RP WNE 2019/2020, X seria zada« domowych (trzy zadania)
Imi¦ i nazwisko ... Numer indeksu ...
W zadaniach poni»ej, za liczb¦ k prosz¦ podstawi¢ sum¦ cyfr w numerze indeksu, za liczb¦ m - sum¦ dwóch najwi¦kszych cyfr w numerze indeksu, za± za liczb¦ n - naj- mniejsz¡ cyfr¦ w numerze indeksu, powi¦kszon¡ o 1. Przykªadowo, dla indeksu 609999:
k = 42, m = 18, n = 1.
Prosz¦ zapisa¢ peªne rozwi¡zania zada« (przeksztaªcenia, podstawienia), a w odpowied- nich miejscach wpisa¢ dodatkowo odpowiedzi ko«cowe (odpowied¹ powinna by¢ liczb¡
w postaci uªamka dziesi¦tnego zaokr¡glonego do czterech miejsc po przecinku).
25. Dysponujemy n monetami, dla których prawdopodobie«stwo uzyskania orªa wynosi 1/n, m monetami, dla których prawdopodobie«stwo uzyskania orªa wynosi 1/m oraz k monetami, dla których prawdopodobie«stwo uzyskania orªa wynosi 1/k. Wykonujemy jeden rzut ka»d¡ z n+m+k monet. Korzystaj¡c z nierówno±ci Czebyszewa-Bienaymé, oszacowa¢ z doªu prawdopodobie«stwo zdarzenia A = {ª¡czna liczba uzyskanych orªów nale»y do przedziaªu (1, 5)}.
ODPOWIED: P(A) ≥
Rozwi¡zanie:
26. Zmienne X1, X2, . . . s¡ niezale»ne, przy czym dla ka»dego j = 1, 2, . . ., zmienna Xj ma rozkªad normalny o ±redniej k + j−1 oraz wariancji m. Obliczy¢ granic¦, w sensie zbie»no±ci prawie na pewno, ci¡gu
X1+ X2+ . . . + X3j
mj + n , j = 1, 2, . . . . Wskazówka: je±li X ∼ N(a, σ2), to X − a ∼ N(0, σ2).
ODPOWIED:
Rozwi¡zanie:
27. Pewne do±wiadczenie zyczne polega na obserwowaniu zderze« protonów. Odst¦p czasu pomi¦dzy j-tym a j + 1-szym zderzeniem jest zmienn¡ losow¡ o rozkªadzie wykªadniczym z pa- rametrem m/k, j = 0, 1, 2, . . .; przyjmujemy, »e wszystkie te zmienne s¡ parami nieskorelowane.
Niech Sj oznacza czas oczekiwania na j-te zderzenie, mierzony od pocz¡tku trwania eksperymentu.
Obliczy¢ granic¦, w sensie zbie»no±ci wedªug prawdopodobie«stwa, ci¡gu Sjj, j = 1, 2, . . ..
ODPOWIED:
Rozwi¡zanie:
