Porównanie liczb rozmytych i rozmyty opis niepewności w analizie wytrzymałościowej

ZE SZ Y T Y N A U K O W E PO L IT EC H N IK I ŚLĄ SK IEJ Seria: B U D O W N IC T W O z. 89

2000 N r kol. 1482

Piotr B ĘTK O W SK I

PORÓWNYWANIE LICZB ROZMYTYCH I ROZMYTY OPIS NIEPEW NOŚCI W ANALIZIE WYTRZYMAŁOŚCIOWEJ

Streszczenie. W referacie sform ułow ano m etodę uw zględniana niepew ności typu rozm y­

tego w obliczeniach w ytrzym ałościow ych. Scharakteryzow ano niepew ność typu rozm ytego i podano sposób uw zględniania niepew ności tego ty p u za po m o cą liczb rozm ytych. Przedsta­

wiono sposób obliczeń i interpretacji w yników. W tym celu podano definicję liczby rozmytej trapezow ej typu (A ,B ,a,fł) oraz sform ułow ano procedury porów nyw ania liczb rozm ytych reprezentujących ten sam ty p i różne typy w ielkości. W skazano n a zalety m etody w przypad­

ku je d nostkow ych konstrukcji: brak w spółczynników bezpieczeństw a, bezpośrednie pow iąza­

nie niepew ności z param etrem , pow iązanie zakresu niepew ności param etrów w ejściow ych z zakresem niepew ności w yniku, m ożliw ość optym alizacji projektu. M etodę zilustrow ano przykładam i obliczeniow ym i.

COMPARISON OF FUZZY NUMBERS AND FUZZY UNCERTAINTY DESCRIPTION IN RESISTANCE ANALYSIS

Sum m ary. In this paper the way o f consideration fuzzy uncertainty in resistance calcula­

tions is presented. F uzzy uncertainty is characterised. The m ethod o f description such uncer­

tainty is given. T he p aper presents the m ethod o f fuzzy resistance calculations and their re­

sults' interpretation. D efinition o f trapezoidal fuzzy num bers (A ,B ,a,p ) and m ethods o f com ­ parison fuzzy num bers w hich description the same type and different types o f param eters are presented. Point at advantages o f presented m ethod in the unitary building structures: lack o f safety factors, direct association uncertainty o f input param eters w ith the range o f uncertainty o f results, possibility o f project's optim ization. Calculation exam ples illustrate presented method.

1. Wstęp

Pojęcie rozm ytości zostało sform ułow ane w 1965 roku przez prof. L.A. Z adeha [8]

w postaci tzw. teorii zbiorów rozm ytych. Teoria ta w ynikła z potrzeby opisu słabo zdefinio­

w anych pojęć, złożonych zjaw isk, uw zględnienia niepew ności i niedoskonałości przybliżone­

go sposobu postrzegania św iata przez człowieka. Problem y te są trudne do określenia za po­

m o cą konw encjonalnego aparatu m atem atycznego. Jednym z aspektów teorii zbiorów roz­

m ytych, szczególnie istotnym z punktu w idzenia budow nictwa, s ą liczby rozm yte, np.:

[1,2,3,4,5,14], W artykule zw rócono uw agę n a m ożliw ość w ykorzystania liczb rozm ytych do projektow ania konstrukcji budow lanych.

2. Główne założenia rozmytego systemu opisu niepewności

K om pletny system um ożliw iający w ykorzystanie liczb rozm ytych do opisu niepewności pow inien zaw ierać: definicję liczby rozm ytej, aparat m atem atyczny pozw alający na dokony­

wanie obliczeń na takich liczbach, sposób określenia w ielkości w ejściow ych za pom ocą liczb rozm ytych, sposób interpretacji w yników (tj. dla budow nictw a sposób porów nyw ania liczb, np. w ytrzym ałości i naprężeń).

2.1. Liczby rozm yte

Liczby rozm yte s ą specjalnym rodzajem zbiorów rozm ytych, które s ą ciągłe i wypukłe.

Liczby rozm yte m o g ą m ieć dow olne kształty, ale najczęściej używ ane są liczby trapezowe, trójkątne i prostokątne - (ry s.l). Liczba trapezow a m oże być zapisana ja k o uporządkow ana czw órka (A,B,cc,P) - (rys.2), gdzie p je st w spółczynnikiem pew ności z przedziału [0,1].

