beč
ÄĎntgítd)ŕn totimiirtftuiiiõ pi Bromberg,
womit jur öpenlfidjeii
hen 25. unh 26. Septeinôev 1856, beibeiiml ÍVtorgenê von 8 Uí)t ab,
unt> jur
heii 26. Septemöer, Jîodjnuttags ион 3 21 (jr nn, er^ebenft einlabet
JMeinhardt,
® t r e c ț o r b e 8 ® i) m n a î t n m 8.
/ 3 n 1) o I է
1) Sie Seuttalprojeetionen bes Steifes. Som ®l)mnafiaíleí)ter Refftet.
2) ŚĄiilnadjricf)ten für baë ©tȘuljaljr non ăRitțaetiS 1855 bis baí)in 1856. Som director.
Șromberg, 1850.
I æudjbrurffrei von 3. $ i f d) e r.
IM. KOPERNIKA W TORUNIU
1. at man tm 9taumc irgenb теіфе gerate ober (rumme ginie (A), unb man jiel;t yon einem außerhalb gelegenen fünfte and gerate ginien паф ten einzelnen fünften ter eifen , fo inerten tiefe fo erhaltenen (Strahlen einer (Ebene ober einer Äegelfläfe im weiteren (Sinne angehören, g aßt man nun tiefe §1афе von irgent einer (Ebene geffnitten inerten, fo erhält man aid ©urffфпііі eine ginie (В), шеіфе jur urfprüng=
Ііфсп tie æejiehung fyxtt taß fetem ihrer fünfte ein beßimmter Punit in ter antern entfpricft, ter патііф, теіфег mit ihm auf temfelben (Straßl liegt. ©iefe neugewonnene ginie В heißt tie (»entrai = oter perfpectioiffe projection non A, fo mie jeter ihrer Punfte tie projection ted ihm entfprefenben auf A iß. ©ie erßc ginie heißt tad Object, ber Punft, non bem tie (Strahlen audgcßen, bad (Zentrum, tie (Ebene, in ber man tie projection aufnimmt, bie projectiond= ober ©runbebene.
2. ©ie Projection einer ginie wirb baher wieher eine gerate ober brumme ginie fein je паф ter 0effaffenl;eit bed Objectd ; nur in einem galle projicirt հՓ bie t rumme ginie aid eine gerate, wenn ße патііф mit bem (Zentrum in einer (֊Ebene liegt, benn bann faßen аиф fämmtlifc (Strahlen in biefelbe, unb bie projection iß her ©urfffnitt ter Objectd= unb Projectiondebene. ©ie projection einer geraten ginie епЬІіф faßt in einen Punft jufammcn, wenn bad (Zentrum im Objecte fclbß liegt.
3ß bad Object eine her Projectiondebene par afiele ginie, fo iß ße аиф ihrer projection parafie!, ^идіеіф aber ßnb beite ein aut er äßnlif, патііф jebed paar ent* fprefenber, alfo jwiffen teufelben jwci (Strahlen beßntlifer «Segmente yon A unt В hat badfelbe öerhältniß ju einanber. 3ß bad Object alfo ein ebened ©ebilbe yon ginien,
*) Sentraíprojection im (Segenfafê ջսր 'ÿaraïïeïÿrojection, гоеіфе man erljäít, toenn man toon ben einjeinett ißuntten bes Objects ans łaraflelftrablen ¿ieȘt, unb biefe toon einer Ebene ftfyneiben läßt. SeÇtere ifï alfo սոր ein befonberer ßaü her elfteren, ber патііф, trenn baS ißrojectionScentrum in ппепЫіфе gerne riidt.
1
unb gwar in ber birecten gage, wenn bie Objectd» unb bie projectiondebene auf ber»
felben, in ber inoerfen gage, wenn beibe auf nerfSiebenen Seiten bed (Sentrumd liegen.
Յո bem golgenben wirb nur bon ebenen Objecten bie Siebe fein.
3. Sie projection cined Punlted ift піфі barßellbar, wenn ber ibm gugepörige
©trapi ber projectiondebene parallel ift, alfo in ber (Sbene liegt, bie Ьпгф bad Zentrum parallel չոր projectiondebene gelegt werben faun. Sienni man biefe (Sbene bie (Scntral»
ebene, fo iß alfo
bie projection reined Punf'ted barftellbar, welcher ber Central՛
ebene angeport.
j?at man in ber Objectdebene einen ©traplenbüf^el, fo wirb biefer aid ebenfolcper in ber Projection erftpeinen unb gwar wirb ber SOiittelpunft ber Projection bent 9JZitteí=
punfte bed Objectd entfprecpen. giegt aber ber SDîittelpunlt bed ©traplenbüfcpeld in bem Suripfcpnitte gwifcpen (Sentral» unb Objectdebene, fo ift biefer nicpt projicirbar, unb ber ©urcpf^nitt ber ©traplen rücft in ber Projection in ппепЬІіфе gerne, wir bekommen alfo flatt eined ©traplenbüfcpeld eine ©cpaar von ebenfo vielen parallelen ginien, aid
©traplen bem Süfcpel angepörten.
Umgeleprt aber, pat man aid Object eine ©cpaar paralleler ginien, fo iß bie Projection iprcd ішепЬІіф entfernten Ourcpfcpnittdpunfted barftellbar, fo fern fíe nicpt ber (Sentralebene parallel ft'nb. 5ßir braucpen nämlicp nur ben punit gu fucpen, in welkem bet gu ipnen parallel Ьигф bad Centrum gegogene ©trapi bie Projectiondebene РфпеіЬеІ. 3n tiefen punit werben bie Projectionén Раттіііфег paralleler Objectdlinien gufammeníaufen, ober:
Sie Projection eined ebenen ©ІгарІепЬііІфе^ ift im ЗІИде«
meinen wieber ein ebener ©traplenbüfфеі, fie ift ein ©pßent paralleler ginien, wenn ber SXittelpunft ber (Sentralebene ange»
porte. — (Sin ©pftem paralleler ginien projicirt fiф im 2Шде = meinen aid ebener ©էր арІепЬйРфеІ, nur wenn ed ber projections»
ebene parallel war, wiebcr aid ein ©pftem paralleler ginien. — Jpat man Ьетпаф n ebene ©СгарІепЬііІфеІ, beren Wîittelpunlte in geraber ginie liegen, fo ftellen ße рф ebenfo in ber Projection bar: audgenommen wenn jene @erabe ber (Scntralcbene angepört, benn bann belömmt man ebcnfomel oerßpiebene ©фаагеп paralleler ginien.
4. ©oll ein beßimmt begrengted Object projicirt werben, fo тафі ed einen wefent»
Ііфеп Unterfdßeb, ob ed gang auf ber einen ober ob cd gum %peil auf ber einen, gum
©peil auf ber anbern ©eite ber (Sentralebene liegt. Projiciren wir g. SB. eine begrengte
Sinie, fo erhalten toit nur tm erfreu galle ein ¿ufammenßängenbed ©anje, её tvirb biefed ипепЬІіф grof aber mit einem in епЬІіфег ERäpe Ье^пЬІіфеп Snbpunfte, trenn bér bem anbern entfpretfjenbe in ber Sentcalebene gelegen tvar. Siegen aber beibe Snb=
pitnfte bed Dbjectd auf verfфiebenen ©eiten jener (֊Ebene, fo beftept bie projection aud jtvei ѵегЕфіеЬепеп ипепЬІіф großen ©tittfen, jeb её mit einem in епЬІіфег gerne befinb=
Ііфсп Snbpunfte. Sitter gcftfloffcnen Surre tvirb nur im erften galle eine ebenfoltf;e aid projection entfpredjen, mir erhalten eine offene паф beiben ©eiten fin in’d Unenb՛
Ііфе fid; erßretfenbe Surre, trenn ein Punit im Umfange bed Objectd in ber Sentralc ebene liegt; bie projection befteft епЬІіф aud jtvei getrennten паф beiben ©eiten fin ипепЬІіфеп Surren, trenn bad Object von ber Sentraiebene in gtvei Zpeile getrennt tvirb.
Senor mir nun ¡u bem еідепШфеп ©egenftanbe biefet ԱոէօրքսՓսոց, ber Setratfjtung ber Sentralprojectionen bed Äreifed übergefen, fab en mir junätf;ft unfere 2Iufmerffamfeit auf biejenigen Sigcnftfjaften geometriftfjer ©eftalten ¡и гіфЬеп, теіфе (іф ungeänbert auf bie Sentralprojectionen berfelben übertragen laffen, bie mir bedpalb аиф projectivifфе Sigenftfaften nennen trollen.
