Przegląd niektórych nowszych metod w teorii potencjału, III

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria I: PRACE MATEMATYCZNE X I (1967)

ANNALES SOCIETATIS MATHEMATICAE POLON A E Series I: COMMENTATIONES MATHEMATICAE X I (1967)

Z. Ciesielski i Z. Semadeni (Poznań)

Przegląd niektórych nowszych metod

w teorii potencjału,

I I I

Metody probabilistyczne w teorii poten cjału

W stęp...100 V III. R uchy B r o w n a ... .... 103

8.1. Stochastyczny model ruchu. Browna. 8.2. Ciała &8t i 8.3. Uzupeł­ nianie ciał. Ciała tFt i ^'t- 8.4. Wartości oczekiwane i prawdopodobieństwa warunkowe. 8.5. Własność Markowa. 8.6. Czasy Markowa. Mocna własność Markowa. 8.7. Pierwszy czas wyjścia. 8.8. Punkty p-regularne.

I X . F u n k cje ekscesyw n e, p oten cjały rów now agi i zagadn ien ie D irichleta . . 112 9.1. Półgrupy operatorów związane z prawdopodobieństwem przejścia. 9.2. Funkcje ekscesywne. 9.3. Laplasjan jako infinitezymalny generator półgrupy. 9.4. Lemat Dynkina. 9.5. Wymiatanie funkcji stałej. 9.6. Zbiory polarne. 9.7. Punkty regularne. 9.8. Zasada minimum. 9.9. Za­ gadnienie Dirichleta.

X . F u n k cje i obszary G reena. W y m ia ta n ie ... 119 10.1. Funkcja qt(x,y). 10.2. Funkcja Greena. 10.3. Obszary, z których cząstki nie wychodzą. 10.4. Wymiatanie.

X I . M etoda K a c a w teorii p o t e n c j a ł u ... 122 11.1. Mocne wymiatanie i zbiory mocno cienkie. 11.2. Zbiory s-regu- larne. 11.3. Zbiory półklasyczne. 11.4. Równanie Kaca. 11.5. Interpretacja probabilistyczna s-cienkości. 11.6. Wzory Kaca. 11.7. Probabilistyczna interpretacja mocnego wymiatania. 11.8. Wzór D. Stroocka. 11.9. Za­ gadnienie Dirichleta.

100 Z. C i e s i e l s k i i Z. S e m a d e n i

W stęp

Matematyka dzisiejsza stanowi jedną nierozkładalną całość i nie tylko nie można nakreślić ścisłej linii podziału między poszczególnymi jej działami, lecz nawet czasem można mieć wątpliwości, czy próby za­ kwalifikowania pewnych pojęć do tej czy innej gałęzi matematyki są w ogóle sensowne. Większość takich ścisłych powiązań (np. algebry z geo­ metrią) jest faktem od dawna znanym i całkowicie ustalonym; tym bar­ dziej zaskakujące jest każde odkrycie nowych związków między pozor­ nie odległymi teoriami.

Jednym z bardziej efektownych odkryć ostatniego ćwierćwiecza jest istnienie głębokich więzi między ruchami Browna a funkcjami harmo­ nicznymi. Powiązania te opierają się na stosunkowo prostym pomyśle, jednakże długo pozostawały niezauważone (prawdopodobnie na skutek tego, że nie wynikają one z żadnych bardziej znanych faktów fizycznych i intuicja fizyczna nie była tu pomocna; pomimo, że zarówno teoria ruchów Browna jak i teoria potencjału wyrosły z fizyki, związek między nimi jest czysto matematyczny).

W 1827 roku angielski botanik E. Brown zauważył pod mikrosko­ pem nieuporządkowane, zygzakowate ruchy drobnych cząstek pyłu roślin­ nego, zawieszonego w wodzie. Podobne ruchy obserwowane były również w nieorganicznych zawiesinach (takich jak np. koloidalny roztwór złota), lecz przez długi czas zjawisko to było niewytłumaczone. Dopiero A. Ein­ stein i M. Smoluchowski (1905-06) podali niemal równocześnie wyjaśnie­ nie ruchów Browna oparte na kinetycznej teorii materii otrzymując w szczególności (każdy na innej drodze) podstawowy wzór na średni kwadrat przesunięcia cząstki w określonym czasie t:

(Иж)2 = 2 Dt,

gdzie D oznacza współczynnik dyfuzji cząstek. Zgodnie z ich teorią, obserwujemy przez mikroskop swobodnie zawieszoną cząstkę, której wy­ miary nie są bardzo duże w porównaniu z wymiarami cząsteczek, z których składa się ciekły ośrodek. Cząsteczki ośrodka znajdują się w bezładnym ruchu cieplnym i uderzają ze wszystkich stron w cząstkę obserwowaną.

W przedstawianej obecnie III części artykułu pokażemy, w jaki sposób ruchy Browna można traktować jako proces stochastyczny Mar­ kowa i omówimy podstawowe związki procesów Markowa z teorią poten­ cjału. Zanim jednak przejdziemy do ściślejszych sformułowań, wyjaś­ nimy istotę zagadnienia w sposób bardziej obrazowy, który powinien być zrozumiały dla każdego obznajmionego z elementarnym rachunkiem prawdopodobieństwa.

Przegląd nowszych metod w teorii potencjału, I I I 101

1° Tor każdej cząstki jest krzywą ciągłą w przestrzeni B 3, opisaną parametrycznie, za pomocą ciągłej funkcji wektorowej co{t) określonej dla t > 0.

2° Jeżeli w chwili t0 cząstka znajduje się w punkcie x0, to dalsze losy tej cząstki nie zależą od tego, co działo się z cząstką przed dojściem do punktu x0.

3° Buch Browna jest jednorodny w czasie i ponadto wszystkie kie­ runki przestrzenne są równoprawdopodohne, tzn. gęstość prawdopodo­ bieństwa, że cząstka będąca w punkcie a?0 w chwili t0 znajdzie się w punk­ cie x x w chwili tx (tx > t0) zależy wyłącznie od różnicy tx—t0 i °d odległości

\xi —xo\i a nie zależy od t0 ani od kierunku wektora (ж0, xx).

Załóżmy teraz, że A jest zbiorem zwartym w B 3 i x e B 3. Oznaczmy przez u(x) prawdopodobieństwo, że cząstka będąca w chwili w punk­ cie x znajdzie się w jakiejś chwili późniejszej tx w jakimś punkcie zbioru

A, tzn.

u (x) = Pr {istnieje tx takie, że tx > t0 i co(tx)eA).

Stwierdzamy łatwo następujące fakty: u(x) zależy od ж i od i , a nie zależy od t0 (z uwagi na jednorodność w czasie); nadto 0 < u{x) < 1 oraz u(x) = 1 dla #eint(J.), bowiem z uwagi na to, że oj(t) jest funkcją ciągłą, jeżeli co (t0) eint(M), to istnieje e > 0 takie, że co(t) eint(J_) dla ^e(^o?^o+£)- Można również udowodnić, że u jest funkcją ciągłą (punk­ tu x) na zbiorze B 3\ A .

102 Z. C i e s i e l s k i i Z. S e m a d e n i

zbioru В (bowiem wszystkie kierunki są równoprawdopodobne), zatem prawdopodobieństwo to jest równe a(B)/a(dV). Prawdopodobieństwo, że cząstka znajdująca się w pewnej chwili w punkcie 0 trafi później do zbioru

A, wynosi u (z). Jeżeli В jest zbiorem o mierze da, na którym u (z) przyj­

muje w przybliżeniu stałą wartość, to prawdopodobieństwo, że cząstka wychodząca z x trafi do A przechodząc przez В jest równe iloczynowi odpowiednich prawdopodobieństw, tzn. wynosi u(z)da/a(dV). Sumując te wszystkie możliwości otrzymujemy

Wykazaliśmy więc, że funkcja u ma następującą własność: dla każdej kuli V zawartej w R 3\ A wartość funkcji u w środku kuli jest średnią cał­ kową jej wartości na brzegu kuli. Wynika stąd (na mocy klasycznych twierdzeń), że u jest funkcją harmoniczną na R Z\ A . Można ponadto udowodnić, że u jest uogólnionym rozwiązaniem zagadnienia Dirichleta przy obłożeniu u (x) — 1 dla x sd A i u (co) = 0 (prawdopodobieństwo dotarcia do zbioru ograniczonego A maleje do 0, gdy oddalamy się do 00).

