D ariusz Przybysz
Polska Akademia N auk
AGREGOWANIE OCEN SĘDZIÓW SPORTOWYCH JAKO PRZYKŁAD ZBIOROWEGO PODEJM OW ANIA DECYZJI*
Ustalanie kolejności zawodników na podstawie ocen sędziów sportowych w kon
kurencjach niewymiernych (łyżwiarstwo figurowe, gimnastyka sportowa itd.) jest szczegól
ną sytuacją podejmowania decyzji zbiorowych. Artykuł prezentuje i analizuje najbardziej znane metody agregacji ocen sędziów. Narzędziem analizy tych metod są postulaty zaczerpnięte z teorii społecznego wyboru. Przeanalizowana zostanie również szczególna rola arbitra, a także kryteria oceniania zawodników w niewymiernych dyscyplinach sportowych.
Główne pojęcia: teoria społecznego wyboru, postulaty racjonalności, oceny sędziowskie, ustalanie kolejności zawodników, kryteria oceniania.
W życiu codziennym spotykam y się z wieloma sytuacjami, w których decyzje podejm ow ane są wspólnie przez członków grupy. W odróżnieniu od decyzji podejm ow anych indywidualnie, sytuacje takie wym agają określenia odpowiednich procedur, m etod „przełożenia” preferencji poszczególnych osób n a preferencję w spólną całej grupy. W ybór właściwej m etody podejm ow ania decyzji zbiorowych odgryw a istotne znaczenie dla sprawnego funkcjonow ania rozm aitych instytucji społecznych, organizacji. N orm atyw na teoria w yboru społecznego dostarcza nam wiele postulatów , które m etody takie powinny spełniać. Postulaty te m ogą być wykorzystywane do porów nyw ania ze sobą poszczególnych m etod.
W ybór właściwej m etody podejm ow ania decyzji zbiorowych jest w pewnym stopniu uzależniony od kontekstu podejm owanych decyzji. A rtykuł ten p o święcony jest problem owi ustalania kolejności zawodników na podstaw ie ocen
Instytut Filozofii i Socjologii PAN, ul. Nowy Świat 72, 00-330 Warszawa; e-mail: przybysz@ ifis pan.waw.pl
* Istotny wpływ na powstanie tego artykułu, napisanego n a podstawie pracy magisterskiej, miał jej prom otor prof, dr hab. Grzegorz Lissowski. Za uwagi redakcyjne podziękowania należą się również Agnieszce Popko. Dziękuję także sędziom sportowym, którzy udzielili mi informacji na tem at regulaminów sportowych.
sędziów w sporcie. Interesow ać więc nas będą te dyscypliny, w których kolejność jest ustalan a n a podstaw ie not wystawianych przez sędziów, arbitrów . Będą to takie konkurencje ja k łyżwiarstwo figurowe, gimnastyka sportow a, gim nastyka artystyczna, skoki do wody, pływanie synchroniczne itp. N ie
właściwy w ybór m etody agregacji ocen m oże wywołać frustracje i poczucie niesprawiedliwości zarów no u zawodników, którzy są oceniani, ja k również u kibiców sportowych. Interesujące jest, ja k dalece m etody spotykane w sporcie zgodne są z postulatam i form ułow anym i przez teoretyków w yboru społe
cznego.
Analizę naszą rozpoczniem y od odpowiedzi na pytanie: jak ą szczególną rolę pełnią sędziowie w wyżej wymienionych konkurencjach sportowych? Przed
stawimy najczęściej spotykane w sporcie m etody ustalania kolejności zaw od
ników. Jak powiedzieliśmy wcześniej, dla potrzeb analizy tych m etod wykorzys
tam y postulaty stosow ane w normatywnej teorii w yboru społecznego. Postulaty te zostaną przytoczone i wyjaśnione, tak aby Czytelnik niezorientowany w tej dziedzinie m ógł prześledzić naszą analizę. Zastanow im y się również nad kryteriam i, jakim i posługują się sędziowie oceniając występy zawodnika, a także nad innymi aspektam i pracy arbitrów , wpływającymi n a wystawiane przez nich oceny.
W wielu dyscyplinach takich ja k np.: biegi, skoki w dal wyniki są ustalane za pom ocą pewnych przyrządów , ja k stoper czy m iara. W ystępy zawodników w dyscyplinach „ocennych” nie m ogą być w obiektywny sposób wymierzone.
W konkurencjach tych rolę takich narzędzi pom iarow ych z konieczności pełnią sędziowie. Są oni jed n ak „narzędziam i” niedoskonałymi. Z wielu względów.
Postaram się pokrótce omówić najważniejsze z nich.
• M ogą się pojaw iać kłopoty z percepcją, z bezstronną oceną występu zawod
nika. N aw et gdy sędziowie nie m ają złych intencji, czasem trudno jest uniknąć pewnych wypaczeń, na przykład nie dostrzegając błędów zawodnika, który ju ż przed zaw odam i uważany jest za faw oryta imprezy.
• Tadeusz Tyszka i M arek W ielochowski w artykule M ust Boxing Verdicts be Biased? (1991) za pom ocą analiz statystycznych i wyników przeprow adzo
nych eksperym entów, w skazują błędy, na popełnianie których podatni są sędziowie w boksie. Okazuje się, że ocena zawodników w rundzie drugiej i trzeciej jest w pewnym stopniu wynikiem opinii o zaw odnikach, jak ą wyrobili sobie sędziowie podczas pierwszej rundy.
• W ydaje się również, że reakcje publiczności także nie pozostają bez znaczenia n a wydaw ane przez sędziów oceny. A rbitrzy m ogą przejawiać skłonność do zawyżania ocen występu nagradzanego burzliwymi brawami.
• Oceny sędziów m ogą być również wypaczone ze względów bardziej obiektyw
nych, takich ja k np. ograniczenie widoczności. N ie wszystkie błędy za
w odnika m o g ą być widoczne z każdego miejsca na trybunach. Stąd też pojaw ia się konieczność oceny przez kilku arbitrów . W wielu regulam inach
sportow ych m ożna spotkać szczegółowe instrukcje rozmieszczenia poszcze
gólnych sędziów n a trybunach.
• N aw et jeśli sędzia będzie widział dokładnie występ zawodnika, m oże mieć problem y z oceną wszystkich jego aspektów, „przetworzeniem wszystkich inform acji” w ocenę, ja k ą przyzna danem u zawodnikowi. Stąd też w nie
których dyscyplinach w prow adza się podział ról pomiędzy sędziów, np.: część arbitrów ocenia w artość techniczną występu, inni jego w artość artystyczną.
Dzięki tem u m ożliw a jest koncentracja arb itra na poszczególnych aspektach występu.
• Oczywiście pew na liczba pom yłek sędziowskich jest spow odow ana przez zwykłą nieudolność, czy też b rak doświadczenia arbitrów . W ydaje się, że z problem em tym częściej spotykam y się na imprezach o niższej randze.
W iększość z wymienionych do tej pory wad ustalania kolejności zaw od
ników na podstaw ie ocen sędziów nie będzie przedm iotem tego artykułu. D la m oich rozw ażań najbardziej istotne wydają się problem y następujące:
• Wiele m etod ustalan ia kolejności zawodników zakłada częściową między
osobow ą porów nyw alność wystawianych ocen. Inaczej mówiąc, sędziowie powinni posługiwać się p o d o b n ą skalą (o takiej samej jednostce pom iaru) przyznając noty poszczególnym zawodnikom. Jednakże każdy z arbitrów m oże dokonyw ać „p om iaru ” występu zawodnika na innej skali. Przykładowo w sytuacji, gdy dopuszczalna skala ocen jest ustalona przez regulamin od 0 do 10 pkt., jeden z sędziów m oże w pełni wykorzystywać dostępną m u skalę ocen, drugi zaś będzie m iał opory, by noty zbliżone do m aksym alnych przyznać kom ukolw iek, uważając, że są one zarezerwowane dla „nieist
niejącego ideału” ; inny sędzia m oże mieć awersję do staw iania ocen zbyt niskich uważając, że byłyby one zbyt krzywdzące dla zawodników. Kwestia porównywalności ocen wystawianych przez różnych arbitrów tem u samemu zawodnikowi om ów iona będzie w dalszej części artykułu.
• Podstaw ą wielu m etod ustalania kolejności zawodników są preferencje sę
dziów. T e z kolei wyznaczane są n a podstaw ie wystawionych przez nich ocen poszczególnym zawodnikom . Jednakże owe preferencje m ogą być znieksz
tałcone przez konieczność przyznaw ania poszczególnym zawodnikom noty bezpośrednio po każdym występie. M oże się zdarzyć, że któryś z sędziów zbyt pochopnie przyzna notę m aksym alną jednem u z zawodników. W trakcie zawodów występ innego zawodnika spodoba m u się jeszcze bardziej, nie będzie już jedn ak m iał możliwości wyrazić tego poprzez przyznanie m u noty wyższej.