H. Das anfjm moiufrfje unó óas Çarmonifdje TTer^aftniß.
1. Հ)Օէ man eine gerate Sinie A (gig. 1 ) unt außer ipr einen ÿunft B unb man legt Ьигф benfetben (Strapień, теіфе bie ©erabe fcpneiben, fo wirb B ber SRittel^
punit eines? ebenen (Straplenbitfcpeíž, von ber Sejiepung, baß jebem (Strapí ein beftimmtev ÿunft ter ©eraben unt bem Ж infel jroifcpen je ¿wei (Strapień ein beftimmtes? (Segment
^er geraten Sinie entfpricpt; unt ¿mar muß jwffcpen beiten (extern eine beftimmte S3e՛
jiepung ftattft'nten, benn tie ©roße unt Sage eines SinienfeginentO iß abpängig von ber ©roße bet entfpredpenben SSinfelS unb ber Sage beS «Straplenbüfcpels.
Diun ergiebt fiep au£ tem 5)reiecfe Вас:
а c _ Вс sin (а, с) ՜ sín (А, а)
wenn (а, с) ben Жіпі'еі jwifí;en ben паф а unb с дегіфіеіеп (Strapień unb (A, a) ben ÍÖinfel jwifepen A unb bem fie in а (фпеіЬепЬеп Strapí bebeutet. g ft ferner B p քրոէրրՓէ auf A, fo folgt поф:
В c = ""t
i*
тѵоЬпгф bad SSerímítnifi ¿nnfdjen einem hinten ferment uni) bem i խո entfpredjenben im (atra^íenbítfýeí in feiner Sibpängigfeit von ber gage bed legieren bargefteíít wirb.
Œbenfo vefommt man:
Ը2)
СЗ)
(4)
(5)
(6).
b c B p
sin (b, c) - sin (А, с) sin CA, b)
a d В р
sin (a, d) sin (А, а) sin CA, d)
b d В р
sin (b, d) ՜ sin СА, Ь) sin CA, d)
a b в р
sin C9, b) ՜ sin (А, а) sin CA, b)
c d В р
sin Cc, d) ՜ sin СА, с) sin (A, d)
3ßte matt ftcțj Іеіфі überzeugt, ftepeit bte vier erflett æerpâlttitffe ttt ÿroyortiott, nämltdj :
ас . be ad b d
sin (a, c) ' sin (b, c) sin (a, d) * sin (b, d) ober in иЬегр'фіІіфегег gonu:
а c b c sin (а, c) , sin (b, c) a d b d sin (a, d) * sin (b, d)
Uni) tn berfelben äôeife laffen ftd; поф bie beiben foígenben proportionen ýerícíten:
a c d c sin (a, c) sin (d, c) ab ' db sin (a, b) ‘ sin (d, b) ab . c b sin (a, b) . sin (c, b) a d cd sin (a, d) ' sin (c, d)
$8ir [eben alfo, baß bei irgenb vier Œiementenpaaren а, b, c, d mit ben Strapień В а, B b, В c, В d ein gero í f fed ®oppelveri pältniß gebiíbet au ö vier 2Ibf фпііісп ber A g í ei ф iß bem eben f о gebitbeten ©oppeív erpäítniffe aud ben ©initffen ber ben 21 b քՓոէէէ6ո епі[ргефспЬеп Ջ© inf el bed S>tr aplenbilf феІЗ.
Sßte biefe ©oppeíverpaítniffe gebiíbet го erb en, ift Іеіфі ег(іфіІіф. ©ad erfte îinien^
verpaltniß патііф а c : а d ift gebiíbet and ben Slbftanben cined Punfted а von ¿roei anbern c unb d, unb bad jroeite b c : b d and ben %b ft cinben bed vierten pimüed b von benfelben beiben anbern c unb d. ©ie 93erpäítniffe ¿ոոքՓօո ben Sinuffen го erb en
bann in gang entfpred;enber $3eife gufammengefețșt. — Sold;e gt.net punfte а unb b ober c unb d folien tn biefem fraile gugeorbnete fünfte Reißen, ebcnfo ble ihnen gitge»
porigen (Straiten, unb ba eg in nuferer 3öal;l fleht, rote man unter nier fünften gro ei (Gruppen non je groei gugeorbneten bitben roili, fo ergeben ftd; bie groei anberit auf»
geteilten Proportionen unmittelbar.
2. g-ür nufere aufgeftcllten ©oppelverhältniffe fommt roeber bie ©roße ber eingelnen iinienabfcbnitte unb Sßtnfel, поф bie gegenfeitige Stage ber ©eraben unb beg ©trabten»
հսքՓրէճ in Setrad;t; eg ergiebt fid; alfo, baß
го ie aud; bie ©er abe A in ber Ebene fid; bewegen mag, ihre ein»
gelnett Segmente, wie fie von benfelben vier Strahlen аЬдеГфпШеп werben, fid; änbern, aber піфі bag ©oppelverpältniß g го i f d; e n ihnen, weil eg immer діеіф bleibt bem Soppely erßältniß red;tg, beffen Elemente ungeanbert bleiben.
Segen wir alfo nod; eine groeite ©erabe A1, bie von benfelben Strahlen in bett Punkten а1, b1, c1, d1, gefd;nitten wirb, fei eg biegfeitg ober jenfeitg beg punfteg B, fo ift immer:
ас b c а1 c1 b1 c1
ad * b d a1 d1 " b1 d1
2öie ferner and; ber Punft В in ber Ebene fiф bewegen mag, wenn nur bie von ihm au5gel;enben vier Strahlen burd; bief elben vier phtnfte ber einen ©eraben g el; n, bag ©oppelv erßältniß ber Sinuffe ber спііргефепЬеп Sßinfel bleibt ungeanbert, wie аиф bie eingelnen Sinuffe fid; änbern; benn eg ift immer діеіф bem linfë ßehcnben Soppeív erhaltniß, beffen Elemente ftetg biefelben bleiben.
$Ran mag alfo, um bie projection einer gerabcn Sinie gu gewinnen, bag (Zentrum uttb bie ©runbebcne annehmen, wie man will, bag auf ber erften Sinie burd; vier punfte beftimmte ©oppelverhätiniß ber Segmente ift immer діеіф bent auf biefelbe SÖeife gebilbeten Ьигф bie vier entfpreфenben punfte beftimmten auf ber Projection.
^üt bag f^oígenbe ftnb nun bie befonberen frätte von ЗВіфіідІеіі, in гоеіфеп քէ՜Փ Ьаа eine ober bad anbere ber Soppelverhältniffe roefentItф ѵегеіпіафі. fRepmen wir an, bie ©erabe А würbe einem ber Strahlen g. 53. B d parallel projicirt, fo fällt ber
©urd^nittgpimft d țn упепЬІІфе Entfernung, bie Segmente ad, cd, b d ftnb alfo діеіф gu афіеп, ba fíe jebea ипепЬІіф groß ftnb, bie Berhältniffe ttnb
Cu ni* D и
roepben bapev = 1 unb unfere proportionen gehen über in:
J sin (a, c) sin (b, c) а c : I) c = ....: -T—֊-—
sm (a, d) sin (b, d) . sin fa, c) sin (a, b) а c : a b = ֊———֊ : ֊—
տա (d, c) sin (d, b) , , sin fa, b) sin fc, b) sm (a, d J sŕn (c, d)
4. ©ct widjtigße $aíl für und iß ber, wenn bie ©oppeloerfältniffe ben 3Sertf 1 annefmen, ober wenn bie etnfatÿen fBerfältniffe дтііфеп ííntenabfcýnitten unb bafer аиф bie gwifdjen ben entfpredjenben ©muffen eiitanber gleiß» werben, ©ted fann aber, wie man ftd> íeidjt überzeugt, nur eintreten, wenn а mit b unb c mit d gugeorbnete fünfte ftnb, b. Հ). wenn jwifc^en jebem Paare gugeorbneter nur ein nicht gugeorbneter liegt, ©ann ift
ac : bc = ad : bd unb bedßalb
sin (a, c) : sin (b, c) = sin (a, d) : sin (b, d)
93ier in geraber ginie liegeube fünfte ober oier Ьигф einen P unft gefenbe ©trafień, heißen հսրոէՕոէքՓ, wenn groifd;en ifren Slbßänben ober wenn дюііфеи ben ©inuffen ber oon ițmen gebilbeten íöinfeín bie obige proportion ßattßnbet. — ©ad Ьагтопііфе fßerfältniß erfdjeint alfo nur aid befonbeter gall bed vorher bettadjteten allgemeineren
©oppeloerpältuiffed, welded man im ©egcnfa^ gu fenem früher bekannten bad anßar* monifdje SJerhältniß genannt fat.
Sind ber ßiatiir bed рагтоиііфеп 93erfältniffed folgt аиф, baß wenn unter bref in einer @eraben liegenben p imiten beßimmt ift, weld;e gwei einanber gugeorbnet fein folien, gu ißnen nur ein oierter gehören faun, wibrigenfattd wir gwei Гіф wiberfp^enbe Proportionen erhalten würben. (Sbenfo fann ed gu bref oon einem punfte audgeßenben
©trafień, wenn feßgefeßt iß, we^e gwei gugeorbnet fein folien, nur einen vierten harmonifdjen Strahl geben.
