Matematyka dla Chemik´ow Lista 5
(1) Korzystaj¸ac z definicji granicy funkcji (i z twierdzenia o arytmetyce granic ci¸ag´ow) uzasadni´c nast¸epuj¸ace r´owno´sci:
x→3lim
√x + 1 x2+ 3 = 1
6, lim
x→3+[−x] = −4, gdzie [x] = cz¸e´s´c ca lkowita liczby rzeczywistej x.
(2) Korzystaj¸ac z definicji granicy (i z twierdzenia o arytmetyce granic ci¸ag´ow) uzasadni´c, ˙ze je´sli
x→alimf (x) = c i lim
x→ag(x) = d , to
x→alimf (x) · g(x) = c · d i
x→alim(b · f (x)) = b · c (zak ladamy, ˙ze b ∈ R).
(3) W poni˙zszych stwierdzeniach rozwa˙zamy dzia lania arytmetyczne na funkc- jach f (x), g(x) i na granicach limx→cf (x) i limx→cg(x). Niesko´nczono´sci przed stra lkami oznaczaj¸a funkcj¸e f (x) w przypadku, gdy f (x) ma granic¸e niew la´sciw¸a, za´s a i b przed strza lkami oznaczaj¸a g(x) z limx→cg(x) = a (lub = b); przy tym 0+oznacza f (x) z warunkiem ∀x(f (x) > 0).
a + ∞ → ∞ (dla − ∞ < a ≤ ∞), a
∞→ 0 (dla − ∞ < a < ∞), a∞→ 0 (dla 0+≤ a < 1), a∞→ ∞ (dla 1 < a < ∞), a · ∞ → ∞ (dla 0 < a ≤ ∞), a
0+ → ∞ (dla 0 < a ≤ ∞),
∞b → 0 (dla − ∞ ≤ b < 0), ∞b→ ∞ (dla 0 < b ≤ ∞).
UDOWODNI ´C DWA STWIERDZENIA z powy˙zszych o´smu stwierdze´n.
Wskaz´owka: Zastosowa´c odpowiednie stwierdzenia dla ci¸ag´ow.
(4) Uzasadni´c, ˙ze podane granice nie istniej¸a:
x→2lim 8 − x3
|2 − x|, lim
x→0−
sin1
x, lim
x→−2[x].
(5) Dla rozwi¸azania poni˙zszych przyk lad´ow trzeba zastosowa´c kilka obserwacji w l¸aczaj¸ac twierdzenia o arytmetyce granic funkcji i o trzech funkcjach.
Obliczy´c nast¸epuj¸ace granice:
x→0lim(cos 2x) · (sin x)2, lim
x→0
cos 2x
(sin x)2, lim
x→0+
(2x + 1
2 )ln x, lim
x→∞(5x− 4x− 3x− 2x).
(6) Obliczy´c granice:
lim
x→0
sin 7x sin 5x, lim
x→0(sin 3x · ctg 5x), lim
x→∞(1 + 1 n + 2)3n,
x→∞lim(3n + 1
3n + 4)x, lim
x→∞(3x + 5
3x + 7)x+1, lim
x→∞(1 + 1 x2)2x−1.
Wskaz´owka: Zastosuj tablic¸e podstawowych granic nieoznaczonych (i odpowied- nie przekszta lcenia).
1
2
(7) Znale´z´c asymptoty pionowe i uko´sne podanych finkcji:
f (x) = x
1 − x, f (x) =p
x2− 1, f (x) =x3+ 8 x2− 4.
