Sterowanie napędów maszyn i robotów Wykład 6 - odtwarzanie zmiennych stanu przez różniczkowanie dr inż. Jakub Możaryn

Wykład 6 - odtwarzanie zmiennych stanu przez różniczkowanie

dr inż. Jakub Możaryn

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2016

Wykorzystanie układów sterowania od zmiennych stanu wymaga uzyskania dodatkowych informacji o stanie obiektu. W układach pozycjonowania są to najczęściej:

położenie - d (t), prędkość - v (t)), przyspieszenie - a(t).

Informacje te mogą być dostępne dzięki użyciu dodatkowych przetworników pomiarowych. Wiąże się to jednak między innymi z dodatkowym kosztem.

sygnałów

Sterowanie dyskretne i technika cyfrowa pozwalają uzyskiwać dodatkowe informacje o stanie obiektu poprzez odtwarzanie zmiennych stanu.

Korzyści jakie wynikają z eliminacji dodatkowych czujników to:

obniżenie kosztów,

zmniejszenie wymiarów maszyny napędzającej,

eliminacja połączeń kablowych od czujników prędkości, większa niezawodność.

Istnieją 2 podstawowe sposoby odtwarzania sygnałów przez różniczkowanie,

przez obserwację (wykorzystanie obserwatorów).

metodą bezpośrednią

Odtwarzanie prędkości i przyspieszenia - metody dwu- i wielopunktowe

ˆ

v (k) = [s(k) − s(k − i )]

iTp

, (1)

ˆ

a(k) = [ˆv (k) − ˆv (k − i )]

jTp

= [s(k) − s(k − i ) − s(k − j ) + s(k − i − j )]

ijT_p² ,

(2) gdzie: i , j = 1, 2, 3, ... oznacza liczbę okresów próbkowania T_p

wykorzystywanych w dyskretnej procedurze odtwarzania (i = 1 – realizacja dwupunktowa itd.)

metodą bezpośrednią

Przy odtwarzaniu zmiennych metodą siecznej możliwe jest wybranie realizacji różniczkowania od dwu- do wielopunktowej, które różnią się liczbą punktów użytych do różniczkowania (parametry i , j ).

Zwiększenie liczby punktów użytych do różniczkowania zwiększa przesunięcie fazowe odtwarzanych sygnałów prędkości i przyspieszenia oraz zwiększeniu ulegają błędy amplitudy odtwarzanych sygnałów, ale jednocześnie zmniejsza się wpływ zniekształceń sygnału pomiaru położenia na jakość odtwarzania sygnałów (lepsze filtrowanie).

metodą bezpośrednią

Rysunek :Odtwarzanie przez różniczkowanie (sieczna wielopunktowa); v , a - sygnały wzorcowe, sygnały odtworzone procedurą: v1, a1 - trójpunktową, v2, a2

- pięciopunktową.

metodą wielomianu interpolacyjnego

Metoda opiera się na zastąpieniu zbioru dyskretnych wartości s(k) ciągłą funkcją f (t), a następnie wyliczenie wartości jej pochodnych, tzn.

odtworzenie sygnału prędkości i przyspieszenia, w dowolnej chwili czasowej przedziału < ka, kb>.

ˆ

v (k) = df (t) dt

   _t=k

(3)

ˆ

a(k) = d²f (t) dt²

   _t=k

(4)

metodą wielomianu interpolacyjnego

spośród wielu możliwych do wykorzystania funkcji interpolacyjnych:

algebraicznych, trygonometrycznych, ekspotencjalnych, sklejanych itp., wygodnie jest się posługiwać wielomianem Newtona.

Wielomian Newtona

f (t) =

n

X

r =0

arwr(t) (5)

posiada wielomiany bazowe wr(t) rzędu nie wyższego niż n, tzn.

w₀(t) = 1, w_r(t) = (t − k₀)(t − k₁)...(t − k_{r −1}), r = 1, 2, ..., n, (6) gdzie: k₀, k₁, ..., k_n są zadanymi punktami węzłowymi - w odtwarzaniu sygnału są kolejnymi chwilami czasu dyskretnego k z uwzględnianego przedziału pomiaru położenia s(k).

metodą wielomianu interpolacyjnego

Postać wielomianowa pozwala na przedstawienie pochodnych funkcji interpolacyjnej jako liniowej kombinacji jej wartości.