Sind ber flirt, wie wir bad հսրաօաքՓօ SSerhältniß ableiteten, ßeßt man, baß badfelbe wie bad аіфагтопііфе profectioer ՉԽէսր iß, baß alfo
3ebe vier von einem punfte audgeßenbe Strahlen, bie Ьигф vier ßarmonifdjc punfte geßen, felbß հորաօոէքՓ finb, unb
3ebe von vier հսրաօոէքՓօս Strahlen деІфпШепе ©erabe von ißnen harmonifd; getßeilt wirb.
©ie Projection von vier ßarmonifdjen punften giebt alfo wieber vier Ь«гтоп^Фе Punfte.
5. Ser für bie pavmonifdjen Strahlen entroicfelten Sebingung wirb genügt, wenn (а, c) .== (c, b) unb (b, d) = (a, d) tft, b. p.
2ßenn unter »ter (straften ein фааг jugeorbneter bie Söinfel bed anbern ^ßaared palbirt, fo ftnb bie (Strahlen parmonifcp.
՛Շոճ palbirenbe ÿaar fiept bann auf einanber fenfre^t unb baraud ergeben ft'tp foígenbe gmei Umfeprungen:
(Stept unter vier parmonifcpen (Strapień ber eine auf feinem jugeorbneten fenfred;t, fo palbiren beibe bie SBinf el bed anbern 'paard.
Senn sin (а, c) : sin (b, c) = sin (а, d) : sin (b, d). 2öenn nun sin (а, c)
= cos (а, d) unb sin (b, c) = cos (b, d) fo ijl tg (a, c) — tg (b, c) ober (a, c) = (b, c).
Sßenn ferner unter bier parmonifcpen (Strapień ber eine ben einen ŚBinf el ber beiben i p m nicpt jugeorbneten (Strapień palbirt, fo fiept fein jugeorbneter auf ipm fenfrecpt.
Senn ift (а, c) = (c, b) fo folgt and ber (Sigenfcpaft parmonifcper (Strapień sin (b, d) = sin (а, d) unb baper (c, d) = 1 R.
6. ÿegt nian burd) c eine parallele ¿u В d, weld;e bie beiben jugeorbneten
©trafień В а unb B b in e unb f fd;neibet, fo ift:
e c : B d = ас : ad c f : B d = c b : b d
©a nun а c : ad — c h : b d voraudgefegt, fo folgt e c = c ľ.
Dber:
$iept man burd; einen beliebigen ^iinft eiitcö von vier par=
monifcpeit Strahlen eine parallele չս feinem jitgeorbneten, fo mirb ber ¿ w i f (p e n ben beiben anbern liegenbc ©peil ber (Beraben von bem erjîcn Strapi palbirt.
Serfelbe Siat; laßt fid; amp fo auOfpred;en :
93 e m e g t fid; von vier parmonifcpen fünften ber eilte c fo, baß er in bie SDîitte jivifd;en bie beiben ípnt nicpt jugeorbneten а unb b àu liegen f ömnit, f v mid t fein ¿ugeorbneter in unenblid;e gerne.
Sie ®erabe e f nämlid; muß burd; bie vier Strapień parmonifcp getpeilt werben, ber ju c jugeorbnete ÿunft liegt aber mtenblicp weit, weil e f parallel B d gezogen tjf.
Äeprt man ben obigen Scpluß um, fo ergiebt fiep:
93ter Strahlen finb рагтопііф, wenn eine ¡юі[феп jwei յս=
geordnete parallel ju einem britten gelegte ©crabe von bent viert en palbirt wirb.
fragen wir паф ber ©roße von ec, fo folgt aud ben oben aufgefteHten ^ropor^
tionen Ьпгф Multiplication :
e c2 = ас. eb = B d2 : а d . d b.
*) Sollftänbigeg n g eit Reißen jebe n ©erabe in einer ©bene jnfammengefaßt; bie ֊^֊~—— ®urdjfdjnitte ber Seiten ((Seraben) Reißen ©den bégjeiben. SJodjlänbigeg ո @d bagegen Reißen jebe n fünfte in einer ©bene iujammengefaßt; bie n (n — ©erabeit, bie Ьпгф bie ©den (fünfte) befiimmt werben, beißen Seiten begfelben-
7. Gin ©ebilbe von írgenb vier (Bernben AB, AD, ВС, CD ($ig. 2) in einer (Sbene, bie (іф in 6 fünften (фпеіьеп A, B, C, D, E, F, foil ein volí fian- bigéd 93ierfeít *) peißen; ein foMjed pat brei diagonalen B D, AC, EF, bie (Еф in ben brei fünften G, H, K begegnen. Man überjeugt (Еф nun Іеіфі, baß biefe brei diagonalen рф gegenfeitig рагтопірф tpeilen.
denn conftruirt man ju ben von F audgepenben Strapień ben ju E F jugeorb- neten vierten рагтопірфеп, fo wirb von ipm A C wie B D in bem vierten Ьедйдііф ju II unb G jugeorbneten vierten parmonifфcn fünfte деГфпйіеп. daí felbe gef фіері, wenn man յո ben von E audgepenben Strapień ben ju E F jugeorbneten vierten par- топірфеп jiept. da ed nun ju brei fünften auf einer ©eraben nur einen vierten рагтопірфеп geben faun, (IL, 4.) fo miiffen beibe ^ülfdlinien auf feber diagonale А C unb B D in bemfelben fünfte jufammentreffen. da fíe (іф aber aid gerabe Linien nur in einem fünfte (фпеіЬеп fennen, fo muffen fíe beibe Ьпгф ben diagoՈalenburфfфnitt К gépen. — А, C, К, II alfo fowopl wie D, B, K, G finb рагтопі(фе fünfte unb bedpalb AD, AB, AK, AG parmonifфe Strapień, Ьпгф теіфе аиф bie britte diagonale E F in II unb G рагтопірф getpeilt wirb.
Ш Jjannoiuľďjc lľerC)ííCtiH!Te im ÍKretfe.
1. £)cit mart trgenb cine parmontfcp getpeiite ginie AB P Q ($ig- 3) unb con»
jłruirt baju cinen jugepőrigen parmonifcpen (Strapíenbitfcpeí, fo bap bie burcp Q unb P gepenben ©traplen auf etnanber feni recpt ftepn, fo í ft beť geotnetrifcpe Drt fetneő
3)łittelpunltcb befanntÎtcȘ ber über P Q alb ©urd;tneffer conßruirte $reib. ferner ť ft, wenn іф von H aub bie Șnrmontf^en (Strahlen jiehe, rote wir vorder fetten (IL, 5.) a = ß itnb bebhalb P M = P L unb, rote ft$ Іеіфі beroetfenläßt, / = Ժ unb e = ^.
2öenn man babci" bie @èraben 91 foroohl rote S3 Ьпгф А unb В (епЕѵефі juni ՏսրՓ՜
meffer P O legt, fo helömmt man in' beiben fünften einen Ьагтопі(феп Strahlen* Ьіі(феІ.
2. Segt man alfo von А aub irgettb гоеіфе (Secante А H Ьпгф ben Ä'reib, fo roirb fie von ber Peripherie in H unb M unb von ber Sinie S3 խրաօաքՓ gctíjeilt, weil B ber SJiíttelpunft eines? Ішшо։іі(феп ®ігаІ;ІепЬіііфсІ5 іft. £>афІе man (іф ben Äreib unb außer ihm punit A gegeben unb wollte man baraub bic Sage von S3 be=
Kimmen, fo wäre ju Ьеафіеп, baß wenn II immer weiter auf ber Peripherie von Q, roegrüát, bib er паф R ju liegen fömmt, bie beiben հսրաօոէքՓօո punite H unb M, гоеіфе auf ber Peripherie liegen, mit bem jroifefen ihnen ЬерпЬІІфеп Pttnite jufammen- fallen. ăSir h aben alfo bann eine tangente beb ^reifeb, unb ebenfo auf ber anbern Seite beb Suixhmefferb P Q. Ober:
Sie @erabe S3 fällt jufammen mit ber Sinie, гоеіфе Ьпгф bie Saerührungbpunïte ber beiben von A aitb an ben Äreib gelegten Sangenten geht. (93crührungbfchne.)
9lnbererfeitb, ba von A vier (югпіопііфе Strahlen aubgeßen, unb ber punît H beliebig auf ber Peripherie gerüeft werben Iattn, muß jebe Ьпгф В gelegte Secante von ber Peripherie unb von 91 քարուօաքՓ ցրքՓաէէրո werben, fo baß alfo 91 ber деоте(гіІфе Drt beb ju В jugeorbneten punfteb iß, wenn bie beiben anbern auf ber Peripherie angenommen werben.
Sßegen biefer n^felfeitigen 93ejiel;ung heißt B ber (harmonifche) pol jtt 91 feiner (հորաօոէքՓրո) polaren, unb eben fo entfp^en |Іф A unb S3 alb pol unb polare für ben feft angenommenen Äreib.
(Sin punit innerhalb beb Äreifeb hat Ьетпаф feine polare außerhalb, unb umge* lehrt für einen außerhalb liegenben pol roirb bie polare ben Äreib ßetb քՓորՓրո. Ser fOiittelpunft pat feine polare ftetb in ипепЬІіфег gerne паф (IL, 6)- Siegt епЬІіф ber pol auf bet Peripherie beb Äreifeb felbß, fo iß, ba in ißm jroei alfo аиф ein britter հօրւոօաքՓէր punît jufammenfallen, feine jugehörige polare bie in ißm an ben ЯгеіЬ gelegte Sangente.
3. s« T, B, Լ, II հ«րաօո(քՓ6 Pnnlte ßnb, fo muß В ein punit ber ju T gehörigen Polaren fein, unb ba alle Ьпгф В gelegten Secanten von 91 unb vom Äreife հորուօւսքՓ getheilt werben, fo muß В allen (Seraben, bie ben einjelnen puniten von 91 alb polaren entfp^cn, angehören, ober alle biefe Polaren fchneiben рф in B. Unb
ebenfo, ba jebe yon A and gezogene Secante in S3 unb ber Peripherie barntontfý geteilt roirb, fo gehen aud; fämmtlid;e ben einzelnen fünften ber S R zugehörigen polaren Ьигф ben punft A.
£>iefe Beziehung gitt aud; nod) für alte außerhalb bed Äreifed geíegencn fünfte ber 93. Senn legt man von A and groei beliebige Secanten burd; ben Rreid ALM unb A D C, verbinbet bereu Smxhfd;nittdpunfte mit ber Peripherie unter einanber unb yerlängert bie Linien bid ¿um gegenfeitigen £itrc6fd;nitt in а unb b, fo folgt and ben ßigenfWten bed einfad;en Vierfeitd а M b L (II., 7.), baß ber ©игф(фпій von а b mit beiben Secan ten auf jeber ben vierten gu A gugeorbneten barmoniffýen punit abgiebt, а b alfo mit ber polaren yon A gufammenfällt. (Sbenfo muffen bie beiben Sccanten а M C unb а L D Ьигф bie b A l;armonifd; geteilt werben, ober b A muß bie polare bed Punfted а fein. Garnit iß beroiefen, bap aud; für bie außerhalb bed .ft'reifed auf Ջ gelegenen Punfte bie zugehörigen polaren Ьигф ben punit A, ben pol gur ginie 93 geben.
(Sd gilt alfo ganz allgemein ber Saß:
liegen mehrere $ole in berfelben ©erabcn, fo haben it;re Zugehörigen polaren einen gemeinfamen Surd;fd;nittöpunft, näm=
Ііф ben gu jener ©eraben aid Polaren zugehörigen pol unb um
gelehrt.
liegen bie einzelnen punfte alle auf einem ©игфтефег unb feinen Verlängerungen, fo ftnb bie zugehörigen polaren parallel, fd;neiben fttf> alfo er ił in ипепЬІіфег gerne.
¿lebt man burd; B bie gum punfte T zugehörige polare unb verlängert ß'e bid gum Surd;fd;nitt mit 31, fo iff biefer ber gu T В zugehörige pol. Senn ba 51 vie Polare zu В ifi, fo muß nad; bem leßten Säße jener SurdpMmittdpunft ber pol gu ber Sinie fein, auf ber T unb В liegen.
4. Stehen I) В unb E В mit 31 (§ig. 4) in ber Vcgielmng gu einander, baß В gu 31, D gu B E unb E gu D B aid pol gehört, unb man fällt von D fo moßl wie
»on E perpenbifel auf bie ihnen zugehörigen Polaren, fo begegnen рф ©tefe im ïr'ittel- punfte bed Äreifed (HL, 2.). Diun I;at auf allen Ьигф einen punit in ber (Sbene cined íbreifed gelegten (Seraben, bad Product aud ben beiben Streifen vom punfte an bid gu ben beiben Surd;fd;nitten mit ber peripheric einen unb benfelben ЗВегф (man nennt ihn bie poteng bed punfted für ben beßimmten ^reid) unb groar iß bie poteng cined äußern Punfted діеіф bem SSuabrat ber von il;m aud an ben Äreíd gu legenben San^
gente. — Sie Sangente yon D aud h# uun ißren Vertihrungdpunft in H, n>o E В ben Äreid ЬфпеіЬеі, unb ba ße auf bem 93etül;rungdrabiud in H fenfred;t ßeßt, fo iß bie Poteng bed Punfted D = D G . D C unb bie bed Punfted E — E F . E C.
©a nun wegen ber rechten äßtnfel bet G, A unb F bie 93terecïe F C D A unb G C E A паф ben (Seien сеп(гі[ф ft'nb, fo folgt:
DG.DC = DA.DE unb EF.EC = EA.ED Ьсфег: DG.DC-|֊EF.EC = DE (D A ֊[֊ E A) — D E2.
Oie ÿoten^ bed gunited A bagegcn ift діеіф A B » A C unb ba A C D A z/ B A E аиф = D A . A E.
Ober:
klimmt man g m e t fünfte außerhalb bed ^reifed, fo ba# einer immer auf ber polaren bed anbern liegt, fo í ft bie Summe iȘrer potensen für ben $reid діеіф bem Otuabrate i#red Slbftanbed ron einanber. Unb fällt man rom Wîittelpunlte and ein Ißerpenbifel auf biefe SSerbinbungdlinie, fo ift bie ^otenj bed $ u# p united діеіф bem Ißrobucte aud feinen (Entfernungen von ben ¿uerft an^
genommenen fünften.
ív. (íenfrarprojecttoiicn hes Greifes.
L 2ßtü luau einen Rreid perfpectinifc^ projiciren, fo wirb ber jłereometrtfdje Ձրէ ber Projecttondjîrahlen cine Regei fínche; benn eine Regeífléírfte tonnen wir und bon einer geraben ginie betrieben benfen, bie fid; fo bewegt, baß jte beßänbig Ьигф benfelben feßen Çpunf't unb ¿ugfeidj nad; unb паф Ьпгф fammtlidje fünfte einer Rreidlinie geljt, bie mit bem fejten $ pifie піфі in einer (Sbene liegt, ©ie fo gewonnenen Rreidpro- jectionen werben aífo bie fogenannten Regclfdmitte fein, unb un fere Aufgabe foinmt barauf ¿uríícf, (Sigei^aften ber Regelfthnittc aud ben projectivifфеп Schiebungen beč Rreifed abjuïeiten.
3m Sorauč шафеп wir barauf aufinerffam, baß ein punft ber Dbjectdebene fein Siíb auf ober innerhalb ober außerhalb ber Rreidprojection finben wirb, je пафЬет er felbjt auf ber Peripherie ober innerhalb ober außerhalb berfelben gelegen war; benn bon feiner gage wirb ed аЫ;лп5с։1' fciu projeitiondßrahl ber йедеіфяфе felbß an
gehört ober innerhalb ober außerhalb berfelben liegt. (Sitte ginie ber Dbjectäcbenc wirb betunad; aud) für ben Rcgeífdjnitt aid ©angcnte, Secante ober aid feind bon beiben егіфеіпеп, je паф ihrer Schiebung fiír ben urfprünglid;en Rreid. 2Sir feßen епЬІіф
շ
*
аиф baraub, baß eine (Scrabe аиф mit einem ^едеірфпііі (гоф^пЬ gm ei fünfte gemein ýaben fann.
Sie vertriebenen (Seflalten ber Ä'reibprojectionen fínb abhängig von ber gage ber ßentralebene, (L, 4.) unb ¿tvar ftnb hierbei vier $аПе ¿и цпіег(феіЬеп:
a) bie Sentraíebene (фпеіЬеІ bie Objectbebene gar піфі;
b) fie (фпеіЬеі biefelbe in einer Sinie außerhalb beb ^reifeb ; c) in einer Sangente bebfelben;
d) in einer Secante bebfelben.
a) Ser crfle §aü ergiebt, tvie bie elementare Stereometrie beroeifl, alb Projection tvieber einen ЯгеіЬ, ber eine арпііфе Sage mit bem Objecte hat. Sßir tvenben unb bebpalb (одіеіф ¿ur 23еігафІипд ber folgenben fyäHe.
b) Sie (Sílipfe.