Załóżmy teraz, że U jest obszarem ograniczonym w R s, В cz dU

i xe U. Oznaczmy przez [i%(B) prawdopodobieństwo, że cząstka startu­

jąca z x osiągnie po raz pierwszy brzeg d U w punkcie zbioru B. Wówczas 0 < /М^(-В) < 1; można pokazać, że /Лх(д11)=1 (z prawdopodobień­ stwem 1 cząstka prędzej czy później musi opuścić każdy zbiór ograni­ czony). Rozumowanie podobne do poprzedniego prowadzi do wniosku, że jeżeli V jest obszarem takim, że V c U, x e V i A cz dU, to każda czą­ stka startująca z x i osiągająca A musi po drodze przejść przez dV, a zatem

Z wzorem tym spotkaliśmy się już uprzednio; był to wzór (1.7), w którym

/л!? oznaczało miarę harmoniczną. Dokładniejsza analiza prowadzi do

wniosku, że określone powyżej prawdopodobieństwo ^ jest rzeczywiście równe mierze harmonicznej a zatem wzór (1.7) ma prostą proba­ bilistyczną interpretację.

Twórcą matematycznej teorii ruchów Browna był Norbert Wiener (w latach 1920-1934). Metodę jego opiszemy poniżej, chcielibyśmy jednak­ że zwrócić uwagę, że matematyczny model ruchu Browna różni się od modelu Smoluchowskiego, w którym tor dowolnej cząstki jest łamaną. Można bowiem udowodnić następujące paradoksalne twierdzenie: w mo­ delu Wienera z prawdopodobieństwem 1 tor cząstki Browna nie ma stycz­ nej w żadnym punkcie (dowód tego można znaleźć w książce Dooba [3],

/ g w p Z m = pg(A).

Przegląd nowszych metod w teorii potencjału, I I I 103

str. 394); w szczególności prawdopodobieństwo, że tor cząstki jest łamaną, wynosi 0.

Wiener pozostawił również doniosłe prace z teorii potencjału (1924- -1925), jednakże związek obu teorii został po raz pierwszy odkryty przez Kakutaniego (1944).

W roku 1950 Mark Kac zaproponował oryginalną metodę badania klasy potencjałów równowagi za pomocą ruchów Browna; teoria ta zo­ stała rozwinięta dopiero w ostatnich latach. Główne jej wyniki omówimy w rozdziale XI na modelu ruchów Browna, jednakże wyniki te są praw­ dziwe dla szerokiej klasy procesów dyfuzji.

Następne poważne osiągnięcia w dziedzinie probabilistycznych me­ tod w teorii potencjału, to głównie prace J. L. Dooba (od roku 1954), G. A. Hunta (1956-1958) i E. Dynkina. Niektóre z uzyskanych przez nich wyników omówimy w rozdziałach VIII - X na przykładzie ruchów Browna i równania Laplace’a.

Teoria ogólna, słuszna dla szerokiej klasy jednorodnych procesów Markowa, znajduje zastosowanie w teorii operatorów eliptycznych i para­ bolicznych. Dokładne omówienie tej teorii można znaleźć w 850-stroni- cowej monografii Dynkina [2] i w szeregu prac publikowanych w ostat­ nim dziesięcioleciu; z tego powodu ilość cytowanych prac ograniczymy do kilkunastu najważniejszych pozycji.

Wielu zagadnień omawiać nie będziemy; opuścimy np. probabili­ styczne podejście do brzegu Martina i do topologii Cartana oraz omó­ wienie mojleli stochastycznych dla aksjomatycznej teorii potencjału (P.-А. Meyer [1]).

V III. R u ch y B row n a

§ 8.1. Stochastyczny model ruchu Browna. Punktem wyjścia teorii ruchów Browna jest ustalenie odpowiedniej przestrzeni probabilistycznej postaci (Q,38,P), gdzie Q jest zbiorem zdarzeń elementarnych, 38 jest pewnym cr-ciałem podzbiorów zbioru Q, a P jest prawdopodobieństwem na iG, tzn. <7-addyt^wną miarą na 38 taką, że 0 ^ P(A) ^ 1 diet A € i P(Q) = 1. Kuch Browna rozpatrywać będziemy w j\r-wymiarowej przestrzeni euklidesowej Р л (V > 1). B ( B N) oznaczać będzie klasę wszyst­ kich zbiorów borelowskich w B N.

Zbiór D określamy jako przestrzeń ^ ( B ^ j B 1*) funkcji ciągłych na

B + = <0, oo), o wartościach z B N. Jeżeli coeO i t > 0, to w{t)eBx , tzn.

co(t) = ..., oyv (t))j gdzie w ,, ..., coN są funkcjami ciągłymi o war­ tościach rzeczywistych.

104 Z. C i e s i e l s k i i Z. S e m a d e n i

jest mierzalny. Innymi słowy, 38^ jest najmniejszym a-ciałem genero­ wanym przez wszystkie zbiory postaci

G(t, A) = {coeQ: co (t) e A }, t ^ 0, A e B ( R N).

W szczególności do 38 ^ muszą należeć wszystkie skończone przekroje (8.1) G(t0, A 0) G(tx, А г) r\ ... ^ G(łn, A n) =

= {coeD: co(ti) eAi dla i = 0, ..., n } ,

gdzie 0 < t0 < tx < ... < tn i A i e B ( R N).

Zbiory takie nazywać będziemy cylindrycznymi. Aby lepiej uzmysło­ wić sobie, czym są zbiory cylindryczne w Q, załóżmy, że N = 1 i A 0, A n

są przedziałami otwartymi, tzn. Aj = (%, bj) i % < bj dla j — 0, ..., n\ wówczas funkcja co należy do takiego zbioru G wtedy i tylko wtedy, gdy

щ < co(tj) < bj dla j = 0, ..., 7i, tzn. (8.1) jest zbiorem funkcji ciągłych co(t), t > 0, których wykres w danych punktach t0, . . . , t n przechodzi

przez „bramki slalomowe” (%, bj), a poza tym jest całkowicie dowolny (rys. 2).

Warto jeszcze dodać, dlaczego zbiory (8.1) nazywamy cylindrycz­ nymi. Otóż przestrzeń Q można kanonicznie zanurzyć w nieprzeliczalny produkt kartezjański linii prostych przyporządkowując funkcji co punkt

{co{t)}t>o tego produktu i wówczas zbiory postaci (8.1) są przeciwobra- zami cyhndrów o podstawach skończenie wymiarowych (w sensie teorii miary, patrz Sikorski [1], str. 339).

Przejdziemy teraz do najważniejszego punktu: do definicji prawdo­ podobieństwa Px, gdzie x jest punktem w R N, z którego startuje cząstka.

Przegląd nowszych metod w teorii potencjału, I I I 105

P t{x, A) oznaczać będzie prawdopodobieństwo, że cząstka znajdu­

jąca się w chwili t0 w punkcie x znajdzie się po czasie t w jakimś punkcie zbioru borelowskiego A. Ze względu na jednorodność w czasie, Pt{x, A) nie zależy od t0 (możemy np. przyjąć, że t0 — 0). Jeżeli t i ж są ustalone, to Pt{x, •) jest miarą probabilistyczną na B ( R N). Z postulatu 2° sformu­ łowanego powyżej wynika, że miara ta spełnia następujące równanie (8.2) P t+S(x, A) = J P s{z, A ) P t{x, dz)-,

po prawej stronie mamy funkcję Ps{z, A) zmiennej z całkowaną wzglę­ dem miary P t{x, •). Eównanie (8.2) jest przez fizyków zwane równaniem

SmoluchowsMego, gdyż Smoluchowski badał je w swoich pracach; mate­

matycy natomiast nazywają je na ogół równaniem CJiapmana-Kołmogo-

rowa. Sens probabilistyczny tego równania jest następujący: przechodząc

z x do у w czasie t-j-s przechodzimy wpierw w czasie t przez punkt pośredni z ; prawdopodobieństwa Pt{x, у ) i Ps(z, y) mnożymy przez sie­ bie, a następnie sumujemy je po wszystkich możliwych 0. Będziemy też pisać P {t ,x , A ) zamiast P t(x, A).

