Sterowanie napędów maszyn i robotów Wykład 6 - odtwarzanie zmiennych stanu przez obserwację dr inż. Jakub Możaryn

Wykład 6 - odtwarzanie zmiennych stanu przez obserwację

dr inż. Jakub Możaryn

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2014

Wykorzystanie układów sterowania od zmiennych stanu wymaga uzyskania dodatkowych informacji o stanie obiektu. W układach pozycjonowania są to najczęściej:

położenie - d (t), prędkość - v (t)), przyspieszenie - a(t).

Informacje te mogą być dostępne dzięki użyciu dodatkowych przetworników pomiarowych. Wiąże się to jednak między innymi z dodatkowym kosztem.

sygnałów

Sterowanie dyskretne i technika cyfrowa pozwalają uzyskiwać dodatkowe informacje o stanie obiektu poprzez odtwarzanie zmiennych stanu.

Korzyści jakie wynikają z eliminacji dodatkowych czujników to:

obniżenie kosztów,

zmniejszenie wymiarów maszyny napędzającej,

eliminacja połączeń kablowych od czujników prędkości, większa niezawodność.

Istnieją 2 podstawowe sposoby odtwarzania sygnałów przez różniczkowanie,

przez obserwację (wykorzystanie obserwatorów).

metodą bezpośrednią

Odtwarzanie prędkości i przyspieszenia - metody dwu- i wielopunktowe ˆ

v (k) = [s(k) − s(k − i )]

iTp

, (1)

ˆ

a(k) = [ˆv (k) − ˆv (k − i )]

jTp

= [s(k) − s(k − i ) − s(k − j ) + s(k − i − j )]

ijT_p² ,

(2) gdzie: i , j = 1, 2, 3, ... oznacza liczbę okresów próbkowania T_p

wykorzystywanych w dyskretnej procedurze odtwarzania (i = 1 – realizacja dwupunktowa itd.)

Przy odtwarzaniu zmiennych metodą siecznej możliwe jest wybranie realizacji różniczkowania od dwu- do wielopunktowej, które różnią się liczbą punktów s użytych do różniczkowania (parametry i , j ). Zwiększenie liczby punktów użytych do

różniczkowania zwiększa przesunięcie fazowe odtwarzanych sygnałów prędkości i przyspieszenia oraz zwiększeniu ulegają błędy amplitudy odtwarzanych sygnałów, ale jednocześnie zmniejsza się wpływ zniekształceń sygnału pomiaru położenia na jakość odtwarzania sygnałów v i a (lepsze filtrowanie).

metodą bezpośrednią

Rysunek :Odtwarzanie przez różniczkowanie (sieczna wielopunktowa); v , a - sygnały wzorcowe, sygnały odtworzone procedurą: v1, a1 - trójpunktową, v2, a2

- pięciopunktową.

metodą wielomianu interpolacyjnego

Metoda opiera się na zastąpieniu zbioru dyskretnych wartości s(k) ciągłą funkcją f (t), a następnie wyliczenie wartości jej pochodnych, tzn.

odtworzenie sygnału prędkości i przyspieszenia, w dowolnej chwili czasowej przedziału < k_a, k_b>.

ˆ

v (k) = df (t) dt

   _t=k

(3)

ˆ

a(k) = d²f (t) dt²

   _t=k

(4) spośród wielu możliwych do wykorzystania funkcji interpolacyjnych:

algebraicznych, trygonometrycznych, ekspotencjalnych, sklejanych itp., wygodnie jest się posługiwać wielomianem Newtona w postaci:

f (t) =

n

X

r =0

arwr(t) (5)

metodą wielomianu interpolacyjnego

Wielomian Newtona

f (t) =

n

X

r =0

arwr(t) (6)

posiada wielomiany bazowe wr(t) rzędu nie wyższego niż n, tzn.

w0(t) = 1, wr(t) = (t − k0)(t − k1)...(t − kr −1), r = 1, 2, ..., n, (7) gdzie: k0, k1, ..., kn są zadanymi punktami węzłowymi (w rozpatrywanej aplikacji – kolejnymi chwilami czasu dyskretnego k z uwzględnianego przedziału pomiaru położenia s(k))

metodą wielomianu interpolacyjnego

Postać wielomianowa pozwala na przedstawienie pochodnych funkcji interpolacyjnej jako liniowej kombinacji jej wartości: umożliwia to wyznaczenie wartości odtwarzanych sygnałów tylko na podstawie odłożonych w pamięci procesora wartości s(k) z kontrolowanego przedziału czasu < k_a, k_b> oraz okresu próbkowania T_p. Współczynniki wielomianu a_r, r = 1, 2...n można określić na dwa sposoby:

METODA 1 - rozwiązując układ równań











f (k0) = a0= s(k0)

f (k1) = a0+ a1(k1− k0) = s(k1) . . .

f (kn) = a0+ ... + an(kn− k1)...(kn− kn−1) = s(kn)

(8)

metodą wielomianu interpolacyjnego

Współczynniki wielomianu ar, r = 1, 2...n można określić na dwa sposoby:

METODA 2 - rekurencyjnie, za pomocą ilorazów różnicowych o postaci

b_ij= s(ki) − s(kj) k_i− kj

(9) opartej na węzłach ki, kj, co pozwala obliczać iloraz różnicowy oparty na węzłach k_i, k_{i +1}, ..., k_{i +m} (iloraz rzędu m) za pomocą ilorazów wykorzystujących węzły k_i, k_{i +1}, ..., k_{i +m−1} oraz k_{i +1}, k_{i +2}, ..., k_{i +m}

bi ,i +1,...,i +m= bi ,i +1,...,i +m−1− bi +1,i +1,...,i +m

ki− ki +m

. (10)

Współczynniki wielomianu przyjmują wtedy wartości

a0= b0, a1= b0,1, ..., an= b0,1,2,...,n (11)

metodą wielomianu interpolacyjnego

Rysunek :Odtwarzanie przez różniczkowanie z wykorzystaniem wielomianu interpolacyjnego (procedura czteropunktową): sygnały v , a - wzorcowe, v1, a1- w aktualnej chwili czasowej, v2, a2 - w środku przedziału czasowego

Wadą metody interpolacyjnej są zniekształcenia wartości sygnałów w przypadku niskiego rzędu wielomianu - zbliżenie do wartości

rzeczywistych, szczególnie dobre dla prędkości, uzyskuje się dopiero od procedury czteropunktowej

metodą wielomianu aproksymacyjnego

Wielomian aproksymacyjny → rozszerzenie wielomianu interpolacyjnego Dla wielomianu rzędu wyższego, m > n, nie ma jednoznacznego rozwiązania ale możliwe są dwie drogi określenia wartości współczynników wielomianu aproksymacyjnego

f (k) =ˆ

m

X

r =0

a_r(k)(kT_p)^r = ˆF (k)w (k) (12)

gdzie ˆF (k) = [a0, a1, ..., am]^T, wk = [1, kTp, ..., kT_p^m], F , w ∈ R^m×1 oznaczają wektory współczynników i rozwinięć potęgowych wielomianu.

metodą wielomianu aproksymacyjnego

Współczynniki wielomianu ar, r = 1, 2...m można określić na dwa sposoby:

METODA 1 - metodą aproksymacji średniokwadratowej dyskretnej, poszukując wartości minimalnej liniowo-kwadratowego wskaźnika jakości

I_ˆ^L−K

f (k) =

n

X

i =0

[s(k − i ) − ˆf (−iTp)]² tzn.

∂I_ˆ^L−K

f (k)

∂a_r(k) = 0 dla r = 0, ..., m (13) Prowadzi to do układu m + 1 równań

m

X

r =0

(−1)^{r +1}ar

" _n X

i =0

(n + 1 − i )^{2m−r −q}T_p^r

#

= −

n

X

i =0

i^m−qs(k − i ) (14) q = 0, ..., m

metodą wielomianu aproksymacyjnego

Współczynniki wielomianu a_r, r = 1, 2...m można określić na dwa sposoby:

METODA 2 - metodą szacowania współczynników wielomianu optymalnegoocenianego przez kryterium najmniejszych kwadratów

I_{f (k)ˆ}^LS = 1 n + 1

n

X

i =0

λⁿ⁻¹[s(k − i ) − ˆf (−iT_p)]²= min (15)

w wersji podstawowej (LS) lub - co korzystniejsze ze względu na pożądane ograniczenia obliczeniowe procedury - w wersji

rekurencyjnej (RLS), gdzie λ < 1 - tzw. współczynnik zapominania.