Umożliwia to wyznaczenie wartości odtwarzanych sygnałów tylko na podstawie odłożonych w pamięci procesora wartości s(k) z

kontrolowanego przedziału czasu < ka, kb> oraz okresu próbkowania Tp.

metodą wielomianu interpolacyjnego

Współczynniki wielomianu a_r, r = 1, 2...n można określić na dwa sposoby:

METODA 1 - rozwiązując układ n równań











f (k0) = s(k0) = a0

f (k1) = s(k1) = a0+ a1(k1− k0) . . .

f (kn) = s(kn) = a0+ ... + an(kn− k1)...(kn− kn−1)

(7)

metodą wielomianu interpolacyjnego

Współczynniki wielomianu ar, r = 1, 2...n można określić na dwa sposoby:

METODA 2 - rekurencyjnie, za pomocą ilorazów różnicowych o postaci

b_{i ,j} =s(ki) − s(kj) k_i− kj

(8) opartej na węzłach ki, kj, co pozwala obliczać iloraz różnicowy oparty na węzłach k_i, k_{i +1}, ..., k_{i +m} (iloraz rzędu m) za pomocą ilorazów wykorzystujących węzły k_i, k_{i +1}, ..., k_{i +m−1} oraz k_{i +1}, k_{i +2}, ..., k_{i +m}

bi ,i +1,...,i +m= bi ,i +1,...,i +m−1− bi +1,i +1,...,i +m

ki− ki +m

. (9)

Współczynniki wielomianu przyjmują wtedy wartości

metodą wielomianu interpolacyjnego

Przykład do METODY 2 (obliczanie ilorazów różnicowych)

b0= s(k0) (11)

b_1,0=s(k₁) − s(k₀) k1− k0

(12)

b2,1=s(k2) − s(k1)

k₂− k₁ (13)

b2,1,0= b(k2,1) − b(k1,0) k2− k0

(14)

metodą wielomianu interpolacyjnego

Rysunek :Odtwarzanie przez różniczkowanie z wykorzystaniem wielomianu interpolacyjnego (procedura czteropunktową): sygnały v , a - wzorcowe, v1, a1- w aktualnej chwili czasowej, v2, a2 - w środku przedziału czasowego

Wadą metody interpolacyjnej są zniekształcenia wartości sygnałów w przypadku niskiego rzędu wielomianu - zbliżenie do wartości

rzeczywistych, szczególnie dobre dla prędkości, uzyskuje się dopiero od

metodą wielomianu aproksymacyjnego

Wielomian aproksymacyjny → rozszerzenie wielomianu interpolacyjnego Dla wielomianu rzędu wyższego, m > n, nie ma jednoznacznego rozwiązania ale możliwe są dwie drogi określenia wartości współczynników wielomianu aproksymacyjnego

f (k) =ˆ

m

X

r =0

a_r(k)(kT_p)^r = ˆF (k)w (k) (15)

gdzie ˆF (k) = [a0, a1, ..., am]^T, wk = [1, kTp, ..., kT_p^m], F , w ∈ R^m×1 oznaczają wektory współczynników i rozwinięć potęgowych wielomianu.

metodą wielomianu aproksymacyjnego

Współczynniki wielomianu ar, r = 1, 2...m można określić na dwa sposoby:

METODA 1 - metodą aproksymacji średniokwadratowej dyskretnej, poszukując wartości minimalnej liniowo-kwadratowego wskaźnika jakości

I_ˆ^L−K

f (k) =

n

X

i =0

[s(k − i ) − ˆf (−iTp)]² tzn.

