Układy stochastyczne
Adam Trzęsimiech
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego
21 stycznia 2009
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Definicja
Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja
matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych. Innymi słowy pewnej wielkości (jakiemuś człowiekowi, liczbie, chwili czasu, punktowi płaszczyzny) przypisane jest zdarzenie losowe (wzrost, losowo wybrana liczba, wartość waluty wg. notowań giełdowych, liczba rzeczywista).
stochastyczny znaczy nic innego jak przypadkowy (losowy), lecz jest jest to termin jakościowy i heurystyczny, króty opisuje szeroką klasę własności i zachowania się układów. Nie ma też żadnego uniwersalnego testu lub miary przypadkowości, dlatego bezpieczniej jest używać właśnie określenia stochastyczny.
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Definicja
Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja
matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych.
Innymi słowy pewnej wielkości (jakiemuś człowiekowi, liczbie, chwili czasu, punktowi płaszczyzny) przypisane jest zdarzenie losowe (wzrost, losowo wybrana liczba, wartość waluty wg. notowań giełdowych, liczba rzeczywista).
stochastyczny znaczy nic innego jak przypadkowy (losowy), lecz jest jest to termin jakościowy i heurystyczny, króty opisuje szeroką klasę własności i zachowania się układów. Nie ma też żadnego uniwersalnego testu lub miary przypadkowości, dlatego bezpieczniej jest używać właśnie określenia stochastyczny.
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Definicja
Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja
matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych.
Innymi słowy pewnej wielkości (jakiemuś człowiekowi, liczbie, chwili czasu, punktowi płaszczyzny) przypisane jest zdarzenie losowe (wzrost, losowo wybrana liczba, wartość waluty wg. notowań giełdowych, liczba rzeczywista).
stochastyczny znaczy nic innego jak przypadkowy (losowy), lecz jest jest to termin jakościowy i heurystyczny, króty opisuje szeroką klasę własności i zachowania się układów. Nie ma też żadnego uniwersalnego testu lub miary przypadkowości, dlatego bezpieczniej jest używać właśnie określenia stochastyczny.
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Definicja
Matematycznie, proces stochastyczny jest zazwyczaj definiowany jako rodzina zmiennych losowych:
(Xt, t ∈ T)
gdzie: Xt - zmienna losowa, zaś T to zbiór indeksów procesu stochastycznego.
Zmienne muszą być określone na tej samej przestrzeni
probabilistycznej. Zbiór wartości zmiennych losowych Xt nazywamy przestrzenią stanów procesu stochastycznego, zaś pojedyncza wartość zmiennej losowej to stan procesu stochastycznego. Procesy stochastyczne zdefiniowane na dyskretnej przestrzeni stanów nazywane są łańcuchami.
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Definicja
Matematycznie, proces stochastyczny jest zazwyczaj definiowany jako rodzina zmiennych losowych:
(Xt, t ∈ T)
gdzie: Xt - zmienna losowa, zaś T to zbiór indeksów procesu stochastycznego.
Zmienne muszą być określone na tej samej przestrzeni
probabilistycznej. Zbiór wartości zmiennych losowych Xt nazywamy przestrzenią stanów procesu stochastycznego, zaś pojedyncza wartość zmiennej losowej to stan procesu stochastycznego. Procesy stochastyczne zdefiniowane na dyskretnej przestrzeni stanów nazywane są łańcuchami.
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Definicja
Matematycznie, proces stochastyczny jest zazwyczaj definiowany jako rodzina zmiennych losowych:
(Xt, t ∈ T)
gdzie: Xt - zmienna losowa, zaś T to zbiór indeksów procesu stochastycznego.
Zmienne muszą być określone na tej samej przestrzeni
probabilistycznej. Zbiór wartości zmiennych losowych Xt nazywamy przestrzenią stanów procesu stochastycznego, zaś pojedyncza wartość zmiennej losowej to stan procesu stochastycznego. Procesy stochastyczne zdefiniowane na dyskretnej przestrzeni stanów nazywane są łańcuchami.
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Definicja
Matematycznie, proces stochastyczny jest zazwyczaj definiowany jako rodzina zmiennych losowych:
(Xt, t ∈ T)
gdzie: Xt - zmienna losowa, zaś T to zbiór indeksów procesu stochastycznego.
Zmienne muszą być określone na tej samej przestrzeni
probabilistycznej. Zbiór wartości zmiennych losowych Xt nazywamy przestrzenią stanów procesu stochastycznego, zaś pojedyncza wartość zmiennej losowej to stan procesu stochastycznego. Procesy stochastyczne zdefiniowane na dyskretnej przestrzeni stanów nazywane są łańcuchami.
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Definicja
Definicja obejmuje ideę funkcji losowej w następujący sposób. Aby z funkcji
f : D > R
z dziedziną funkcji D i obrazem R zrobić funkcję losową, należy wszystkie wartości funkcji f(x) we wszystkich punktach D zamienić na zmienne losowe z wartościami w R. Dziedzina D staje się zbiorem indeksów procesu stochastycznego, zaś proces stochastyczny jest zdeterminowany przez połączone dystrybuanty różnych zmiennych losowych f(x). Należy jednak zauważyć, że definicja procesu stochastycznego jako rodziny zmiennych losowych jest o wiele bardziej ogólna niż przypadek, kiedy indeksami są punkty dziedziny funkcji losowej.