metodą wielomianu aproksymacyjnego

Analityczne różniczkowanie wielomianu aproksymacyjnego prowadzi do wyrażeń opisujących - ogólnie - odtwarzane sygnały, np. prędkości i przyspieszenia w funkcji czasu i oszacowanych współczynników ai(k), odpowiednio jako:

prędkość

ˆ

v (k) = a₁(k) + a₂(k)2kT_p+ ... + a_m(k)m(kT_p)^m−1 (16) przyspieszenie

ˆ

a(k) = a₂(k)2 + a₃(k)6kT_p+ ... + a_m(k)m(m − 1)(kT_p)^m−2 (17)

metodą wielomianu aproksymacyjnego

Rysunek :Odtwarzanie przez różniczkowanie z wykorzystaniem wielomianu aproksymującego: v , a - sygnały wzorcowe, odtwarzanie z zastosowaniem wielomianu 3 rzędu, procedury ośmiopunktowej i współczynnika zapominania estymacji λ o wartości: v1, a1, λ = 0, 8, v2, a2, λ = 0, 6, v3, a3, λ = 0, 15

W praktyce preferowane jest odtwarzanie przez różniczkowanie. Ma ono szereg zalet w stosunku do odtwarzania przez obserwację.

Ograniczona moc obliczeniowa wykorzystywanych w produktach przemysłowych (ze względu na niski koszt) układów

mikroprocesorowych (8-bitowe, 16- i 32-bitowe, jednokartowe sterowniki procesorowe) i kompatybilna z ich możliwościami obliczeniowymi prostota implementacji,

Bezmodelowa, a więc odporna na zmiany warunków pracy napędu, procedura odtwarzania sygnałów - w porównaniu z potrzebą wiarygodnego modelu zachowań dynamicznych napędu w przypadku obserwacji i złożoność identyfikacyjna i implementacyjna tego modelu,

Zawodność liniowego obserwatora w obszarze silnie nieliniowych zachowań napędu, a więc przede wszystkim w obszarze małych prędkości ruchu.

Główne wady odtwarzania przez różniczkowanie są następujące Podniesienie szumu pomiarowego przez wzmocnienie

wysokoczęstotliwościowych sygnałów zakłóceń; problematyczne w przypadku bezdotykowych, indukcyjnych i magnetostrykcyjnych, przetworników położenia, odpornych na warunki pracy i tanich, ale obarczonych dużym szumem pomiarowym - nawet kilkukrotnie przewyższającym rozdzielczość właściwego pomiaru.

Przesunięcie czasowe (opóźnienie fazowe) odtwarzanych sygnałów:

do odtworzenia sygnałów ˆv i ˆa w chwili k potrzebne są, oprócz sygnału d (k), sygnały z poprzednich chwil d (k − i ) i d (k − j ).

Zredukowanie wartości liczbowych reprezentujących sygnał odtwarzany w stosunku do rozdzielczości zastosowanego przetwornika położenia (kwantyzacja sygnałów) - szczególnie widoczne przy wielokrotnym różniczkowaniu.

Pogorszenie stabilności zmuszające do ograniczenia wartości wzmocnień w układzie sterowania i przez to zmniejszenie wpływu na zachowania dynamiczne napędu.

obserwatora

Proces ruchu realizowany przez układ napędowy jest przyjmowany jako wielowymiarowy, jednowyjściowy obiekt sterowania, opisany w

uproszczonej postaci dyskretnej przez następujące macierze stanu, sterowania i wyjścia

Amd ∈ R^n×n (18)

Bmd∈ R^n×r (19)

Cmd ∈ R^1×n (20)

oraz przez opóźnienie d .

Obserwator według Luenbergera to układ o postaci

ˆ

x (k + 1) = Amdx (k) + Bmdu(k − d ) + kobeob(k),

eob(k) = [y (k) − Cmdx (k)]ˆ (21) estymujący - przy odpowiednim doborze macierzy obserwacji kob ∈ R^n×1 – stan procesu ˆx (k).

obserwatora

Narzucenie dyskretnemu układowi wartości własnych z₁, z₂, ..., z_nokreśla macierz obserwacji k_ob zgodnie z zależnością

det(zI − A_md+ k_obC_md) = (z − z₁)(z − z₂)...(z − z_n) (22) oraz określa dynamikę zanikania odchyłki odtwarzania e_ob(k).

Zbieżność estymacji zapewniają wartości własne zi leżące wewnątrz okręgu jednostkowego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej z

|zi| < 1, i = 1, 2, ..., n (23) co oznacza spełnienie warunku stabilności asymptotycznej

obserwatora.

Rysunek :Sterowanie pozycyjne pneumatycznego układu napędowego z obserwatorem.

