Fizyka 1
Wykład 12.
Ruch obrotowy
Punkt materialny nie ma kształtu, więc może wykonywać jedynie ruch postępowy.
Ciało sztywne – obiekt, który nie ulega deformacji w czasie poruszania się.
Ruch obrotowy
Równania kinematyczne ruchu obrotowego
Możemy podać opis ruchu obrotowego ze stałym przyspieszeniem kątowym e poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.
Energia kinetyczna
Ruch obrotowy
Moment siły
Wielkość r nazywamy ramieniem siły tj. odległością osi obrotu od prostej, na której leży siła.
Tylko składowa siły prostopadła do ramienia F⊥= F sinθ wpływa na moment siły.
Jeżeli na ciało sztywne obracające się wokół danej osi działają różne siły i związane z nimi momenty sił, to wypadkowy moment sił
będzie sumą wektorową poszczególnych momentów siły.
Ruch obrotowy
Praca
r nie zmienia się jako wektor łączący oś obrotu z punktem P, stąd dr = 0
Ruch obrotowy
Praca
Ponieważ twierdzenie o pracy i energii W = ΔEk jest ważne dla każdej cząstki, jest słuszne również dla sumy cząstek, a w konsekwencji dla całej
bryły.
Jeżeli rozpatrujemy obrót ciała sztywnego o kąt dθ od punktu A do B w wyniku działania siły zewnętrznej F przyłożonej w punkcie P
A praca wykonana przez wypadkową siłę nad ciałem sztywnym obracającym się od punktu A do punktu B wyraża się zależnością:
Ruch obrotowy
Praca
Nawinięty wokół krążka sznurek jest ciągnięty pionowo w dół z siłą F.
Promień krążka R, a jego moment bezwładności I. Jeżeli sznurek nie ślizga się po krążku, to jaka jest prędkość kątowa krążka po odwinięciu
się s metrów sznurka? Załóż, że początkowo krążek się nie obracał.
Ruch obrotowy
Moc
Jeżeli działa stały moment siły, to równanie na pracę przybiera postać W = Mθ , a równanie na moc:
Ruch obrotowy
Moment pędu cząstki
Moment pędu l w ruchu obrotowym jest odpowiednikiem pędu w ruchu postępowym. Wszelkie masywne obiekty, które obracają się wokół osi, w
tym wirujące koła zamachowe, planety, gwiazdy, huragany, tornada, itp.
posiadają moment pędu.
Moment pędu l cząstki określa się jako wektor będący iloczynem wektorowym r i p , który jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej
przez wektory r i p :
Wartość momentu pędu wynika z definicji iloczynu wektorowego:
l = rp sinθ
Ruch obrotowy
Moment pędu cząstki
Wartość momentu pędu wynika z definicji iloczynu wektorowego:
l = rp sinθ
gdzie θ jest kątem między wektorami r i p. Jednostką momentu pędu jest kg m/s. Ramię (wektora) pędu ⋅ r, jest odległością początku układu
współrzędnych od prostej, na której leży wektor pędu p . Zgodnie z rysunkiem wynosi ono r⊥= r sinθ.
l = r⊥ p = r⊥mv
Jeżeli kierunek p jest taki, że przechodzi przez początek układu, to θ = 0∘ , a zatem moment pędu jest równy zero, ponieważ ramię pędu jest równe
Ruch obrotowy
Moment pędu cząstki
l = r⊥ p = r⊥mv
Jeżeli obliczymy pochodną po czasie momentu pędu, to otrzymamy wyrażenie na moment siły cząstki.
iloczyn wektorowy tych samych wektorów (tutaj
prędkości) jest zerem
druga zasada dynamiki
Ruch obrotowy
Moment pędu układu cząstek
Moment pędu L układu cząstek względem określonego punktu jest sumą wektorową poszczególnych momentów pędu cząstek tworzących układ.
Wypadkowy moment siły względem określonego początku układu
odniesienia jest pochodną względem czasu wypadkowego momentu pędu względem tego punktu:
Szybkość zmian całkowitego momentu pędu układu równa jest
wypadkowemu momentowi sił zewnętrznych działających na układ, gdy
Ruch obrotowy
Moment pędu bryły sztywnej
Dwa punkty obracającej się bryły mają tę samą prędkość kątową w, a różne prędkości liniowe v ze względu na różne odległości od osi obrotu r1 i r2.
Wartość momentu pędu L tego ciała:
Obracająca się wokół stałej osi bryła sztywna ma moment pędu L=Iω
będący wektorem skierowanym wzdłuż osi obrotu.
Ruch obrotowy
Zasada zachowania moment pędu
Zasada zachowania momentu pędu mówi, że w przypadku braku zewnętrznych momentów sił całkowity moment pędu w układzie jest
zachowany.
Jest to odpowiednik zasady zachowania pędu, która mówi, że pęd w układzie jest zachowany, gdy suma sił zewnętrznych działających na układ jest równa zero.
W przypadku bryły sztywnej, obracającej się wokół stałej osi, zasada zachowania momentu pędu mówi, że w nieobecności zewnętrznego
wypadkowego momentu sił mamy I2ω2=I1ω1.
Zgodnie z tym równaniem prędkość kątowa jest odwrotnie proporcjonalna do momentu bezwładności. Tak więc jeśli moment bezwładności zmniejsza się, to prędkość kątowa, w celu zachowania moment pędu, musi wzrosnąć.
Ruch obrotowy
Zasada zachowania moment pędu
Łyżwiarka wiruje na czubku łyżwy z rozłożonymi ramionami. Jej szybkość obrotów znacznie wzrosła, gdy ściągnęła ramiona, zmniejszając swój
moment bezwładności. Praca, jaką wykonała, ściągając ramiona, spowodowała wzrost energii kinetycznej ruchu obrotowego.
Ruch obrotowy
Zasada zachowania moment pędu Zadanie
Pocisk o masie m = 2,0 g , poruszając się poziomo z prędkością 500,0 m/s, uderzył w brzeg tarczy i utkwił w nim. Tarcza ma masę M = 3,2 kg oraz
promień R = 0,5 m . Może się ona swobodnie obracać wokół swojej osi. Jeżeli tarcza była początkowo w spoczynku, to jaka jest prędkość
kątowa tarczy natychmiast po tym, jak pocisk utkwił w jej brzegu?
Ruch obrotowy
Zasada zachowania moment pędu Zadanie
Pocisk o masie m = 2,0 g , poruszając się poziomo z prędkością 500,0 m/s, uderzył w brzeg tarczy i utkwił w nim. Tarcza ma masę M = 3,2 kg oraz
promień R = 0,5 m . Może się ona swobodnie obracać wokół swojej osi. Jeżeli tarcza była początkowo w spoczynku, to jaka jest prędkość
kątowa tarczy natychmiast po tym, jak pocisk utkwił w jej brzegu?
