dr Krzysztof yjewski MiBM; S-I0.in». 2 listopada 2015
Ukªady równa« liniowych
Informacje pomocnicze
De nicja. Ukªad równa« liniowych
A · X = B,
w którym A jest macierz¡ kwadratow¡ nieosobliwa (detA 6= 0) nazywa si¦ ukªadem Cramera.
Twierdzenie. Ukªad Cramera posiada dokªadnie jedno rozwi¡zanie:
x1 x2 ...
xn
= 1
det A
det A1
det A2
det A... n
,
gdzie wyznaczniki det Aj, j = 1, 2, . . . n otrzymujemy poprzez zast¡pienie w macierzy A j−tej kolumny kolumn¡ wyrazów wolnych.
Rozwa»my teraz ogólna posta¢ ukªadu m równa« liniowych z n niewiadomymi postaci:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
... ... ... ...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
, (U RL)
gdzie aij, bi ∈ R dla ka»dego i ∈ {1, 2, . . . m}, j ∈ {1, 2, . . . n}.
Twierdzenie.(Kroneckera-Capellego)
Ukªad równa« liniowych (URL) posiada co najmniej jedno rozwi¡zanie wtedy i tylko wtedy gdy rz A = rz AU (tzn. rz¡d macierzy gªównej tego ukªadu jest równy rz¦dowi jego macierzy uzupeª- nionej). Ponadto, je±li:
• rz A = rz AU = n to ukªad dokªadnie jedno rozwi¡zanie(oznaczony);
• rz A = rz AU < n to ukªad ma niesko«czenie wiele rozwi¡za« (nieoznaczony) zale»nych od n − r,gdzie r = rz A;
• rz A 6= rz AU, to ukªad ten nie posiada rozwi¡za« i nazywamy go sprzecznym.
Operacje elementarne w metodzie eliminacji Gaussa
Uwaga! Poni»sze operacje elementarne s¡ wykonywane jedynie na wierszach (w przeciwie«- stwie do operacji elementarnych wykonywanych na macierzach, za pomoc¡ których wyznaczali±my rz¡d macierzy).
1
dr Krzysztof yjewski MiBM; S-I0.in». 2 listopada 2015
Operacje elementarne wykonywane na wierszach rozszerzonej macierzy ukªadu równa« liniowych AU:
• mno»enia dowolnego wiersza przez liczb¦ ró»n¡ od 0;
• zamiany mi¦dzy sob¡ dwóch wierszy;
• dodania do dowolnego wiersza innego wiersza przemno»onego przez dowoln¡ liczb¦.
• skre±lenie wiersza zªo»onego z samych zer;
• skre±lenie wiersza proporcjonalnego do innego wiersza.
Zadania
1. Stosuj¡c wzory Cramera rozwi¡» poni»sze ukªady równa« liniowych:
(a)
2x + y = −1
−x + 3y = 11 (b)
x + 3y − 4z = 0 2x − y + z = 2 5x + y − 3z = −1 (c)
−3x + 5y + 5z = 16 17x − 6z = 15
−x + 8y + 6z = 25
(d)
x + y + 2z = 5 x + y + z = 6 2x + y + z = 3 (e)
x + 2y + 3z = 14 3x + y + 2z = 11 2x + 3y + z = 11
(f)
x + 2y + 3z − 2w = 6 2x − y − 2z − 3w = 8 3x + 2y − z + 2w = 4 2x − 3y + 2z + w = −8
2. Korzystaj¡c z twierdzenia Kroneckera - Capelliego w podanych ukªadach równa« liniowych okre±li¢ liczb¦ rozwi¡za« oraz parametrów równania:
(a)
x + y − 4z = 0 2x + 2y − 8z = 1 5x + 5y − 20z = 3
(b)