Rozważania, których tu nie będziemy przytaczać, prowadzą do wniosku, że jeżeli A jest zbiorem miary Lebesgue’a 0, to P t(x, A) — 0; oznacza to, że miara P t{x, •) jest absolutnie ciągła względem miary Lebesgue’a i na mocy twierdzenia Badona-№kodyma istnieje gęstość

p t{x, y) tej miary, tzn.

(8.3) Pt (x, A) = J p t(x,y)dy dla A e B { R N).

A

Z równania (8.2) wynika łatwo równanie

Pt+a(x,y)= JPt(x, У)Рв(я, y)dz. RN

Z postulatu 3° wynika, że pt{x, y) zależy wyłącznie od \x—y\. Prócz

tego założymy, że drugi moment (średnie kwadratowe odchylenie) jest skończony, tzn.

OO

a2 = f (x —y)2pt(x

,

< 00.

Przy tych założeniach można udowodnić, że pt{x, y) nmsi być dane wzorem

\®

—

y\

J;

przy ustalonym t musimy mieć zatem rozkład normalny Gaussa-Laplace’a. Jeżeli 0 < tx < t2 < ... < tn i A X1 ..., A ne B(RN), to prawdopodobieństwo, że cząstka znajdująca się w punkcie x0 w chwili t0 = 0 będzie w zbiorze (8.4) Pt{x, У) = (2?xty■ Nj 2

106 Z. C i e s i e l s k i i Z. S e r n a d e n i

A t w chwili t ly w zbiorze A 2w chwili t 2, ... i w zbiorze A n w chwili fw,

wynosi

-P (Ь , • • • j \ Ж0; -4. i , • •. , A w) —

J P( b » *b> ? d$i) J'P{t2 b ; x^ j dx2) • • • P( Ь in— i j i ) dxn . Jeżeli t0 = 0, x e B N i C jest zbiorem (8.1), to definiujemy

(8.5) P X(C)

tzn.

P(b,

<»;

J-1

, ...,

gdy

0,

gdy

a? Mo»

Px{G) — J P{ti ? • • • f $п> oj -4-1 ? • • • t -4те) ^£c(^^o)»

gdzie Ja, oznacza miarę Diraca skoncentrowaną w x (patrz § 1.2). W szcze­ gólności P x ( @) = 1- W ten sposób wyrażenie P X(G) zostało zdefinio­

wane dla dowolnego zbioru cylindrycznego C. Opierając się na (8.2) i na

twierdzeniu Kołmogorowa o przedłużaniu miar, dowodzi się, że istnieje dokładnie jedna miara probabilistyczna P x określona na i spełniająca (8.4). Trójka ( Q , P x)jest (przy każdym x e B N ) dobrze określoną prze­

strzenią probabilistyczną, a (przy ustalonym t) co{t) jest zmienną losową o wartościach z B N . Mamy tu do czynienia z procesem stochastycznym (proces stochastyczny, to rodzina zmiennych losowych zależnych od pewnego parametru t).

Aby dostosować się do oznaczeń przyjętych w teorii procesów Mar­ kowa będziemy pisać x ( t , co) zamiast co(t). Przy ustalonym t wyrażenie

x { t , •) jest zmienną losową o wartościach z B N; przy ustalonym

co

natomiast a?(*,

co)

co.

x ( t , co) pamiętając, że x ( t ) jest funkcją ciągłą zmiennej t zależną od para­

metru losowego

co.

co,

co)

również pisać (...) zamiast

(co:

Q, to {£ > a} oznacza zbiór

(co: £(co)

§ 8 . 2 . Ciała @łt i Symbol ŚSt oznaczać będzie najmniejsze cr-ciało generowane przez wszystkie zbiory cylindryczne (8.1) takie, że t n

<

,

zaś 38'f oznaczać będzie najmniejsze cr-ciało generowane przez wszystkie zbiory C( t , A ) , A e B ( B N ).

Ciała

0 <

<

c=

t < s. Nietrudno jest pokazać, że wszystkie te inkluzje są właściwe; np.

gdy N = 1, aeB i s > t, to zbiór

(co:

co)

Przegląd nowszych metod w teorii 'potencjału, I I I 107

V < t, bowiem żadne warunki narzucone na wartości funkcji ciągłej co

w punktach niepóźniejszych od t nie mogą gwarantować, że co(s) < a. Podobnie 38't cz 38t i inkluzja jest właściwa.

Układ (Q, {38t}t^ 0, %(-, •), P x), para (BN, B (B N)) i punkt x e B N opi­ sują ruch Browna w B N startujący z punktu x.

Załóżmy teraz, że v jest dowolną miarą probabilistyczną na B ( B N). Definiujemy

PV{E) = f Px(E)v(dx) dla Ee380o.

Widać natychmiast, że Pv {x(0) eA} = v (A) dla A € B ( B N), co oznacza, że v jest rozkładem początkowym ruchu Browna (w chwili t — 0). Prze­ strzeń probabilistyczna (Q, 38^, P v) opisuje ruch Browna przy założeniu, że dla dowolnego zbioru borelowskiego A, w chwili początkowej cząstka należy do i z prawdopodobieństwem v(A). W szczególnym przypadku, gdy v = óx , otrzymujemy poprzednią sytuację, bowiem P8x = Px] Px opisuje więc rućh Browna o początkowym rozkładzie óx, a to że cząstka startuje z punktu x zapisane jest w postaci

Px{x{0) = x) — Px{со: ж(0, co) — x} — 1

i wynika bezpośrednio z definicji Px. Ponadto dla dowolnego zbioru

A e B ( B N) i t > 0 zachodzi

Px{x(t)eA} = P t(x, A).

§ 8.3. Uzupełnianie ciał. Ciała i SP't . Oprócz u-ciał 38 ^ i 38t w zasto­ sowaniach do teorii potencjału potrzebne są również inne c-ciała, bowiem nieraz występują tam zbiory, które nie należą do 38^. Mech 38 oznacza dowolne cr-ciało zbiorów zawarte w 38 ^ i niech 38v oznacza uzupełnienie ciała 38 względem miary P„, tzn. Е е 38v wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją zbiory E' i E " należące do 38 i takie, że E' a E a E" i PV{E') = PV(E"). Miarę Pv rozszerza się na 38* w oczywisty sposób definiując PV(E) = PV{E'). Z kolei, przez <$1 oznaczymy zbiór wszystkich probabilistycznych miar na B{BN) oraz

38 = П d8\

Widzimy, że 38 jest też cr-ciałem i l e i ; przy każdym геЭД miara Pv jest określona na 38 i (Q,38,PV) jest przestrzenią probabilistyczną.