2) Sie ßentralebene foil bie Objectbebene (Șig. 5) in 21 քՓո eiben, В foil ber pol biefer (Seraben fein unb 23 Ьигф В parallel ju 21 gelegt fein, fo baß 23 alb polare ¿um fünfte А gehört. Sab projectionbccntrum foli L Reißen unb bie (Srunb- ebene foü Ьигф bie (Scrabe 23 gelegt fein. 2ßir Ьееіпігафіідеп bamit bie 'Allgemeinheit nuferer Verleitung піфі, benn roo roir аиф immer fonfi bie (Srunbebene legen, ba ihre Эііфіипд beftimmt ifl (fte muß immer parallel ¿u ber burat L unb 21 beflimmten Sbene fein), erhalten roir Ьоф ßctb ein арпІіфеЬ unb арпііф liegenbeb (Sebilbe, unb ¿roar eine gefdßoffene ßurve, (I, 4.) bie (illtpfe.
3. gegt man Ьигф В irgenb eine Secante E F beb Streifes, fo ftnb D, B, E, F ^агтопііфс fünfte, alfo LD, LB, LE, LF vier Ьагтопііфе Strahlen. Sa nun bie projection ber Secante bem Strahle L D parallel fein muß, fo roirb аиф bie ber Stretie F E епі[ргефепЬе (SUipfenfepne im fünfte B palb irt (IL, 6.). Sabfelbe fínbet auf jeher anbern Ьигф В gehenben Secante ftatt. Ober:
jebe Ьигф bie projection beb punfteb В gelegte Sep ne b er Sllipfe roirb in ipm palbirt
Sicfer punft roirb alfo ber 9)?itteípunft ber ®űipfe, unb alle Ьигф ipn gelegten Sehnen ftnb Surd;meffer berfclben.
4. man bbn irgenb einem punfte ber (Seraben 21 aub Secanten unb bie
¿roei Sangenten an ben Streib, fo muffen biefe in ber projection, го eil ipț gemeinfamer Оигф(фпШЬрипІі in ипспЫіфе ^erne rlieft, alb eine ՏՓսսր paralleler ginien егіфеіпеп.
Ober:
Sie projectionén ber Sehnen unb ber beiben Sangenten, гоеіфе verlängert fiф in einem punfte ber (Seraben 21 (фпеіЬеп,
f in b parallele Seinen unb zwei tiefen parallele Tangenten ter (Sllipfe.
Չճ folgt tarant, tap cë in ter Œllipfe mie im greife zwei parallele Tangenten
»on jeter beliebigen Stiftung giebt,
(Eonflruirt man ferner tie jum fünfte D zugehörige polare K G, f о geßt tiefe, wie wir fallen, burp В unt th eilt jete »on D auë gezogene Secante ßarmonifp (III., 2.) Ser »ierte außerhalb gelegene ßarmonifpe Punit D ritcft nun in ter projection in un- entließe gerne, ter ißm jugeortnete punit muß baßer auf allen Secanten in tie Mitte
¿wifepen tie beiten antern fallen. Sie Sehnen alfo, welpe verlängert burp D geßen werten in ter Projection turd) tie ju D gehörige Polare, welpe ein Suvpmeffer wirb, fämmtlip ßalbirt. Sa ferner K ter jur Rinie F B E zugehörige Pol ift (III., 3), fo ifi tiefe -Beziehung eine wepfelfeitige. Ober;
<5ë giebt in ter (Sllipfe z« jebem Surpmeffer einen zweiten von her (Sigenfpaft, baß jeber von ißnen tie bem anbern parallelen Seßnen ßalbirt.
3wci folpe Surd;meffer nennt man conjugirte, unb bie von ißnen ßalbirten Seßnen ßeißen ißnen ¿ugcßörige Drbinaten.
Sa bie beiben von D aut an ben Ջ reit gelegten Sangenten tenfelben in H unb G berühren, fo folgt and;, baß
bie Serüßrun gtpunfte zweier paralleler Sangenten her (Sllipfe tie Scßeitel eine» Surpmeffert fint, unb baß ter tiefem con =
• jugirte ben Sangenten parallel ift.
5. Sie Surpmeffer ter fo genommenen .Rreitprojection werben im Allgemeinen einanber ungleip fein, nur in einem galle werben fämmtlicße Surpmeffer einanber gleicß, bie projection wirb alfo ein Äreië, wenn nämlip bie ©runbebene antiparallcl zur Dbjecttebcne gelegt wirb, b. ß. wenn fíe fenfreeßt fleßt zum Arenbreied bet bureß bie 1 projectionëflraßlen beftimmten legelt, unt ißt Surcßfcßnitt in bem felben mit jeber Sei* tenlinie Sßinlel bittet, glcip tem, unter welpem bie ©runblinie bet Arenbreiedt tie
untere Seitenlinie fpneibet.
Ճճ fei nämliiß gegeben ter Äreit P Q, L tat projectiontcentrum unt L A P Չ tie burd) L unt ben Mittelpunkt beë Greifet fenfreeßt zu bem leßtern gelegte (Sb en e.
Soll uun LAD bie antiparallel gelegte (Sentralebene fein, fo muß fein : Z ALP = ZLQP.
Seëßalb ift a լ д p ~ J L A Q unb L A2 = A P . A Q.
2Öirb nun tie ©runtebene fo gelegt, baß fre bie Objccttebene in Ջ ber polaren Zu A fpneibet, fo wirb M N ein Surpmeffer ber projection. 9leime ip nun bie pro=
jectionen von P G Q F H Ьефдііф P1 G1 Q1 F1 H1 fo ifi, roíe früher (IL, 6.), be՜
wiefen:
В Qi2 : P B . B A = L A2 : A P . A Q.
9hm ifi unter itnferer SBoraudfeßung L A2 = A P . A Q.
ferner ifi P В . B Q = В № alfo:
В Qi = В N
ober bíe Surre hat jwei діеіфе conjugirte ©utdjmeffer.
©aß biefen beiben aud) alle übrigen gleidj werben, laßt fid) Іеіфі ¡eigen:
В Gi2 : B G . B H = L К2 : K H . К G ober ba D ber ju H G gehörige pol i ft nad) (III., 4.)
B Gi2 : B N2 = L K2 : K A . KD.
91un i ft L A fentrecht auf D K wie քէ՚Փ and unferer 2Soraudfef$ung ergiebt, unb baLA2 = AP.AQ = DA.AK (III., 4.) and; Ճ D L K = 1 R.
©edljalb alfo L K2 ~ K A . K D unb L D2 = D A . D K unb B Gi = B N = B F1.
©ie projection wirb baȘer ein Är ei ë werben, bod; unterfdwibet fid; bíefer Äreid in ber antiparallelen Sage von bent in ber parallelen babur-ф, Cap er nicht aludid) ¡um
©bjecte liegt, ißrc 9)Httelpuufte ftd) alfo nidjt aid Object unb projection епііргефеп.
c) ©ie parabel.
6. 28ernt bie Sentralebene burd) eine Tangente bed Äreifed geht, fo if! bie pro
jection ihred Șeruhrungdpunfted nicht barftellbar; wir bekommen alfo eine Sütve, bie nach einer Seite ¡u offen, jweitnal fid; in’d ПпепЬІіфе erftredt (bie parabel).՛
©a анф bie ©angente A (gig. 6) feine projection hat, fo hat alfo bie Sütve eine in ипепЬІіфег gerne liegenbe ©angente.
91аф Sinologie bed früheren läßt ftd) erwarten, bah bie projection bed ¿u % gehő=
rigen Pold ber 9)?itteípunft ber Surre wirb, ©a aber 21 eine ©angente ifi, քո ift фг 23erührungdpunft А фг pol, unb ba biefer in ber projection in ипепЬІіфе gerne rüeft, fo werben fämmtlidje yon A audgehenbe Sehnen einanber parallel.
©ie ©urd^meffet* einer parabel finb alfo parallel, bet 9%it՛
telpunft liegt bähet in ипепЬІіфег gerne.
Säimntlid)c Ьигф A gel;énbe @eraben haben ihren Pol auf ber Sletaben 21, weil biefe bie ©angente bed Äreifed in A ifi (HL, 2.). Segen wir nun Ьигф irgenb einen Punit ber 21 ¡. 23. Ьигф Е ben pol von A D Secanten ¡u bem Äreife, fo muffen biefe in ber projection fäninitlid) parallel werben, unb bie innerhalb ber parabel gelegenen Stüde Perjelben werben von bet Projection ber Sinie AD, теіфе ein ©игф- nteffer bet Parabel wirb, Dalbírt, ©ber:
Յո ber jarabel liegen b t e V a í b i r u n g d p u n f t e paralleler (Sei
nen auf einem unb bemfeíbcn ОпгфтеЦег.
(Sbcnfo mirb аиф bie projection ber Sangcnte E D jenen parabeifepnen parallel unb ipr 23erüprungdpunkt iß ber Scheitel bed SurcȘmefferd, ju bem bie ipt parallelen
©ebnen aid Orbinaten geboren. (Sd giebt babér in ber Parabel nicht ¿ivei parallele Tangenten, fonbcrn mir müßen, mie рф and biefer Verleitung ergiebt, bic ипепЬІіф ferne Tangente aid jebcr anberu parallel anfeben. (Sd giebt ferner аиф von jeber Эііф=
tung eine Sangente mit 2ludnabme bér jenigen, bie ben ©tttojmeßern parallel märe. (Sine Ьоіфе märe bie projection von 81, теіфе in ипепЬІіфе Jerne rüeft.
d) Oie Vpperbel.