• Poszczególne m etody w różnym stopniu odporne są n a rozm aite zachow ania arbitrów , któ re określa się jak o p róby oceniania strategicznego. Będą to np.
celowe zawyżanie n o t zawodnikom swojego kraju bądź też zaniżanie innym, podaw anie ocen sprzecznych z rzeczywistą oceną własną. O statnia z wymie
nionych p rak ty k wymaga krótkiego wyjaśnienia. Najlepiej będzie, jeśli zrobim y to n a prostym przykładzie.
P rzykład 1.
M am y trzech sędziów, którzy oceniają trzech zawodników od 0 do 10 pkt.
Przypuśćmy, że ich prawdziwe oceny przedstaw iają się następująco:
Si S2 s 3
Zawodnik A 10,0 10,0 10,0
Zawodnik B 9,9 9,9 9,8
Zawodnik C 8,2 8,6 8,6
W ynik końcowy uzyskujemy przez zsumowanie n o t poszczególnych sę
dziów.
Przypuśćm y, że zaw odnik B jest ulubieńcem pierwszego sędziego. Zdaje on sobie sprawę, że zaw odnik A w ykonał program perfekcyjnie i przy
puszcza, że sędziowie drugi i trzeci dali m u notę m aksym alną. Jeżeli będzie on chciał za wszelką cenę, aby zawodnik B zajął pierwsze miejsce (przypuść
my, że nie boi się k a r dyscyplinarnych dla sędziów n a przykład dlatego, że są to ostatnie zawody, podczas których sędziuje), podwyższenie noty z 9,9 do 10,0 nie wystarczy. Będzie on m usiał przede wszystkim podać niższą notę dla zaw odnika A.
• Jednak naw et gdyby sędziowie byli zupełnie uczciwi, bądź też nie posiadali wystarczających inform acji n a tem at preferencji, ocen innych sędziów, które m ogliby wykorzystać w celach strategicznych, ja k w powyższym przykładzie, to nie wystarczałoby to, aby uznać wyniki zawodów za zupełnie sprawiedliwe.
Same regulam iny sportow e oraz zawarte w nich sposoby agregowania ocen sędziów w celu ustalenia kolejności zawodników nie m ogą być doskonałe (jeśli oceniamy więcej niż dwóch zawodników), o czym poucza nas teoria społecznego wyboru. Okazuje się bowiem, że żadna z m etod ustalania kolejności zaw odników nie m oże spełniać jednocześnie czterech łagodnych postulatów : nieograniczonej dziedziny, słabego w arunku optymalności Pare
to, niezależności od alternatyw niezwiązanych, wykluczenie dyk tatu ry1.
W odniesieniu do agregow ania ocen arbitrów , pierwszy z wymienionych w arunków - nieograniczonej dziedziny - m ówi tyle, że m etoda pow inna wyznaczyć kolejność zaw odników w każdej sytuacji, niezależnie od tego, jakie noty wystawią sędziowie poszczególnym zawodnikom. Pozostałe postulaty przytoczone zostaną w dalszej części artykułu.
1 Porównaj twierdzenie Arrowa o nieistnieniu (Sen 1970: 42).
Oznaczenia i podstawowe definicje
J a k powiedzieliśmy n a wstępie, narzędzia analizy zaczerpnięte zostaną z teorii społecznego wyboru. M ów iąc dokładniej, posługiwać się będziemy konwencją fu n kc ji społecznego dobrobytu (SW F - social welfare function).
W ujęciu tym m ówim y o agregowaniu preferencji indywidualnych w określoną jednoznacznie preferencję wspólną.
Zanim przedstaw im y m etody, które służą ustalaniu kolejności zawodników, niezbędne będzie wprowadzenie pewnych oznaczeń i definicji. Pom oże nam to dokonać prezentacji i analizy tych m etod w możliwie jednorodnym języku teoretycznym.
A - oznaczać będzie zbiór alternatyw społecznych;
X], x 2, x 3,··· x m - poszczególne alternatywy społeczne oceniane przez osoby podejm ujące zbiorow ą decyzję (w rozważanym przez nas przypadku będą to występy poszczególnych zawodników).
Indeks m oznacza liczbę alternatyw społecznych.
D la wygody w poszczególnych przykładach częściej będę oznaczał alterna
tywy m ałym i literam i tj. x , y, w itd.
N - oznaczać będzie zbiór wyborców, tj. osób podejmujących zbiorow ą decyzję;
i, j, k... - poszczególni wyborcy, osoby podejm ujące zbiorow ą decyzję (w rozw ażanych przez nas przypadkach będą to sędziowie);
Indeks n w niektórych oznaczeniach wskazywać będzie liczbę wyborców.
Przyjmuje się, że każdy w yborca może określić relację indywidualną R pom iędzy każdymi dwiema alternatyw am i należącymi do zbioru A. Zapis x Rj y oznacza, że osoba (sędzia) i uważa alternatywę x za przynajmniej tak d o b rą ja k alternatyw a y. Od racjonalnej relacji R wymagać będziemy, aby spełniała następujące warunki:
1. Zw rotność: V x e A : x R x
Oznacza to, że k ażda alternatyw a jest tak d o b ra ja k ona sama.
2. Spójność: V jc, y e A : (χ Φ y ) -» (x R y v y R x)
Oznacza to, że jeśli alternatyw a λ: nie jest przynajmniej tak d o b ra jak alternatyw a y, to alternatyw a y m usi być przynajmniej tak d o b ra ja k alterna
tywa x. Inaczej m ów iąc alternatywy m uszą być porównywalne ze sobą.
3. Przechodniość: M x , y , z e A \ ( x R y 8c y R z ) - ^ > x R z
Oznacza to, że jeśli alternatyw a x jest przynajmniej tak do bra ja k alterna
tywa y, oraz alternatyw a y przynajmniej tak do b ra jak alternatyw a z, to alternatyw a x m usi być przynajmniej tak do b ra ja k alternatyw a z.
Relacja R jest nazyw ana relacją słabej preferencji. W prow adźm y relacje indyferencji I oraz mocnej preferencji P.
x I y «-» ( x R y & y R x ) x P y *-* [ x R y & ~ ( y R x ) J
Preferencje indywidualne wszystkich n osób na ustalonym zbiorze alter
natyw społecznych nazywać będziemy profilem preferencji indywidualnych.
Profil taki oznaczać będziemy:
R" — (R}> R2 R f - R n) gdzie J?2- oznacza relację preferencji osoby z-tej.
Racjonalne relacje preferencji danej osoby tw orzą uporządkow anie alterna
tyw od najlepszej do najgorszej. W artykule tym preferencje danej osoby będziemy przedstaw iali w postaci takiego właśnie uporządkow ania. N a przykład zapis:
Rj : x, y - z oznaczać będzie, że: x P j y & x P1 z & y I j z.
W prow adźm y następne oznaczenia:
R - zbiór wszystkich preferencji n a ustalonym zbiorze alternatyw społecznych;
#T - zbiór wszystkich m ożliwych profili preferencji indywidualnych n osób.
Ja k wspom inaliśm y wcześniej, o społecznym podejm owaniu decyzji mówić będziemy jak o o agregow aniu preferencji indywidualnych w preferencję społe
czną R. T a k więc regułą zbiorowego w yboru będzie funkcja, k tó ra każdem u profilowi indywidualnych preferencji określonych n a zbiorze alternatyw społe
cznych, przyporządkow uje społeczną relację binarną określoną n a tym zbiorze:
F: R" -> R
Relacja preferencji społecznej nie musi być racjonalna, tj. zwrotna, przecho
dnia i spójna. Jeżeli nakładam y takie wymaganie na regułę zbiorowego wyboru, m am y wówczas do czynienia z funkcją społecznego dobrobytu (social welfare function). Choć wym agania te nie są zbyt wysokie, to jed nak wiele reguł ich nie spełnia, np. zasada zwykłej większości m oże wyznaczyć nieprzechodnią relację społeczną. Ponieważ zasada zw ykłej większości (M M D - m ethod o f majority decision) będzie podstaw ą jednej z m etod wykorzystywanych w sporcie, przed
stawimy ją pokrótce:
M M D wyznacza relacje społeczne w następujący sposób:
V x , y e A : x R y *-* N ( x Pj y ) > N ( y P t x)
gdzie dla wszystkich x , y e A , N ( x P i y ) oznacza liczbę osób i, dla których praw dą jest, że x P{ y.
Popatrzm y n a następujący przykład, obnażający wadę tej m etody.
P rzykład 2
D any jest profil preferencji indywidualnych:
R f x, y , z R f y, z, x R y z, x , y
W edług zasady zwykłej większości, relacja preferencji społecznej jest nastę
pująca:
x P y & y P z & z P x .