R ys.l. Liczby rozmyte: trapezowa, trójkątna, prostokątna Fig. 1. Trapezoidal, triangular and interval fuzzy number

A -a A B B+P

Rys.2. Liczba rozmyta trapezowa (A,B,a,P) Fig.2. Trapezoidal fuzzy number (A,B,ct,P)

Liczbę ro zm y tą trapezow ą przedstaw ioną na rys.2 opisuje funkcja dystrybucji f(x):

0, x < A - a ;

a

f ( x ) = \ l , A < x < B; (1)

0 , x > B + fi.

Porów nyw anie liczb rozm ytych i rozm yty opis.. 21

2.2. C ele i zasad y rozm ytego opisu niepew ności

O pisanie m aksym alnego zakresu niepew ności przez rozm ycie pow oduje uw zględnienie w szystkich niekorzystnych i niepew nych sytuacji, a w ięc stosow anie w spółczynników bez­

pieczeństw a je s t zbędne. U w zględnianie niepew ności przez rozm ycie m oże być w ykorzysty­

w ane przy projektow aniu konstrukcji złożonych, nietypow ych, gdzie obciążenia są ustalane indyw idualnie, np. m osty podw ieszone. W ielkość rozm ycia param etrów nie m oże być ustala­

na dow olnie, w y m ag a w iedzy i dośw iadczenia eksperta. Jest to m etoda alternatyw na, gdy brak m ożliw ości zebrania dostatecznie liczebnej próbki, zm niejsza w iarygodność metod opartych na statystyce. Zw iązanie niepew ności z param etrem pozw ala oszacow ać w pływ nie­

pew ności poszczególnych param etrów na końcow y w ynik. Dzięki tem u m ożliw a je st opty­

m alizacja p rojektu przez znalezienie tych param etrów, które najbardziej w pływ ają na w iel­

kość rozm ycia końcow ego w yniku [12,13]. W obliczeniach opartych na liczbach rozm ytych część param etrów , które są dobrze określone, m oże być stosow ana ja k o liczby ostre z odpo­

w iednim i w spółczynnikam i bezpieczeństwa, np. w ytrzym ałość materiałów.

2.3. Sposoby definiow an ia param etrów

Za po m o cą liczb rozm ytych trapezow ych m ożna opisać dw a rodzaje niepew ności. Jeden rodzaj opisuje górna podstaw a trapezu, p = l. D rugi rodzaj opisu ją ram iona trapezu, 0 < p < l.

A utor proponuje następującą m etodę definiow ania param etrów za pom ocą liczb trapezow ych:

długość górnej podstaw y - to zakres w ynikający z niedokładności zastosow anej m etody po­

miaru. B łędu tego ty p u nie da się kontrolow ać, zależy on np. od m etody pom iaru. Ram iona trapezu ilustrują: błędy w ynikające z niedokładności w ykonania, błędy m ontażow e itp. Błędy tego typu m o g ą w ystąpić, ale nie muszą. Ponadto im w iększy błąd, tym rzadziej on w ystępu­

je-

3. Porównywanie liczb rozmytych

W ybór procedury porów nyw ania liczb rozm ytych zależy od tego, czy liczby te opisują ten sam typ w ielkości (np. obciążenia), czy też różne typy (np. obciążenia i w ytrzym ałości). Z a­

stosow ania opisanych poniżej m etod to, np. analiza w ytrzym ałościow a, kom binatoryka obcią­

żeń, znajdow anie ekstrem alnych naprężeń, optym alizacja, procesy decyzyjne.

3.1. P orów nyw anie liczb rozm ytych opisujących ten sam typ w ielkości

Z dw óch liczb rozm ytych w iększa je s t ta, dla której praw e ram ię sięga dalej przy danym poziom ie ufności p. N a rys. 3 pokazano liczby rozm yte, które przedstaw iają obciążania:

qi = (6,14,4,2) kN m ; ąi - (8,12,3,6) kNm. D la p = 0 w iększe je st obciążenie ąi.

