Zadania z mechaniki klasycznej (zestaw 5 - piątek 05.11.2010)

(1)

Zadania z mechaniki klasycznej (zestaw 5 - piątek 05.11.2010)

16. W zadaniu 12 (ruch po wewnętrznej powierzchni stożka w polu grawitacyjnym) proszę znaleźć warunek, aby cząstka poruszała się po okręgu, a następnie znaleźć okres małych drgań wokół orbity kołowej. Kiedy te zaburzone orbity będą zamknięte?

17. To samo co w poprzednim zadaniu dla problemu z zadania 13 (dwie masy połaczone sznurkiem przechodzącym przez dziurę w stole).

18. Cząstka o masie 𝑚 porusza się w jednorodnym polu grawitacyjnym po wewnętrznej powierzchni paraboloidy obrotowej. Proszę zredukować problem do ruchu w 1-wymiarze. Dla jakiej pręd- kości początkowej ruch odbywa się po okręgu? Proszę znaleźć okres małych drgań wokół orbity kołowej. Kiedy taki zaburzony ruch kołowy jest periodyczny (tzn. kiedy orbita tego ruchu będzie zamknięta)?

19. Proszę narysować jakościowy kształt orbit dla ruchu w potencjale centralnym gdy a) 𝑊 = 1/6, b) 𝑊 = 4/5.

20. Cząstka porusza się w zaburzonym potencjale keplerowskim:

𝑈 (𝑟) = − 𝑘 𝑟 −

𝜀

𝑟 ³ , 𝑘 > 0, 𝜀 > 0.

(a) Proszę znaleźć potencjał efektywny i przedyskutować jakościowy charakter ruchu w za- leżności od energii i momentu pędu.

(b) Proszę pokazać, że orbita kołowa o promieniu 𝑟 ⁰ po małym zaburzeniu ulega precesji (położenia kolejnych peryheliów orbity przesuwają się mały kąt 𝛿𝜙). Proszę znaleźć kąt precesji (𝛿𝜙).

21. Niech inﬁnitezymalne przekształcenie współrzędnych i czasu ma postać:

˜

𝑞 ^𝑖 = 𝑞 ^𝑖 + 𝜀𝐺 ^𝑖 (𝑞 ^𝑖 , 𝑡)

˜ 𝑡 = 𝑡 + 𝜀𝐹 (𝑞 ^𝑖 , 𝑡).

Proszę pokazać, że jeśli to przekształcenie zachowuje całkę działania:

𝑡

₂

∫

𝑡

₁

𝐿 (

𝑞 ^𝑖 , 𝑑𝑞 ^𝑖 𝑑𝑡 , 𝑡

) 𝑑𝑡 =

˜ 𝑡

₂

∫

˜ 𝑡

₁

𝐿 (

˜ 𝑞 ^𝑖 , 𝑑˜ 𝑞 ^𝑖

𝑑˜ 𝑡 , ˜ 𝑡 )

𝑑˜ 𝑡 ,

to wielkość

(

𝐿 − ∂𝐿

∂ ˙𝑞 ^𝑖 ˙𝑞 𝑖

)

𝐹 + ∂𝐿

∂ ˙𝑞 ^𝑖 𝐺 𝑖

jest całką ruchu.

Wskazówka: proszę rozwinąć całkę działania po prawej stronie równości z dokładnością do wyrazów liniowych w 𝜀.

22. Korzystając z wyniku poprzedniego zadania proszę znaleźć trzecią, poza energią i momentem pędu, całkę ruchu w potencjale 𝑈 = −𝑘/𝑟 ² , a następnie wyznaczyć równanie orbity w sposób algebraiczny.

A. Rostworowski

http://th.if.uj.edu.pl/∼arostwor/

Zadania z mechaniki klasycznej (zestaw 5 - piątek 05.11.2010)

Zadania z mechaniki klasycznej (zestaw 5 - piątek 05.11.2010)

16. W zadaniu 12 (ruch po wewnętrznej powierzchni stożka w polu grawitacyjnym) proszę znaleźć warunek, aby cząstka poruszała się po okręgu, a następnie znaleźć okres małych drgań wokół orbity kołowej. Kiedy te zaburzone orbity będą zamknięte?