Ja k widać relacja ta nie jest przechodnia. Jednakże jest to m etoda godna uwagi. Posiada on a wiele zalet2 i wyznacza kryteria oceny innych m etod.
Pewnym racjonalnym wymogiem byłoby, aby w sytuacjach, gdy zasada zwykłej większości wyznacza przechodnią relację społeczną, uporządkow anie wy
znaczone za pom ocą innych m etod agregacji było zgodne z tą relacją.
Przedstawienie i analiza metod ustalania kolejności zawodników
Poniżej przedstaw ię kilka m etod ustalania kolejności zawodników. Będę je analizował posługując się następującym i postulatam i nakładanym i na funkcję społecznego dobrobytu: optym alność Pareto {Pareto optimality), niezależność od alternatyw niezwiązanych {independence o f irrelevant alternatives), pozycyjna niezależność {positionalist independence), anonim owość {anonimity), dualność {duality), postulaty związane z adekw atną reprezentacją oraz stabilność {stabi
lity).
W dyscyplinach, do których regulaminów udało m i się dotrzeć, punktem wyjściowym są oceny (noty, użyteczności), jakie sędziowie (wyborcy) przypisują występom poszczególnych zawodników (alternatywom). Skala ocen jest ograni
czona np. od 0 do 10 pkt. z dokładnością do 0,1 pkt. Zauważmy, że w takim przypadku równoważne jest to ocenianiu na skali 101-punktowej. Zróżnicowanie poszczególnych m etod polega na odmiennym traktow aniu tych ocen:
Metoda I
M eto da ta wykorzystyw ana jest obecnie w łyżwiarstwie figurowym.
Sędziowie wystawiają każdem u zawodnikowi ocenę składającą się z dwóch not składowych. K ażda z nich zawiera się w przedziale od 0 do 6 pkt. (z dokładnością do 0,1 pkt.). N oty te są sumowane. Sumy tych not wyznaczają preferencje indywidualne sędziów. Jeżeli dwóch zawodników m a identyczną sumę obydwu n o t u danego sędziego, porównuje się ich według pierwszej z not (lub drugiej, w zależności od rozgrywanej konkurencji).
K olejność w uporządkow aniu społecznym wyznacza nam następujący wskaźnik:
C l {Xj) = |{ X k Φ Xj 6 A: X j M I x k }\
gdzie: x M I y oznacza, że x jest preferow ane społecznie względem alterna
tywy y lub indyferentne wobec niej według zasady zwykłej większości
|A| - oznacza liczebność zbioru (liczbę zawodników).
2 Porównaj twierdzenie M aya o istnieniu (Sen 1970: 72).
Jeżeli dwie lub więcej alternatyw y w wyznaczonym uporządkow aniu społe
cznym zajm ują to samo miejsce, porządkuje się je w sposób następujący:
c 2(xj ) = h N (xj R h x k)
gdzie N(xy R h x k) oznacza liczbę sędziów oceniających zaw odnika j co najmniej ta k wysoko ja k zaw odnika k.
Przypom nijm y, że postulat optymalności Pareto w słabym sensie (W P - weak Pareto optimality) wym aga jedynie, aby d ana alternatyw a x (np. występ zaw odnika A ) została uznana za społecznie lepszą od alternatywy y (np.
występu zaw odnika B), jeśli wszystkie osoby podejm ujące zbiorow ą decyzję (np.
sędziowie) uw ażają ją za lepszą od alternatywy y. Bardziej formalnie:
V x , y ε A: [V i e N : x P f y] -* x P y
W ymaganie to jest niezwykle łagodne. W arunek optymalności Pareto w mocnym sensie (S P ~ strong Pareto optimality) głosi, że d ana alternatyw a x pow inna zostać uzn an a za społecznie lepszą od alternatywy y, jeśli wszystkie osoby podejm ujące zbiorow ą decyzję uw ażają ją za nie gorszą od alternatywy y, a przynajmniej jed n a osoba za alternatywę lepszą od y. Bardziej formalnie:
V x, y e A: [V i e N: x y & 3 j e N: x Pj y] -* x P y
T rzeba zaznaczyć, że naw et mocniejsza wersja tego w arunku nie jest zbyt wym agająca. M eto d a I spełnia postulat optymalności Pareto nawet w m ocnym jego sensie. Jeżeli alternatyw a x g jest dla każdej osoby co najmniej tak dob ra ja k alternatyw a x c, a dla przynajmniej jednej osoby jest ona od niej lepsza, m usi być ona preferow ana względem niej m etodą zwykłej większości. Ponieważ preferen
cje indywidualne w yrażane przez sędziów są przechodnie, alternatyw a x g wygrywa m etodą zwykłej większości z każdą alternatywą, wobec której alterna
tywa x c jest preferow ana bądź indyferentna przy użyciu tej metody:
V i e N : x g R i x c & 3 j e N : x g PjXc & \V i e N ,V x c,x g, x k e A : (xg R i x c & xc Ri x^~*
xg R i x $ -* [ xg M I x c & ~ (xc M I xg)] & [xc M I xk -» xg M I x $ -» C1(xg) > C 1(xc)
- > X g P X c
M etod a ta nie spełnia p o stulatu niezależności od alternatyw niezwiązanych.
Przypom nijm y, że w arunek ten wymaga, aby preferencja społeczna pomiędzy p a rą alternatyw x oraz y wyznaczona na podstaw ie różnych profili preferencji indywidualnych była tak a sam a, jeśli w tych profilach relacje pomiędzy alternatyw am i x i y pozostają bez zm ian3.
Spełnianie tego w arunku wydaje się pożądaną własnością każdej m etody agregacji preferencji. W ydaje się, że np. w zawodach sportowych kolejność pom iędzy zawodnikiem A oraz zawodnikiem B nie pow inna zależeć od tego, ja k oceniany jest zaw odnik C. M im o to wiele m etod nie spełnia tego w arunku.
3 Porównaj Sen 1970: 37-39.
M eto da I nie spełnia go również. Pokazuje to następujący przykład:
P rzykład 3
D ane są dw a profile indywidualnych preferencji:
R].· z, y , x R ’j . - y . z . x R 2: x, z, y R ’2: x, y, z R ’3: z, x, y R ’3: z, x, y
Zauważm y, że w obydwu profilach relacje pomiędzy alternatyw ą x a innymi alternatyw am i nie zmieniły się. Jednakże wartości wskaźników dla poszczegól
nych alternatyw w obydw u profilach przedstaw iają się następująco:
C 1( x ) = l C \ ( x ) = C ’jöO = C \ ( z ) = l , Cj(y) = 0 zaś
C 1(z) = 2 C \ ( x ) = C \( y ) = C ’2(z) = 3
U porządkow anie społeczne przedstaw ia się następująco:
R: z, x , y R ’: z - y - x
Zmieniły się zarów no relacje pom iędzy x oraz y , a także pomiędzy x oraz z, co jest pogwałceniem w arunku niezależności od alternatyw nie
związanych.
M etod a ta spełnia za to pozycyjną wersję niezależności PI. Postulat ten wym aga, aby relacja społeczna pom iędzy alternatyw am i x oraz y nie zmieniła się, jeśli w profilu preferencji indywidualnych relacje pomiędzy x oraz p o zostałymi alternatyw am i oraz y i pozostałym i alternatyw am i pozostały bez zm ian4. Zauważm y, że w takiej sytuacji wartości wskaźników C ’j(x), C ’j(y) oraz C \( x ) , C '2(y) pozostaną bez zmian, gdyż zależą one jedynie od relacji pomiędzy d an ą alternatyw ą (dla którego określamy w artość wskaźnika) a innymi alterna
tywami w profilu indywidualnych preferencji. Jeżeli wartości tych wskaźników dla alternatyw x oraz y nie zmienią się, nie zmieni się również społeczna relacja pomiędzy tymi alternatywam i.
M eto d a powyższa spełnia postulat anonimowości5, tzn. nie stawia żadnego sędziego w uprzywilejowanej sytuacji. Jakakolwiek perm utacja n a zbiorze osób preferencji indywidualnych nie zmieni uporządkow ania społecznego. M eto da ta traktuje preferencje wszystkich osób symetrycznie.
M eto d a I spełnia postulat dualności. Głosi on, że w sytuacji, gdy dwa profile preferencji R ”, R ’n różnią się od siebie jedynie tym, że alternatywy x oraz y zamieniają się na miejsca w poszczególnych uporządkow aniach indywi
dualnych, tj. m ocne indywidualne preferencje na parze tych alternatyw zmie
niają się n a odw rotne (xP-y *-*■ y P /x ) , znalazło to analogiczne odzwierciedlenie w społecznej preferencji (x R y <-> y R ’ x).
4 Warunek sformułowany przez B. Hanssona (Gärdenfors 1973: 17).
5 Porównaj Sen 1970: 68.
Zauważm y, że jeżeli dw a profile indywidualnych preferencji (Rj, R 2, R 3>...
R n) oraz ( R j , R ’2, R ’3,··· R ’„) spełniają w arunek wymieniony powyżej, wówczas:
C j(x) = C \( y ) & C jO ) = C \ ( x ) & C2(x) = C ’20 ) & C2(y) = C ’2(x) W obec tego:
x R y <-> y R ’ x
W ażną grupę postulatów nakładanych n a m etody będące społecznymi funkcjam i d obrob y tu stanow ią kryteria związane z adekw atną reprezentacją.
Głoszą one, iż powinien istnieć właściwy związek pomiędzy indywidualnymi preferencjam i a uporządkow aniem społecznym. Poszczególne postulaty określ
ają, ja k pow inna zareagować d an a zasada w yboru w sytuacji, gdy jedyną zm ianą w profilu indywidualnych preferencji będzie zm iana n a korzyść alterna
tywy x. Zdefiniujm y form alnie tę sytuację:
Niech będą dane dw a profile indywidualnych preferencji (R j , R 2, R 3>... R J oraz ( R j , R ’2, R ’3,··· R ’n) spełniające następujące warunki:
a) V w, z e A: w φ χ , ζ φ x[(V i e N: w R^z w R i’z) & (V i e N: z R;W z Rj’ wj\
b) V z e A : z Φ x, [(V i e N: x P i z <-» x P j z) & (V i e N : x I i z +-* x i?,·' z)]
c) 3 y e A: y φ x , 3j e N : [(x L y x Pj y ) v (y P j x <-+ x R -’ y)]
W ówczas:
Postu lat pozytywnego związku (.PA - positive association), m ówi, że:
V t e A: x P t -> x P ’ t
P ostulat nienegatywnej odpowiedzi na indyferencję (N R I - non-negative responsiveneness to indifference) mówi, że:
V t e A: x 11 -> x R ’ t
P ostulat pozytyw nej odpowiedzi na indyferencję (P R I - positive negative responsiveneness to indifference) mówi, że:
V t e A , x Φ t: x 11 -> x P ’ t
Połączenie w arunków PA i N R I daje nam postulat monotoniczności (mono- nicity - N R ).
Połączenie w arunków PA i P R I daje nam postulat mocnej monotoniczności {strong mononicity PR).
W sytuacji, gdy jedyną zm ianą w profilu preferencji indywidualnych jest zm iana na korzyść alternatyw y x, postulat pozytywnego związku wymaga, aby alternatyw a x była nadal lepsza od wszystkich alternatyw, od których uprzednio była lepsza. W arunek monotoniczności wym aga ponadto, aby alternatyw a x nie była uznan a za gorszą od alternatywy, wobec której wcześniej była indyferentna.
W arunek mocnej monotoniczności, poza wymaganiami, jakie nakłada pozytyw
ny związek, wym aga ponad to , aby po wspomnianej zmianie alternatyw a x była lepsza od wszystkich alternatyw , wobec których wcześniej była indyferentna.
O statnia wersja tego p o stulatu m oże wydawać się nieco kontrow ersyjna.
Powyższe oryginalne postulaty adekwatnej reprezentacji m ają swoje słabsze odpowiedniki6. W sytuacji, gdy jedyną zm ianą w profilu preferencji indywi
dualnych jest zm iana n a korzyść alternatywy x względem alternatywy y , słaby postulat pozytywnego związku W PA wymaga, aby alternatyw a x była nadal społecznie lepsza od alternatyw y y , jeśli uprzednio (przed zm ianą w profilu preferencji indywidualnych) była od niej lepsza. Slaby warunek monotoniczności W N R wym aga ponadto , aby nie była uznana za gorszą od alternatywy y , jeśli wcześniej była indyferentna względem niej. Słaby warunek mocnej monotonicz
ności W P R , p o za wym aganiami, jakie nakłada postulat W PA, wymaga p o nadto, aby po wspom nianej zmianie alternatyw a x była lepsza od alternatywy y, jeśli wcześniej była wobec niej indyferentna.
M eto da I spełnia postulat pozytywnego związku PA. Jeśli jedyną zm ianą w profilu preferencji jest zm iana na korzyść alternatywy x względem alterna
tywy y wówczas:
q ( x ) ^ C’i(jc) & C2(x) < C ’2(x) &
& C jO ) > C ’jO ) & C2(x) ^ C ’2(x) &
& Cj(w) = C ’j(w) & C 2(w) = C ’2(w) dla w Φ x , y
W ówczas alternatyw a x będzie lepsza od każdej alternatywy, od której uprzednio była uznana za lepszą:
x P t ^ [ q ( x ) > Cj(i)] v [C ,(x) = C j(0 & C 2(x) > C2(t)]
q ( x ) > C j(0 C \ ( x ) > CjCO - + x P ’ t
C j(x) = C j(0 & C 2(x) > C2(0 C ’^ x ) > C \ ( t) & C ’2(x) > C ’2(i) -> x P ’ t Spełnia o na również postulat m onotoniczności NR:
x 11 [Cj(x) = q ( o & c 2(x) = c 2(0]
C j(x) = C j(0 & C2(x) = C2(t) C \ ( x ) ^ C ’j(i) & C ’2(x) > C ’2(t) -* x R ’t Jednakże nie spełnia o na po stu latu mocnej m onotoniczności PR . P opatrz
m y na następujący przykład:
P rzykład 4.
R f z, y~ x R j : z , x , y R 2: x - z , y R ’2: x-z, y R 3: x, z—y R ’3: x, z - y
W artości w skaźników dla poszczególnych alternatyw w obydwu profilach przedstaw iają się następująco:
q ( x ) = 2 C ’i( x ) = 2
q(y)=o e ^ o q(z) = 2 c\(z)=2
C 2(x) = 5 C ’2(x) — 5 C 2(z) = 5 C ’2(z) = 5
6 Ujęcie oryginalne jest bliskie Arrowowi, słabsza zaś wersja Murakamiemu (MacManus 1983:
56-57, 60-61).
U porządkow anie społeczne przedstaw ia się następująco R : z - x , y , R ’: z - x , y
Pom im o popraw y sytuacji alternatywy x nadal pozostaje on a indyferentna względem alternatyw y z. Należy zauważyć, że gdyby m etoda ta nie posiadała leksykograficznego rozszerzenia w postaci wskaźnika C 2(x), również nie speł
niałaby ona tego postulatu.
M eto da ta spełnia jednakże słabszą wersję postulatu m ocnej m o n o to niczności W PR . Zauważm y, że popraw a sytuacji alternatywy x, m oże spo
wodow ać następujące zmiany w artości odpowiednich wskaźników:
(x L y +-* x P j’ y ) -► C2(y) > C \ ( y ) (y Pj x <-» x R j’ y ) -> C2(x) < C ’2(x) Z tego wynika, że:
C2(x) = C2(y) - C ’2(x) > C ’2(y) W obec tego:
x I y <-► [Cj(x) = C jO ) & C 2(x) = C 2(y)]
Cj(x) = Cj(y) & C£x) = 0>(y) -* C \(x) > C\(y) & C’2(x) > C2(y) -» x P ’y Należy zauważyć, że gdyby m etoda ta nie posiadała leksykograficznego rozszerzenia w postaci w skaźnika C2(x), nie spełniałaby ona powyższego postulatu:
P rzykład 5.
R r R2: y>x - z R ’i ~r 2: y<x · z R3 - R 4: z, y, x R ’3: z, y, x R5 - R 6: x, z, y R ’4: z, y -x
r , 5 ~r ’6: x, z, y
Choć x popraw ia swoją sytuację względem alternatywy y w u p o rząd kow aniu jednej z osób, nie znajduje to odzwierciedlenia w społecznej relacji.
A lternatyw y te pozostają indyferentne:
R: X—y—z R ’: x - y - z
M etod a nasza byłaby stabilna, gdyby nie jej leksykograficzne rozszerzenie.
Postulat stabilności (stability) głosi, aby niewielka zm iana w uporządkow aniu indywidualnym jednej osoby pom iędzy jedną p a rą alternatyw, nie pow odow ała zbyt dużych zmian w uporządkow aniu społecznym. Form alny zapis pozwoli na zrozumienie powyższego w arunku.
Relacje pom iędzy poszczególnymi alternatywam i w dwóch profilach prefe
rencji indywidualnych (R j , R 2, R 3,··· R„) oraz (R'j, R ’2, R ’3,— R „) są takie same z wyjątkiem relacji pom iędzy alternatyw am i x i z. D la co najwyżej jednej osoby j:
[(x Ij z x P j ’ z) v ( z Pj x <-* x Ij■ z)]
Wówczas:
V y e A: y φ z, y Φ x: y P x -* y R ’ x
Zauważmy, że m inim alna popraw a sytuacji alternatywy x powodow ać m oże następujące zmiany w wartości w skaźnika C ^x):
( x L y <-> x Pj y ) -» C ’^ x ) = C j(x) + a (y PjX<r-> x I f y)] -> C ’^ x ) = C ^ x ) + a gdzie a = 0 lub a = 1
D la każdej alternatywy w Φ x, y C \( w ) = C „(w)
W obec tego:
w P x <-> [C ^w ) > Cj(x)]
Cj(w) > Cj(x) -> Cj(w) = Cj(x) + b gdzie b > 1, -* C ’i(w) > C’j(x) -» w R ’ x Jednakże, jeśli dopuścim y możliwość leksykograficznego rozszerzenia tej m etody, w arunek stabilności m oże zostać pogwałcony:
P rzykład 6.
D ane są dw a profile preferencji indywidualnych:
Rj.· w—x , y , z R ’j: w -x , y , z R 2: y , w, z, x R ’2: y , w, z, x R 3: y, x , w, z R ’3: y - x , w, z
A lternatyw a x polepsza swoją sytuację m inim alnie względem y w up orząd
kow aniu osoby trzeciej:
q ( x ) = Cj(w) = 2 C ’^ x ) - 3
CjGO = 3 C ’1(w )= 2
C ,(z) = 0 C^OO = 3
C 2(x) = 5 C \ ( z ) = 0 C2(w )= 6
U porządkow anie społeczne przedstaw ia się następująco:
R: y, w, x, z R ’: y, x, w, z
Ja k widać w P x oraz x P ’ w, co jest pogwałceniem postulatu stabilności.
M eto da I m a jeszcze jed n ą bardzo w ażną własność, której nie będą posiadać pozostałe m etody przedstaw ione poniżej. W sytuacji, gdy zasada zwykłej większości wyznacza preferencje przechodnie, m etoda I w wersji bez roz
szerzenia leksykograficznego wyznaczy takie same preferencje. Jeśli zaś u p o rządkow anie społeczne wyznaczone przez zasadę zwykłej większości będzie przechodnie, lecz pom iędzy jakąkolw iek p a rą alternatyw wyznaczać będzie ono indyferencję, rozszerzenie leksykograficzne m oże to zmienić.
Zauważmy, że m eto da I w wersji bez rozszerzenia leksykograficznego wyznaczy m ocne uporządkow anie społeczne w jednym tylko przypadku.
Zdarzy się to wówczas, gdy zasada zwykłej większości daje takie u p o rząd
kowanie. Rozszerzenie leksykograficzne zastosowane w m etodzie I wydaje się więc koniecznością. W przeciwnym razie ostateczne uporządkow anie zawód-
ników m ogłoby zawierać zbyt wiele indyferencji. M ocny porządek społeczny, tj. pozbaw iony indyferencji jest własnością pożądaną przez sędziów i organi
zatorów zawodów wielu dyscyplin sportowych. N a szczęście, rozszerzenie leksykograficzne m etody I nie przyczynia się w sposób istotny do w prow a
dzenia wielu negatyw nych własności. M etoda I bez tego rozszerzenia byłaby stabilna, nie spełniałaby zaś p o stulatu mocnej m onotoniczności W PR.
Pon adto , przyznać trzeba, że w przypadku, gdy zasada zwykłej większości wyznacza indyferencję pom iędzy dwiema alternatywam i, spraw ą kontrow ersyj
n ą jest, czy za wszelką cenę należy dążyć do utrzym ania tej indyferencji, np.
w sytuacji, gdy sensowne rozszerzenie leksykograficzne wprow adza pomiędzy nimi pewne rozróżnienie. W ydaje się, że dla wielu osób byłoby to sprzeczne z ich rozum ieniem sprawiedliwości.
Metoda II
M eto d a ta wykorzystyw ana była do niedaw na w łyżwiarstwie figurowym.
Oceny wystawione przez sędziów wyznaczają profil preferencji indywi
dualnych, podobnie ja k w m etodzie I. W celu ustalenia kolejności zawodników stosow ana jest prosta technika Bordy. Jest to technika pozycyjno-punktow a, co znaczy, że podstaw ą d o wyznaczenia społecznego uporządkow ania alternatyw są miejsca, które zajm ują one w uporządkow aniach poszczególnych osób podejm ujących zbiorow ą decyzję. D o miejsc tych przypisane są pewne punkty.
Z a ostatnie miejsce alternatyw a otrzym uje 0 pkt. Z a przedostatnie 1 pkt. itd.
Jeśli dwie alternatyw y zajm ują to sam o miejsce, wyciąga się średnią punktów , np. jeśli alternatyw y x i y zajm ują miejsca przedostatnie i ostatnie otrzym ują one po pół pkt.
Sum a punktów dla wszystkich osób dla danej alternatywy wyznacza nam wskaźnik, za pom ocą którego u stala się ostateczną kolejność zawodników.
P rosta m etoda Bordy należy do jednej z najbardziej znanych technik wyznaczania preferencji wspólnej, jest więc ona dobrze przebadana w litera
turze (G ärdenfors 1973: 22). M eto d a ta jest Pareto optym alna, nie spełnia p o stulatu niezależności od alternatyw niezwiązanych, spełnia jednak pozycyjną wersję po stu latu niezależności. Spełnia o na postulaty anonim owości, dualności oraz mocnej m onotoniczności. Jest to m etoda stabilna.
Metoda III
M etod a ta wykorzystyw ana była w łyżwiarstwie figurowym przez większą część X X wieku. Posiada o n a charakter pozycyjno-punktowy.
Zawodników ocenia nieparzysta liczba sędziów. Wystawiają oni oceny od 0 do 6 pkt, za poszczególne występy (ćwiczenia, układ obowiązkowy, program dowolny).
Oceny te wyznaczają kolejność zawodników u danego sędziego, tzn.
zaw odnik, który m a u danego sędziego najwyższą sumę ocen za wszystkie występy, zajm uje u niego pierwsze miejsce itd.
Jest to m etod a o charakterze leksykograficznym, tak więc społeczna relacja będzie w yznaczana n a podstaw ie wielu wskaźników. W celu wyjaśnienia jej zasad pom ocne będzie wprowadzenie pewnych oznaczeń.
Sz(x) najwyższe miejsce, na które alternatyw a x (występ zawodnika) m a
„większość” .
Sform ułowanie to wymaga wyjaśnienia; alternatyw a m a większość na dane miejsce, jeśli większość sędziów (ich liczba m usi być większa od N/2, gdzie N oznacza liczbę sędziów) w swoich uporządkow aniach indywidualnych p o stawi ją n a danym miejscu lub wyższym.
Przykładow o zawodnik A uzyskuje większość na drugie miejsce, jeśli większość sędziów postaw i go na miejscu 1 lub 1,5 lub 2 (miejsca połówkowe np. 1,5 zdarzają się wtedy, gdy dwóch zawodników postaw ionych jest przez danego sędziego n a tym samym miejscu).
SaW = M -S z(x), gdzie M oznacza liczbę alternatyw;
Sb(x) liczba sędziów, którzy tw orzą większość dla danej alternatywy;
Sc(x) sum a punktów według prostej techniki Bordy, jakie zdobyła alter
natyw a x u sędziów tworzących większość;
Sd(x) sum a punktów według prostej techniki Bordy, jakie zdobyła alterna
tywa x u wszystkich sędziów;
Se(x) sum a ocen, jakie zdobyła alternatyw a x u wszystkich sędziów.
M iejsca przyznajem y od najwyższego do najniższego. Kolejne miejsca przyznajem y alternatyw om , któ re uzyskują większość n a dane miejsce. Jeśli dwie lub więcej alternatyw y zdobyły tak ą większość, wówczas porównujem y je kolejno według w skaźników Sb(x), Sc(x), Sd(x), Se(x). Jeżeli na dane miejsce żadna alternatyw a nie m a większości, to szukamy alternatyw, które posiadają większość n a następne miejsce.
Ponieważ m etoda ta jest dosyć skom plikowana, rozm aite wątpliwości powinien wyjaśnić poniższy przykład:
P rzykład 7
R j: q, x , y , w, z R 2: x, q, z, w, y R 3: x, q, z, w, y R 4: q, y, z, x , w R s : y, q, x , w, z
Nie m a alternatywy, k tó ra posiadałaby większość na pierwsze miejsce.
Szukamy więc alternatyw posiadających większość na drugie miejsce. Są dwie alternatywy: x oraz q. Ponieważ Sb(q) > Sb(x) pierwsze miejsce zdobywa alter
natyw a q. D rugie miejsce dostaje alternatyw a x, ponieważ poza q żadna inna alternatyw a nie posiada większości n a to miejsce.
A lternatyw y z oraz y posiadają większość n a trzecie miejsce. Ponieważ Sb(y) = Sb(z) oraz Sc(y )> S c(z), alternatyw a y otrzymuje trzecie miejsce.
N a czwarte miejsce większość posiadają dwie alternatywy: w oraz z.