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Definicja
Definicja obejmuje ideę funkcji losowej w następujący sposób. Aby z funkcji
f : D > R
z dziedziną funkcji D i obrazem R zrobić funkcję losową, należy wszystkie wartości funkcji f(x) we wszystkich punktach D zamienić na zmienne losowe z wartościami w R. Dziedzina D staje się zbiorem indeksów procesu stochastycznego, zaś proces stochastyczny jest zdeterminowany przez połączone dystrybuanty różnych zmiennych losowych f(x).
Należy jednak zauważyć, że definicja procesu stochastycznego jako rodziny zmiennych losowych jest o wiele bardziej ogólna niż przypadek, kiedy indeksami są punkty dziedziny funkcji losowej.
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Definicja
Definicja obejmuje ideę funkcji losowej w następujący sposób. Aby z funkcji
f : D > R
z dziedziną funkcji D i obrazem R zrobić funkcję losową, należy wszystkie wartości funkcji f(x) we wszystkich punktach D zamienić na zmienne losowe z wartościami w R. Dziedzina D staje się zbiorem indeksów procesu stochastycznego, zaś proces stochastyczny jest zdeterminowany przez połączone dystrybuanty różnych zmiennych losowych f(x). Należy jednak zauważyć, że definicja procesu stochastycznego jako rodziny zmiennych losowych jest o wiele bardziej ogólna niż przypadek, kiedy indeksami są punkty dziedziny funkcji losowej.
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Przykład
Losowość oznacza nieprzewidywalność w mniejszym lub większym stopniu. Prosty przykład:
Ciąg przypadkowy może być zdefiniowany jako taki ciąg xi, i ∈ N , w którym dla danych x1, x2, ..., xn, wartość xn+1 ciągu może być z jednakowym prawdopodobieństwem dowolną liczbą z przedziału -∞ do +∞.
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Przykład
Losowość oznacza nieprzewidywalność w mniejszym lub większym stopniu. Prosty przykład:
Ciąg przypadkowy może być zdefiniowany jako taki ciąg xi, i ∈ N , w którym dla danych x1, x2, ..., xn, wartość xn+1 ciągu może być z jednakowym prawdopodobieństwem dowolną liczbą z przedziału -∞ do +∞.
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Przykład
Losowość oznacza nieprzewidywalność w mniejszym lub większym stopniu. Prosty przykład:
Ciąg przypadkowy może być zdefiniowany jako taki ciąg xi, i ∈ N , w którym dla danych x1, x2, ..., xn, wartość xn+1 ciągu może być z jednakowym prawdopodobieństwem dowolną liczbą z przedziału -∞
do +∞.
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Układy stochastyczne...
Przypadki specjalne procesów stochastycznych: procesy Bernoulliego
proces Wienera
procesy Markowa to takie, w których przyszłość jest warunkowo niezależna od przeszłości przy danej teraźniejszości.
procesy Poissona procesy stacjonarne procesy homogeniczne
procesy o przyrostach niezależnych łańcuchy Markowa
procesy punktowe: losowe ustawienia punktów w przestrzeni S procesy gaussowskie: procesy, gdzie wszystkie liniowe kombinacje współrzędnych są zmiennymi losowymi z rozkładem normalnym martyngały
procesy Galtona-Watsona proces gałązkowy
ruchy Browna
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Układy stochastyczne...
Przypadki specjalne procesów stochastycznych:
procesy Bernoulliego proces Wienera
procesy Markowa to takie, w których przyszłość jest warunkowo niezależna od przeszłości przy danej teraźniejszości.
procesy Poissona procesy stacjonarne procesy homogeniczne
procesy o przyrostach niezależnych łańcuchy Markowa
procesy punktowe: losowe ustawienia punktów w przestrzeni S procesy gaussowskie: procesy, gdzie wszystkie liniowe kombinacje współrzędnych są zmiennymi losowymi z rozkładem normalnym martyngały
procesy Galtona-Watsona proces gałązkowy
ruchy Browna
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Układy stochastyczne...
Przypadki specjalne procesów stochastycznych:
procesy Bernoulliego
proces Wienera
procesy Markowa to takie, w których przyszłość jest warunkowo niezależna od przeszłości przy danej teraźniejszości.
procesy Poissona procesy stacjonarne procesy homogeniczne
procesy o przyrostach niezależnych łańcuchy Markowa
procesy punktowe: losowe ustawienia punktów w przestrzeni S procesy gaussowskie: procesy, gdzie wszystkie liniowe kombinacje współrzędnych są zmiennymi losowymi z rozkładem normalnym martyngały
procesy Galtona-Watsona proces gałązkowy
ruchy Browna
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Układy stochastyczne...