Specjalizując teraz ciało 38 definiujemy ciała = 381 dla 0 < t < oo. Uzyskujemy w ten sposób nowy opis ruchu Browna za pomocą układu

108 Z. C i e s i e l s k i i Z. S e m a d e n i

§ 8.4. Wartości oczekiwane i prawdopodobieństwa warunkowe. Niech (Q, P ) będzie dowolną przestrzenią probabilistyczną, a sZ pewnym cr-ciałem zbiorów zawartym w 9S. Jeżeli £ jest zmienną losową (tzn. ^-mierzalną funkcją) na Q o wartościach z B N i taką, że

P(|f|) =

|f(m)|

oo,

to wartością oczekiwaną warunkową funkcji £ względem ciała sZ nazy­ wamy każdą j</-mierzalną funkcję ip: Q -» BN taką, że E(\yj\) < oo i (8.6) J i (co)P(dco) = J'ip(co)P (dco)

A A

dla dowolnego zbioru l e i . Taka funkcja гр zawsze istnieje i jest jedno­ znaczna z dokładnością do zbioru miary 0. Bozumujemy mianowicie tak: Oznaczmy przez X{A) lewą stronę równania (8.6); wówczas Я jest prze­ liczalnie addytywną miarą na ciele j/ , absolutnie ciągłą względem miary P. Istnienie postulowanej funkcji гр i jej jednoznaczność wynikają zatem z twierdzenia Badona-Nikodyma. Funkcja ta nie jest zdefiniowana dla każdego coeQ, a jedynie prawie wszędzie (względem P). Oznaczamy ją symbolem P (£ |j/) .

Jeżeli Z jest dowolnym zbiorem zmiennych losowych na Q o wartoś­ ciach z B N, to wartość oczekiwana E{£\Z) jest określona jako P (£ |j/) , gdzie sś jest najmniejszym u-ciałem, względem którego wszystkie funkcje

t,eZ są mierzalne.

Aby lepiej zrozumieć związek tego pojęcia z pojęciami znanymi z elementarnego rachunku prawdopodobieństwa, załóżmy, że l e i i Z składa się z jednej funkcji I A , gdzie I A oznacza indykator (funkcję cha­ rakterystyczną) zbioru A, tzn. I A (x) równa się 1 albo 0 w zależności od tego, czy xeA, czy też x$A. Wówczas sś składa się z 4 zbiorów A,

I ? \A , O i l ? ; nadto

E(£\s/)(a>) =

Jeżeli np. £ = I B i B e 38, to pierwsza z tych wartości 1 f MP _ p ( A - Б >

P(A)

J

jest prawdopodobieństwem warunkowym, że zajdzie В przy założeniu, że zaszło A. Ogólniej, wyrażenie P (B \stf) = E { IbW) nazywa się prawdo­ podobieństwem warunkowym zdarzenia В względem ciała sZ.

1

P(A) i dla

co e

,

1 I ЫР

Przegląd nowszych metod w teorii potencjału, I I I 109

Wróćmy teraz do ruchu Browna i przestrzeni probabilistycznej (£ , ^ P * ) . Definiujemy

Д»(/) = j f d P x ,

Q DAJ; A) = Ex(fIA) = j f d P xA

pod warunkiem, że powyższe całki mają sens. W teorii tego procesu bardzo ważną rolę odgrywają pewne wartości oczekiwane, np. Ex(£ \Щ), gdzie 381 oznacza er-ciało zdefiniowane w § 8.2. W podobny sposób defi­ niujemy symbole E v(f), Ev{f; A), Ev(f\38t), gdzie v jest rozkładem po­ czątkowym, oraz wartości oczekiwane odpowiadające сг-ciałom 38't ,3Fi,!F't . § 8.5. "Własność Markowa. Korzystając z równania Smoluchowskiego (8.2) oraz z definicji (8.5) można pokazać, że jeżeli п'ЗЯ, t > 0, 0 < t0 < < b < ... < tn oraz Aj-eB(RN) dla j — 0,1, ..., n, to zachodzą nastę­ pujące równości:

(8.7) Pv{x(tJr tj)eAj dla j = 0, ..., n \ ^ t} =

= eAj dla j — 0, ..., n\ —■

= P ^ x i ^ e A j dla j = 0, ..., n).

Pierwsze z powyższych wyrażeń, to prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia

n

{co:

co)ed_j}

względem ciała Drugie, to prawdopodobieństwo warunkowe tego samego zdarzenia względem mniejszego ciała Trzecie zaś otrzymujemy w ten sposób, że obliczamy prawdopodobieństwo Px zbioru tych

co,

co)

co,

własność Markowa. W przypadku ruchu Browna własność ta jest mate­

matycznym uściśleniem postulatu 2° sformułowanego we wstępie; pierwsza z tych równości oznacza, że prawdopodobieństwo warunkowe tego, że

oc(t-\-tj)eAj przy danym x(t) jest takie samo, jak prawdopodobieństwo

п о Z. C i e s i e l s k i i Z. S e m a d e n i

Możemy również rozpatrywać najmniejsze cr-ciało rozpięte na wszystkich zbiorach postaci (8.1) przy t0 > t i jego uzupełnienie 3Fl = (w sensie §8.3). Wówczas jeżeli veMl i to

P,{E\&t) = P,{E\&'t}

z prawdopodobieństwem Pv równym 1; jest to własność rozpatrywanego procesu stochastycznego równoważna własności Markowa.

Wygodnie jest wprowadzić dalsze cr-ciała

&t+ = Pl i ^t+ — (П &S •

S> t s> t

Z własności Markowa wynika, że

(8.8) ^ t + = ^ t dla 0.

Z własności Markowa można również wyprowadzić następujące

prawo zero-jedynkowe: Jeżeli xe Rn i Ee^ 0+, to PX(E) jest albo równe 0

albo 1. Ponieważ ^ 0+ = J%, prawo to stosuje się również do elementów ciała .

§ 8.6. Czasy Markowa. Mocna własność Markowa. Mówiliśmy we wstępie, że prawdopodobieństwo u(x), że cząstka startująca z punktu x znajdzie się kiedyś w zbiorze zwartym A, jest funkcją harmoniczną na

R 3\ A . W dokładniejszym badaniu związków między funkcjami har­

monicznymi a ruchami Browna ważną rolę odgrywa czas T(co), po którym cząstka znajdzie się po raz pierwszy w zbiorze A. Czas ten jest zmienną losową taką, że

(8.9) 0 ^T(co) ^ oo dla coeQ.

(Warunek T(co) = oo oznacza, że cząstka nigdy nie wejdzie do zbio­ ru A). Można również pokazać, że

(8.10) {co: T{co) dla < ^ 0.

Ponadto u(x) = Px{T(co) < oo}. Ogólniej, czasem Markowa nazywać bę­ dziemy każdą zmienną losową T na Q spełniającą warunki (8.9) i (8.10). Dzięki własności (8.8) warunek (8.10) jest równoważny temu, że

{T < t } e ^ t dla t > 0 (użyliśmy tu skróconego symbolu {T < t} na ozna­

czenie zbioru (co: T(co)< t}). Najprostszym przykładem czasu Markowa jest czas stały T(co) — t dla coeD.

Z dowolnym czasem Markowa T związane jest cr-ciało ZFT składające

się ze wszystkich zbiorów E należących do tF^ = Ш001 dla których

E o {T ^.t}ećFt dla każdego t ^ 0. Prosty rachunek pokazuje, że zbiór

QT = {T(oo) < oo} należy do oraz zarówno T jak i x (T) = x(T{ co), co)

Przegląd nowszych metod w teorii potencjału, I I I 111

Jeżeli T x i T 2 są czasami Markowa, to T X\JT2 i T xf \T 2 są też cza­ sami Markowa (V i A oznaczają maksimum i minimum brane dla każ­ dego co z osobna). Jeżeli T X^ . T 2, to <z . Ponadto limes superior i limes inferior dowolnego ciągu czasów Markowa jest czasem Markowa.

Analogicznie do własności (8.7) można udowodnić następujące rów­ ności, które są treścią tzw. mocnej własności Markowa:

(8.11) P v{x(T+tj) eAj dla j = 0, ..., n \ ^ T} =

= Pv eAj dla j = 0, ..., n | x{T)} —

= Px{T){oc{tj)€Aj dla j = 0, ...,%}

P„-prawie wszędzie na QT, gdzie T jest dowolnym czasem Markowa,

veMl, A j eB (B N) dla j — 0, ..., n oraz 0 < t0 < tx < ... < tn. Podsta­

wiając T — t otrzymujemy zwykłą własność Markowa.

