Zadania z mechaniki klasycznej (zestaw 7 - piątek 26.11.2010) 27. Czastka o masie

(1)

Zadania z mechaniki klasycznej (zestaw 7 - piątek 26.11.2010)

27. Czastka o masie 𝑚 porusza sie w trójwymiarowej przestrzeni w polu grawitacyjnym masy 𝑀 (𝑀 >> 𝑚)

𝑈 (𝑟) = − 𝛼

𝑟 , 𝛼 = 𝐺𝑀 𝑚.

Proszę znaleźć równanie orbity. W tym celu proszę:

(a) zapisać lagranżjan cząstki w odpowiednim układzie współrzędnych,

(b) korzystając z zasad zachowania sprowadzić problem do równania jednowymiarowego w potencjale efektywnym,

(c) rozwiaząć otrzymane równanie różniczkowe na funkcję 𝑟(𝜙),

(d) przedyskutować kształt orbity w zależności od bezwymiarowego parametru 𝜀 =

√

1 + 2𝐸𝐽 ² 𝑚𝛼 ² .

Wskazówka: Równanie na kształt orbity można rozwiązywać standardową metodą rozdzie- lenia zmiennych, znalezienia 𝜙(𝑟), a następnie odwrócenia tej zależności. Rozwiązanie można otrzymać w zręczny sposób stosując podstawienie 𝑥 = 1/𝑟 − 𝑚𝛼/𝐿 ² .

28. Cząstka porusza się w zaburzonym potencjale keplerowskim:

𝑈 (𝑟) = − 𝛼 𝑟 −

𝜀

𝑟 ³ , 𝛼 > 0, 𝜀 > 0.

(a) Proszę znaleźć potencjał efektywny i przedyskutować jakościowy charakter ruchu w za- leżności od energii i momentu pędu.

(b) Proszę pokazać, że orbita kołowa o promieniu 𝑟 ⁰ po małym zaburzeniu ulega precesji (położenia kolejnych peryheliów orbity przesuwają się mały kąt 𝛿𝜙). Proszę znaleźć kąt precesji (𝛿𝜙).

29. Niech inﬁnitezymalne przekształcenie współrzędnych i czasu ma postać:

˜

𝑞 ^𝑖 = 𝑞 ^𝑖 + 𝜀𝐺 ^𝑖 (𝑞 ^𝑖 , 𝑡)

˜ 𝑡 = 𝑡 + 𝜀𝐹 (𝑞 ^𝑖 , 𝑡).

Proszę pokazać, że jeśli to przekształcenie zachowuje całkę działania:

𝑡

₂

∫

𝑡

₁

𝐿 (

𝑞 𝑖 , 𝑑𝑞 𝑖

𝑑𝑡 , 𝑡 )

𝑑𝑡 =

˜ 𝑡

₂

∫

˜ 𝑡

₁

𝐿 (

˜ 𝑞 𝑖 , 𝑑˜ 𝑞 𝑖

𝑑˜ 𝑡 , ˜ 𝑡 )

𝑑˜ 𝑡 ,

to wielkość

(

𝐿 − ∂𝐿

∂ ˙𝑞 ^𝑖 ˙𝑞 ^𝑖 )

𝐹 + ∂𝐿

∂ ˙𝑞 ^𝑖 𝐺 ^𝑖 jest całką ruchu.

Wskazówka: proszę rozwinąć całkę działania po prawej stronie równości z dokładnością do wyrazów liniowych w 𝜀.

30. Korzystając z wyniku poprzedniego zadania proszę znaleźć trzecią, poza energią i momentem pędu, całkę ruchu w potencjale 𝑈 = −𝑘/𝑟 ² , a następnie wyznaczyć równanie orbity w sposób algebraiczny.

A. Rostworowski

http://th.if.uj.edu.pl/ arostwor/

Zadania z mechaniki klasycznej (zestaw 7 - piątek 26.11.2010) 27. Czastka o masie

Zadania z mechaniki klasycznej (zestaw 7 - piątek 26.11.2010)

27. Czastka o masie 𝑚 porusza sie w trójwymiarowej przestrzeni w polu grawitacyjnym masy 𝑀 (𝑀 >> 𝑚)

𝑈 (𝑟) = − 𝛼

𝑟 , 𝛼 = 𝐺𝑀 𝑚.