Przypadki specjalne procesów stochastycznych:
procesy Bernoulliego proces Wienera
procesy Markowa to takie, w których przyszłość jest warunkowo niezależna od przeszłości przy danej teraźniejszości.
procesy Poissona procesy stacjonarne procesy homogeniczne
procesy o przyrostach niezależnych łańcuchy Markowa
procesy punktowe: losowe ustawienia punktów w przestrzeni S procesy gaussowskie: procesy, gdzie wszystkie liniowe kombinacje współrzędnych są zmiennymi losowymi z rozkładem normalnym martyngały
procesy Galtona-Watsona proces gałązkowy
ruchy Browna
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Układy stochastyczne...
Przypadki specjalne procesów stochastycznych:
procesy Bernoulliego proces Wienera
procesy Markowa to takie, w których przyszłość jest warunkowo niezależna od przeszłości przy danej teraźniejszości.
procesy Poissona procesy stacjonarne procesy homogeniczne
procesy o przyrostach niezależnych łańcuchy Markowa
procesy punktowe: losowe ustawienia punktów w przestrzeni S procesy gaussowskie: procesy, gdzie wszystkie liniowe kombinacje współrzędnych są zmiennymi losowymi z rozkładem normalnym martyngały
procesy Galtona-Watsona proces gałązkowy
ruchy Browna
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Układy stochastyczne...
Przypadki specjalne procesów stochastycznych:
procesy Bernoulliego proces Wienera
procesy Markowa to takie, w których przyszłość jest warunkowo niezależna od przeszłości przy danej teraźniejszości.
procesy Poissona
procesy stacjonarne procesy homogeniczne
procesy o przyrostach niezależnych łańcuchy Markowa
procesy punktowe: losowe ustawienia punktów w przestrzeni S procesy gaussowskie: procesy, gdzie wszystkie liniowe kombinacje współrzędnych są zmiennymi losowymi z rozkładem normalnym martyngały
procesy Galtona-Watsona proces gałązkowy
ruchy Browna
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Układy stochastyczne...
Przypadki specjalne procesów stochastycznych:
procesy Bernoulliego proces Wienera
procesy Markowa to takie, w których przyszłość jest warunkowo niezależna od przeszłości przy danej teraźniejszości.
procesy Poissona procesy stacjonarne
procesy homogeniczne
procesy o przyrostach niezależnych łańcuchy Markowa
procesy punktowe: losowe ustawienia punktów w przestrzeni S procesy gaussowskie: procesy, gdzie wszystkie liniowe kombinacje współrzędnych są zmiennymi losowymi z rozkładem normalnym martyngały
procesy Galtona-Watsona proces gałązkowy
ruchy Browna
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Układy stochastyczne...
Przypadki specjalne procesów stochastycznych:
procesy Bernoulliego proces Wienera
procesy Markowa to takie, w których przyszłość jest warunkowo niezależna od przeszłości przy danej teraźniejszości.
procesy Poissona procesy stacjonarne procesy homogeniczne
procesy o przyrostach niezależnych łańcuchy Markowa
procesy punktowe: losowe ustawienia punktów w przestrzeni S procesy gaussowskie: procesy, gdzie wszystkie liniowe kombinacje współrzędnych są zmiennymi losowymi z rozkładem normalnym martyngały
procesy Galtona-Watsona proces gałązkowy
ruchy Browna
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Układy stochastyczne...
Przypadki specjalne procesów stochastycznych:
procesy Bernoulliego proces Wienera
procesy Markowa to takie, w których przyszłość jest warunkowo niezależna od przeszłości przy danej teraźniejszości.
procesy Poissona procesy stacjonarne procesy homogeniczne
procesy o przyrostach niezależnych
łańcuchy Markowa
procesy punktowe: losowe ustawienia punktów w przestrzeni S procesy gaussowskie: procesy, gdzie wszystkie liniowe kombinacje współrzędnych są zmiennymi losowymi z rozkładem normalnym martyngały
procesy Galtona-Watsona proces gałązkowy
ruchy Browna
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Układy stochastyczne...
Przypadki specjalne procesów stochastycznych:
procesy Bernoulliego proces Wienera
procesy Markowa to takie, w których przyszłość jest warunkowo niezależna od przeszłości przy danej teraźniejszości.
procesy Poissona procesy stacjonarne procesy homogeniczne
procesy o przyrostach niezależnych łańcuchy Markowa
procesy punktowe: losowe ustawienia punktów w przestrzeni S procesy gaussowskie: procesy, gdzie wszystkie liniowe kombinacje współrzędnych są zmiennymi losowymi z rozkładem normalnym martyngały
procesy Galtona-Watsona proces gałązkowy
ruchy Browna
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Układy stochastyczne...
Przypadki specjalne procesów stochastycznych:
procesy Bernoulliego proces Wienera
procesy Markowa to takie, w których przyszłość jest warunkowo niezależna od przeszłości przy danej teraźniejszości.
procesy Poissona procesy stacjonarne procesy homogeniczne
procesy o przyrostach niezależnych łańcuchy Markowa
procesy punktowe: losowe ustawienia punktów w przestrzeni S
procesy gaussowskie: procesy, gdzie wszystkie liniowe kombinacje współrzędnych są zmiennymi losowymi z rozkładem normalnym martyngały
procesy Galtona-Watsona proces gałązkowy
ruchy Browna
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Układy stochastyczne...