§ 8.7. Pierwszy czas wyjścia. Zbiór {x(u, co): s < u < t) oznaczymy symbolem Of (co) lub krótko Of (0 < s < t < oo). Of jest pewną krzywą w B N — trajektorią ruchu Browna odpowiadającą przedziałowi czaso­ wemu <s, t}. Pierwszy czas wyjścia ze zbioru A po czasie s zdefiniowany jest następująco:

| sup{/: .9 < t < oo, Of c A}, gdy x(s)eA,

J- S \ A ) — |

I», gdy x ( s ) iA .

Jest to funkcja zmiennej co; jeżeli s > s ' , to TS(A) > TS>(A). Mówimy też nieraz, że TS(A) jest pierwszym czasem wejścia do zbioru B N\ A . Defi­ niujemy ponadto

TS, (A) = lim

Tt+e(A)-£—

>■04-Zmienna losowa TS+(A) nazywa się pierwszym czasem wyjścia ze zbioru

A po czasie s + . Sformułujemy obecnie twierdzenie, które odgrywa pod­

stawową rolę w probabilistycznym podejściu do teorii potencjału.

Załóżmy, że A e B ( B N) i s > 0. Wówczas pierwszy czas wyjścia po czasie $-f- jest czasem Markowa, tzn.

{T,+ (A) < t j e ^ t dla t > 0,

i dla każdlyo v eMl istnieje ciąg K n zbiorów zwartych w Р л taki, że K n c:Kn+x, K n гл A = 0 oraz

r r{Ts+(BM\ K n) \ T s+(A)} = 1.

Ponadto, jeżeli P v{x(s)<jA} — 0, to istnieje ciąg K'n zbiorów zwartych i takich, że K'n с K'n+X c A przy każdym n oraz

112 Z. C i e s i e l s k i i Z. S e m a d e n i

Dowód tego twierdzenia podany został po raz pierwszy przez Hunta. Korzysta się w nim w sposób istotny z twierdzenia Choqueta o rozsze­ rzaniu uogólnionych pojemności, o których była mowa w § 5.7.

§ 8.8. Punkty ^-regularne. Z twierdzenia Hunta wynika, że

{T0.h(A) < tjz&t dla A e B ( B N) i 0.

W szczególności {T0+(A ) = 0 } e J r0. Stosując prawo zero-jedynkowe (§8.5) możemy stwierdzić, że PX{T0+(A) = 0} jest równe albo 0, albo 1. Punkt

x nazywa się p-regularnym względem zbioru A, gdy PX{T0+ (BN\ A ) —

= 0} = 1. Oznacza to, że gdy x eA , to z prawdopodobieństwem 1 cząstka znajdująca, się w punkcie x w chwili 0 wejdzie do zbioru A przynajmniej jeden raz w każdym przedziale czasowym (0, e), e > 0. Przez A r ozna­ czymy zbiór punktów ^-regularnych zbioru A ; wówczas

P*{To+( -K'vV ł ) = 0} = I Af(x) dla x c S N.

Warto zaznaczyć, że jeżeli A jest zbiorem domkniętym lub otwar­ tym, to T0+(A) jest nie tylko czasem Markowa, ale również

{T0+(A)

tzn. T0+{A) jest ^-m ierzalną zmienną losową, a ponadto A reB(BN). Natomiast jeżeli A jest dowolnym zbiorem borelowskim w B N, to funkcja

T0+ (A) nie musi być ^-m ierzalna i to jest jeden z powodów, dla którego

zamiast ciała ^ rozważamy ciało &r00.

L ite r a tu r a

E. B. Dynkin [1], [2], G-. A. Hunt [1], [2], К. Ito and H. P. McKean, Jr [1], M. Kac [2], [3].

I X . F u n k cje ekscesyw n e, p oten cjały rów now agi i zagadn ienie D irichleta § 9.1. Półgrupy operatorów związane z prawdopodobieństwem przejś­ cia. Symbolem B^ęU) oznaczać będziemy przestrzeń funkcji rzeczy­ wistych, borelowskich i ograniczonych na obszarze U (UczBN). Normą w tej przestrzeni jest

11/11*7 = sup{|/(a>)|: xeU}.

BM{U) jest przestrzenią Banacha. Jeżeli f e B 00(BN), oznaczamy

Ptf(oo) = f f { y ) P t{x, dy) dla t ^ 0 .

Przegląd nowszych metod w teorii potencjału, I I I 113

Widzimy, że Р<:Б00(ДЛГ) -> B ^ R 1*) jest operatorem liniowym i ЦР^Ц = 1. Ponadto z (8.2) wynika, że

Pt+sf(x) =

f

r n rn rn

= J Psf{z)Pt (S, dz) = Pt (Psf ) (x ),

rN

tzn. P t+S = P tPs dla t > 0, s > 0. Dla t = 0 miara P*(a?, •) jest miarą Diraca ó* i dlatego P 0f{x) = f ( x ) , tzn. P 0 jest operatorem identycznym. Rodzina {P*}*>0 jest zatem półgrupą operatorów na P 00(Piv); okaznje się, że teoria półgrup operatorów (Hille-Phillips [1], Dynkin [2]) odgrywa ważną rolę w teorii procesów Markowa. Oznaczmy teraz

(9.1) Qt(x, A) = Px{co: x(t,a>)€A, t < T0+{U, co)}.

Jest to prawdopodobieństwo tego, że cząstka startująca z x znajdzie się w zbiorze A po czasie t zanim opuści po raz pierwszy obszar U. Jeżeli

U = B N, to Qt(x, A) = P t(x, A)-, jeżeli A r\ U = 0, to Qt(x, A) jest

oczywiście równe 0. Przy ustalonych t i x wyrażenie Qt(x, A) jest miarą na B ( R N) (niekoniecznie probabilistyczną). Korzystając z własności Mar­ kowa ruchu Browna, pokazuje się, że jeżeli t > 0, s > 0, x e R N i A eB(RN), to spełnione jest równanie Smoluchowskiego

(9.2) Qt+s(%, A) = j Q s(z, A)Qt(x, dz). u

Podobnie jak uprzednio, jeżeli / e P 0O(P), to oznaczamy

Qtf (я) = f f{y)Qt(x, dy). u

Widać, że Qi'.B^U) -> P 00(P) jest operatorem liniowym i ||k*|| < 1. Po­ nadto z (9.2) wynika, że Qt+S = QtQs dla t > 0, s > 0. Ponieważ U jest zbiorem otwartym, z prawdopodobieństwem Px równym 1 musi być

T0+(U) > 0 dla xcTJ. Z tego powodu Qt(x, •) jest miarą Diraca dx dla t = 0 i xeJJ, a operator^ jest identycznością. [Qt}t^o jest więc półgrupą operatorów ściągających na B^iU).

§ 9.2. Funkcje ekscesywne. W dalszym ciągu U jest ustalonym obszarem w B N. Funkcją ekscesywną nazywamy każdą nieujemną bore- lowską funkcję / na obszarze U taką, że Qtf(x)/tf(x) przy t - > 0 + , xeU. Z warunku tego wynika w szczególności, że Qtf < / i stąd pochodzi nazwa funkcji. Ka odwrót, jeżeli Qtf < / dla t > 0 oraz Qtf {so) ->f{x) przy t -> 0, to funkcja / jest ekscesywną, bowiem jeżeli s > t, to Qsf — QtiQs-tf) <

< Qtf•

114 Z. C i e s i e l s k i i Z. S e m a d e n i

Z określenia operatora Qt wynika, że dla t > 0 operator ten przepro­ wadza funkcje borelowskie i ograniczone na funkcje ciągłe i ograniczone, tzn. -><£(17). (Proces Markowa mający taką własność nazywa

się silnie fellerowskim.) Wynika stąd, że każda funkcja ekscesywna ogra­ niczona / jest granicą niemalejącej rodziny Qtf funkcji ciągłych, a zatem jest półciągła z dołu. Z drugiej strony, korzystając z tego, że jest półgrupą dowodzi się, że każda funkcja ekscesywna nieograniczona jest granicą ciągu niemalejącego funkcji ekscesywnych ograniczonych, a za­ tem musi również być półciągła z dołu.

