) dane są wektory x = λe

Egzamin pisemny z algebry 1 września 2010

(1) W zespolonej przestrzeni dwuwymiarowej z wybraną bazą (e

, e

) dane są wektory x = λe

+(1−i)e

, y = (−7+6i)e

+(λ−5+6i)e

, gdzie λ jest parametrem. Wyliczyć wartości parametru, dla których powłoka liniowa L(x, y) jest jednowymiarowa.

(2) W czterowymiarowej przestrzeni rzeczywistej V wybrano bazę (e

, e

, e

, e

), a w prze- strzeni dualnej V

– bazę do niej dualną (e

, e

, e

, e

). Dane są ponadto trzy formy liniowe:

ϕ

= −2e

+ e

+ e

− 5e

, ϕ

= e

− 3e

+ 2e

+ 4e

, ϕ

= −e

− 7e

+ 8e

+ 2e

. Znaleźć wszystkie wektory x, dla których spełnione są łącznie warunki

ϕ

(x) = 7 , ϕ

(x) = −6 , ϕ

(x) = λ , gdzie λ jest parametrem (rozwiązanie w zależności od wartości λ).

(3) W bazie ortonormalnej (e

, e

, e

) przestrzeni euklidesowej dana jest macierz operatora symetrycznego A:

A =





1 3 −2

3 9 −6

−2 −6 4



 .

Wyliczyć macierz przejścia do ortonormalnej bazy własnej tego operatora. Podać:

– wektory nowej bazy jako kombinacje liniowe wektorów bazy (e

, e

, e

);

– macierz operatora w nowej bazie i jej związek z macierzą A.

(4) W trójwymiarowej afinicznej przestrzeni euklidesowej dane są: trzy punkty O, P, Q, oraz prosta zadana równaniem parametrycznym − − →

OX = c + at, t ∈ R. Znaleźć punkt X

na tej prostej taki, że wektor −−→

OX

jest prostopadły do wektora kierunkowego tej prostej. Wyliczyć odległość punktu X

od płaszczyzny, na której leżą punkty O, P, Q.

Wykonać rachunki dla danych: a = ˆi + 2ˆj − ˆ k, c = 3ˆi + 2ˆj − 5ˆ k, P = O + 2ˆi − ˆj,

Q = O + 2ˆ k, gdzie (ˆi, ˆj, ˆ k) jest dodatnio zorientowaną bazą ortonormalną.

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ – ZASADY EGZAMINOWANIA

1. Egzamin składa się z części pisemnej i ustnej.

2. Uzyskanie oceny pozytywnej z części pisemnej jest koniecznym warunkiem dopuszcze- nia do części ustnej.

3. Ocena z części pisemnej uwzględnia średnią z ocen z zadań oraz liczbę zadań ocenio- nych pozytywnie (≥ 3).

4. Jeśli oceny z części pisemnej oraz części ustnej są pozytywne, to ocena z przedmiotu jest średnią arytmetyczną ocen: egzaminu pisemnego, egzaminu ustnego oraz ćwiczeń.

W przeciwnym przypadku ocena z przedmiotu jest niedostateczna.

5. W przypadku otrzymania oceny niedostatecznej z egzaminu w I terminie można po- wtórnie przystąpić do całości egzaminu w II terminie.

6. Osoby, które w I terminie uzyskają z egzaminu pisemnego ocenę pozytywną, ale nie

przystąpią do egzaminu ustnego w tym terminie, o czym poinformują mnie na egza-

minie pisemnym (lub najpóźniej w poniedziałek rano), nie otrzymują oceny z całości

egzaminu w tym terminie. W II terminie te osoby mogą nie powtarzać części pisemnej

egzaminu.