Przypadki specjalne procesów stochastycznych:
procesy Bernoulliego proces Wienera
procesy Markowa to takie, w których przyszłość jest warunkowo niezależna od przeszłości przy danej teraźniejszości.
procesy Poissona procesy stacjonarne procesy homogeniczne
procesy o przyrostach niezależnych łańcuchy Markowa
procesy punktowe: losowe ustawienia punktów w przestrzeni S procesy gaussowskie: procesy, gdzie wszystkie liniowe kombinacje współrzędnych są zmiennymi losowymi z rozkładem normalnym
martyngały
procesy Galtona-Watsona proces gałązkowy
ruchy Browna
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Układy stochastyczne...
Przypadki specjalne procesów stochastycznych:
procesy Bernoulliego proces Wienera
procesy Markowa to takie, w których przyszłość jest warunkowo niezależna od przeszłości przy danej teraźniejszości.
procesy Poissona procesy stacjonarne procesy homogeniczne
procesy o przyrostach niezależnych łańcuchy Markowa
procesy punktowe: losowe ustawienia punktów w przestrzeni S procesy gaussowskie: procesy, gdzie wszystkie liniowe kombinacje współrzędnych są zmiennymi losowymi z rozkładem normalnym martyngały
procesy Galtona-Watsona proces gałązkowy
ruchy Browna
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Układy stochastyczne...
Przypadki specjalne procesów stochastycznych:
procesy Bernoulliego proces Wienera
procesy Markowa to takie, w których przyszłość jest warunkowo niezależna od przeszłości przy danej teraźniejszości.
procesy Poissona procesy stacjonarne procesy homogeniczne
procesy o przyrostach niezależnych łańcuchy Markowa
procesy punktowe: losowe ustawienia punktów w przestrzeni S procesy gaussowskie: procesy, gdzie wszystkie liniowe kombinacje współrzędnych są zmiennymi losowymi z rozkładem normalnym martyngały
procesy Galtona-Watsona
proces gałązkowy ruchy Browna
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Układy stochastyczne...
Przypadki specjalne procesów stochastycznych:
procesy Bernoulliego proces Wienera
procesy Markowa to takie, w których przyszłość jest warunkowo niezależna od przeszłości przy danej teraźniejszości.
procesy Poissona procesy stacjonarne procesy homogeniczne
procesy o przyrostach niezależnych łańcuchy Markowa
procesy punktowe: losowe ustawienia punktów w przestrzeni S procesy gaussowskie: procesy, gdzie wszystkie liniowe kombinacje współrzędnych są zmiennymi losowymi z rozkładem normalnym martyngały
procesy Galtona-Watsona proces gałązkowy
ruchy Browna
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Układy stochastyczne...
Przypadki specjalne procesów stochastycznych:
procesy Bernoulliego proces Wienera
procesy Markowa to takie, w których przyszłość jest warunkowo niezależna od przeszłości przy danej teraźniejszości.
procesy Poissona procesy stacjonarne procesy homogeniczne
procesy o przyrostach niezależnych łańcuchy Markowa
procesy punktowe: losowe ustawienia punktów w przestrzeni S procesy gaussowskie: procesy, gdzie wszystkie liniowe kombinacje współrzędnych są zmiennymi losowymi z rozkładem normalnym martyngały
procesy Galtona-Watsona proces gałązkowy
ruchy Browna
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Układy stochastyczne...
Proces Markowa – ciąg zdarzeń, w którym prawdopodobieństwo każdego zdarzenia zależy jedynie od wyniku poprzedniego.
Łańcuchy Markowa to takie procesy Markowa, które zdefiniowane są na dyskretnej przestrzeni stanów.
Łańcuch Markowa jest ciągiem X1, X2, X3, ... zmiennych losowych. Dziedzinę tych zmiennych nazywamy przestrzenią stanów, a realizacje Xn
to stany w czasie n. Jeśli rozkład warunkowy Xn+1 jest funkcją wyłącznie zmiennej Xn:
P(Xn+1 ¬ y|X0,X1,X2,...,Xn) = P(Xn+1¬ y|Xn)
to mówimy, że proces stochastyczny posiada własność Markowa.
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Układy stochastyczne...
Proces Markowa – ciąg zdarzeń, w którym prawdopodobieństwo każdego zdarzenia zależy jedynie od wyniku poprzedniego.
Łańcuchy Markowa to takie procesy Markowa, które zdefiniowane są na dyskretnej przestrzeni stanów.
Łańcuch Markowa jest ciągiem X1, X2, X3, ... zmiennych losowych. Dziedzinę tych zmiennych nazywamy przestrzenią stanów, a realizacje Xn
to stany w czasie n. Jeśli rozkład warunkowy Xn+1 jest funkcją wyłącznie zmiennej Xn:
P(Xn+1 ¬ y|X0,X1,X2,...,Xn) = P(Xn+1¬ y|Xn)
to mówimy, że proces stochastyczny posiada własność Markowa.