Rys.3. Liczby rozmyte: q, = (6,14,4,2), q2 = (8,12,3,6) Fig.3. Fuzzy numbers: q, = (6,14,4,2), q2 = (8,12,3,6)

Trudność p olega na porów naniu dw óch liczb rozm ytych, gdy m aksym alne w artości liczb przy danym poziom ie ufności p sąjed n ak o w e, np. (rys.4) dla p=0.

q 2

1 i r \ N / i l \ \ / w 1 l \

/ 1 II 1 L \ *

15 253033 50 55 65 [kNm]

Rys.4. Liczby rozmyte o jednakowych zakresach maksymalnych dla ą=0 Fig.4. Fuzzy numbers with the same maximal range for |i=0

N ieregularne liczby rozm yte m o g ą pow staw ać w w yniku operacji arytm etycznych na licz­

bach o regularnych kształtach, np. m nożenie dw óch trapezow ych liczb rozm ytych nieko­

niecznie daje liczbę ro zm y tą trapezow ą. W referacie podano m etodę o partą na teorii praw do­

podobieństw a w ykorzystującą transform ację M ellina [9], Rodzina funkcji opisująca liczbę rozm ytą je s t najpierw konw ertow ana na probabilistyczną funkcję gęstości. Transform acja M ellina je s t w ykorzystyw ana do obliczania średniej i w ariancji złożonej liczby rozmytej.

Liczba rozm yta z w ięk szą średnią je st klasyfikow ana wyżej. Jeżeli średnie są je d n a k o w e , liczba z m n iejszą w ariancją je st klasyfikow ana w yżej. Liczby o regularnych kształtach można porów nyw ać prościej, np.: n a postaw ie m etod geom etrycznych [11],

K onw ersja przez proporcjonalny rozkład probabilistyczny [9].: Praw dopodobieństw o po­

ja w ien ia się zdarzenia A je s t proporcjonalne do w artości funkcji dystrybucji fA(x).

Porów nyw anie liczb rozm ytych i rozm yty opis. 23

p ( x ) = c r fA(x), (2)

gdzie Ci je s t stałym w spółczynnikiem proporcjonalności, żeby spełnić warunki, że po­

w ierzchnia p od ciąg łą probabilistyczną funkcje gęstości je st rów na 1 (rys. 5).

pOO

Rys.5. Konwersja przy użyciu proporcjonalnego rozkład probabilistycznego Fig.5.Conversion by using proportional probability distribution

W spółczynnik ci określa stosunek w ysokości obszaru probabilistycznej funkcji gęstości p(x) do w ysokości obszaru liczby rozm ytej f(x) - (rys.5), gdzie: F ąX), F P(X) - pola powierzchni liczby rozm ytej i probabilistycznej funkcji gęstości.

ci-Ff(X)= Fp(X)= 1 (3)

D la liczby trapezow ej (A ,B ,a,P ) m ożna w ięc zapisać: (B -A )ci+ 0 ,5 a +0,5 p = l, stąd:

c i =2/(2B-2 A + a+ P ) (4)

Podobnie m ożna w yznaczyć w spółczynniki ej dla innych postaci liczb rozm ytych: dla liczby rozm ytej trójkątnej (A ,a ,p ): C ]=2/(a+P), dla liczby prostokątnej (A,B): ci= l/(B -A ).

Transform acja M ellina [9].: T ransform acja M ellina M x(s) probabilistycznej funkcji gęsto­

ści p(x), gdzie x j e s t dodatnie, je s t definiow ana jako (5). Wartość oczekiw ana dowolnej funk­

cji g(x) zm iennej X , której rozkład je s t p(x), je st dana przez (6). Z e w zoru (6) w ynika (7).:

(

)

M J s ) = E [ X ' ~ ] = ¡x p(x)dx 0

E [ g ( x ) ] = \g ( x ) p ( x ) d x

(

)

E [ X ' ] = M x( s + 1) (7)

Tak w ięc, d w a pierw sze m om enty statystyczne (to je st średnia i w ariancja) zm iennej X m o g ą być zdefiniow ane za po m o cą transform acji M ellina jako:

m = E [ X ‘ ] = M ( 2 ) (8)

a 2 = E [ X 2] - [ E [ X ] ] 2 = M J 3 ) - [ M X( 2 ) ] 2 (9)

Poniżej je s t transform acja M ellina dla trapezowej probabilistycznej funkcji gęstości p(x):

P ( X ) =

0, x < A - a ; 2 ( x - ( A - a ) ) a (2 B - 2 A + a + p )

2

A - a < x < A;

2 ■ B - 2 ■ A + a + p 2 -(b + P -x)

, A < x < B ;

(10)

P-{2 B - 2 A + a + p ) 0, x > B + P

B < x < B + p,

P robabilistyczna funkcja gęstości dla liczby rozmytej trapezowej o postaci (A ,B ,a,p ) je st definiow ana ja k o p(x) - (10). Transform ację M ellina z p(x) (10) otrzym uje się przez:

00 A - a A B B + p

M x( s ) = j x s p ( x ) d x = \ x s p , ( x )dx + j x s p 2( x ) d x + \ x s p 3(x)dx+ j x p 4(x)dx