x − 3y + z = 0 2x + y − z = 1 5x − y − z = 2 x − 10y + 4z = −1
x + y + 2z = 1 (c)
x − y + 2z − t = 1 2x − 3y − z + t = −1
x + 7y − t = 4
(d)
7x − 18y − 18z = −30 2x − 9y − 18z = −36 4x − 9y − 6z = −6
−7x + 9y − 12z = −34 (e)
−5x − 9y + 6z = −16 4x − 3y + 15z = 4
−10x − 18y + 12z = −32
(f)
7x + 13y − z = −10 7x + 15y + z = −24
−6x − 6y − 10z = 8 11y − 17z = −15 (g)
x + 2y + 3z = 0
−x + y − 2z = 1 x + 5y + 4z = 0
(h)
x + 2y + 3z − 2t + u = 4 3x + 6y + 5z − 4t + 3u = 5 x + 2y + 7z − 4t + u = 11 2x + 4y + 2z − 3t + 3u = 6
2
dr Krzysztof yjewski MiBM; S-I0.in». 2 listopada 2015
3. Stosuj¡c metod¦ eliminacji Gaussa rozwi¡za¢ podane ukªady równa«:
(a)
4x + y + z − t = 10 y + 3z + t = 8 x − 2y − 2z + 2 = 4
(b)
x + 2y + z + t = 7 2x − y − z + 4t = 2 5x + 5y + 2z + 7t = 1
(c)
x − 2y + z = 4 x + y + z = 1 2x − 3y + 5z = 10 5x − 6y + 8z = 19
(d)
2x + 3y + 2z − t = 3 2x + y + z + 2s + 3t = 6
3x − z + s + t = 3 y + 4s + t = 1 2x + y + z − 2s + 5t = 8 (e)
x + y + z + u + v = 1 x − y + z − u + v = 5 x + z + v = 3 x + y + v = 1
(e)
x + y + z + t = 4 2x − y + z = 2 4x + y + 3z + 2t = 8 3x − 3y + z − t = 0 4. W zale»no±ci od parametru a okre±l liczb¦ rozwi¡za« podanych ukªadów równa«:
(a)
ax + y + z = 1 x + ay + z = 1 x + y + az = 1
(b)
x + y + z = 1 ax + y + z = 2 x + y + az = 4
(c)
x + az = 1 x + 2y + z = 4 x + 3y − z = 0 3x + 8y − z = 4
5. Producent do wykonania pewnego podzespoªu u»ywa czterech ró»nych elementów. Elementy te zostaªy dostarczone w czterech partiach w ilo±ciach uwidocznionych w tabelce:
element a b c d kwota do zapªaty
dostawa 1 10 5 5 15 140
dostawa 2 10 10 5 10 135
dostawa 3 5 20 15 5 185
dostawa 4 5 10 10 20 175
Jaka byªa cena poszczególnych elementów, je»eli ceny za dostawy zapisane s¡ w ostatniej kolumnie?
Odpowiedzi:
1. a)
(x = −2,
y = −3; b)
x = 117, y = 437, z = 5;
c)
x = 3, y = −1, z = 6
d)
x = −3, y = 10, z = −1;
e)
x = 1, y = 2, z = 3;
f)
x = −2, y = 1, z = 2, w = −1.
2. a) brak rozwi¡za«, b) jedno rozwi¡zanie, c) niesko«czenie wiele rozwi¡za«, 1 parametr, d) niesko«czenie wiele rozwi¡za«, 2 parametry, e) brak rozwi¡za«, f) jedno rozwi¡zanie, g) brak rozwi¡za«, h) niesko«czenie wiele rozwi¡za«, 2 parametry.
3. a)
x = 2, y = 2a − 1, z = −a + 3, t = a.
b)brak rozwi¡za«, c)
x = 1, y = −1, z = 1.
d)
x = 1, y = 0, z = 1, s = 0, t = 1
e)
x = a − b + 3, y = −a − 2, z = −a, u = a, v = b e) brak rozwi¡za«.
4. a) a = 1 niesko«czenie wiele rozwi¡za«, dwa parametry, a = −2 brak rozwi¡za«, a ∈ R \ {−2, 1}
jedno rozwi¡zanie; b) a = 1 brak rozwi¡za«, a 6= 1 jedno rozwi¡zanie; c) a = 5 brak rozwi¡za«, a-5 jedno rozwi¡zanie.
5. a = 5, b = 2, c = 7, d = 3.
3