17. To samo co w poprzednim zadaniu dla problemu z zadania 13 (dwie masy połaczone sznurkiem przechodzącym przez dziurę w stole).

19. Proszę narysować jakościowy kształt orbit dla ruchu w potencjale centralnym gdy a) 𝑊 = 1/6, b) 𝑊 = 4/5.

20. Cząstka porusza się w zaburzonym potencjale keplerowskim:

𝑈 (𝑟) = − 𝑘 𝑟 −

𝜀

𝑟 3 , 𝑘 > 0, 𝜀 > 0.

(a) Proszę znaleźć potencjał efektywny i przedyskutować jakościowy charakter ruchu w za- leżności od energii i momentu pędu.

(b) Proszę pokazać, że orbita kołowa o promieniu 𝑟 0 po małym zaburzeniu ulega precesji (położenia kolejnych peryheliów orbity przesuwają się mały kąt 𝛿𝜙). Proszę znaleźć kąt precesji (𝛿𝜙).

21. Niech inﬁnitezymalne przekształcenie współrzędnych i czasu ma postać:

˜

𝑞 𝑖 = 𝑞 𝑖 + 𝜀𝐺 𝑖 (𝑞 𝑖 , 𝑡)

˜ 𝑡 = 𝑡 + 𝜀𝐹 (𝑞 𝑖 , 𝑡).

Proszę pokazać, że jeśli to przekształcenie zachowuje całkę działania:

𝑡

∫

𝑡

𝐿 (

𝑞 𝑖 , 𝑑𝑞 𝑖 𝑑𝑡 , 𝑡

) 𝑑𝑡 =

˜ 𝑡

∫

˜ 𝑡

𝐿 (

˜ 𝑞 𝑖 , 𝑑˜ 𝑞 𝑖

𝑑˜ 𝑡 , ˜ 𝑡 )

𝑑˜ 𝑡 ,

to wielkość

(

𝐿 − ∂𝐿

∂ ˙𝑞 𝑖 ˙𝑞 𝑖

)

𝐹 + ∂𝐿

∂ ˙𝑞 𝑖 𝐺 𝑖

jest całką ruchu.

Wskazówka: proszę rozwinąć całkę działania po prawej stronie równości z dokładnością do wyrazów liniowych w 𝜀.

22. Korzystając z wyniku poprzedniego zadania proszę znaleźć trzecią, poza energią i momentem pędu, całkę ruchu w potencjale 𝑈 = −𝑘/𝑟 2 , a następnie wyznaczyć równanie orbity w sposób algebraiczny.

A. Rostworowski

http://th.if.uj.edu.pl/∼arostwor/

𝑟 ³ , 𝑘 > 0, 𝜀 > 0.

(b) Proszę pokazać, że orbita kołowa o promieniu 𝑟 ⁰ po małym zaburzeniu ulega precesji (położenia kolejnych peryheliów orbity przesuwają się mały kąt 𝛿𝜙). Proszę znaleźć kąt precesji (𝛿𝜙).

𝑞 ^𝑖 = 𝑞 ^𝑖 + 𝜀𝐺 ^𝑖 (𝑞 ^𝑖 , 𝑡)

˜ 𝑡 = 𝑡 + 𝜀𝐹 (𝑞 ^𝑖 , 𝑡).

𝑞 ^𝑖 , 𝑑𝑞 ^𝑖 𝑑𝑡 , 𝑡

˜ 𝑞 ^𝑖 , 𝑑˜ 𝑞 ^𝑖

∂ ˙𝑞 ^𝑖 ˙𝑞 𝑖

∂ ˙𝑞 ^𝑖 𝐺 𝑖

22. Korzystając z wyniku poprzedniego zadania proszę znaleźć trzecią, poza energią i momentem pędu, całkę ruchu w potencjale 𝑈 = −𝑘/𝑟 ² , a następnie wyznaczyć równanie orbity w sposób algebraiczny.