0 0 A - a A B

+ l x s 1 p 5( x) dx = --- 5 ( 2 B - 2 A + a + P ) s ( s + l)

( A - a / +,- A 1+/ | (B + py+‘ - B s+I

P

(11)

Ś re d n ią m i w ariancję er2 dla transform acji M ellina m ożna zapisać jako:

m = M x(2) (12)

ct2= Mx( 3 ) - [ Mx(2)]2 (13)

W adą tej m etody jest, że rezultaty transform acji nie istnieją dla w szystkich wartości s, szczególnie w tedy gdy w ym ieniane w artykule zm ienne są dzielone. N a przykład dla dow ol­

nej zm iennej Y: y = l/x , gdzie x je st dow olną zm ienną opisaną rozkładem [0,1], transform acja M ellina d la funkcji p(x) m a postać: M y(3)=M (2-s)=l/(2-s). A by znaleźć E[y], trzeba wyliczyć M y(2), ale ono nie istnieje. Gdy transform acja M ellina je st niew yznaczalna przy s=2 lub s=3 Park [6] oraz Young i Contreras [10] sugerują in n ą technikę, np. transform ację L aplace’a.

Przykład 1

D ane są dw ie liczby rozm yte przedstaw ione na rys.4: q j= (3 0 ,5 0 ,5 ,l5), q2=(33,55,l 8,10).

K tóra z tych liczb je s t w iększa? M aksym alny zakres obu liczb dla p = 0 je st taki sam, tj. 65.

M,i(2T) = 42,778, M q,(3) = 1915,278 => Mqi = 42,778, a ql2 = 85,321, M q2(2) = 41,741, M q2(3) = 1867,889 => M q2 = 41,741, a q22= 125,578.

Zgodnie z p o d an ą w cześniej zasadą, liczba rozm yta z w iększą średnią je st klasyfikowana wyżej. Jeżeli średnie s ą jednakow e, liczba z m niejszą w ariancją je st klasyfikow ana wyżej.

Liczba rozm yta qi m a w iększą średnią i m niejszą wariancję. W iększa je st w ięc liczba q,.

Porów nyw anie liczb rozm ytych i rozm yty opis.. 25

3.2. P orów n yw an ie liczb rozm ytych opisujących różne typy w ielkości

Porów nyw anie liczb rozm ytych reprezentujących różne typy wielkości zostało przedsta­

w ione na przykładzie porów nyw ania w ytrzym ałości rozm ytej i naprężeń rozm ytych.

N orm y budow lane dotyczące projektow ania np. [15,16] w iążą naprężenia i obciążenia za pom ocą w arunku: o max < R, gdzie: a max - naprężenia m aksym alne; R - w ytrzym ałość.

W przypadku rozm ytości w arunek ten w ygląda inaczej. N ie da się w yznaczyć ostrej grani­

cy pom iędzy naprężeniam i rozm ytym i i w ytrzym ałością rozm ytą.

W ytrzym ałość rozm yta [7] je s t to zbiór rozm yty, reprezentow any przez liczbę rozm ytą o w spółczynniku pew ności p pom iędzy zero i jeden. Do opisu w ytrzym ałości rozm ytej można w ybrać, w zależności od sytuacji, dow olną rodzinę funkcji. W artykule w ykorzystano rodzinę funkcji trapezow ych reprezentow aną przez zbiór składników: m = (A ,B ,a,P ), gdzie a= 0 .

Rpi(R)-

1,Ra < R < R b ;

RB +Rp ~ R

,Rb < R < Rb + R j3; (14)

0,R > R D + R 0 .

B P

W ytrzym ałość ro zm y ta R = (0 ,Rb,0,Rp) przybiera postać (rys.6. - linia ciągła). Podobnie m ożna przedstaw ić naprężenia rozm yte er = (crA,cTB,cra,crp), (rys.6. - linia przeryw ana).

K onstrukcja je s t bezpieczna, jeżeli [7]:

CTmax.tl(Xl,X2,...Xn) — Rmax ,u(X ] ,X2,.. -Xn), (16) gdzie: Xi,X2,...x„ oznacza zmienne rozmyte.

[M P a]

Rys.6. Graficzna ilustracja wzoru (15) Fig.6. Graphical illustration formula (15)

M ożna w uproszczeniu przyjąć w ytrzym ałość jako liczbę ostrą, p rzy ję tą na podstawie określonej norm y projektow ej, natom iast naprężenia traktow ać jako w artości rozm yte.