7. Oer Оигфіфпік յոսքՓ«ւ Objcctd- unb (Sentralebene foil eine Secante bed fłreifed 21 (Jig. 7) fein, bann ftnb jmei punkte bet périphérie C unb G, in benen biefelbe von 21 ցօքՓոէէէրո mirb, in bet Projection піфС barßellbar. Oie neu etttßepcnbe (Surve bat alfo jmei ипепЬІіф ferne pmifte, ß'e mirb bähet and jmei 21 eßen beßeben, bereu jeber паф beiben ©citen bin рф in’d ИпепЬІіфе erßredt. (Oie Vppetbeí).
ЗВепп В ber Pol jur ©eraben 21 iß, fo ß'nb B, D, E, F vier раѵтопі|'фе Punkte. Oie Ьигф bíefcíbcn unb bad (Centrum L gelegte (Sbtoe mirb von bet @runb=
ebene in einer ginie parallel ju L D gefebnitten, bad յոսքՓրո ben Strahlen E L unb F L enthaltene ©títcť berfcíbcn mirb alfo vom ©trahie B L I;aíbirt. 2lber bie pto=
jection liegt піфч rnepr auf berfcíbcn ©cite bed (Scntrumd mic bad Object, fonbern ber
©trafí L F ober beibe Strapień L E unb L B ftnb jmtfcpen Object unb projection Ьигф bad (Sentrum L ріпЬнгф gegangen, je пафЬст bic ©ritnbehene auf ber einen ober ber anberu ©eite ber (Sentralcbcne angenommen mirb.
Oie projection bed Punfted В mirb bapet ber Mittelpunkt ber Vppcrbel, benn >
auf allen ьигф tpn gelegten ©eraben mirb bad ©tücf jmifeben ben beiben Оигфіфпіііеп mit bet (Surve in iptn b^birt. Oer Mittelpunkt liegt alfo jmifcpen ben beiben 2leßen ber (Surve, fo bap jeber iptn feine convexe ©eite jufeprt.
Осп von В aud un ben Äreid gelegten beiben Sangenten В C uńb B G тerben micher Sangenten ber Vpperbel епі[ргефеп, aber ipre 23erüprungdpiinFte C unb G merben bie beiben ипепЬІіф fernen Punkte ber (Sutve, bie Sangenten fetbft aber liegen in enb* Ііфег Jerne unb кфпсіьеп рф int Mittelpunkte; man nennt ß'e 2lfpmptoten. 21 Ile ©eraben, теіфе einer ber 2ljpmptoten parallel ftnb, (фпсіьеп bic Sjpperbcl nur in einem punkte, benn ß'e ftnb bie Projectionéit ber Ьигф C ober burd) G gépeimen Septien, ipr gemein- famer ОигфкфпіПРрипИ mit ber (Surve alfo fällt in ипепЬІіфе Jerne.
8. Оигф bie 2lfpmptoten mirb bie (Shene in vier Spelle getpeilt, in bereit jmei fFgenüberßcpenben bie beiben Vpperbeläße liegen. Oie in ben beiben anbern $Іафеп=
феііеп burd; ben 5)łittelpunft gelegten hinten fdjnetben zwar bie Qfurve nie, wir werben fte aber wegen ber folgenben Sigenfcbaften ben Pmdßmeffern rechnen muffen. @on* ßruirt man патііф 511m fünfte D auf ber 21 bie polare, fo gebt biefe Ьигф B (III., 3.) (fte fei В К), ihre projection wirb affo ein Ригфте^ег ber lectern 2Irt. gebe Ьигф D gelegte Secante wirb von В К unb ber périphérie ßarmonifd getßeilt, unb ba D ib r gemeinfamer Pui՝d)fd)nitt in ипепЬІіфе gerne rüdt, fo werben fte fätnintíid) unter etnanber parallel, alfo aud) parallel &ur projection von B D, unb bie Stüde auf ihnen, weld)c ^roifden ben Ригф(фпіНеп mit ber ppperbel liegen, werben von bent B K ent=
(ргефепЬеп Purd)meßer balbirt. Piefe Seinen liegen alfo außerhalb ber Jppperbel, b. I)- in bent von ben convexen Seiten begrenzten SŁpette ber (Sbene, unb ba fîcȘ von D aud feine Tangente an ben ftreid legen läßt, fo giebt cd aud) gu biefen .ippperbeifeßnen feine parallele Sangente.
Sie Beziehung zwifd)en В К unb В 1) ift eine tvecȘfelfeittge, b. ß. К iß аиф ber Pol ¿iw í inie E F; fämmtlid)e Ьигф К gelegten Secanten werben alfo in ber pro* jection parallel, unb bie auf ißnen սհցրքՓոէէէօոօո Seßnen werben von bent ber B F епіГргефепЬеп Surdmeffer ßalbirt. Siefc Seßnen liegen іаттіііф innerßalb unb ba ftd) von К aud zwei Sangenten an ben $reid legen laffen, fo ßaben wir аиф in ber Jppperbel zwei ißnen parallele Sangenten, bereu Serüßrungdpunfte bie Sфеііеі bed bie erßeren ßalbirenben Surdimeffero ftnb.
<Sd gießt baßer in ber Jppperbel zu jebent Sitrd)meffer einen Zweiten (coujugirten) von ber Œigenfd)aft, baß jeher bie bem anbern parallelen Seßnen ßalbirt unb Ьигф bie Perüßrungdpunfte ber ißnen parallelen Sangenten geßt, fo fern ed bereit giebt.
@d giebt alfo in ber Jppperbel Sangenten nur von beit ЭКфШпдеп, іѵеіфе Ьигф bie ©игфтеіТег, bie bie ß'urvc nid)t félteiben, beßimmt ß'nb, aber von jeher Эііфіипд ein Paar.
9. Pa ber Punft D bie B K zut Polaren ßat, fo ßnb bie vier Straßlen B C, B G, BK, B D ßarmonifd) unb tßeilen jebe Srandverfale 1)аппопі]*ф, Z- P- K H M N.
Pa nun in ber projection К in’d ИпепЬІіфе rüde, fo wirb MH = H N. (Sd wirb aber аиф 0 II — И P, weil K unb B F քւ՚Փ aid Pol unb polare епіЬргефеп, alfo iß bann M 0 = N P ober :
gn ber Jppperbel finb bie Stüde einer Secante zwifd)cn ber Sütve unb ben SIfpmptoten einanber діеіф.
(Èißcnfdjnßen ber âcßdßßnitte.
10. Реігафіеп wir пип Տէ^էօոհսքՓր!, bereu 3)Zittelpunfte піфі meßr bie beßimmte Sage zur Hentralebene ßaben, ՝fo werben Ь'ф aud ißren projcctivifd)en ^Beziehungen ¿um
Greife Sä£e ergeben, weld;e für alle ^egelfc^nttle ©ültigfeit haben. 53erücfft$ttgen wir babei аиф bie antiparallele gage ber Projectiončebene, fo werben ftcb Ьагаий^аиф einige ßigenfdjaften beč ^reifeé Іеіфі beríeiten íaffen.
Sie früher (III., 1 — 4) erörterten (Sígenfdjaften beč S'rcifeč werben fid;, ba jebe fjarmonifd) geteilte ginie аиф in ber projection burd; bie епірргефепЬеп Punfte ebenfo дефеіН crfd;eint, unb ba ferner bie projectionén von punitén, bie einer ©eraben ange=
hören, aud; biefeíbe gage ¿u einanber heben, unmittelbar auf fämmtlid;e $egelfd;nitte übertragen laffen. S. I;«
ju jebem punfte in ber Shene eineč $egelfd;nitt'eč gehört eine ©erabe (Polj unb polare) von ber Se¿iehung, baß jebe Ьигф ben erfreu gelegte Secante von ber ¿weiten unb von bem Äegel^
fd;nitte hormonifcü getheilt wirb.
Sbenfo muß cč für alle ^едеЦфпііІе gelten, baß wenn mehrere punfte auf einer
©eraben liegen, ihre zugehörigen polaren |сф in einem punfte, патііф bem pole jener
©eraben, begegnen.
jur Seftimmung ber polaren eineč Punfteč aber iff goígenbeč չս Ьеафіен: 3ß ber Punft cin äußerer, fo geht feine polare jebečmal Ьигф bie Serííl;rungčpitnfte ber von ihm auč an ben ^¿дсІІфпіН gelegten Sangenten: benn beim Greife finbet bačfelbe ftatt, unb bie projection einer ^reíčtangente ifi wicber Sangente beč ^egelfфпіііеё«. — Sei ferner 31 (gig. 8) bie ¿um punfte B unb E F bie ¿um punfte G gehörige polare, fo ift G ber ju C B unb D ber ¿u C G gehörige pol. Projicirt man nun fo, baß bie Sentralebene Ьигф 31 geht, В alfo bcm SDîittelpunfte ber ©urve entfp^t, fo wirb, wie wir früher gefel;en haben, E F eine Drbinate beč Su^mefferč C B, unb C G bie Polare von D parallel ¿it EF, weil ber ©игф[фпіп G піфі projicirbar iß.