Ponieważ Sb(w )> S b(z), alternatyw a w dostaje czwarte miejsce, a alternatyw a z piąte miejsce. U porządkow anie końcowe przedstaw ia się następująco:
R: q, x, y, w, z
Ponieważ część niepożądanych własności tej m etody związana jest z jej leksykograficznym rozszerzeniem, polegającym n a porównywaniu alternatyw według w artości w skaźnika Se(x), tj. sumy uzyskanych ocen, m etodę ΠΙ przeanalizujem y w wersji a -d , k tó ra wskaźnika tego nie będzie uwzględniać.
Przy okazji om aw iania m etod IV .1-IV .3 (polegających n a sumowaniu użytecz
ności) postaram y się uzasadnić nasze postępowanie.
M etod a III jest Pareto optym alna w każdym sensie. Zauważmy, że alterna
tywa x, k tó ra jest oceniana przez każdą osobę za przynajmniej tak do b rą jak alternatyw a y, a przez co najmniej jedną osobę za lepszą od tej alternatywy, nie m oże być uzn an a za społecznie gorszą w wersji a-c, tzn.:
1) alternatyw a y nie posiada większości n a miejsce, n a które większości nie posiada alternatyw a x,
2) jeżeli obydwie alternatywy posiadają większość n a to samo miejsce Sb( x )> S bO),
3) jeśli zaś Sb(x) = Sb(y), wówczas Sc(x) ^ Sc(y),
4) jeśli zaś Sc(x) = Sc(y), to wówczas m usi zachodzić Sd(x) > Sd{j>), gdyż ogólna sum a miejsc dla alternatyw y x m usi być mniejsza od sumy miejsc dla alternatywy y, a z tego w ynika x P y, co należało wykazać.
M etod a nie spełnia po stu latu niezależności od alternatyw niezwiązanych oraz pozycyjnej wersji niezależności PI. Następujący przykład pokazuje to wystarczająco.
P rzykład 8
D ane są dwa profile preferencji indywidualnych:
R j: x, z, p, y, r, s R ’p x, z, p , y , r, s R 2: x, z, p, y, r, s R ’2: x, z, p , y , r, s R 3: x, z, p, y, r, s R ’3: x, z, p , y, r, s R 4: x, y, p, z, s, r R ’4: x, y , p, z, s, r R 5: z, y, p, x, r, s R ’5: z, y , p, x, r, s R6: y> P> z, x , r, s R ’6: y , p , x , r, s, z R 7: x, y , z, p, s, r R ’7: x, y, z, p , s, r
W arunek PI wymaga, aby w takiej sytuacji relacja społeczna pomiędzy alternatyw am i y oraz p była identyczna dla obydwu profili. Dzieje się jednak inaczej:
R: x , z, p , y , r, s R ’: x , y , p , z, r, s
M etod a III w wersji a-d spełnia postulat anonimowości. W szystkie osoby podejm ujące zbiorow ą decyzję traktow ane są według tej m etody symetry
cznie.
W wersji a-d M eto da III spełnia postulat dualności. Jeżeli dwa profile preferencji różnią się od siebie jedynie tym, że alternatywy x oraz y zamieniają się n a miejsca w poszczególnych uporządkow aniach, wówczas alternatyw a x zajmie w uporządkow aniu społecznym miejsce alternatywy y, a alternatyw a y zajmie miejsce alternatywy x.
M eto da ta nie spełnia postulatu pozytywnego związku PA. Przyjrzyjmy się następującem u przykładowi:
P rzykład 9
D ane są dw a profile preferencji indywidualnych:
R }: x, y, w, z R ’p x, y, w, z R 2: x, y, w, z R ’2: x, y , w, z R 3: x, y , w, z R ’3: x, y , w, z R 4: x, z, w, y R ’4: x, w, z, y R s: y, z, w, x R ’s : y, w, z, x R 6: z, x, w, y R ’6: z, x, w, y R 7: z, w, x, y R ’7: z, w, x, y
Sytuacja alternatyw y w polepszyła się w uporządkow aniu czwartej i piątej osoby. W arunek PA wymaga, aby: w P y -* w P ’ y
Dzieje się jed n ak inaczej:
R: x , z, w, y R ’: x , y, w, z
Zauważm y, że słabsza wersja po stulatu pozytywnego związku W PA jest przez tę m etodę spełniona. Jeśli jedyną zm ianą w profilu preferencji jest zm iana n a korzyść alternatyw y x względem alternatywy y u co najmniej jednej osoby, wówczas x m usi być lepsze od y, jeśli uprzednio była od niej lepsza, ponieważ:
1) jeśli w profilu R" alternatyw a x m a większość na wyższe miejsce niż alter
natyw a y , wówczas w profilu R" ’ sytuacja ta nie m oże się zmienić,
2) jeśli w profilu R" alternatyw a x nie m iała większości n a wyższe miejsce niż alternatyw a y (lub m im o posiadanej większości n a to miejsce przegra
ła je z alternatyw ą z φ y), a m im o to x P y, oznacza to, że m iały one większość n a to samo miejsce (alternatyw a y m ogła mieć większość na wyższe miejsce, jed n ak przegrała je z inną alternatywą) i wówczas alterna
tywa x okazała się lepsza według jednego z kolejnych wskaźników Sb-Se, a ponieważ:
Sb(x) = Sφ ) -» S’b(x) > S\ ( y ) &
& Sc(x) = Sc(y) -> S’c(x) ^ S'c(y) &
& Sd(x) = Sd(y) - S’d(x) > S*d(y) - + x P ’ y
Powyższe rozum ow anie pokazuje, że m etoda ta spełnia również postulat mocnej m onotoniczności w słabej wersji W PR . Jeżeli alternatywy x oraz y są indyferentne w profilu R" wobec tego wskaźniki Sb-Se m uszą być równe.
Ponieważ Sd(x) = Sd(y) -» S’d(x )> S’d(y) otrzymujemy x P ’ y.
K olejny przykład pokazuje, że M eto da III nie jest stabilna:
P rzykład 10
D an e są dw a profile preferencji indywidualnych:
R j: x , w, y R ’j: x, w, y R 2: w, y , x R '2: w, y, x R 3: w, y , x R ’3: w, y, x R 2: x, w, y R ‘4: x, w, y R 3: x - y , w R ’5: x, y , w
A lternatyw a x polepsza swoją sytuację m inim alnie względem y w u p o rząd kow aniu osoby piątej, uporządkow anie społeczne przedstaw ia się następu
jąco:
R : w, x , y R ’: x , w, y
Ja k widać w P x oraz x P ’w, co jest pogwałceniem postulatu stabilności.
Metody oparte na sumowaniu użyteczności
U porządkow anie wspólne (kolejność końcow a zawodników) według tej m etody polega n a wyliczeniu średniej ocen dla poszczególnych alternatyw (zawodników). Technika ta stosow ana jest w jeździectwie (ujeżdżaniu). W wielu dyscyplinach stosow ane są rozm aite w arianty tej m etody. Najważniejsze z nich przedstaw iam y i analizujemy poniżej. T rzeba jednak zaznaczyć, że m etody te różnią się znacznie od przedstaw ionych wcześniej m etod I—III. Preferencja wspólna, czyli kolejność końcow a jest wyznaczana nie tylko n a podstawie preferencji indywidualnych, ale n a podstaw ie ocen, tj. użyteczności przy
pisanych przez sędziów występom poszczególnych zawodników (alternaty
wom). Stosowanie takiej m etody wymaga spełnienia pewnych założeń po- m iarowo-porów naw czych. Jednostka pom iaru pow inna być porów nyw alna m iędzyosobowo. M ożna przypuszczać, że jest to założenie w tej sytuacji nieuprawnione.
T echnika sum ow ania użyteczności, ja k również różne jej w arianty przed
staw ione poniżej nie są więc m etodam i SW F (dwa takie same profile preferencji m ogą według tej m etody prow adzić do odmiennej preferencji społecznej). T ak więc pogwałcenie wielu postulatów nakładanych n a funkcję społecznego d ob robytu nie m usi być koniecznie w adą tych m etod.
O ile wydaje się, że postulat optym alności Pareto jest postulatem, odpowied
nim w stosunku do m etod opartych n a sumowaniu użyteczności, o tyle
stosow anie pozostałych kryteriów budzić m oże już pewne wątpliwości7. In te
resującym zadaniem m ogłoby okazać się sform ułowanie innych postulatów , bardziej adekwatnych do analizow ania technik ustalania preferencji wspólnej n a podstaw ie użyteczności przypisywanych przez sędziów poszczególnym alte
rnatyw om . M ożliwość tak ą jedynie sygnalizuję w tym miejscu. W artykule tym ograniczę się do krótkiego om ówienia różnych w ariantów tej m etody i wy
kazania niektórych ich negatywnych własności.