Crmax;n(Xl,X2,...X„) < R (16)

Z a słusznością takiego m odelu przem aw ia fakt, że na ogół w ytrzym ałość je st dobrze okre­

ślona i m a uzasadnienie probabilistyczne, natom iast na w ielkość w yznaczonych naprężeń ma w pływ dokładność przyjętego m odelu obliczeniow ego, dokładność określenia obciążeń, do­

kładność w ykonania konstrukcji. Zakładając w ytrzym ałość w postaci ostrej, m ożna przyjm o­

wać w iększe naprężenia dopuszczalne, bo w ytrzym ałość je st większa. W pierw szym podej­

ściu (15) nie m a bow iem pew ności, czy w ytrzym ałość osiągnie w artość R (1 6 ).

Pew ne oszczędności m oże przynieść w ym iarow anie konstrukcji przy założeniu jakiegoś określonego poziom u ufności p, np. dla p=0,5 w zór (15) przyjm ie postać:

O m a x ;n = 0 ,5 (X l,X 2 ,...X n) — R m a x ;n = 0 ,5 ( X l ,X 2 v X n ) j ( 1 7 )

[MPa]

Rys.7. Graficzna ilustracja wzoru (17) Fig.7. Graphical illustration formula (17)

W arunek (17), je s t spełniony (rys.7.), chociaż dla tych liczb na poziom ie ufności p = 0 w ytrzym ałość je s t przekroczona. Takie podejście je st jednak m ocno przybliżone, poniew aż liczby rozm yte pow stające w w yniku w ykonyw ania operacji arytm etycznych na liczbach rozm ytych trapezow ych nie zaw sze są liczbam i rozm ytym i trapezowym i.

Przykład 2

Sprawdzić, czy poziom naprężeń w środku rozpiętości stalowej belki obciążonej ciężarem w łasnym q i siłą skupioną P ja k na rys.8 nie przekracza w ytrzym ałości. Przyjęto, że param e­

try m o g ą zm ieniać się skokow o w sąsiadujących przekrojach, a w ięc m ożna je traktow ać jako param etry niezależne. Belkę w ykonano za stali St3S o przekroju ja k na rys.8.

P k = 100 kN , 1 = (9900,10100,100,100) mm,

R = 195 M P a (wg [15]), po fuzyfikacji w ytrzym ałość przyjm uje postać: R = (0,195,0,0).

h i= (4 0 ,4 0 ,1,1 )m m , b i= (4 9 0 ,5 10,10,10)mm, h

2

990

Porów nyw anie liczb rozm ytych i rozm yty opis. 27

b l

CM

A

i 1

b 2

Rys.8. Belka dla przykładu nr 2 Fig.8. Beam for the example number 2

W przykładzie 2 w y stę p u ją zarówno param etry podane w sposób ostry i za pom ocą liczb rozm ytych. P oniew aż siła P podana je s t ja k o w ielkość charakterystyczna w sposób ostry i nie m a szczególnych przesłanek co do w artości, jakie m oże przyjąć w przyszłości, niepew ność co do jej m ożliw ej w ielkości zostanie uw zględniona za pom ocą w spółczynnika obciążenia [17],

Yf = (Yf.min, Yf>0>0), gdzie: yimin = 0,9, yf,max = 1,5, P0 = Pk 7 f , P = (9 0 ,1 5 0 ,0 ,0 ) [kN], F = (Fmin ,Fmax,Fa,Fp), F = (0.039400,0.040600,0.002060,0.002140) [m2],

Jx = (0.003848082734,0.004988870135,0.001919567900,0.002259296209) [m4], x g = (0.270,0.290,0.0320,0.0380) [m], xd = (0.729,0.792,0.078,0.094) [m], W x,g = Jx/x g = (0.013269251,0.018409115,0.007389635,0.011917941) [m3], W x,d = Jx/x d = (0.004858690,0.006843443,0.002682037,0.004290453) [m3],

9 — (Ymin'Fmin ,ymax'Fmax>Ynim F a,ymax'Fp), gdzie: y = (ymin,Yniaxj0,0), y — (7 8 .5 ,8 0 .5 ,2 ,5 ), q = y-F, q = (3 .0 9 2 9 0 0 ,3 .2 6 8 3 0 0 ,0 .2 3 6 3 9 0 ,0 .3 8 5 9 7 0 ) [kN/m],

M = Z d L +L L , M = (2 6 0 .6 4 1891131,421.700035381,5.849488575,9.624245975) [kNm],