Przykład: Macierz obserwacji dla dyskretnego modelu procesu ruchu

x (k + 1) =





1 T_p 0

0 1 − αT_p βT_p 0 −2αβ 1 − αT_{p−2β(1−β)}



x (k) +



 0 C_mT_pα 2C_mαβ



 (24)

y (k) = [1 0 0]x (k) (25)

gdzie

α = 0.5ω_om² Tp, β = 1 − DmωomTp (26) Równanie stanu dane jest w postaci (n = 3, r = 1)

x (k + 1) =





1 a12 0 0 a22 a23

0 a32 a33



x (k) +



 0 b21

b31



 (27)

Macierz wzmocnień obserwatora wyznacza się więc wg zależności

det



Iz −





1 a12 0 0 a22 a23

0 a32 a33



+



 kob1

kob2

kob3



[1 0 0]



= (z−z₁)(z−z2)(z−z3) (28)

Korzystając z (28) otrzymuje się następujące zależności określające składowe macierzy obserwacji

kob1= 1 + a22+ a33− γ1 (29)

kob2= γ2− [a22a33− a23a32+ a22+ a33− k(a22+ a33)]

a₁₂ (30)

k_ob3=a₂₂a₃₃− a₂₃a₃₂− k_ob1(a₂₂a₃₃+ a₂₃a₃₂) + k_ob2a₁₂a₃₃− γ₃ a12a23

(31) gdzie: γ1= z1+ z2+ z3, γ2 = z1z2+ z1z3+ z2z3, γ3= z1z2z3. UWAGA:

głównym problemem realizacyjnym obserwatora pozostaje wybór wartości własnych (z1, z2, z3) - oprócz teoretycznych uwarunkowań brakuje innych, konkretnych przesłanek wyboru: powodzenie, ograniczone zresztą, zapewniają 2 metody.

dobory wartości własnych

METODA 1: Narzucenie wartości własnych w płaszczyźnie zmiennej zespolonej s w funkcji pulsacji drgań swobodnych ωom

wybranego do realizacji obserwatora modelu procesu ruchu.

s1,2= −αωom(1 ± j β), s3= −αχωom (32) z warunkiem

α(ω_om) =

 α^ω_ω^ogr

om gdy ωom< ωogr

α gdy ωom­ ωogr

(33)

następnie transformacji wartości własnych na płaszczyznę z wg

z1,2= e^−αωomTpcos(αβωomTp) ± je^−αωomTpsin(αβωomTp) (34) gdzie współczynniki α, β i γ , dobrane są dla typowych rozwiązań i warunków pracy napędów, tzn. zapewniają dostatecznie szybkie dążenie zmiennych odtwarzanych do odpowiednich zmiennych stanu procesu ruchu.

METODA 2: powiązanie problemu syntezy obserwatora i

sterowania pozycyjnego napędu przez narzucenie dopuszczalnych wartości odchyłek zmiennych stanu: powodowanych przez odtwarzanie (δobx ) i sterowanie pozycyjne (δx ).

Względne wartości tych odchyłek można powiązać ze sobą wychodząc z równań pracy układu po wprowadzeniu zakłócenia skokowego

u(t) = U_o

1(t), (35)

jako

δx = kx

δobx

U_o (36)

k_ob1=δ_{x 2}k_{x 1} δx 1kx 2

, k_ob2= δ_{x 3}k_{x 1} δx 1kx 3

, k_ob3= −C_mω²_omk_{x 1} δx 1

−2D_mω_omk_ob2−ω_om² k_ob1 (37)

METODA 2 cd:

Uwzględnienie wartości odchyłek prowadzi, dla modelu zachowań oscylacyjnych procesu ruchu, do zależności

 s1,2= −Re s1,2± jIm s1,2

s3= −Res3

(38) oraz

Res₃[(Res_1,2)²+ (Ims_1,2)²] = C_mω_omk_{x 1} δx 1

(39) określających położenie wartości własnych s1,2po narzuceniu wartości odchyłki położenia δx 1, wzmocnienia położeniowego kx 1i części rzeczywistej s3.

Rysunek :Odtwarzanie przez obserwację, gdzie: v , a - sygnały wzorcowe, odtwarzanie przy pomocy obserwatorów wykorzystujących modele o parametrach: v1, a1- obliczanych analitycznie oraz szacowanych: v2, a2 - w trakcie eksperymentu uruchomieniowego (off-line), v3, a3- w trakcie normalnej pracy układu napędowego (on-line).

Ze względu na nieadekwatności modelu obliczeniowego lub identyfikowanego w procedurze uruchomieniowej w odniesieniu do bieżącego zachowania układu napędowego, odtwarzanie dla potrzeb sterowania przez deterministyczny (stały) obserwator prowadzi do pogorszenia jakości sterowania nawet w stosunku do układów korzystających z różniczkowania metodą siecznej.