M etoda IV .1 - skreślanie ocen skrajnych
N o ty przyznane każdej alternatywie porządkujem y od najniższej do najwyż
szej. Oceny skrajne (tj. najniższa i najwyższa) są skreślane, czyli nie bierze się ich pod uwagę przy sum ow aniu not. Jeżeli dwie oceny najwyższe (lub najniższe) m ają tak ą sam ą w artość, skreślam y jedną z nich. U stalanie kolejności odbywa się tak, ja k w technice sum ow ania użyteczności: im wyższa średnia ocen, tym wyższa pozycja danej alternatyw y (zawodnika) w końcowym uporządkow aniu.
M eto da ta stosow ana jest w skokach do wody, pływaniu synchronicznym.
Istnieją jeszcze dw a w arianty związane z odrzucaniem ocen skrajnych:
System Jakobssona (fiński) - polega on n a skreślaniu ocen skrajnych aż do pozostaw ienia trzech ocen środkowych. Ich suma decyduje o kolejności zawodników.
System A ndrianow a - polega on n a skreślaniu ocen aż do pozostawienia jednej oceny środkowej. T a m etoda nie polega więc n a sum ow aniu użyteczno
ści. Zauważm y, że ocena środkow a, która pozostaje po skreśleniu wszystkich pozostałych jest oceną m edianową.
Łatw o odczytać jest intencje, które kryją się za m odyfikacją m etody sum ow ania użyteczności polegającej n a skreślaniu ocen skrajnych. Chodzi o to, by w sytuacji, gdy któryś z sędziów chce zawyżyć ocenę dla jakiegoś zawodnika, ograniczyć jego wpływ n a ocenę końcową.
Powróćm y jeszcze raz do użytego wcześniej porów nania roli sędziów do niedoskonałych narzędzi pom iarowych. M ożem y zapytać, co zrobilibyśmy w sytuacji, gdy chcemy dokonać jakiegoś pom iaru np. tem peratury pewnej substancji. W celu otrzym ania ja k najdokładniejszego wyniku używamy kilku m ierników , w tym przypadku kilku term om etrów . Otrzymujemy wyniki bardzo d o siebie zbliżone, z wyjątkiem jednego, który odbiega znacznie od pozostałych.
W takiej sytuacji zapewne nie wyciągniemy średniej z wszystkich wyników, a jedynie z tych zbliżonych do siebie. N ajpraw dopodobniej wynik, który najbardziej odbiegał od pozostałych, odrzucimy, podejrzewając, że przyrząd, za pom ocą którego został on uzyskany, jest zepsuty.
7 U w agi te d otyczą rów nież m etod y III z jej rozszerzeniem leksykograficznym Se(x).
P od o b n a idea przyświeca m etodzie sum ow ania użyteczności po odrzuceniu ocen skrajnych. Choć pom ysł ten wydaje się na pierwszy rzut o ka słuszny, pojaw iają się tu pewne wątpliwości. Z darzają się zapewne sytuacje, kiedy należałoby odrzucić więcej niż dwie oceny skrajne, a są n a pewno takie, kiedy nie m a podstaw do odrzucania żadnej oceny itd.
Pokażem y teraz dwie negatywne własności będące konsekwencją skreślania ocen skrajnych. M eto d a ta nie spełnia mocnej wersji postulatu optymalności Pareto. Pokazuje to następujący przykład.
P rzykład 11
N oty dla zaw odników przedstaw iają się następująco:
Sędziowie
Sl $2 s 3 s 4 s 5
Z aw odnik A 9,3 9,5 9,3 9,4 9,3
Z aw odnik B 9,3 9,4 9,3 9,4 9,3
Zawodnik A - 28 pkt.
Zawodnik B - 28 pkt.
M im o że zaw odnik A przez żadnego sędziego nie został oceniony gorzej niż zawodnik B, a przez drugiego sędziego został on oceniony wyżej, nie znajduje to odzwierciedlenia w klasyfikacji końcowej: obydwaj zajm ują to samo miejsce.
M eto da ta nie spełnia p o stulatu pozytywnego związku, sformułowanego w sposób adekw atny do badanej przez nas m etody sum ow ania użyteczności.
W arunek ten wym aga, aby w sytuacji, gdy jedyną zm ianą w przyznanych ocenach jest popraw a sytuacji alternatywy x względem alternatywy y u co najmniej jednej osoby, wówczas sytuacja alternatywy x nie pow inna się pogorszyć. Popatrzm y n a następujący przykład.
P rzykład 12
Porów najm y dwie sytuacje:
Sytuacja a
Sędziowie
Sl s 2 s 3 s 4
Z aw odnik A 8,3 8,3 8,8 8,8
Z aw odnik B 8,2 8,6 8,6 8,8
Oceny pogrubione będziemy brali pod uwagę przy wyliczeniu sumy punktów Zawodnik A - 17,1 pkt.
Zawodnik B - 17,2 pkt.
Sytuacja b
Sędziowie
Si
s2
S3s4
Zaw odnik A 8,5 8,3 8,8 8,8
Zaw odnik B 8,6 8,6 8,6 8,8
Zawodnik A - 17,3 pkt.
Zawodnik B - 17,2 pkt.
Sytuacja b różni się od sytuacji a jedynie ocenami pierwszego sędziego.
Zauważmy, że w pierwszej sytuacji preferuje on zaw odnika A. W ygrywa zaw odnik B. Pom im o tego, że pierwszy sędzia zmienia swoje preferencje n a korzyść zaw odnika B, w drugiej sytuacji zawodnik B przegrywa z za
wodnikiem A.
Ja k więc widać powyższa m etoda nie spełnia sformułowanego powyżej p ostulatu pozytywnego związku.
M etoda IV .2
N astępny w ariant m etody sum ow ania użyteczności z odrzucaniem ocen skrajnych zawiera następującą modyfikację: p o odrzuceniu ocen skrajnych patrzy się, jakie są różnice pom iędzy poszczególnymi ocenami środkowymi (czyli tymi, które nie zostały odrzucone). Jeśli różnice te są zbyt duże, oceną końcow ą jest ocena superarbitra, który przyznaje swoją ocenę równolegle z innymi sędziami (czasami sędziowie m ogą naradzić się między sobą i zmienić oceny w ten sposób, aby zniwelować zbyt duże rozbieżności). W przypadku, gdy różnice mieszczą się w dopuszczalnych granicach, ocena superarbitra nie jest b ran a p o d uwagę. Oceną końcow ą dla danej alternatywy jest średnia ocen środkowych.
M eto d a ta wykorzystyw ana była w gimnastyce sportowej.
W nieco innym w ariancie tej m etody (m etoda IV .2’) pozycja superarbitra jest nieco słabsza. G dy oceny środkow e są zbyt rozbieżne, ocenę końcow ą wyznacza się w sposób następujący:
ocena końcowa alternatywy x = (średnia ocen środkowych + ocena superarbitra)/2 M etod a ta wykorzystyw ana była w gimnastyce artystycznej.
Ja k widzimy, Superarbiter jest sędzią o specjalnych upraw nieniach. Jego preferencje i oceny z założenia traktow ane są asymetrycznie w porów naniu do preferencji i ocen innych sędziów. T rudno byłoby jednoznacznie powiedzieć, czy jego wpływ na ocenę końcow ą jest większy czy mniejszy od wpływu
pozostałych sędziów. W sytuacji, gdy oceny pozostałych sędziów nie są roz
bieżne, oceny jego w ogóle nie są brane pod uwagę; jeśli zaś owe rozbieżności są zbyt duże, wpływ jego m oże być większy od wpływu pozostałych sędziów, czasem zaś jest to wpływ decydujący.
Pogwałcenie anonim owości jest więc w tych m etodach określone z góry.
Superarbiter m a pełnić rolę k ontrolną, powinien być więc osobą o dużym doświadczeniu, cieszyć się zaufaniem kolegium sędziowskiego. Jednak Su
perarbiter nie jest dyktatorem . Jego preferencje nie narzucają ani nie wykluczają żadnych preferencji społecznych. Analizowanie własności tych m etod według kryteriów SW F, nie jest celowe, podobnie ja k przy analizie dwóch poprzednich m etod. Zwróćmy jed nak uwagę na pew ną własność tej metody. Przyjrzyjmy się następującej sytuacji:
P rzykład 13
Przypuśćm y, że zaw odnik A oceniany jest w sposób następujący:
sędziowie: Sj - 9,6 pkt.; S2 - 9,5 pkt.; S3 - 9,3 pkt.; S4 - 9,3 pkt.
Superarbiter: 9,2 pkt.
Przypuśćm y, że dopuszczalna rozbieżność pomiędzy notam i po skreśleniu ocen skrajnych wynosi 0,1 pkt. W tej sytuacji drugiem u sędziemu może zależeć n a zaniżeniu swojej oceny n a 9,4 (przy założeniu, że zna on oceny innych sędziów i superarbitra). Jeśli tego nie zrobi, poszczególne m etody dadzą zawodnikowi końcow ą liczbę punktów:
M etoda IV.2 - 9,2 pkt.
