Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr¦cznik Analiza matematyczna 2. De nicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa.
Wykªad 8.
Pochodna kierunkowa.
De nicja Niech funkcja f b¦dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x0, y0). Pochodn¡
kierunkow¡ funkcji f w punkcie (x0, y0)w kierunku wersora ~v = (vx, vy)okre±lamy wzorem
∂f
∂~v = lim
t→0+
f (x0+ tvx, y0+ tvy) − f (x0, y0)
t .
Interpretacja geometryczna pochodnej kierunkowej:
Niech γ oznacza k¡t nachylenia do pªaszczyzny x0y póªstycznej do krzywej otrzymanej w wyni- ku przekroju wykresu funkcji f póªpªaszczyzn¡ przechodz¡c¡ przez prost¡ x = x0, y = y0 oraz równolegª¡ do wektora ~v. Wtedy
∂f
∂~v(x0, y0) = tg γ.
Pochodna kierunkowa okre±la szybko±¢ zmiany warto±ci funkcji f w kierunku wektora ~v.
Uwaga Poniewa» gradient funkcji w punkcie, czyli wektor gradf(x0, y0) = ∂f
∂x(x0, y0),∂f
∂y(x0, y0)
,
wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym punkcie, zatem pochodna kierunowa liczona w kierunku gradientu b¦dzie najwi¦ksza.
Fakt Niech pochodne cz¡stkowe ∂f
∂x,∂f
∂y b¦d¡ ci¡gªe w punkcie (x0, y0)oraz niech ~v b¦dzie dowol- nym wersorem na pªaszczy¹nie. Wtedy
∂f
∂~v(x0, y0) =gradf(x0, y0) ◦ ~v.
Caªki podwójne po prostok¡cie.
De nicja Podziaªem prostok¡ta P = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} nazywamy zbiór P zªo»ony z prostok¡tów P1, P2, . . . , Pn, które caªkowicie wypeªniaj¡ prostok¡t R oraz maj¡ parami rozª¡czne wn¦trza (tzn. (IntPi) ∩ (IntPj) = ∅, dla i 6= j).
Oznaczenia w de nicji caªki po prostok¡cie:
∆xk, ∆yk wymiary prostok¡ta Pk, gdzie 1 ≤ k ≤ n;
dk =p(∆xk)2+ (∆yk)2 dªugo±¢ przek¡tnej prostok¡ta Pk, gdzie 1 ≤ k ≤ n;
δ(P) = max
1≤k≤ndk ±rednica podziaªu P ;
X = {(x∗1, y∗1), (x∗2, y2∗), . . . , (xn∗, y∗n)}, gdzie (x∗k, yk∗) ∈ Pkdla 1 ≤ k ≤ n zbiór punktów po±rednich podziaªu P;
De nicja Niech funkcja f b¦dzie ograniczona na prostok¡cie P oraz niech P b¦dzie podziaªem tego prostok¡ta, a X zbiorem punktów po±rednich. Sum¡ caªkow¡ funkcji f odpowiadaj¡c¡ podziaªowi P oraz punktom po±rednim X nazywamy liczb¦
n
X
k=1
f (x∗k, y∗k)(∆xk)(∆yk).
Uwaga Suma caªkowa jest przybli»eniem obj¦to±ci bryªy ograniczonej pªaszczyzn¡ x0y oraz wy- kresem funkcji z = f(x, y) ≥ 0 le»¡cym nad prostok¡tem P przez obj¦to±ci prostopadªo±cianów o podstawach Pk i wysoko±ciach f(x∗k, yk∗), dla 1 ≤ k ≤ n.
De nicja Niech funkcja f b¦dzie ograniczona na prostok¡cie P . Caªk¦ podwójn¡ funkcji f po prostok¡cie P de niujemy wzorem:
Z Z
P
f (x, y)dxdy = lim
δ(P)→0 n
X
k=1
f (x∗k, y∗k)(∆xk)(∆yk),
o ile granica po prawej stronie znaku równo±ci jest wªa±ciwa i nie zale»y od sposobu podziaªu P prostok¡ta P ani od sposobu wyboru punktów po±rednich X . Mówimy wtedy, »e funkcja f jest cakowalnana prostok¡cie P .
Fakt Funkcja ci¡gªa na prostok¡cie jest na nim caªkowalna.
Twierdzenie Niech funkcje f i g b¦d¡ caªkowalne na prostok¡cie P oraz niech α, β ∈ R.
Wtedy
Z Z
P
[αf (x, y) + βg(x, y)] dxdy = α Z Z
P
f (x, y) dxdy + β Z Z
P
g(x, y) dxdy.
Twierdzenie Je»eli funkcja f jest caªkowalna na prostok¡cie P , to dla dowolnego podziaªu tego prostok¡ta na prostok¡ty P1 i P2 o rozª¡cznych wn¦trzach zachodzi równo±¢
Z Z
P
f (x, y)dxdy = Z Z
P1
f (x, y)dxdy + Z Z
P2
f (x, y)dxdy.
Twierdzenie (zamiana caªki podwójnej na caªki iterowane) Je»eli funkcja f jest caªkowalna na prostok¡cie P = [a, b] × [c, d], to
Z Z
P
f (x, y) dxdy =
b
Z
a
d
Z
c
f (x, y)dy
dx =
d
Z
c
b
Z
a
f (x, y) dx
dy.
Uwaga Zamiast pisa¢
b
Z
a
d
Z
c
f (x, y)dy
dxb¦dziemy pisa¢ umownie
b
Z
a
dx
d
Z
c
f (x, y)dy. Podobnie w przypadku drugiej caªki iterowanej.
