Prosz¸e obliczyć granic¸e ci¸ agu ( o ile istnieje) Rozwi¸ azanie

Analiza Matematyczna Zestaw B

Zadanie 1

Prosz¸e obliczyć granic¸e ci¸ agu ( o ile istnieje) Rozwi¸ azanie

a _n =

 1 − 1

2 ²

  1 − 1

3 ²

 . . .

 1 − 1

n ²



Wykorzystamy tożsamość 1 − _k ¹

= ^(k−1)(k+1) _k·k . a _n = 1

2 · 3 2 · 2

3 · 4

3 . . . (n − 1) n

(n + 1)

n = 1

2

(n + 1) n St¸ ad

n→∞ lim a _n = lim

n→∞

1 2

(n + 1)

n = 1

2

Zadanie 2

Prosz¸e obliczyć nast¸epuj¸ ac¸ a granic¸e (o ile istnieje)

x→∞ lim

 x ² − 2 x ² + 1

 x

Rozwi¸ azanie

x→∞ lim

 x ² − 2 x ² + 1

 x

= lim

x→∞



1 + −3 x ² + 1

 x

x→∞ lim x · −3

x ² + 1 = 0.

St¸ ad

x→∞ lim



1 + −3 x ² + 1

 x

= e ⁰ = 1.

Zadanie 3

Prosz¸e określić, jeżeli to jest możliwe wartości parametru a tak, aby funkcja f była ci¸ agła

f (x) =

( _cos(x)

a(π−2x) gdy x < ^π ₂ ax gdy x ≥ ^π ₂

1

Rozwi¸ azanie

Z definicji ci¸ agłości funkcji w punkcie musz¸ a zachodzić równości lim

x→

cos(x)

a(π − 2x) = lim

x→

ax = π 2 a St¸ ad

lim

x→

cos(x)

a(π − 2x) = lim

→0

cos(π/2 − y/2)

ay = 1

a lim

x→0

sin(y/2)

y = 1

2a lim

x→0

sin(y/2) y/2 = 1

2a π

2 a = 1

2a → a = ± 1

√ π

Uwaga. Obliczaj¸ ac granicę lewostronn¸ a funkcji zastosowaliśmy podstawienie y = π −2x.

Zadanie 4

Prosz¸e znaleźć równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x ₀ , f (x ₀ )), jeśli Rozwi¸ azanie

Równanie stycznej w punkcie (x ₀ , f (x ₀ )), y = f ⁰ (x ₀ )(x − x ₀ ) + f (x ₀ ).

f ⁰ (x) = ^−2x

3 √

(x

−1)

, f ⁰ (3) = − ¹ ₈ , f (3) = ¹ ₂ . St¸ ad

y = − 1

8 (x − 3) + 1 2 = − 1

8 x + 7 8 .

2