∂I_ˆ^L−K

f (k)

∂a_r(k) = 0 dla r = 0, ..., m (16) Prowadzi to do układu m + 1 równań

m

X(−1)^{r +1}ar

" _n

X(n + 1 − i )^{2m−r −q}T_p^r

#

= −

n

Xi^m−qs(k − i )

metodą wielomianu aproksymacyjnego

Współczynniki wielomianu a_r, r = 1, 2...m można określić na dwa sposoby:

METODA 2 - metodą szacowania współczynników wielomianu optymalnego ocenianego przez kryterium najmniejszych kwadratów

I_{f (k)ˆ}^LS = 1 n + 1

n

X

i =0

λⁿ⁻¹[s(k − i ) − ˆf (−iT_p)]²= min (18)

w wersji podstawowej (LS) lub - co korzystniejsze ze względu na pożądane ograniczenia obliczeniowe procedury - w wersji

rekurencyjnej (RLS), gdzie λ < 1 - tzw. współczynnik zapominania.

metodą wielomianu aproksymacyjnego

Analityczne różniczkowanie wielomianu aproksymacyjnego prowadzi do wyrażeń opisujących - ogólnie - odtwarzane sygnały, np. prędkości i przyspieszenia w funkcji czasu i oszacowanych współczynników ai(k), odpowiednio jako:

prędkość ˆ

v (k) = a₁(k) + a₂(k)2kT_p+ ... + a_m(k)m(kT_p)^m−1 (19) przyspieszenie

ˆ

a(k) = a₂(k)2 + a₃(k)6kT_p+ ... + a_m(k)m(m − 1)(kT_p)^m−2 (20)

metodą wielomianu aproksymacyjnego

Rysunek :Odtwarzanie przez różniczkowanie z wykorzystaniem wielomianu aproksymującego: v , a - sygnały wzorcowe, odtwarzanie z zastosowaniem wielomianu 3 rzędu, procedury ośmiopunktowej i współczynnika zapominania estymacji λ o wartości: v1, a1, λ = 0, 8, v2, a2, λ = 0, 6, v3, a3, λ = 0, 15

W praktyce preferowane jest odtwarzanie przez różniczkowanie. Ma ono szereg zalet w stosunku do odtwarzania przez obserwację.

Ograniczona moc obliczeniowa wykorzystywanych w produktach przemysłowych (ze względu na niski koszt) układów

mikroprocesorowych (8-bitowe, 16- i 32-bitowe, jednokartowe sterowniki procesorowe) i kompatybilna z ich możliwościami obliczeniowymi prostota implementacji,

Bezmodelowa, a więc odporna na zmiany warunków pracy napędu, procedura odtwarzania sygnałów - w porównaniu z potrzebą wiarygodnego modelu zachowań dynamicznych napędu w przypadku obserwacji i złożoność identyfikacyjna i implementacyjna tego modelu,

Zawodność liniowego obserwatora w obszarze silnie

Główne wady odtwarzania przez różniczkowanie są następujące Podniesienie szumu pomiarowego przez wzmocnienie

wysokoczęstotliwościowych sygnałów zakłóceń; problematyczne w przypadku bezdotykowych, indukcyjnych i magnetostrykcyjnych, przetworników położenia, odpornych na warunki pracy i tanich, ale obarczonych dużym szumem pomiarowym - nawet kilkukrotnie przewyższającym rozdzielczość właściwego pomiaru.

Przesunięcie czasowe (opóźnienie fazowe) odtwarzanych sygnałów:

do odtworzenia sygnałów ˆv i ˆa w chwili k potrzebne są, oprócz sygnału d (k), sygnały z poprzednich chwil d (k − i ) i d (k − j ).

Zredukowanie wartości liczbowych reprezentujących sygnał odtwarzany w stosunku do rozdzielczości zastosowanego przetwornika położenia (kwantyzacja sygnałów) - szczególnie widoczne przy wielokrotnym różniczkowaniu.

Pogorszenie stabilności zmuszające do ograniczenia wartości wzmocnień w układzie sterowania i przez to zmniejszenie wpływu na