8 4

crg = (1 4 .1 5 8 ,3 1 .7 8 0 ,5 .7 5 7 ,4 1 .5 7 9 ) [MPa], o d = (3 8 .0 8 6 ,8 6 .7 9 3 ,1 5 .2 0 2 ,1 1 1 .3 0 6 ) [MPa],

O g O d R

T T

[M P a ]

ooVcsV-Too m

Rys.9. Graficzna ilustracja wyników w przykładzie 2 Fig.9. Graphical illustration results for example 2

4. Wnioski końcowe

Zastosow anie aparatu m atem atycznego opartego na teorii zbiorów rozm ytych w miejsce klasycznej algebry B oole’a rozszerza m ożliw ości analizy obliczeniowej konstrukcji na przetw arzanie danych o osłabionym determ inizm ie. M ożliw e je st np.:

- praw idłow e projektow anie konstrukcji pom im o niepewności co do rzeczyw istej wielkości niektórych param etrów użytych w obliczeniach,

- w yciąganie trafnych w niosków w przypadku niepełnych danych( badanie konstrukcji), - oszacow anie, ja k i je s t w pływ niepew ności poszczególnych param etrów na w ielkość nie­

pew ności końcow ego w yniku.

A trakcyjne je st to zw łaszcza w przypadku dużych, skom plikow anych obiektów inżynier­

skich, ja k np. przekrycia stadionów piłkarskich, przestrzenne konstrukcje cięgnow e, mosty w iszące i podw ieszone.

U dane zastosow ania praktyczne teorii zbiorów rozm ytych w innych dziedzinach techniki oraz przykładow e potencjalne korzyści zastosow ania liczb rozm ytych opisane w artykule w skazują na potrzebę badań nad w ykorzystaniem w budow nictw ie zalet teorii zbiorów roz­

m ytych.

LITERATURA

1. C zogała E., Pedrycz W.: Elem enty i m etody teorii zbiorów rozm ytych. PW N, W arszawa 1985.

2. D riankow D., i.in.: W prow adzenie do sterow ania rozmytego. WNT, W arszawa 1996.

3. K acprzyk J.: Zbiory rozm yte w analizie systemowej. PW N, W arszawa 1986.

4. K aufm ann A., G upta M .M .: Introduction to fuzzy arithmetic: theory and applications. Van N ostrand R einhold, N ew York 1985.

5. Yager R.R ., Filev D.P.: Podstaw y m odelow ania i sterow ania rozm ytego. WNT, Warszawa 1995.

6. Park C.S.: The M ellin transform ation in probabilistic cash flow m odeling. En- grg. E conom ist 32 (1987), p p .115-134.

7. Szeliga E., W itkow ski M.: A ssessm ent o f structural reliability using the fuzzy sets theory.

A rchives o f C ivil Engineering. X LIII, 4, PW N, W arszawa 1997.

8. Zadeh L.A.: Fuzzy sets. Inf. and Control. 1965 vol. 8, pp.338-353.

Porów nyw anie liczb rozm ytych i rozm yty opis... 29

9. Yoon K.P.: A probalilistic approach to rank com plex fuzzy num bers. Fuzzy Sets and Sys­

tem s. 80, 1996, pp.167-176.

10. Young D., C ontreras L.: Expected present w orth o f cash flow s under uncertain timing.

Engrg. E conom ist 20 (1975), pp.257-268.

11. B ętkow ski P.: M atem atyczne ujęcie rozbieżności zdań w budow nictw ie w procesie po­

dejm ow ania decyzji przy w yborze optym alnego rozw iązania. III O gólnopolska K onferen­

cja M ostowców , Referaty, s.29-36. W isła 18-20 czerw iec 1997.

12. Praca zbiorow a: Sieci neuronow e, algorytm y genetyczne, zbiory rozm yte. PTM KM , Stu­

dio BEL, R zeszów 1999.

13. P N -8 2 /S -10052. O biekty m ostow e. K onstrukcje stalowe. Projektow anie.

14. P N -85/S -10030. O biekty m ostowe. Obciążenia.

Recenzent: P rof.dr hab.inż. Tadeusz Burczyński

Abstract

This paper concerns the problem o f resistance analysis in the conditions o f fuzzy uncer­

tainty. A uthor gives his ow n m ethod o f description such uncertainty by using trapezoidal fuzzy num bers. In the paper are presented m ethods for com parison o f trapezoidal fuzzy num ­ bers, interpretation o f resistance analysis results and determ ination o f fuzzy stress.