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Układy stochastyczne...
Proces Markowa – ciąg zdarzeń, w którym prawdopodobieństwo każdego zdarzenia zależy jedynie od wyniku poprzedniego.
Łańcuchy Markowa to takie procesy Markowa, które zdefiniowane są na dyskretnej przestrzeni stanów.
Łańcuch Markowa jest ciągiem X1, X2, X3, ... zmiennych losowych.
Dziedzinę tych zmiennych nazywamy przestrzenią stanów, a realizacje Xn
to stany w czasie n. Jeśli rozkład warunkowy Xn+1 jest funkcją wyłącznie zmiennej Xn:
P(Xn+1 ¬ y|X0,X1,X2,...,Xn) = P(Xn+1¬ y|Xn)
to mówimy, że proces stochastyczny posiada własność Markowa.
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Układy stochastyczne...
Proces Markowa – ciąg zdarzeń, w którym prawdopodobieństwo każdego zdarzenia zależy jedynie od wyniku poprzedniego.
Łańcuchy Markowa to takie procesy Markowa, które zdefiniowane są na dyskretnej przestrzeni stanów.
Łańcuch Markowa jest ciągiem X1, X2, X3, ... zmiennych losowych.
Dziedzinę tych zmiennych nazywamy przestrzenią stanów, a realizacje Xn
to stany w czasie n. Jeśli rozkład warunkowy Xn+1 jest funkcją wyłącznie zmiennej Xn:
P(Xn+1 ¬ y|X0,X1,X2,...,Xn) = P(Xn+1¬ y|Xn)
to mówimy, że proces stochastyczny posiada własność Markowa.
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Układy stochastyczne...
Proces Markowa – ciąg zdarzeń, w którym prawdopodobieństwo każdego zdarzenia zależy jedynie od wyniku poprzedniego.
Łańcuchy Markowa to takie procesy Markowa, które zdefiniowane są na dyskretnej przestrzeni stanów.
Łańcuch Markowa jest ciągiem X1, X2, X3, ... zmiennych losowych.
Dziedzinę tych zmiennych nazywamy przestrzenią stanów, a realizacje Xn
to stany w czasie n. Jeśli rozkład warunkowy Xn+1 jest funkcją wyłącznie zmiennej Xn:
P(Xn+1 ¬ y|X0,X1,X2,...,Xn) = P(Xn+1¬ y|Xn)
to mówimy, że proces stochastyczny posiada własność Markowa.
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Przykład procesu Markowa
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Proces Markowa
Własności łańcuchów Markowa
Macierz przejścia Rozkład stacjonarny
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Proces Markowa
Własności łańcuchów Markowa Macierz przejścia
Rozkład stacjonarny
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Proces Markowa
Własności łańcuchów Markowa Macierz przejścia
Rozkład stacjonarny
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
macierz przejścia
Jeśli przestrzeń stanów jest zbiorem skończonym, rozkład
prawdopodobieństw przejść między poszczególnymi stanami może być przedstawiony jako macierz, zwaną macierzą przejścia oznaczoną literą P, gdzie elementy (i, j) są równe:
Pij = P(Xn+1 = j | Xn= i)
czyli np. element p13 oznacza prawdopodobieństwo przejścia ze stanu pierwszego do stanu trzeciego.
Na przestrzeni dyskretnej całkowanie k-tego stopnia macierzy przejścia jest zwykłym sumowaniem i może być obliczane jako k-ta potęga macierzy przejścia. Czyli jeśli P jest macierzą przejścia w jednym kroku, wówczas Pk jest macierzą przejścia w k krokach.
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
macierz przejścia
Jeśli przestrzeń stanów jest zbiorem skończonym, rozkład
prawdopodobieństw przejść między poszczególnymi stanami może być przedstawiony jako macierz, zwaną macierzą przejścia oznaczoną literą P, gdzie elementy (i, j) są równe:
Pij = P(Xn+1 = j | Xn= i)
czyli np. element p13 oznacza prawdopodobieństwo przejścia ze stanu pierwszego do stanu trzeciego.
Na przestrzeni dyskretnej całkowanie k-tego stopnia macierzy przejścia jest zwykłym sumowaniem i może być obliczane jako k-ta potęga macierzy przejścia. Czyli jeśli P jest macierzą przejścia w jednym kroku, wówczas Pk jest macierzą przejścia w k krokach.
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
macierz przejścia
Jeśli przestrzeń stanów jest zbiorem skończonym, rozkład
prawdopodobieństw przejść między poszczególnymi stanami może być przedstawiony jako macierz, zwaną macierzą przejścia oznaczoną literą P, gdzie elementy (i, j) są równe:
Pij = P(Xn+1 = j | Xn= i)
czyli np. element p13 oznacza prawdopodobieństwo przejścia ze stanu pierwszego do stanu trzeciego.
Na przestrzeni dyskretnej całkowanie k-tego stopnia macierzy przejścia jest zwykłym sumowaniem i może być obliczane jako k-ta potęga macierzy przejścia. Czyli jeśli P jest macierzą przejścia w jednym kroku, wówczas Pk jest macierzą przejścia w k krokach.