3In bem Sad;verhältniß änbert (іф піф10, wenn 31 Sangente ober Secante beč
$reifeč wirb, b. h- wenn bie Projection ßatt einer Etlipfe eine Parabel ober ßpperbel wirb. ©Ճ gilt alfo allgemein:
3n jebem $egelfd;nitte iß bie polare irgenb eineč Punfteč parallel ben D r b i n a t e n beč burd; iß n gelegten ©ut^mefferč, unb bečhaíb liegt nud; ber ՏսրՓքՓոէէէ ¿wcier Sangenten mit bem -^albirungčpunfte ber 53ertil;rungčfehne unb bem ïDîittelpunfte in geraber ginie.
2Inč ber ©igenfd;aft раг։попх(ф getl;eilter ginieit läßt (іф ferner Іеіфі ¿eigen, baß bie £>älfte von K H bie mittlere geomctrifd;e proportionale ¿ur Entfernung beč Jpal=
birnngčpunftcč ber Seßne K H von bent Pole C unb bent ©игф(фпіН mit ber Polaren F E iß. gällt aber ber ¿weite ՋււրՓքՓոսէ mit ber Peripherie in ипепЫіфе gerne, iß
3
alfo bie (secante entroeber ein Su^meffer ber jarabel ober ifi fte tn ber Jppperbel parallel ber einen 2lfpmptote, fo muß ber Ä'ege^ßnitt bte Strede յոոքՓրո bem фоі unb bem ՏսրՓքՓոէէէ mit ber jugețwrigen polaren ßalbiren.
11. man an einen Ä'reid jroei Tangenten AB unb A C (^ig. 9) unb
¿п>і[феп biefe auf berfelben (Seite bed ^reifed поф jroei anbere D E unb F G, fo entfielen ЬаЬпгф ¿roei Sreiede ADE unb A F G/ гоеіфе benfeíben Umfang frohen, рф alfo »erpalten roie bie Sîabien ihrer eingefdjriebenen Greife. (Seien bie Seiten jweier Sreiede a, b, c unb a1, b1, c1, bie Sîabien ihrer еіпЬеІфгіеЬепеп Greife r unb r1 unb bie 3iabien ber ju а unb а1 gehörigen äußeren Serührungdf reife p unb p1, fo ifi, roie Іеіфі ju erroeifen:
f а —b -i— c՜) Га ֊]֊ b — c ՜)
r т ---
rւ 1 _ (а1 —bi 4- cl) (а1 4- Ы —ci)
? 4
unb roenn roie in unferem $a(Ie ç> = pi;
r : r1 = (a — b c) (a 4֊ b — c) : (ai— b1 4- c1) (a1 ֊4 b1 — c1).
ăBenben roir bied auf nufere Sreiede an, fo folgt:
A D E : A F G = D В . E C : F В . G C.
ЗВедеп bed beiben Sreieden gemeinfamen 3Binfeíd ift аиф:
ADE : AF G = AD . AE : AF .AG unb bedßalb :
AD.AE:AF.AG=DB.EC:FB.GC
w AD AF EC G C
DB ’ F B A E A G
Sied ftnb bie and (IL, 1.) bekannten Soppeloerhäítniffe, beren @leid;ßeit in jeb er beliebigen Äreidprojection flattßnben muß.
§ür ben Seroeid würbe քէՓ піфІР SBefentlidjed ättbern, roenn bie beiben Sangenten D E unb F G jețtfeitd bed ^reifed »on A aud ober beibe auf »erfdjiebenen Seiten bedfelben angenommen würben. 6d gilt alfo ganj allgemein:
Չո jebem $cgelfd;nitte werben jroei Sangenten »on irgettb jroei anbern unter bemfeiben anbarinonifdjen Serhältniffe gc=
քՓոէէէրո, fo baß ber SurфГфпШ^рипІі ber beiben erflett in ՋՅ^յսց auf bie eine genommen bem Serührungdpitnfte ber anbern unb ihre Su^fdjnittdpunfte mit irgenb гоеіфеr britten einanber епіЬргефепЬе fünfte finb.
ЗВепп eine ber Stangenten g. ՋԼ F G bet ber jarabel in ипепЬІіфе gerne rückt, fo ifi (IL, 3.) A D : B D = C E : A E.
gn ber jarabel alfo werben je ¿tret Stangenten bon írgenb einer britten unter betűjelben aber in entgegengefețjter Эііфіипд auf ihnen յս nebmenben 33erbäítniffe gefcýnitten.
Síitáén in ber projection bie beiben Serübrungöpunlte В unb C in ипепЬІіфе gerne (bei ben Slfpmptoten ber ^pperbel) fo ijl (IL, 3.)
A D : A F — A G : A E ober AD.AE = A F * A G.
Չո ber Jppperbel ift ber gnbalt beg ©reieág, пэеІфеЗ trgenb eine Stangente mit ben 2lfpmptoten bilbet, eine ипоегйпЬегІіфе
©roße.
2luö bem Sígberigen laßt (іф Іеіфі folgern, baß wenn gwei itangenten bon bier anbern ցօքՓոէէէօո werben, wir auf ben erfreu bier Paare епІ^гефепЬег punkte be
kommen, fo baß bie ©oppefoerbältniffe ber Ьигф fíe beßimmten (Segmente auf ber einen дісіф ftnb oen in діеіфег Sßeife aug ben (Segmenten ber anbern gebiíbeten. Streiten alfo bie bier Tangenten eine ber crßen ֆսրաօոէքՓ, fo wirb аиф bie anbere bon фпеи Ьагтопі(ф ցրքՓոսէ6Ո. hierbei kömmt ber ©mrt^nittöpunkt ber beiben erften Stan՛
genten gar піфі mehr in ЗЗеігафі, er kann alfo gang beliebig angenommen werben;
ober:
®фпеіЬеп in einem ATegeífфпitte hier Stangenten eine fünfte barmonifФ, fo wirb аиф jebe anbere bon ihnen ț>armonifф ge- tȘeiIt.
12. ©er Sïaurn oerfiattet піфі, biefe Unter кифипдеп weiter gu berfoígen, wir wollen ba^er аЬЬгефеп unb gum «Зфйф поф ein ^eifpiel geben, wie ¡іф mitteifł ber Œentralprojection ап(феіпепЬ (Säge für ben Greig unb ^ттШфе ^'րցր1քՓո1էէր еафаф beweífen taffen.
0е(фгеіЬк man in einen Greig ein Эіефіей unb legt ¿идіеіф in feinen Säen Stan՛
genten an benfelben, fo bitben biefe einen Stbombuö, ber wie Іеіфі gu feben, mit bem ЭІефіеск benfelben ©іадопаІепЬигфІфиііі b«t. gerner ftnb bie Seiten beg Эіефіей^
parallel ben ©iagonalen beg Sibombug. •
Projicirt man guerft antiparallel, aber fo, baß keine ber @фаагеп paralleler Linien parallel bleibt, wag immer тодііф ifł, ba bie 2öal;l beg Projectiongcentrumg gang frei fkebt, fb bekommen wir ftatt beg օէոցրքՓրէրհրորո Эіефіей# ein beliebiger Greigoieretf unb ftatt beg Sibombug irgenb те1фе0 bem erften unb bem Greife иткфгіеЬепе SBiereá.
©ie dinien, bie (іф big^er in einem Punkte begegneten, beb alten biefe ԹէցօոքՓճքէ, eg babén alfo beibe Vierecke einen gemcinfamen ©іадопаіепьигфкфпііі. ©ie ©íagonaíeu
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beg итЬе(фгіеЬепеп SBtevecf^Հ bie higher ben (Seiten beg еіпЬе(фгіеЬепеп parallel waten, werben քէ՜Փ jeßt mit benfelben in einem fünfte [фпеіЬеп, ober ber ©игф(фпйІЬрипІі eineg ÿaarg yon (Segenfeiten beg einbefd;riebenen Pieredg unb ber gemeinfame ©iago՛
nalenburcbfcbnítt liegen ftetg in gerabet Sinie mit ben jwifcȘen if;nen liegenben gegenüber՛
fłepenben (Sden beg umbefdroiebenen Pieredg. ©a епЬІІф in bet ^igttr, non bet mir auggingen, jeb eg bet beiben Bierede gebiíbet ifi yon jroei paaren paralleler «Seiten, (о mitffen in bet projection bie ©ur^fdjnittgpunfte bet ihnen епІ[ргефепЬеп Seiten in eine gerabe Sinie fallen, ©ie yier ©игф(dnittgpunfte je eineg Paarg yon gegenüberflehen՛
ben Seiten in ben beiben étereden liegen alfo in einer (Seraben.
