe lny uk lad zdarze´n je´sli:

1. A1 ∪ . . . ∪ An = Ω,

2. A_i ∩ A_j = ∅ dla ka˙zdego i 6= j, i, j = 1, 2, . . . , n

3 Twierdzenie o prawdopodobie´nstwie zupe lnym

Je´sli zdarzenia A₁, . . . , A_n tworz¸a zupe lny uk lad zdarze´n, to dla ka˙zdego zdarzenia B :

P (B) = P (A1∩ B) + . . . + P (An∩ B) = P (A1) · P (B|A1) + . . . + P (An) · P (B|An) Wz´or Bayesa

Je´sli zdarzenia A₁, . . . , A_n tworz¸a zupe lny uk lad zdarze´n, to dla ka˙zdego zdarzenia B takiego, ˙ze P (B) > 0 oraz dowolnego j = 1, 2, . . . , n zachodzi wz´or :

P (A_j|B) = P (A_j ∩ B)

P (A₁∩ B) + . . . + P (A_j ∩ B) + . . . + P (A_n∩ B) =

= P (A_j) · P (B|A_j)

P (A₁) · P (B|A₁) + . . . P (A_j) · P (B|A_j) + . . . + P (A_n) · P (B|A_n) Zmienna losowa jednowymiarowa

Intuicyjnie: zmienna, kt´ora przyjmuje pewn¸a warto´s´c liczbow¸a w wyniku do´swiadczenia losowego.

Formalnie: Funkcja X : Ω → R przyporz¸adkowuj¸aca ka˙zdemu zdarzeniu losowemu pewn¸a warto´s´c liczbow¸a

Dystrybuanta zmiennej losowej X - funkcja FX : R → R zdefiniowana nast¸epuj¸aco:

F (x) = P (X < x) dla ka˙zdego x ∈ R

Zmienna losowa typu skokowego

Zmienna X, dla kt´orej zbi´or warto´sci przyjmowanych przez t¸a zmienn¸a jest sko´nczony lub przeliczalny, tzn W_X = {x₁, x₂, . . . , x_n} albo W_X = {x₁, x₂, . . . , x_n, ldots}

Rozk lad prawdopodobie´nstwa: funkcja P , kt´ora ka˙zdemu punktowi skokowemu xi ∈ WX przy- porz¸adkowuje skok prawdopodobie´nstwa p_i = P (X = x_i) w taki spos´ob, ˙ze:

1) dla ka˙zdego i : p_i > 0 oraz 2)^X

i

p_i = 1 .

Zmienna losowa typu ci¸ag lego

Zmienna X, dla kt´orej zbi´or warto´sci przyjmowanych przez t¸a zmienn¸a jest przedzia lem liczbowym lub sum¸a przedzia l´ow.

Rozk lad prawdopodobie´nstwa: funkcja f zwana g¸esto´sci¸a prawdopodobie´nstwa taka, ˙ze 1) dla ka˙zdego x ∈ R : f (x) ≥ 0 oraz

2)

Z _+∞

−∞ f (x)dx = 1 .

Podstawowe parametry zmiennej losowej

1. Warto´s´c oczekiwana zmiennej losowej X = liczba E(X) b¸ed¸aca ´srednia wa˙zon¸a rozk ladu praw- dopodobie´nstwa przy za lo˙zeniu, ˙ze wag¸a jest prawdopodobie´nstwo (dla zmiennej losowej typu skokowego) albo ´srodkiem ci¸e˙zko´sci rozk ladu prawdopodobie´nstwa przy za lo˙zeniu, ˙ze g¸esto´sci¸a jest funkcja g¸esto´sci prawdopodobie´nstwa (dla zmiennej losowej typu ci¸ag lego).

4 2. Wariancja zmiennej losowej X= D²(X) = warto´s´c oczekiwana kwadratu odchylenia zmiennej od jej warto´sci oczekiwanej - miara ´sredniego odchylenia kwadratowego.

3. Odchylenie standardowe zmiennej losowej X = D(X)= pierwiastek z wariancji - miara ´sredniego odchylenia zmiennej od jej warto´sci oczekiwanej.

4. Kwantyl rz¸edu p = x_p = punkt, w kt´orym skumulowane prawdopodobie´nstwo (dystrybuanta) osi¸aga (przekracza) warto´s´c p.

mediana=Me=kwantyl rz¸edu ¹₂ kwartyl dolny=Q₁=kwantyl rz¸edu ¹₄ kwartyl dolny=Q₃=kwantyl rzedu ³₄

i-ty decyl= przedzia l mi¸edzy kwantylem rz¸edu (i − 1) · 0.1 a kwantylem rz¸edu i · 0.1 i-ty percentyl= przedzia l mi¸edzy kwantylem rz¸edu (i − 1) · 0.01 a kwantylem rz¸edu i · 0.01

5. Moda (dominanta; warto´s˙c modalna) = punkt, w kt´orym funkcja prawdopodobie´nstwa osi¸aga najwi¸eksz¸a warto´s˙c.