Pojęcie funkcji ekscesywnej zostało wprowadzone przez Hunta, który udowodnił następujące podstawowe twierdzenie: funkcja f określona na

U jest ekscesywna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieujemna i nadkarmoniczna na U lub identycznie równa oo (tzn. gdy jest funkcją hiperharmoniczną

w sensie § 2.1).

Na mocy poprzednio podanych twierdzeń dowód konieczności redu­ kuje się do przypadku, gdy funkcja / jest ograniczona. Mech 91 (x, r,f) oznacza średnią całkową funkcji / po sferze {z: \x—z\ = r} (gdy N — 1, to 9l ( x , r , f ) jest średnią arytmetyczną liczb f{x-{-r) i f ( x —r)). Jeżeli / jest funkcją ekscesywną ograniczoną, to bezpośredni rachunek pokazuje, że

Qtf{x) “ № ) = v J ) - f ( x ) ] v Nl2- 1e~vdv + skąd OO + o ( j vN/2~1e~vdvj, (2 i)"1/4 Ш

^

lim inf---- [91 (x, r, f ) —f ( x ) ] < lim m f---< 0

Г2 (-+0+ t

г—Ю+

Na mocy kryterium Blaschkego-Priwałowa wynika stąd, że feJf^{U). Twierdzenie odwrotne wynika z rozważań § 9.4.

§ 9.3. Laplasjan jako infinitezymalny generator półgrupy. Niech

D(Q) oznacza zbiór wszystkich funkcji /е Б 00( U), dla których t~l [Qtf —/]

ma granicę w normie || przy t ^ 0 + . D{Q) jest zbiorem liniowym. Jeżeli feD(Q), to określamy

Qf = lim

<->o+

Qtf-S

i fid }t = 0

Q jest operatorem liniowym w Б00(Р) z dziedziną B(Q). Nazywa się go {mocnym) infinitezymalnym generatorem półgrupy {Qtjt^o- Można udowod­

nić, że jeżeli гр jest funkcją o ciągłych drugich pochodnych w IiN, której nośnik jest zwarty i zawarty w U, to yeD(Q) i

ъДу-Przegląd nowszych metod w teorii potencjału, I I I 115

Z uwagi na ten fakt w probabilistycznym njęciu teorii potencjału zamiast laplasjanu rozważa się operator \A, który zresztą pasuje do wielu za­ gadnień lepiej, niż operator A (np. w rozwinięciu Taylora mamy drugie pochodne cząstkowe dzielone przez 2; w zastosowaniach do mechaniki kwantowej \A odpowiada energii |p 2 przy masie m = 1).

§ 9.4. Lemat Dynkina. Jest to podstawowy wynik rozpatrywanej teorii. Eozważamy pierwszy czas wyjścia z obszaru U po czasie 0 + , który w dalszym ciągu oznaczany będzie symbolem £ = T0+ ( U). Wówczas

jeżeli x jest czasem Markowa takim, że Ex(xf\£) < oo, to dla dowolnego

feD(Q) mamy

TA f

^ { / И * ) ) ; T < £ } -f ( x) = eĄ § g(x{t))dĄ, o

gdzie g = Qf.

W dowodzie tego faktu korzysta się ze znanych twierdzeń o pół- grupach operatorów i w istotny sposób z mocnej własności Markowa.

Ponieważ każdą funkcję nadharmoniczną na U można w obszarze mniejszym aproksymować funkcjami różniczko walnymi гр o nośnikach zawartych w U, dla których Qy> = %Ay>, powyższy wzór pozwala udo­ wodnić następujące głębokie i ważne twierdzenie:

Załóżmy, że f ( U), f ^ 0, a r , r ' są czasami Markowa takimi,

że r < t' na Q. Wówczas dla dowolnego x e U

(9.3) я*{/(®(т)); t < c| <Ą C |/(*(T ')); T' < C\. Z twierdzenia tego otrzymujemy następujący wniosek:

Jeżeli xeTJ i x0, xx, ... jest ciągiem czasów Markowa takim, że xn >

> xn+1 > r0 oraz xn —> t0 z 'prawdopodobieństwem Px równym 1, to (9.4) Ex [f(x{xn))-, rn < £ } / E x {f(x{x0)); x0 < £}

przy n -» oo.

Wstawiając xn = t i x0 = 0 do (9.4) stwierdzamy, że każda funkcja nadharmoniczna jest ekscesywna.

Warto zaznaczyć, że w paragrafie tym U może być dowolnym ob­ szarem w B N, niekoniecznie posiadającym funkcję Greena (tzn. nie wy­ kluczamy, że jedynymi funkcjami ekscesywnymi na U są funkcje stałe).

§ 9.5. Wymiatanie funkcji stałej. Załóżmy, że

TJ

H A(x) = P * { 2 V ( tfvV l ) < f},

116 Z. C i e s i e l s k i i Z. S e m a d e n i

obszaru U. Korzystając z twierdzeń omówionych w § 8.7 pokazuje się łatwo, że jeżeli a?eZ7, to

(9.5) HA (x) = sup{Нк (х): К zwarte, К cz A},

zaś jeżeli x e U \ A , to

(9.6) HA (x) = in f{HQ(x): A cz G, Ge@{U)}.

Jeżeli К jest zbiorem zwartym, to {T0+(BN\ K ) < wynika stąd, że funkcja HK jest borelowska. Korzystając z własności Markowa można pokazać, że

QtHK(se) = P X{TI+{BN\ K ) < C}.

Funkcja HK jest więc ekscesywna (i nadharmoniczna) na U.

Zbiór B N\ K jest otwarty, ale niekoniecznie spójny; niech , TJ2, ... będą jego składowymi. Rachunek probabilistyczny prowadzi do wniosku, że

1 - H K (x) = Px {T0+ ( U) < T0+ ( U i)} dla xeUr^Ui.

Wyrażenie po prawej stronie jest prawdopodobieństwem, że ruch Browna startując z punktu x znajdzie się w zbiorze B N\ U , zanim osiągnie brzeg obszaru U i. Stosując ponownie poprzednie rozumowanie wnioskujemy, że funkcja 1 —HK jest też nadharmoniczna, zatem funkcja HK jest har­ moniczna na TJ\K. Z definicji punktu p-regularnego (§ 8.8) wynika ponadto, że H K(x) — 1 dla x e K r, a zatem HK(x) = 1 prawie wszędzie na К (ponieważ miara Lebesgue’a zbioru K \ K r jest równa 0). Własności te zestawione z równościami (9.5) i (9.6) sugerują, że HA powstaje przez wymiecenie funkcji 1 (§ 3.5, § 5.3). Dokładniejsza analiza prowadzi do następującego twierdzenia:

Jeżeli U jest obszarem Greena (tzn. jeżeli istnieje choć jedna funlccja nieujemna i nadharmoniczna na U, różna od stałej), to

(9.7) B f (x) = HA (x) dla xeTJ, AeB{MN), A a U, gdzie В ® oznacza funkcję wymiecioną (zdefiniowaną w § 3.5).

Ważne to twierdzenie było dowodzone w coraz to ogólniejszych sformułowaniach przez Kakutaniego (1944), Dooba (1954) i Hunta (1957).

§ 9.6. Zbiory polarne. Wiadomo, że podzbiór A obszaru U jest

polarny wtedy i tylko wtedy, gdy B f = 0 (§ 3.3, § 3.5, § 5.3 i § 5.8); z za­

Przegląd nowszych metod w teorii potencjału, I I I 117

§9 .7 . Punkty regularne. Opierając się na wzorze (9.7) stosunkowo łatwo można udowodnić następujące twierdzenie Dooba:

Zbiór borelowski A jest cienki w punkcie x wtedy i tylko wtedy, gdy x nie jest punktem p-regularnym zbioru A.