Proszę znaleźć równanie orbity. W tym celu proszę:

(a) zapisać lagranżjan cząstki w odpowiednim układzie współrzędnych,

(b) korzystając z zasad zachowania sprowadzić problem do równania jednowymiarowego w potencjale efektywnym,

(c) rozwiaząć otrzymane równanie różniczkowe na funkcję 𝑟(𝜙),

(d) przedyskutować kształt orbity w zależności od bezwymiarowego parametru 𝜀 =

√

1 + 2𝐸𝐽 2 𝑚𝛼 2 .

Wskazówka: Równanie na kształt orbity można rozwiązywać standardową metodą rozdzie- lenia zmiennych, znalezienia 𝜙(𝑟), a następnie odwrócenia tej zależności. Rozwiązanie można otrzymać w zręczny sposób stosując podstawienie 𝑥 = 1/𝑟 − 𝑚𝛼/𝐿 2 .

28. Cząstka porusza się w zaburzonym potencjale keplerowskim:

𝑈 (𝑟) = − 𝛼 𝑟 −

𝜀

𝑟 3 , 𝛼 > 0, 𝜀 > 0.

(a) Proszę znaleźć potencjał efektywny i przedyskutować jakościowy charakter ruchu w za- leżności od energii i momentu pędu.

(b) Proszę pokazać, że orbita kołowa o promieniu 𝑟 0 po małym zaburzeniu ulega precesji (położenia kolejnych peryheliów orbity przesuwają się mały kąt 𝛿𝜙). Proszę znaleźć kąt precesji (𝛿𝜙).

29. Niech inﬁnitezymalne przekształcenie współrzędnych i czasu ma postać:

˜

𝑞 𝑖 = 𝑞 𝑖 + 𝜀𝐺 𝑖 (𝑞 𝑖 , 𝑡)

˜ 𝑡 = 𝑡 + 𝜀𝐹 (𝑞 𝑖 , 𝑡).

Proszę pokazać, że jeśli to przekształcenie zachowuje całkę działania:

𝑡

∫

𝑡

𝐿 (

𝑞 𝑖 , 𝑑𝑞 𝑖

𝑑𝑡 , 𝑡 )

𝑑𝑡 =

˜ 𝑡

∫

˜ 𝑡

𝐿 (

˜ 𝑞 𝑖 , 𝑑˜ 𝑞 𝑖

𝑑˜ 𝑡 , ˜ 𝑡 )

𝑑˜ 𝑡 ,

to wielkość

(

𝐿 − ∂𝐿

∂ ˙𝑞 𝑖 ˙𝑞 𝑖 )

𝐹 + ∂𝐿

∂ ˙𝑞 𝑖 𝐺 𝑖 jest całką ruchu.

Wskazówka: proszę rozwinąć całkę działania po prawej stronie równości z dokładnością do wyrazów liniowych w 𝜀.

30. Korzystając z wyniku poprzedniego zadania proszę znaleźć trzecią, poza energią i momentem pędu, całkę ruchu w potencjale 𝑈 = −𝑘/𝑟 2 , a następnie wyznaczyć równanie orbity w sposób algebraiczny.

A. Rostworowski

http://th.if.uj.edu.pl/ arostwor/

1 + 2𝐸𝐽 ² 𝑚𝛼 ² .

Wskazówka: Równanie na kształt orbity można rozwiązywać standardową metodą rozdzie- lenia zmiennych, znalezienia 𝜙(𝑟), a następnie odwrócenia tej zależności. Rozwiązanie można otrzymać w zręczny sposób stosując podstawienie 𝑥 = 1/𝑟 − 𝑚𝛼/𝐿 ² .

𝑟 ³ , 𝛼 > 0, 𝜀 > 0.

(b) Proszę pokazać, że orbita kołowa o promieniu 𝑟 ⁰ po małym zaburzeniu ulega precesji (położenia kolejnych peryheliów orbity przesuwają się mały kąt 𝛿𝜙). Proszę znaleźć kąt precesji (𝛿𝜙).

𝑞 ^𝑖 = 𝑞 ^𝑖 + 𝜀𝐺 ^𝑖 (𝑞 ^𝑖 , 𝑡)

˜ 𝑡 = 𝑡 + 𝜀𝐹 (𝑞 ^𝑖 , 𝑡).

∂ ˙𝑞 ^𝑖 ˙𝑞 ^𝑖 )

∂ ˙𝑞 ^𝑖 𝐺 ^𝑖 jest całką ruchu.

30. Korzystając z wyniku poprzedniego zadania proszę znaleźć trzecią, poza energią i momentem pędu, całkę ruchu w potencjale 𝑈 = −𝑘/𝑟 ² , a następnie wyznaczyć równanie orbity w sposób algebraiczny.