Przykªad Niech P = [−π/4, π/4] × [0, π/4]. Obliczy¢Z Z
P
sin(x + y) dxdy.
Twierdzenie (caªka podwójna z funkcji o rozdzielonych zmiennych)
Je»eli funkcja f jest funkcj¡ postaci f(x, y) = g(x) · h(y), gdzie g i h s¡ ci¡gªe odpowiednio na przedziaªach [a, b] i [c, d], to
Z Z
[a,b]×[c,d]
g(x)h(y) dxdy =
b
Z
a
g(x) dx
·
d
Z
c
h(y) dy
.
Przykªad Niech P = [0, 1] × [−1, 1]. Obliczy¢Z Z
P
ex+ydxdy.
Caªki podwójne po obszarach normalnych.
Niech f b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ i ograniczon¡ w obszarze ograniczonym D ⊂ R2 oraz niech P b¦dzie dowolnym prostok¡tem zawieraj¡cym obszar D. Ponadto niech f∗ oznacza rozszerzenie funkcji f na P okre±lone wzorem:
f∗(x, y) =
(f (x, y), dla (x, y) ∈ D, 0, dla (x, y) /∈ D.
De nicja Caªk¦ podwójn¡ funkcji f po obszarze D de niujemy wzorem:
Z Z
D
f (x, y) dxdy = Z Z
P
f∗(x, y) dxdy,
o ile caªka po prawej stronie znaku równo±ci istnieje. Mówimy wtedy, »e funkcja f jest caªkowalna w obszarze D.
De nicja Obszar domkni¦ty D nazywamy obszarem normalnym wzgl¦dem osi 0x, je»eli mo»na go zapisa¢ w postaci:
D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, d(x) ≤ y ≤ g(x)}, gdzie funkcje d i g s¡ ci¡gªe na [a, b], przy czym d(x) < g(x) dla x ∈ (a, b).
Obszar domkni¦ty D nazywamy obszarem normalnym wzgl¦dem osi 0y , je»eli mo»na go zapisa¢ w postaci:
D = {(x, y) : c ≤ y ≤ d, l(y) ≤ x ≤ p(y)}, gdzie funkcje l i p s¡ ci¡gªe na [c, d], przy czym l(y) < p(y) dla y ∈ (c, d).
Przykªad
1. Obszar D ograniczony krzywymi y = 0, x = 2 i y = x2 jest obszarem normalnym zarówno wzgl¦dem osi 0x jak równie» wzgl¦dem osi 0y.
2. Obszar D ograniczony krzywymi y = −1, y = 1, x = 2 − p1 − y2 i x = p1 − y2− 1jest obszarem normalnym wzgl¦dem osi 0y.
Twierdzenie (caªki iterowane po obszarach normalnych)
Je»eli funkcja f jest ci¡gªa na obszarze domkni¦tym D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, d(x) ≤ y ≤ g(x)}
normalnym wzgl¦dem osi 0x, to
Z Z
D
f (x, y) dxdy =
b
Z
a
g(x)
Z
d(x)
f (x, y)dy
dx.
Je»eli funkcja f jest ci¡gªa na obszarze domkni¦tym D = {(x, y) : c ≤ y ≤ d, l(y) ≤ x ≤ p(y)}
normalnym wzgl¦dem osi 0y, to
Z Z
f (x, y) dxdy =
d
Z
p(y)
Z
f (x, y) dx
dy.
Przykªad Niech D = {(x, y) : y ≥ x, y ≤ 3x − x2}. Obliczy¢Z Z
D
(x2− xy) dxdy.
De nicja (obszar regularny na pªaszczy¹nie)
Sum¦ sko«czonej liczby obszarów normalnych wzgl¦dem osi ukªadu o parami rozª¡cznych wn¦trzach nazywamy obszarem regularnym na pªaszczy¹nie.
Twierdzenie (caªka po obszarze regularnym)
Niech obszar regularny D = D1∪ D2∪ · · · ∪ Dn i IntDi∩IntDj = ∅, dla i 6= j oraz niech funkcja f b¦dzie caªkowalna na D. Wtedy
Z Z
D
f (x, y)dxdy = Z Z
D1
f (x, y)dxdy + Z Z
D2
f (x, y)dxdy + . . . + Z Z
Dn
f (x, y)dxdy.
Przykªad Niech D b¦dzie ograniczony krzywymi y = 2 − x2, y = −1, y = 1, x = 1 −p 1 − y2. Obliczy¢Z Z
D
y dxdy.
De nicja Warto±ci¡ ±redni¡ funkcji f na obszarze D nazywamy liczb¦
f±r= 1
|D|
Z Z
D
f (x, y) dxdy
gdzie |D| oznacza pole obszaru D.
Uwaga Warto±¢ ±rednia funkcji f w obszarze D jest równa wysoko±ci walca o podstawie D, który ma t¦ sam¡ obj¦to±¢ co bryªa V .
Przykªad Wysoko±¢ nad poziomem morza pewnego terenu jest opisana wzorem
w(x, y) = 20 + sin x cos 2y,
gdzie (x, y) ∈ [0, 1] × [π/2, π/2]. Oblicz ±rednie wzniesienie tego terenu.
Twierdzenie Je»eli funkcja f jest ci¡gªa na obszarze normalnym D, to w tym obszarze istnieje punkt (x0, y0), taki »e f±r= f (x0, y0).