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
macierz przejścia
Jeśli przestrzeń stanów jest zbiorem skończonym, rozkład
prawdopodobieństw przejść między poszczególnymi stanami może być przedstawiony jako macierz, zwaną macierzą przejścia oznaczoną literą P, gdzie elementy (i, j) są równe:
Pij = P(Xn+1 = j | Xn= i)
czyli np. element p13 oznacza prawdopodobieństwo przejścia ze stanu pierwszego do stanu trzeciego.
Na przestrzeni dyskretnej całkowanie k-tego stopnia macierzy przejścia jest zwykłym sumowaniem i może być obliczane jako k-ta potęga macierzy przejścia. Czyli jeśli P jest macierzą przejścia w jednym kroku, wówczas Pk jest macierzą przejścia w k krokach.
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
rozkład stacjonarny
Rozkład prawdopodobieństw na przestrzeni stanów S nazywamy stacjonarnym wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:
Pj = P
i ∈S
πipij
czyli: πTP=πT
gdzie πT jest transponowanym wektorem wierszowym π, a P
i
πi = 1 ∀πi 0
Jeśli rozkład początkowy X0 jest stacjonarny, to każdy kolejny rozkład Xn
również jest stacjonarny. Może nie istnieć żaden, istnieć jeden lub więcej niż jeden rozkład stacjonarny dla danego procesu.
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
rozkład stacjonarny
Rozkład prawdopodobieństw na przestrzeni stanów S nazywamy stacjonarnym wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:
Pj = P
i ∈S
πipij
czyli:
πTP=πT
gdzie πT jest transponowanym wektorem wierszowym π, a P
i
πi = 1 ∀πi 0
Jeśli rozkład początkowy X0 jest stacjonarny, to każdy kolejny rozkład Xn
również jest stacjonarny. Może nie istnieć żaden, istnieć jeden lub więcej niż jeden rozkład stacjonarny dla danego procesu.
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
rozkład stacjonarny
Rozkład prawdopodobieństw na przestrzeni stanów S nazywamy stacjonarnym wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:
Pj = P
i ∈S
πipij
czyli:
πTP=πT
gdzie πT jest transponowanym wektorem wierszowym π, a P
i
πi = 1 ∀πi 0
Jeśli rozkład początkowy X0jest stacjonarny, to każdy kolejny rozkład Xn
również jest stacjonarny. Może nie istnieć żaden, istnieć jeden lub więcej niż jeden rozkład stacjonarny dla danego procesu.
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Trochę o generatorach...
W przypadku komputerowego generatora liczb losowych matematyk może wyznaczyć taką liczbę całkowitą iR, po której ciąg będzie się powtarzał. Zawsze będzie istniała taka liczba, dla której
xi = xi +niR, n ∈ N
ponieważ niewspółmierne liczby nie mają swojej reprezentacji w komputerze, niezależnie od wielkości jego pamięci. Od liczby iR
wymagamy jedynie, aby była dostatecznie duża dla naszych doraźnych celów. Komputerowe algorytmy generujące ciągi przypadkowe są często nazywane generatorami liczb pseudolosowych. Oznacza to, że są one rzeczywistymi generatorami liczb losowych gdzieś na Ziemi lub w ciemnych otchłaniach wszechświata. Czy precyzyjny woltomierz jest prawdziwym generatorem liczb losowych, jeżeli weźmiemy pod uwagę błędy odczytu jego wskazań? Czy takie błędy jako proces losowy są lepsze niż liczby pseudolosowe generowane przez pewien algorytm komputerowy ?
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Trochę o generatorach...
W przypadku komputerowego generatora liczb losowych matematyk może wyznaczyć taką liczbę całkowitą iR, po której ciąg będzie się powtarzał.
Zawsze będzie istniała taka liczba, dla której xi = xi +niR, n ∈ N
ponieważ niewspółmierne liczby nie mają swojej reprezentacji w komputerze, niezależnie od wielkości jego pamięci.
Od liczby iR
wymagamy jedynie, aby była dostatecznie duża dla naszych doraźnych celów. Komputerowe algorytmy generujące ciągi przypadkowe są często nazywane generatorami liczb pseudolosowych. Oznacza to, że są one rzeczywistymi generatorami liczb losowych gdzieś na Ziemi lub w ciemnych otchłaniach wszechświata. Czy precyzyjny woltomierz jest prawdziwym generatorem liczb losowych, jeżeli weźmiemy pod uwagę błędy odczytu jego wskazań? Czy takie błędy jako proces losowy są lepsze niż liczby pseudolosowe generowane przez pewien algorytm komputerowy ?
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Trochę o generatorach...
W przypadku komputerowego generatora liczb losowych matematyk może wyznaczyć taką liczbę całkowitą iR, po której ciąg będzie się powtarzał.
Zawsze będzie istniała taka liczba, dla której xi = xi +niR, n ∈ N
ponieważ niewspółmierne liczby nie mają swojej reprezentacji w komputerze, niezależnie od wielkości jego pamięci. Od liczby iR
wymagamy jedynie, aby była dostatecznie duża dla naszych doraźnych celów. Komputerowe algorytmy generujące ciągi przypadkowe są często nazywane generatorami liczb pseudolosowych. Oznacza to, że są one rzeczywistymi generatorami liczb losowych gdzieś na Ziemi lub w ciemnych otchłaniach wszechświata. Czy precyzyjny woltomierz jest prawdziwym generatorem liczb losowych, jeżeli weźmiemy pod uwagę błędy odczytu jego wskazań? Czy takie błędy jako proces losowy są lepsze niż liczby pseudolosowe generowane przez pewien algorytm komputerowy ?
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Trochę o generatorach...
Odpowiedź brzmi nie - jeżeli algorytm jest dobrze skonstruowany. Liczbę iR można uczynić tak dużą, aby odpowiadający jej okres przekraczał czas życia dowolnego urządzenia mechanicznego lub elektronicznego. Co więcej, fizyczne urządzenia mają tę wadę, że wymagają okresowej kalibracji w celu skompensowania odchylenia spowodowanego ich zużyciem i starzeniem się. A czy słyszał ktoś kiedykolwiek, aby program komputerowy się zużył? :-)
Najlepiej jeśli proces przypadkowy ma zerową wartość średnią. Staje się to najbardziej oczywiste przy tworzeniu metod analizy, bazujących w duzym stopniu na skończonej transformacji Fouriera. Średnia dokładnie równa zeru jest mało prawdopodobna. Najważniejszym jest, aby średnia procesu była przynajmniej bliska zeru.
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Trochę o generatorach...
Odpowiedź brzmi nie - jeżeli algorytm jest dobrze skonstruowany. Liczbę iR można uczynić tak dużą, aby odpowiadający jej okres przekraczał czas życia dowolnego urządzenia mechanicznego lub elektronicznego. Co więcej, fizyczne urządzenia mają tę wadę, że wymagają okresowej kalibracji w celu skompensowania odchylenia spowodowanego ich zużyciem i starzeniem się. A czy słyszał ktoś kiedykolwiek, aby program komputerowy się zużył? :-)
Najlepiej jeśli proces przypadkowy ma zerową wartość średnią. Staje się to najbardziej oczywiste przy tworzeniu metod analizy, bazujących w duzym stopniu na skończonej transformacji Fouriera. Średnia dokładnie równa zeru jest mało prawdopodobna. Najważniejszym jest, aby średnia procesu była przynajmniej bliska zeru.
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Trochę o generatorach...
Odpowiedź brzmi nie - jeżeli algorytm jest dobrze skonstruowany. Liczbę iR można uczynić tak dużą, aby odpowiadający jej okres przekraczał czas życia dowolnego urządzenia mechanicznego lub elektronicznego. Co więcej, fizyczne urządzenia mają tę wadę, że wymagają okresowej kalibracji w celu skompensowania odchylenia spowodowanego ich zużyciem i starzeniem się. A czy słyszał ktoś kiedykolwiek, aby program komputerowy się zużył? :-)
Najlepiej jeśli proces przypadkowy ma zerową wartość średnią. Staje się to najbardziej oczywiste przy tworzeniu metod analizy, bazujących w duzym stopniu na skończonej transformacji Fouriera. Średnia dokładnie równa zeru jest mało prawdopodobna. Najważniejszym jest, aby średnia procesu była przynajmniej bliska zeru.
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Trochę o generatorach...
Dlatego pierwszą rzeczą jaką musimy wiedzieć o ciągu losowym jest jego skala wielkości. Określa się ją za pomocą tzw średniej kwadratowej
σ({xi}; i1, i2) =
"
1 i2−i1−1
i2
P
i =i1
(xi− xM)2
#1/2
gdzie xM =i 1
2−i1+1 i2
P
i =i1
xi
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Trochę o generatorach...
Dlatego pierwszą rzeczą jaką musimy wiedzieć o ciągu losowym jest jego skala wielkości. Określa się ją za pomocą tzw średniej kwadratowej
σ({xi}; i1, i2) =
"
1 i2−i1−1
i2
P
i =i1
(xi− xM)2
#1/2
gdzie xM =i 1
2−i1+1 i2
P
i =i1
xi
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Trochę o generatorach...
Dlatego pierwszą rzeczą jaką musimy wiedzieć o ciągu losowym jest jego skala wielkości. Określa się ją za pomocą tzw średniej kwadratowej
σ({xi}; i1, i2) =
"
1 i2−i1−1
i2
P
i =i1
(xi− xM)2
#1/2
gdzie xM =i 1
2−i1+1 i2
P
i =i1
xi
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Trochę o generatorach...
Dlatego pierwszą rzeczą jaką musimy wiedzieć o ciągu losowym jest jego skala wielkości. Określa się ją za pomocą tzw średniej kwadratowej
σ({xi}; i1, i2) =
"
1 i2−i1−1
i2
P
i =i1
(xi− xM)2
#1/2
gdzie xM =i 1
2−i1+1 i2
P
i =i1
xi
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Trochę o generatorach...
