Sterowanie napędów maszyn i robotów Wykład 6 - odtwarzanie zmiennych stanu przez obserwację dr inż. Jakub Możaryn

Sterowanie napędów maszyn i robotów

Wykład 6 - odtwarzanie zmiennych stanu przez obserwację

dr inż. Jakub Możaryn

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2016

dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie napędów maszyn i robotów

Odtwarzanie zmiennych stanu

Wykorzystanie układów sterowania od zmiennych stanu wymaga uzyskania dodatkowych informacji o stanie obiektu. W układach pozycjonowania są to najczęściej:

położenie - d (t), prędkość - v (t)), przyspieszenie - a(t).

Informacje te mogą być dostępne dzięki użyciu dodatkowych przetworników pomiarowych. Wiąże się to jednak między innymi z dodatkowym kosztem.

dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie napędów maszyn i robotów

Odtwarzanie zmiennych stanu - sposoby odtwarzania sygnałów

Sterowanie dyskretne i technika cyfrowa pozwalają uzyskiwać dodatkowe informacje o stanie obiektu poprzez odtwarzanie zmiennych stanu.

Korzyści jakie wynikają z eliminacji dodatkowych czujników to:

obniżenie kosztów,

zmniejszenie wymiarów maszyny napędzającej,

eliminacja połączeń kablowych od czujników prędkości, większa niezawodność.

Istnieją 2 podstawowe sposoby odtwarzania sygnałów przez różniczkowanie,

przez obserwację (wykorzystanie obserwatorów).

dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie napędów maszyn i robotów

Odtwarzanie zmiennych stanu przez obserwację - realizacja obserwatora

Proces ruchu realizowany przez układ napędowy jest przyjmowany jako wielowymiarowy, jednowyjściowy obiekt sterowania, opisany w

uproszczonej postaci dyskretnej przez następujące macierze stanu, sterowania i wyjścia

Amd ∈ R^n×n (1)

Bmd∈ R^n×r (2)

Cmd ∈ R^1×n (3)

oraz przez opóźnienie d .

Obserwator według Luenbergera to układ o postaci ˆ

x (k + 1) = Amdx (k) + Bmdu(k − d ) + kobeob(k),

eob(k) = [y (k) − Cmdx (k)]ˆ (4)

estymujący - przy odpowiednim doborze macierzy obserwacji kob ∈ R^n×1 – stan procesu ˆx (k).

dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie napędów maszyn i robotów

Odtwarzanie zmiennych stanu przez obserwację - realizacja obserwatora

Narzucenie dyskretnemu układowi wartości własnych z₁, z₂, ..., z_nokreśla macierz obserwacji k_ob zgodnie z zależnością

det(zI − A_md+ k_obC_md) = (z − z₁)(z − z₂)...(z − z_n) (5) oraz określa dynamikę zanikania odchyłki odtwarzania e_ob(k).

Zbieżność estymacji zapewniają wartości własne zi leżące wewnątrz okręgu jednostkowego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej z

|zi| < 1, i = 1, 2, ..., n (6) co oznacza spełnienie warunku stabilności asymptotycznej

obserwatora.

dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie napędów maszyn i robotów

Odtwarzanie zmiennych stanu przez obserwację

Rysunek :Sterowanie pozycyjne pneumatycznego układu napędowego z obserwatorem.

dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie napędów maszyn i robotów

Odtwarzanie zmiennych stanu przez obserwację

Przykład: Macierz obserwacji dla dyskretnego modelu procesu ruchu

x (k+1) =





1 T_p 0

0 1 − αT_p βT_p 0 −2αβ 1 − αT_{p−2β(1−β)}



x (k)+



 0 C_mT_pα 2C_mαβ



u(k−d ) (7)

y (k) = [1 0 0]x (k) (8)

gdzie

α = 0.5ω_om² Tp, β = 1 − DmωomTp (9) Równanie stanu dane jest w postaci (n = 3, r = 1)

x (k + 1) =





1 a12 0 0 a22 a23

0 a32 a33



x (k) +



 0 b21

b31



u(k − d ) (10) Macierz wzmocnień obserwatora wyznacza się więc wg zależności

det



Iz −





1 a12 0 0 a22 a23

0 a32 a33



+



 kob1

kob2

kob3



[1 0 0]



= (z−z₁)(z−z2)(z−z3) (11)

dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie napędów maszyn i robotów

Odtwarzanie zmiennych stanu przez obserwację

Korzystając z (11) otrzymuje się następujące zależności określające składowe macierzy obserwacji

kob1= 1 + a22+ a33− γ1 (12) k_ob2= γ₂− [a₂₂a₃₃− a₂₃a₃₂+ a₂₂+ a₃₃− k(a₂₂+ a₃₃)]

a12

(13)

kob3=a₂₂a₃₃− a23a₃₂− kob1(a₂₂a₃₃+ a₂₃a₃₂) + k_ob2a₁₂a₃₃− γ3

a12a23

(14) gdzie: γ1= z1+ z2+ z3, γ2 = z1z2+ z1z3+ z2z3, γ3= z1z2z3.