Projiciren mir yon Steuern, fo baß mir irgenb гоеіфе beliebige ^еде1(фпіііе erhalten, fo fleht man, baß апф für bie ihnen in діеіфег $8eife ein՛ unb шпЬеІфгіеЬепеп Pier՛
ede nufere Säße gelten, ©bet:
S3 ei jebem einem Äegelf djnitt einbefd;riebenen Pierede liegen bie ©urd;fd;nittgpunfte bet gegenüberflehenben Seiten unb bie
©urфfфnittgpunfte bet ©angenten an jroci gegenüberfteßenben (Sden in einer ® er aben.
Pei jebem ein em Ä'egetfՓոէէէ итЬфгіеЬ enen Pierede goßen bie beiben ^Diagonalen unb bie ® er aben, гоеіфе bie Berüßrungg՛
punfte jroeier gegenübetliegenber Seiten »erbinben, Ьигф einen Punît.
ЖегЬеп, um bie fo gewonnenen Säße bequemer aubjubrüden, irgenb oier ©an՛
genten eineg ^ege^nitteg alg ein yollftänbigeg Pierfeit unb bie Berüßrunggpunlte bet՛
felben alg ein yollflanbigeg Piered angefehen, fo finben folgenbe Begießungen ftatt:
©te brei ^Diagonalen beg Pierfeitg fallen mit ben br ei @e՛
rabén jufammen, гоеіфе bie ©urd;fd;nitte bet conjugirten Seiten beg уollftänbigen Pieredg уerbinben.
©ie brei ©սրՓքՓո!էէօ ber conjugirten Seiten beg bollflän՛
bigén Pieredg fallen mit ben brei ©игфіфпіііеп ber ^Diagonalen beg yollflänbigen Pierfeitg jufammen.
Slug (IL, 7.) folgt аиф поф, baß bie ©iagonalen beg Pierfeitg Ьигф bie ©игф՛
fdqnittc bet conjugirten Seiten beg oollftänbigen Pieredg parmonifcp geißeilt werben, unb ferner ergiebt (іф, wenn man ben Saß auf bag eingefdjriebene Piered anroenbet, baß jebe ©iagonale beg Pierfeitg bie polare ift ¿u bem ©urd;fdnittgpunfte bet beiben anbern.
13. ВеЬфгеіЬеп roit ein Seфged in einen ^reig ein unb projiciren bie ^igur antiparallel, fo baß bie (Sentralebene Ьигф bie ©игфіфпіііе yon ¡roei Paaren gegen՛
überfteßenber Setten geßts), fo erhalten wir einen Äreid mit einem eingefd;riebenen Seeded?, in гоеіфет ¿wei paare von ©egenfeiten parallel ft'ttb. Sann gilt aber vom britten ‘paare badfelbe. Senn fei A F parallel C D (^ig. H) ttnb F E parallel В C, fo ijl ZAFE = ZB C D wegen ber parallelen Szentel.
Sa nun A F E D unb AB C D Äreidvierede ftnb, fo folgt ZADE = Z D A В unb bedßalb В A parallel D E.
Sad iff aber nur möglid;, wenn in ber Dbjectdfígur ber Surd;fcbnitt bed brüten Paared aud; in ber ©cntralebene liegt, b. ß. wenn alle brci Smxßfcßnittdpunfte in eine
©erabe fallen. Siefelbe (Sigenfd;aft muß in allen anbern projectionén ftattfwben. Zber:
Չո jebem fîegelf фпііі liegen b i e ՏսրՓքՓոէ tte ber orei Paare gegenüberfleßenber Seiten eined eingefфгіеЬепеп Seddedd in ge=
raber Sinie.
Pefdreibt man in ben fedd Punften A B C D E F Sangenten an ben ^reid unb verbinbet in bem fo entftanbenen umfdriebenen Secßded bie ©egencden mit einanber, fo geßen biefe brei Siagonalen Ьпгф ben 9)?íttelpunft bed ^relfed. 3n allen ferneren Projectionén wie in ber Objeetdfigur werben ftd; baßer bie entfpredenben Siagonalen in einem Punfte treffen. Ober:
3n jebem einem Äegelfdnitt umbefd;riebenen Seфdede be=
gegnen fiф bie brei Siagonalen, теіфе jebe ein paar von ©cgen=
eden verbinben, ¡in einem Punfte.
Ser erftc biefer beiben Säße vom Sed;ded iff von pad cal, ber ißn hexagramma nrysticum nannte, ber ¿weite von Sri an ф on.
») ®aS æerlaitgte ift leidjt 31։ erfüllen. f№an íege cinen ©urdjmcffer А В (giß. 10) fenfredjt auf bic Sinic, meldje jene strei ©itrd;fd?nitte verbinbet Z Y, unb bcnie fid) burd) А В eine (Ebene gefegt fenïredjt 31t ber, in welcber ber iheis liegt. Sn biefer fdjlage man einen Arei@, ber BK níž ®ețme aufnimmt. ©en 31t biefer gehörigen ^eri«
pberietBinfet trage man in A an AB an CAB, Verlängere AC, bis fie ben Äreis trifft, fo ift einer ber beiben
©urdjfdmitte mit bemfelben als fßrcjectionécentrum unb jebe 31t K C parallele auf ber $ülfsebene ¡entrechte (Ebene alé Objectsebene brau^bar. ©er Aufgabe fann alfo auf unenblidj viel Seifen genügt werben.
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3d)uliifld)ľtd)tťii.
I. (Cfjroiuft bei Srifitift.
Фег georbnete ®ang beë Ппіеггіфіё bat in bent yerßoßenen Sabie feine roefentlidw Störung erlitten. Die Serrer babén fid) roäbrenb ber Beit im Sanken einer guten ©efunbbeit erfreut unb erß in ben lebten Зйофеп mürbe einer berfelben, ber ©pmnafiailehrer ®гй$тафег, burd) eine ßeftige Äranfßeit feinem Berufe entzogen unb mußte Ьигф bie anberen Beßrer vertreten Werben. 2Iud) ber ©efunbßeitëjuftanb ber ®фй!ег fann afë ein red)t günßiger be$eid;net werben.
$8aë bie #Шіфе Raffung unb bie wißenfd;aftlid)en goi^ritte ber Sdßifer betrifft, fo barf er»
Waßnt werben, baß namentlid) bie ÿrimaner fid) Ьигф einen regen gleiß unb gute Beißungen bie Bufriebenßeit ihrer Beßrer erworben ßaben. Silo befonbere (Sreigniße verhielten in biefcr Sßronif
«ngefüßrt ¿u werben:
1) Der befteßenben Sd)uforbuung gemäß Würben and) in btefem Babre 31t Вііфаеііё, չս
%ефпафіеп unb ;u Dftern außerorbentücße geierlid)feiten yeranftaftet, bei benen ber ©ijmnafial»
фаг ©efãnge auffüßrte unb Sd) tiler ber beiben erften blaßen felbftgefertigte Dieben in beutßßer, lateinifdier unb քրսո;օցքՓօր ©ргафе ßielten. Slußerbem würbe nod) ein Іігфііфеё geß-, ttämlid) ber ©еЬйф^іад beb am 25. September 1555 gefdjioßenen Dleligiottëfriebenë, Ьигф angemeßene
©efänge unb Ьигф eine Diebe bes ^rofeßor Breb а gefeiert, in теіфег bie hißorifd)c Bebeutung beb Tageë entwidelt unb gUßieid) auf bie геіфеп Segnungen, bie bie Dleformation in ihrem Gefolge geßabt hat, aufmerffam детафі würbe.
2) Da bad Йопідііфе ©ßmitafiut^ 3ц ßißa am 15. Dlovember 1855 fein BOOfäßrigeë gtiftungëfubiläum feierte, fo ßielt ք<Փ unfere Slnßalt für yerpßid)tet, ju einem fo feltenen unb патспМф ín unferer ßJrobinj rooßl einzig bafteßenben geße ihre @lücftvünfd)e barjubringen.
Der Ппіегзеіфпеіе mibmete ber Sфweßeranßalt $идІсіф eine, аиф im Bud)ßanbel егіфіепепе, ՏՓրէքէ: „Der Begtiß ber Bilbung mit befonberer Diüdßd)t auf bie ßößere Sd)ufbilbung ber
©egenwart."
3) Sim 11. DDlärj recibirte ber £>err ^rovinjiatoSdjulratß Dr. Bi ebring mehrere Stoßen bed ©pmnaßumë, unb führte am Tage пафЬег ben Borfíç bei ber тііпЫіфеп Blaturitätë»