W § 3.6 mówiliśmy, że xedr TJ wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór P N\ U nie jest cienki w x. Porównując to z przytoczonym powyżej twierdzeniem Dooba stwierdzamy, że dr U = {BN\ U ) r. Innymi słowy, punkt xe U jest regularny ze względu na zagadnienie Dirichleta dla obszaru U wtedy i tylko wtedy, gdy jest on punktem ^-regularnym względem zbioru В ? \ U ; oba pojęcia są więc równoważne, ale w teorii potencjału regularność od­ nosi się do obszaru U, a w teorii procesów Markowa do jego dopełnienia. Załóżmy teraz, że К jest podzbiorem zwartym obszaru Greena U. Ponieważ zbiór A = K \ K r (tzn. zbiór punktów, w których К jest cienki) jest polarny (§ 4.6), z powyższych twierdzeń wynika, że

(9.8) Px{ x { T ) e K \ K r, T < £} = 0 dla xeU ,

gdzie T = T0+( R * \ K ) i £ = TQ+(U). Wynika stąd, że jeżeli U jest obszarem ograniczonym w B N, to

Px{x(C) e d U \ d r U} = 0 dla x eU .

§9 .8 . Zasada minimum. Udowodnimy teraz następującą mocną postać zasady minimum: Jeżeli u jest funkcją nadharmoniczną i ograni­

czoną z dołu na obszarze ograniczonym U i hminfw(a?) > 0 dla zedr U, to

u{x) ^ 0 dla każdego xeU. x

Oznaczmy c = inf{w(a:): xeU}. Mamy udowodnić, że c > 0. Ponie­ waż u —c > 0 oraz и —сеЖЦи), z (9.3) wynika nierówność

(9.9) Ex [u{x(r))\ ^ u ( x )

dla dowolnego x e U i dowolnego czasu Markowa r takiego, że Рж{ т < £ } = 1.

Oznaczmy dalej Ud = {y: g(y, dli) > (5} i 0 = T0+(U6), gdzie g(y, dU) jest odległością punktu у od zbioru d U. Czysto probabilistyczny rachunek pokazuje, że

Рж{1ш1 0 = 0 = 1 .

6—>-0

-j-Zauważmy, że dla każdego ustalonego x e U istnieje <50 > 0 takie, że (9.10) Px{Cd < C } = 1 dla ó < ó0.

118 Z. C i e s i e l s k i i Z. S e m a d e n i

Przy ustalonym x stosujemy teraz nierówność (9.9) do т = ^ przy <5 < ó0 otrzymując

Е х {и(х(С$))\ ^ и ( х ) dla (5 < d0.

Korzystając z tej nierówności, z lematu Fatou oraz z (9.8) i (9.10) stwier­ dzamy, że

u(x) ^ l i m m f E x {u(x(Cs))} > Ex {liminf w(a?(£a))} > Ex {liminfu(y)} ^ 0,

d - > 0 + (5->0+ V^x(£)

a to kończy dowód zasady minimum.

§ 9.9. Zagadnienie Dirichleta. Załóżmy, że U jest obszarem ogra­ niczonym. Wówczas dla dowolnej funkcji fe ^ id U ) istnieje uogólnione rozwiązanie Hf zagadnienia Dirichleta (§ 2.2); nadto dla dowolnego punktu

zedr TJ warunki x -> z, x e U pociągają Hf {x) ->f(z). Doob (1957) podał

probabilistyczną interpretację funkcji Hf : jeżeli XeU, to (9.11) B , w = Ex \f(x(C)) |, gdzie C = T0+(U).

Naszkicujemy tu dowód tej formuły. Prawą stronę powyższego wzoru oznaczmy przez J f ; / może być tu dowolną funkcją borelowską i ogra­ niczoną. Korzystając z własności Markowa (§ 8.5) stwierdzamy, że

q,j, (x) =

;

}.

Wnioskujemy stąd, że jeżeli g ^ 0, to J a jest funkcją ekscesywną, a za­ tem nadharmoniczną. Jeżeli natomiast / jest dowolną funkcją borelowską i ograniczoną na dU oraz c = \\f\\guj to c-\-f ^ 0, ° - f > o i funkcje

J c+f — c-\-Jf i J c~t — G—Jf

są nadharmoniczne, a zatem J f €J^(U). W następnym kroku dowodzi się, że jeżeli Z€drU i f jest ciągłe w punkcie z, to J f (x) dąży do f(z) przy

x ^ z , xeJJ. W szczególności, jeżeli to funkcja

h(x) = Hf(x)—Jf(x)

jest harmoniczna, ograniczona i taka, że h(x) -> 0 przy x dążącym do dowolnego punktu regularnego na brzegu. Z zasady minimum (§ 9.8) wynika, że h = 0, tzn. że zachodzi wzór (9.1).

Podstawiając / = I A we wzorze (9.11) otrzymujemy równość

jUx (A) = Px {x(C)eA} dla xeTJ, A e B ( R N), A a d U ,

o której wspominaliśmy we wstępie. L it e r a t u r a

Przegląd nowszych metod w teorii potencjału, I I I 119

X . F u n k cje i obszary G reena. W ym iatanie.

§10.1. Funkcja qt(x, y). Z określenia (9.1) wynika, że przy usta­ lonych t > 0 i x e U funkcja zbioru Qt(x, •) jest absolutnie ciągła wzglę­ dem miary Lebesgue’a. Na mocy twierdzenia Radona-Nikodyma istnieje więc funkcja borelowska qt(x, •) taka, że

(10.1) Qt(x,A) = f q t(x,y)dy

A

dla dowolnego zbioru borelowskiego A zawartego w U. Funkcja ta okreś­ lona jest przez (10.1) jedynie z dokładnością do zbioru miary 0, można ją jednak określić w inny sposób (podany przez Hunta), który jest wolny od tej niejednoznaczności. Pokażemy mianowicie, że

(10.2) qt(x, y) = p t(x, y ) - E x \pt_c(x{£), y ) ; t > £},

gdzie pt{oo,y) dane jest wzorem (8.4) i £ = T0+(U). Aby wykazać, że funkcja (10.2), która jest określona na produkcie B + x U x U, spełnia równanie (10.1), zauważmy wpierw, że Px{£ — t} = 0 dla t > 0. Korzys­ tając z tego i z mocnej własności Markowa, można pokazać, że

Px{x{t)eA; t > £} = J Ux {pt_c(x(£), y); t > £}dy.

A

Z drugiej strony z (9.1) wynika, że

Pt{ x , A ) = Q t{ x , A ) + P x {x{t)cA, t > £ } .

Zestawiając to z (8.3) i (10.2) otrzymujemy (10.1).

Można udowodnić, że dla dowolnego obszaru U funkcja q określona wzorem (10.2) ma ciągłe pochodne cząstkowe wszystkich rzędów wzglę­ dem x, y, t. Funkcja ta jest symetryczna względem x, y; przy ustalonym

у spełnia ona równanie ciepła

d

l A xqt{x, y) = —- qt{x, y) ot

oraz qt(x, y) -> 0 przy x dążącym do punktu regularnego zedU. Z (9.2) wynika również, że spełnione jest równanie Smoluchowskiego

(Łt+s {oo, У) =

f qt

u

Funkcja qt{x, y) jest identyczna z funkcją pt{x, y) omówioną w § 4.9. § 10.2. Funkcja Greena. Wygodnie jest wprowadzić oznaczenie

120 Z. C i e s i e l s k i i Z. S e m a d e n i

Dla N > 2 funkcja ta różni się jedynie czynnikiem stałym od rozwiąza­ nia podstawowego h zdefiniowanego wzorem (4.2). Czynniki stałe są tak dobrane, aby

\АхЬ]${х У) =

(por. § 4.3 i § 9.3). Używać będziemy również zmodyfikowanej funkcji Greena, mianowicie G(x, у ) oznaczać będzie teraz funkcję Greena obszaru

U zdefiniowaną w § 4.2 pomnożoną przez czynnik stały taki, aby

\ A xG{x^ys) — by.