M etoda IV .2’ - 9,3 pkt.
Po zaniżeniu oceny przez drugiego sędziego zawodnik A otrzym a notę końcow ą 9,35 pkt.
Jest to więc szczególny sposób pogwałcenia pozytywnego związku pomiędzy ocenami sędziów a oceną końcow ą (po zagregowaniu ocen poszczególnych sędziów).
M etoda IV .3
Sędziowie podzieleni są na grupy oceniające różne aspekty, według których m ożna porów nyw ać występy zawodników (alternatywy). Sędziowie w p o
szczególnych grupach przyznają oceny na odpowiednich skalach. W olno im również przyznawać bonifikaty m etodą większości.
Ocena końcow a danej alternatywy (zawodnika) jest sumą ocen wyzna
czonych w każdej komisji.
M etod a ta w ykorzystyw ana jest obecnie w gimnastyce artystycznej.
Komisje: Nota podstawowa
pkt.
Metoda wyznaczenia
oceny
Bonifikata" Ogółem Liczba sędziów
A l - wartość techniczna A2 - wartość
artystyczna B - wykonania
0-4,0*
(0-2,0) 0-5,50 0-9,60
Metoda IV.2’*”
Metoda IV. 1’***
Metoda IV.2’
0,5 pkt.
[5 x 0,lpkt) 0,4 pkt.
(4 x 0,lpkt)
0-4pkt 0-6pkt 0-10pkt
min.2 min. 2 min. 3
’ Wszyscy zawodnicy oceniani są od 0 do 2 pkt.; jednakże za wykonanie elementów nadobowiąz
kowych mogą być oceniani od 0 do 4 pkt.;
Bonifikata przyznawana jest za szczególnie dobre wykonanie programu (w różnych jego aspektach): każda bonifikata w wysokości 0,1 pkt. przydzielana jest oddzielnie, jeśli większość sędziów w danej komisji (odpowiednio A2 oraz B) je przyzna. Jak widzimy, każdy zawodnik może otrzymać pięć bonifikat za wartość artystyczną oraz cztery za wykonanie programu, każda z nich o wartości 0,1 pkt.;
Możliwy jest wariant bez odrzucania ocen skrajnych, jeśli mamy do czynienia jedynie z dwoma sędziami.
R óżnica pom iędzy m etodą IV.3 a poprzednim i polega n a podziale zadań w śród sędziów. Oceniają oni różne aspekty występu zawodnika, a więc różne alternatywy przy użyciu m etod sum ow ania użyteczności, które analizowaliśmy już powyżej. Zauw ażm y jednak, że podział sędziów na różne komisje, choć ułatw ia ich pracę kom plikuje znacznie agregację tych ocen w preferencję wspólną. M im o wszystko m etoda sum ow ania użyteczności zachowuje się pod tym względem dosyć elastycznie.
Odporność poszczególnych metod na działania strategiczne sędziów Oczywiste jest, że żadna z wymienionych przez nas m etod nie jest całkowicie o dpo rn a n a praktyki zachowań strategicznych. Pytać powinniśmy więc o sto
pień ich odporności n a takie zachowania. M iernikiem, który pozwala porów nywać poszczególne m etody pod tym względem, jest liczba informacji, które są potrzebne danem u sędziemu, aby jego zachow ania strategiczne mogły zakoń
czyć się sukcesem.
M etoda pierwsza wym aga znajomości relacji preferencji na odpowiednich parach alternatyw , np. jeśli jesteśmy zainteresowani zm ianą społecznej relacji n a korzyść alternatyw y x , powinniśmy znać relacje preferencji wyznaczone za pom ocą zasady zwykłej większości pomiędzy wszystkimi alternatywami.
Znajom ość porów nań indywidualnych relacji preferencji na odpowiednich parach alternatyw jest potrzebna do m anipulacji kolejnością końcow ą alter
natyw przy stosow aniu prostej m etody Bordy.
W zależności od sytuacji zachow ania strategiczne przy użyciu trzeciej m etody wym agać będą bądź znajomości całego profilu preferencji indywi
dualnych, bądź pewnej ich części.
T rzeba więc przyznać, że przy zastosowaniu jednej z tych m etod, działania strategiczne są znacznie utrudnione. W ynika to chociażby z tego, że w m e
todach tych procedury wyłaniania zwycięzcy są dosyć skomplikowane pod względem obliczeniowym. U tru d n ia to sędziom podejm owanie działań strategi
cznych.
M eto da IV. 1 należy do tych, w których chęć popraw y sytuacji dla danego zaw odnika w pewnych sytuacjach m oże być zrealizowana bez posiadania dużej wiedzy o profilu preferencji indywidualnych. Sędzia m oże przyznać swojemu faworytowi ocenę m aksym alną, przed czym powstrzym ać go m oże jedynie uczciwość bądź strach przed sankcjami ze strony organizacji sędziowskiej.
W ydaje się, że kolejne w arianty m etody sum ow ania użyteczności służą między innymi eliminowaniu takich zachowań. Sędzia musi liczyć się z tym, że ocena jego m oże zostać odrzucona, albo skonfrontow ana z oceną superarbitra.
Jednak powyższe przykłady pokazują, że pow stają wówczas inne, bardziej subtelne możliwości m anipulow ania wynikami końcowymi.
Ustalanie kolejności zawodników po kilku występach
Dotychczas zajmowaliśmy się analizą m etod agregacji preferencji indywi
dualnych po danym występie. Zazwyczaj jedn ak zawody składają się z kilku występów zaw odnika i kolejność końcow a ustalana jest na podstawie wszystkich tych występów. M ożna problem ten potraktow ać jak o odrębne zagadnienie, trzeba jednak podkreślić, że jest ono niem niej istotne. Ostateczna kolejność w zawodach, nie zaś kolejność po danym występie, wzbudza największe emocje zarów no w śród zawodników, ja k i wśród sympatyków sportu.
Zanim om ówimy jeden ze sposobów ustalania ostatecznej kolejności sto
sowany w łyżwiarstwie figurowym należy poczynić pewną bardziej ogólną uwagę. Prezentacja zaw odnika podczas zawodów składać się m oże z kilku pojedynczych występów (program obowiązkowy, program dowolny), skoków itd. Pewną nieco problem atyczną kwestią jest to, czy powinniśm y potraktow ać jak o jedn ą alternatyw ę całą prezentację zawodnika, czy też pojedynczy występ.
Zauważyć należy, że nawet pojedynczy występ jest alternatyw ą złożoną bądź wieloaspektową. Złożoność występu może polegać np. n a tym, że w program ie obowiązkowym w łyżwiarstwie figurowym zawodnik m usi w ykonać określoną liczbę skoków, akrobacji itd. Jego wieloaspektowość przejawia się chociażby w tym , że sędziowie często wystawiają dwie oceny: za wartość techniczną i wrażenie artystyczne program u. Czy więc nie powinno oceniać się każdego aspektu czy akrobacji oddzielnie? T rudno powiedzieć. W ydaje się jednakże, że
jeśli dopuszcza się złożony charakter alternatyw, nic nie stoi n a przeszkodzie, by prezentaq'a złożona z kilku występów była potraktow ana jak o jedna alternatywa.
W łyżwiarstwie figurowym (m etoda I) używana jest następująca m etoda ustalania kolejności zawodników w całych zawodach. Po każdym występie ustalana jest kolejność zawodników według m etody pierwszej. N astępnie za każde uzyskane w ten sposób miejsce przyznaw ana jest odpow iednia liczba punktów np.
1 miejsce - 0,5 pkt.
2 miejsce - 1 pkt.
3 miejsce - 1 , 5 pkt.
itd.
Po wszystkich występach pu nkty te są sumowane. O soba z najmniejszą liczbą punktów zostaje zwycięzcą. Popatrzm y n a następujący przykład :
P rzykład 14 Występ pierwszy:
Si s 2 S3
Zawodnik A 10,0 10,0 10,0
Zawodnik B 9,8 9,9 9,8
Zawodnik C 9,8 9,8 9,7
Punkty te wyznaczają następujący profil preferencji indywidualnych:
Rj. A, B-C Ry. A, B, O Ry. A, B, C
Kolejność końców po pierwszym występie przedstawia się następująco:
R: A, B, C Występ drugi:
Si S2 S3
Zawodnik A 9,5 9,4 9,5
Zawodnik B 9,6 9,4 9,6
Zawodnik C 9,5 9,4 9,6
Punkty te wyznaczają następujący profil preferencji indywidualnych:
Rj: B, A-C R2: A-B-C R y B-C, A
Kolejność końcowa po zawodach przedstawiać się będzie następująco:
R: B, C, A
Kolejność końcowa po zawodach przedstawiać się będzie następująco:
R: B (1 pkt + 0,5 pkt), A (0,5 pkt + 1,5 pkt), C (1,5 pkt + 1 pkt)