UWAGA: głównym problemem realizacyjnym obserwatora

pozostaje wybór wartości własnych (z1, z2, z3) - oprócz teoretycznych uwarunkowań brakuje innych, konkretnych przesłanek wyboru.

dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie napędów maszyn i robotów

Odtwarzanie zmiennych stanu przez obserwację

Rysunek :Odtwarzanie przez obserwację, gdzie: v , a - sygnały wzorcowe, odtwarzanie przy pomocy obserwatorów wykorzystujących modele o parametrach: v1, a1- obliczanych analitycznie oraz szacowanych: v2, a2 - w trakcie eksperymentu uruchomieniowego (off-line), v3, a3- w trakcie normalnej pracy układu napędowego (on-line).

dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie napędów maszyn i robotów

Obserwator obliczeniowy lub uruchomieniowy

Ze względu na nieadekwatności modelu obliczeniowego lub identyfikowanego w procedurze uruchomieniowej w odniesieniu do bieżącego zachowania układu napędowego, odtwarzanie dla potrzeb sterowania przez deterministyczny (stały) obserwator prowadzi do pogorszenia jakości sterowania nawet w stosunku do układów korzystających z różniczkowania metodą siecznej.

Sposoby poprawy:

rozbudowa struktury obserwatora o wybrane elementy nieliniowe wzmacnianie sprzężenia zwrotnego w powiązaniu z odchyłką odtwarzania - może powodować podniesienie poziomu szumu wprowadzanego z sygnału położenia.

dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie napędów maszyn i robotów

Obserwacja z wykorzystaniem modelu identyfikowanego w trakcie normalnej pracy napędu

Odtwarzanie z wykorzystaniem modelu identyfikowanego w trakcie normalnej pracy napędu, uwzględnia problematykę

szacowania współczynników modelu, realizacji obserwatora,

optymalizacji nakładu obliczeniowego,

dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie napędów maszyn i robotów

Obserwacja z wykorzystaniem modelu identyfikowanego w trakcie normalnej pracy napędu

Kroki odtwarzania z wykorzystaniem modelu identyfikowanego w trakcie normalnej pracy napędu

odtworzenie wartości parametrów ruchu, np. prędkości i przyspieszenia, jedną z metod zapewniających możliwie wierny wartościowo i gładki przebieg sygnałów (metoda siecznej z ważonym uśrednianiem),

określenie współczynników modeli zachowań procesu ruchu np.

prędkościowych i przyspieszeniowych procesu ruchu:

ˆ

v (k) = ˆθv 1v (k − 1) + ˆˆ θv 2a(k − 1) + ˆˆ θv 3u(k − d − 1) ˆ

a(k) = ˆθ_a1v (k − 1) + ˆˆ θ_a2a(k − 1) + ˆˆ θ_a3u(k − d − 1) (15) przez oszacowanie w trakcie normalnej pracy napędu zgodnie ze schematem rekurencyjnej metody najmniejszych kwadratów,

dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie napędów maszyn i robotów

Obserwacja z wykorzystaniem modelu identyfikowanego w trakcie normalnej pracy napędu

wyznaczenie odchyłki obserwacji (odtwarzania) ˆe_ob(k) w postaci ˆ

eob(k) = s(k) − ˆs(k) (16) wyliczenie aktualnych wartości składowych macierzy

obserwacji kob1, kob2 i kob3 (narzucenie wartości własnych wielomianu charakterystycznego),

odtworzenie przyrostu przemieszczenia sp(k + 1), sygnału prędkości ˆv (k + 1) i przyspieszenia ˆa(k + 1)





sp(k + 1) ˆ v (k + 1) ˆ a(k + 1)



=





Tp 0 0 −kob1(k) θˆv 1 θˆv 2 θˆv 3 −kob2(k) θˆ_a1 θˆ_a2 θˆ_a3 −kob3(k)











 ˆ v (k)

ˆ a(k) u(k + d )

ˆ eob(k)







 (17) estymację sygnału położenia, na podstawie otrzymanej wartości przyrostu

ˆ

s(k + 1) = ˆs(k) + sp(k + 1) (18)

dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie napędów maszyn i robotów

Obserwacja z wykorzystaniem modelu identyfikowanego w trakcie normalnej pracy napędu

W porównaniu z obserwatorem wykorzystującym model obliczeniowy lub identyfikowany w eksperymencie uruchomieniowym obserwator

identyfikowany w trakcie normalnej pracy napędu zapewnia najlepszą jakość odtwarzania - nie jest jednak wolny od wad związanych ze stosowaniem modelu

szacowaniem modelu,

trudnością identyfikacji modelu (np. w trakcie małych przemieszczeń),

zaniżaniem wartości szacowanej pulsacji w skrajnych położeniach (np. w przypadku napędów płynowych),

wrażliwością na błąd punktu zerowego wysterowania.

dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie napędów maszyn i robotów