Lp. Wzór Uwagi

dr Krzysztof ›yjewski Zarz¡dzanie 8 grudnia 2019

Caªka nieoznaczona i oznaczona

Informacje pomocnicze:

Lp. Wzór Uwagi

1. R 0dx = c

2. R adx = ax + c

3. R x ^α dx = _α+1 ¹ x ^α+1 + c α ∈ R \ {−1}

4. R sin xdx = − cos x + c 5. R cos xdx = sin x + c

6. R tg xdx = − ln | cos x| + c x 6= ^π ₂ + kπ, k ∈ N 7. R ctg xdx = ln | sin x| + c x 6= kπ, k ∈ N 8. R a ^x dx = _{ln a} ¹ a ^x + c a > 0 9. R e ^x dx = e ^x + c

10. R ₁

x dx = ln |x| + c x 6= 0

11. R ₁

cos

²

x dx = tg x + c x 6= ^π ₂ + kπ, k ∈ N

12. R ₁

sin

²

x dx = − ctg x + c x 6= kπ, k ∈ N

13. R ₁

√ a

²

−x

²

dx = arcsin ^x _a + c a 6= 0

14. R ₁

a

²

+x

²

dx = _a ¹ arctg ^x _a + c a 6= 0 15. R ^√ _x ¹

2

+a dx = ln 

x + √

x ² + a 

 + c a ∈ R

16. R ₁

a

²

−x

²

dx = _2a ¹ ln   ^a+x

a−x



 + c a > 0, |x| 6= a 17. R _f

⁰

_(x)

f (x) dx = ln |f (x)| + c

18. R ₁

ax+b dx = ¹ _a ln |ax + b| + c

Twierdzenie 1. (Podstawowe prawa rachunku caªkowego)

Niech funkcje f i g b¦d¡ ci¡gªe na przedziale [a, b] oraz k ∈ R \ {0}. Wówczas:

• R kf (x)dx = k · R f (x)dx , gdzie a = const. ∈ R,

• R [f (x) ± g(x)]dx = R f (x)dx ± R g(x)dx.

Twierdzenie 2. (caªkowanie przez podstawienie)

Niech funkcja f b¦dzie ci¡gªa na przedziale [a, b] oraz funkcja g ma ci¡gª¡ pochodn¡ (tzn. funkcja g

⁰

(x) jest ci¡gªa). Wówczas zachodzi poni»szy wzór na caªkowanie przez podstawienie:

Z

f [g(x)] · g

⁰

(x)dx = Z

f (t)dt, (1)

gdzie t = g(x) oraz dt = g

⁰

(x)dx.

Twierdzenie 3. (caªkowanie przez cz¦±ci)

Niech funkcje f i g maj¡ ci¡gªe pochodne. Wówczas ma miejsce tzw. wzór na caªkowanie przez cz¦±ci:

Z

f (x)g

⁰

(x)dx = f (x)g(x) − Z

f

⁰

(x)g(x)dx. (2)

1

dr Krzysztof ›yjewski Zarz¡dzanie 8 grudnia 2019

Interpretacja geometryczna caªki oznaczonej

Je»eli funkcja podcaªkowa f jest nieujemna, to caªk¦ oznaczon¡ R

^b

a

f (x)dx interpretujemy jako pole P obszaru pªaskiego ograniczonego wykresem funkcji y = f(x), osi¡ Ox oraz prostymi x = a i x = b (patrz Rysunek 1 a)):

P =

b

Z

a

f (x)dx, je»eli f(x) ≥ 0 dla x ∈ [a, b].

a) b)

Rysunek 1: Interpretacja geometryczna caªki oznaczonej.

Je»eli funkcja f jest niedodatnia na przedziale [a, b] to pole P obszaru pªaskiego ograniczo- nego wykresem funkcji y = f(x), osi¡ Ox oraz prostymi x = a i x = b równe jest − R

^b

a

f (x)dx (patrz Rysunek 1 b)).

P = −

b

Z

a

f (x)dx, je»eli f(x) ≤ 0 dla x ∈ [a, b].

Je»eli funkcja f na przedziale [a, b] zmienia znak, to pole P obszaru pªaskiego ograniczonego wykresem funkcji y = f(x), osi¡ Ox oraz prostymi x = a i x = b równe jest sumie pól poªo»onych powy»ej osi Ox i poni»ej osi (patrz rysunek 2a), gdzie:

P = P

₁

+ P

₂

+ P

₃

=

c

Z

a

f (x)dx −

d

Z

c

f (x)dx +

b

Z

d

f (x)dx.

Je»eli krzywe y = f(x) oraz y = g(x) dla x ∈ [a, b] speªniaj¡ nierówno±¢ f(x) ≥ g(x) co oznacza,

»e wykres funkcji f znajduje si¦ powy»ej wykresu funkcji g, to pole obszaru ograniczonego tymi krzywymi oraz prostymi x = a, x = b (patrz rysunek 2b) wyra»a si¦ wzorem:

P =

b

Z

a

[f (x) − g(x)]dx.