Nie satysfakcjonują również

próby rozbudowy struktury obserwatora o wybrane elementy nieliniowe

próby wzmacniania sprzężenia zwrotnego w powiązaniu z odchyłką odtwarzania (ze względu na podniesienie poziomu szumu

wprowadzanego z sygnału położenia).

Stosunkowo dobrą metodą poprawy jakości odtwarzania jest wprowadzenie mechanizmu samostrojenia, zakładającego uzmiennienie modelu dynamiki napędu w stosunku do wartości

obliczanych lub szacowanych; przyjmując np. stałą wartość wzmocnienia prędkościowego C_m- pulsacja drgań swobodnych ω_om oraz tłumienie D_m modelu wykorzystywanego w obserwatorze mogą być w tym mechanizmie wyliczane:

bezpośrednio

pośrednio, przez uproszczoną aproksymację przebiegu wartości uwzględnianych parametrów:

odcinkami linii prostych wychodzących od znanej wartości (np. od wartości minimalnej),

schodkowo, stałymi wartościami w tak dobranych zakresach wartości określanego parametru, np. pulsacji, aby spełnić określone warunki

Przy obliczaniu pośrednio - schodkowo, stałymi wartościami w tak dobranych zakresach wartości określanego parametru, np. pulsacji, aby spełnić określone warunki , przyjmuje się

|ωom(s) − ωomob(s) − ωom min| ¬ δωom, orazωomob(s) = cωom(s)ωom min

(40) gdzie: ωom odpowiada wartości wyliczonej, ωom min- wartości minimalnej, ωomob - wartości wykorzystywanej w mechanizmie samostrojenia, δωom - względnej, akceptowanej odchyłce aproksymacji i cωom - współczynnikowi aproksymacji.

napędu

Odtwarzanie z wykorzystaniem modelu odtwarzanego, uwzględniając problematykę szacowania współczynników modelu, realizacji obserwatora oraz optymalizacji nakładu obliczeniowego i dostępu do pamięci

procesora, przebiegu w następujących krokach obliczeniowych:

odtworzenie wartości parametrów ruchu, np. prędkości i przyspieszenia, jedną z metod zapewniających możliwie wierny wartościowo i gładki przebieg sygnałów,

określenie współczynników modeli zachowań procesu ruchu np.

prędkościowych i przyspieszeniowych procesu ruchu:

ˆ

v (k) = ˆθv 1v (k − 1) + ˆˆ θv 2a(k − 1) + ˆˆ θv 3u(k − d − 1) ˆ

a(k) = ˆθa1v (k − 1) + ˆˆ θa2a(k − 1) + ˆˆ θa3u(k − d − 1) (41) przez oszacowanie w trakcie normalnej pracy napędu zgodnie ze schematem rekurencyjnym RLS,

napędu

wyznaczenie odchyłki obserwacji (odtwarzania) ˆe_ob(k) w postaci ˆ

eob(k) = s(k) − ˆs(k) (42) wyliczenie aktualnych wartości składowych macierzy obserwacji kob1, kob2ikob3 wybraną metodą,

odtworzenie przyrostu przemieszczenia sp(k + 1), sygnału prędkości ˆ

v (k + 1) i przyspieszenia ˆa(k + 1)





s_p(k + 1) ˆ v (k + 1)

ˆ a(k + 1)



=





a₁₂(k) a₁₃(k) b₁(k) −kob1(k) a₂₂(k) a₂₃(k) b₂(k) −kob2(k) a₃₂(k) a₃₃(k) b₃(k) −kob3(k)











 ˆ v (k) ˆ a(k) u(k + d )

ˆ e_ob(k)







 (43) estymację sygnału położenia, na podstawie otrzymanej wartości przyrostu

ˆ

s(k + 1) = ˆs(k) + s_p(k + 1) (44)

napędu

W porównaniu z obserwatorem wykorzystującym model obliczeniowy lub identyfikowany w eksperymencie uruchomieniowym obserwator

identyfikowany w trakcie normalnej pracy napędu zapewnia najlepszą jakość odtwarzania - nie jest jednak wolny od wad związanych ze stosowaniem modelu

szacowaniem modelu,

trudnością identyfikacji modelu (np. w trakcie małych przemieszczeń),

zaniżaniem wartości szacowanej pulsacji w skrajnych położeniach (np. napędów płynowych),

wrażliwością na błąd punktu zerowego wysterowania.