Każdy ciąg zazwyczaj ma pewien rozkład. Konkretnie musi to być rozkład liczb xi w pewnych przedziałach. Rozkład dyskretny zwykle przybliża jakiś standardowy rozkład ciągły, typu rozkładu równomiernego lub rozkładu normalnego. Większość stosowanych w programach generatorów liczb losowych zapewnia rozkład jednostajny (boxcar), którego gęstość jest równa 1 w przedziale [0,1], tak że jego średnia xM = 1/2.
W wielu zastosowaniach konieczne jest odliczenie tej wartości gdzieś w obliczeniach. Rozkład jednostajny generatora może być bez trudu odwzorowany w inny rozkład. Dobrze jest znać stosowany przez nas generator liczb losowych.
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Trochę o generatorach...
Każdy ciąg zazwyczaj ma pewien rozkład. Konkretnie musi to być rozkład liczb xi w pewnych przedziałach. Rozkład dyskretny zwykle przybliża jakiś standardowy rozkład ciągły, typu rozkładu równomiernego lub rozkładu normalnego. Większość stosowanych w programach generatorów liczb losowych zapewnia rozkład jednostajny (boxcar), którego gęstość jest równa 1 w przedziale [0,1], tak że jego średnia xM = 1/2.
W wielu zastosowaniach konieczne jest odliczenie tej wartości gdzieś w obliczeniach. Rozkład jednostajny generatora może być bez trudu odwzorowany w inny rozkład. Dobrze jest znać stosowany przez nas generator liczb losowych.
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Trochę o generatorach...
Każdy ciąg zazwyczaj ma pewien rozkład. Konkretnie musi to być rozkład liczb xi w pewnych przedziałach. Rozkład dyskretny zwykle przybliża jakiś standardowy rozkład ciągły, typu rozkładu równomiernego lub rozkładu normalnego. Większość stosowanych w programach generatorów liczb losowych zapewnia rozkład jednostajny (boxcar), którego gęstość jest równa 1 w przedziale [0,1], tak że jego średnia xM = 1/2.
W wielu zastosowaniach konieczne jest odliczenie tej wartości gdzieś w obliczeniach. Rozkład jednostajny generatora może być bez trudu odwzorowany w inny rozkład. Dobrze jest znać stosowany przez nas generator liczb losowych.
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Transformacje Fouriera
Transformacja Fouriera jest transformacją całkową z dziedziny czasu w dziedzinę częstotliwości. Została nazwana na cześć Jean Baptiste Joseph Fouriera. Transformata jest wynikiem transformacji Fouriera
(transformata jest funkcją, a transformacja operacją na funkcji, dającą w wyniku transformatę).
Transformata Fouriera opisana jest wzorem: ˆf (ξ) :=R∞
−∞f (x )e−2πxi ξdx
gdzie i - jednostka urojona (i2= -1)
W praktyce x oznacza czas (w sekundach), a argument transformaty ξ częstotliwość (w Hz).
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Transformacje Fouriera
Transformacja Fouriera jest transformacją całkową z dziedziny czasu w dziedzinę częstotliwości. Została nazwana na cześć Jean Baptiste Joseph Fouriera. Transformata jest wynikiem transformacji Fouriera
(transformata jest funkcją, a transformacja operacją na funkcji, dającą w wyniku transformatę).
Transformata Fouriera opisana jest wzorem: ˆf (ξ) :=R∞
−∞f (x )e−2πxi ξdx
gdzie i - jednostka urojona (i2= -1)
W praktyce x oznacza czas (w sekundach), a argument transformaty ξ częstotliwość (w Hz).
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Transformacje Fouriera
Transformacja Fouriera jest transformacją całkową z dziedziny czasu w dziedzinę częstotliwości. Została nazwana na cześć Jean Baptiste Joseph Fouriera. Transformata jest wynikiem transformacji Fouriera
(transformata jest funkcją, a transformacja operacją na funkcji, dającą w wyniku transformatę).
Transformata Fouriera opisana jest wzorem:
ˆf (ξ) :=R∞
−∞f (x )e−2πxi ξdx
gdzie i - jednostka urojona (i2= -1)
W praktyce x oznacza czas (w sekundach), a argument transformaty ξ częstotliwość (w Hz).
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Transformacje Fouriera
Transformacja Fouriera jest transformacją całkową z dziedziny czasu w dziedzinę częstotliwości. Została nazwana na cześć Jean Baptiste Joseph Fouriera. Transformata jest wynikiem transformacji Fouriera
(transformata jest funkcją, a transformacja operacją na funkcji, dającą w wyniku transformatę).
Transformata Fouriera opisana jest wzorem:
ˆf (ξ) :=R∞
−∞f (x )e−2πxi ξdx
gdzie i - jednostka urojona (i2= -1)
W praktyce x oznacza czas (w sekundach), a argument transformaty ξ częstotliwość (w Hz).
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Szeregi Fouriera
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Szeregi Fouriera
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Szeregi Fouriera
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Szeregi Fouriera
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
Układy stochastyczne
Dziękuje za uwagę =)
Adam Trzęsimiech Układy stochastyczne