Twierdzenie 4. (podstawowe wªasno±ci caªki oznaczonej)

Niech funkcje f i g b¦d¡ caªkowalne na przedziale [a, b], k = const. oraz c ∈ [a, b]. Wówczas:

2

dr Krzysztof ›yjewski Zarz¡dzanie 8 grudnia 2019

a) b)

Rysunek 2: Zastosowanie caªki oznaczonej do liczenia pól obszarów pªaskich.

a) R

^a

b

f (x)dx = −

b

R

a

f (x)dx;

b) R

^b

a

k · f (x)dx = k

b

R

a

f (x)dx;

c) R

^b

a



f (x) ± g(x)  dx =

b

R

a

f (x)dx ±

b

R

a

g(x)dx;

d) R

^b

a

f (x)dx =

c

R

a

f (x)dx +

b

R

c

f (x)dx.

Twierdzenie 5. (wzór Newtona-Leibniza - cz¦±¢ druga gªównego twierdzenia rachunku caªkowego) Je±li f jest ci¡gªa na przedziale [a, b] i F jest funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f, to

b

Z

a

f (x)dx = F (b) − F (a).

3

dr Krzysztof ›yjewski Zarz¡dzanie 8 grudnia 2019

Zadania:

1. Sprawd¹, czy funkcja F (x) = (x

²

+ 5x + 1) cos x jest funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f (x) = (2x + 5) cos x − (x

²

+ 5x + 1) sin x − 2019 w zbiorze P = [1, +∞).

2. Korzystaj¡c z podstawowych wzorów na caªki funkcji elementarnych oblicz podane caªki nie- oznaczone:

(a) R x

²

dx; (b) R x

²

√

x + x

³

+ 4x − 1dx; (c) R 5x − 6x

²

+

¹_x

+ cos x + e

^x

dx;

(d) R

_dx

√5

x²

; (e) R 3

^x

dx; (f ) R

_x²_dx

x²+1

; (g) R tg

²

xdx; (h) R

_e^x_dx

3e^x−2

; (i) R

₄

x²+1

dx;

(j) R

x√ x−x√⁴

x

√3

x

dx; (k) R

(x²−1)³

x

dx; (l) R 

5

3x

−

^{√ 4}

x²+1

+

⁵

√3 cos²x

 dx;

3. Wyznaczy¢ wzór funkcji f(x) je±li f

⁰

(x) = x

²

+ 3 oraz f(3) = 10.

4. Wyznaczy¢ wzór funkcji f(x) je±li f

⁰

(x) = 6x + 4 oraz f

⁰

(0) = 5 i f(1) = 2.

5. Korzystaj¡c z twierdzenia o caªkowaniu przez podstawianie oblicz:

(a) R

_e^x

e^x+2

dx; (b) R x √

x

²

− 3dx; (c) R

_x

3x²−2

dx;

(d) R

_{ln x}

x

dx; (e) R xe

^x2

dx; (f ) R (5 − 3x)

¹⁰

dx;

(g) R

_2x+1

(2x²+2x+5)⁵

dx; (h) R cos(5x+2)·sin

⁴

(5x+2)dx; (i) R (2x + e

^x

) sin(x

²

+ e

^x

)dx;

(j) R (6x − 4)e

^3x2−4x+1

dx; (k) R

_{sin x}

3+2 cos x

dx; (l) R 3(x + 2) √

³

x

²

+ 4xdx;

6. Korzystaj¡c z twierdzenia o caªkowaniu przez cz¦±ci oblicz:

(a) R x sin xdx; (b) R x

²

e

^−x

dx; (c) R

_x

cos²x

dx;

(d) R ln xdx; (e) R ln(x

²

+ 1)dx; (f ) R x

⁴

ln xdx;

(g) R x

²

sin xdx; (k) R (3x

²

+ 4x − 1) cos xdx; (l) R x

²

· 5

^x

dx;

7. Oblicz podane caªki oznaczone z wykorzystaniem wzoru Newtona-Leibniza a)

2

R

0

(5x

²

+ 2x − 1)dx; b)

3

R

0

(4x + 1)

²

dx; c)

π

R

2

0

(cos x + sin x) dx;

d)

π 2

R

π 6

cos xdx; e)

4

R

1

x³+x²+3

x²

dx; f )

2

R

1

x

²

+

_x¹2

dx;

g)

π/2

R

0

sin

³

x cos xdx; h)

1

R

0

√1

1+x

dx; i)

e²

R

e 1 x ln x

dx;

j)

e

R

1

x ln xdx; k)

9

R

1 1+x√

x

dx; ; l)

0

R

−1

xe

^−x

dx;

8. Korzystaj¡c z interpretacji caªki oznaczonej oblicz pole obszaru D ograniczonego:

a) y = ln x, x = e, y = 0; b) y = sin x, o± Ox na przedziale [0; π]

c) y = −x

²

+ x + 2, , y = 0; d) y = −x

²

+ x, y = −x;

e) y = x

²

+ 5x, y = x + 5, y = 0; f) y =

⁴_x

o± Ox i proste x = 1, x = 4;

g) y = x

³

− 4x i osi¡ Ox.

4