Pojęcie obszaru Greena (tzn. obszaru mającego funkcję Greena) ma sens również dla Ж = 1; w tym przypadku obszarami Greena są przedziały otwarte (a, 6), w których co najmniej jeden z końców jest skończony, tzn. każdy obszar U <= R 1 jest obszarem Greena z wyjąt­ kiem U — R 1. Jeżeli — oo < a < b < oo, to

, , , {a+b){x+y)-2{xy+ab)

G(x,y) = - | x - y \ Ą --- --- --- , b—a

jeżeli zaś oo < a < Ъ = oo, to

G(x,y) = — \x—y\ —2a +

(x+y)-Najtrudniejszym i zarazem najciekawszym jest przypadek N = 2. Wiadomo, że każdy obszar ograniczony w R 2 ma funkcję Greena, nato­ miast cała przestrzeń R % nie ma. Obszar U <= R 2 (lub ogólniej powierzch­ nia Riemanna) nazywa się Mperholiczny (w terminologii Ahlforsa), jeżeli istnieje funkcja nadharmoniczna i dodatnia na U, nie będąca stałą. Do­ wodzi się, że jeżeli choć jedna taka funkcja istnieje, to istnieje również funkcja Greena.

JeżeU N > 3, to każdy obszar ma funkcję Greena.

W § 4.9 wspomnieliśmy o następującym twierdzeniu Hunta (słusz­ nym dla Ж > 1):

Jeżeli U jest obszarem Greena, to OO

(10.3) G(x, y) — j qt(x, y)dt dla x , y e U )

o

jeżeli natomiast U nie ma funkcji Greena, to całka po prawej stronie jest rozbieżna dla wszystkich х, у e U.

Bezpośrednio z tego twierdzenia można otrzymać interesujący wniosek:

Jeżeli U jest obszarem Greena, A€ B { R N), A cz U i xeTJ, to

f

Ex { j l A (x(t))dĄ= fG(x, y)dy .

Przegląd nowszych metod w teorii potencjału, I I I 121

§ 10.3. Obszary, z których cząstki nie wychodzą. Oznaczmy przez

g{x) prawdopodobieństwo tego, że cząstka startująca z punktu x opuści

po skończonym czasie obszar U, tzn. g(x) = Pz {£ < oo}. Korzystając z własności Markowa można pokazać, że

Qtg(%) = Px{t < C < °°} < Px {0 < £ < = g(x)

dla dowolnych t > 0 i xeU. Oznacza to, że funkcja g jest ekscesywna, a zatem funkcja

Px{C = oo} = 1 — PX{C < oo] = 1 —g(x)

jest podharmoniczna. Na mocy zasady minimum, jeżeli PXq{C = °°} = 1 dla pewnego ж0е U, tzn. jeżeli cząstka startująca z punktu x0 z prawdopo­ dobieństwem 1 nie wyjdzie z obszaru U, to własność tę ma też każdy inny punkt obszaru, tzn. Px{£ = oo} = 1 dla każdego xeU. Jeżeli U jest takim obszarem, to zbiór R N\ U ma pojemność równą 0, a z (10.2) wynika, że p t(x, y) = qt(x, y) dla / > 0, x ,y€ U . W przypadku tym funk­ cja q nie zależy od U, tzn. jest taka, jak dla U — B N.

Ciekawszym jest przypadek, gdy Px{£ = oo} < l dla wszystkich

xe TJ. Można udowodnić, że jeżeli N — 1 lub N = 2, to PX{C < oo} jest

równe albo 0 albo 1 i na to, aby Px {£ < oo} było równe 1, potrzeba i wy­ starcza, aby obszar miał funkcję Greena.

§ 10.4. Wymiatanie. Głównym celem tego paragrafu jest opisanie funkcji wymiecionej BĘ (§ 3.5) przy pomocy pojęć czysto probabilistycz­ nych. Niech U będzie obszarem Greena w RN (N > 1) i niech A będzie podzbiorem borelowskim obszaru U. Oznaczmy

f A {x) = E x lf(x(&A)); < C],

gdzie 19a — T0+(Rn\ A ) , / > 0 , xeU. Z twierdzenia omówio­ nego w § 8.7 oraz z (9.4) wynika, że

(10.4) f A (x) — B\xp{fK (x): К <= А, К zwarte}

dla же TJ. Wiemy już, że funkcja f K jest borelowska. Ponadto z własności Markowa wynika, że

QtfK(v) = Ex\f(x{$A))\

gdzie -&1a — Ti+(RN\ A ) . Oznacza to, że funkcja f K{x) jest ekscesywna,

a zatem nadharmoniczna. Ponieważ funkcje f K tworzą rodzinę filtrującą w górę funkcji nadharmonicznych, z uwagi na (10.4) funkcja f A jest też nadharmoniczna i oczywiście nieujemna. Ponadto, jeżeli zbiór A nie jest cienki w punkcie ж0, to na mocy twierdzenia Dooba (§ 9.7) Px {^a = 0} = 1, a zatem /^(ж0) = /( ж 0). Z własności funkcji wymiecionych wynika więc, że

122 Z. C i e s i e l s k i i Z. S e m a d e n i

Nierówność przeciwną można pokazać w sposób następujący: jeżeli К jest podzbiorem zwartym zbioru A, to Bf{x) ~ f(x) dla x e K r, a z drugiej strony, na mocy (9.8),

Px{x(&K) e K r , < £} — Pz{&K < C} j

a zatem f K(%) — Ex \ B f (#($&)); < C}- Podstawiając r = &K i r' = 0 we wzorze (9.3) stwierdzamy, że

Sk (%) < B f (x ) < B f ( x ) .

Wnosimy stąd, że f A < B f , a porównując to z (10.5) otrzymujemy (Ю.6) B?(x) = jEx {f(x(#A))-, $A < ę ).

Wynik ten pochodzi od Hunta; szczególne przypadki były wcześniej udowodnione przez Dooba. Eówność ta jest oczywistym uogólnieniem równości (9.7).

L it e r a t u r a

Z. Ciesielski [2], J. L, Doob [1], E. Dynkin [2], M. Heins [1], G-. A. Hunt [1], [2], К. Ito i H. P. Mc Kean [1], S. Kakutani [1].

X I . M etoda K a c a w teorii p oten cjału

§ 11.1. Mocne wymiatanie i zbiory mocno cienkie. Niech U będzie obszarem Greena w B N, N > 1; Ж \ ( U) oznaczać będzie zbiór funkcji nadharmonicznych i nieujemnych na U. Jeżeli E c TJ i ( U), to określamy

(11.1) (x) = inf{U(x): ueAy},

gdzie A„ jest zbiorem wszystkich funkcji и е Ж ^ (и ) takich, że u > v prawie wszędzie (ze względu na N-wymiarową miarę Lebesgue’a) na E. Z określenia tego wynika, że jeżeli E' różni się od E o zbiór miary 0, to

3v’(x) = $ f. Dowodzi się jjonadto, że istnieje zbiór E 0 zawarty w E i taki,

że |_E\_E70| = 0 i

(11.2) Sy (x) = Bv°(x) dla xeU.

Przegląd nowszych metod w teorii 'potencjału, I I I 12 3

E

E

(y, r)

r

v(y)

v(x)

ХеЕ, X—ytj

dla pewnej funkcji

Г€Ж\{11).

N

harmoniczne są ciągłe i drugi z tych warunków nie może być spełniony. Niech

E

E

SE (x)

v{x)

xeE*.

\E\E*\

(11.3) =

BE*^U

BE*^E

U

dla

E

1

геЖ\_{Е).

twierdzenie:

Zbiór E jest s-cienki w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór E*

jest cienki w

a to z kolei jest równoważne temu, że zbiór E* r\ E jest

cienki w x0.

Jeżeli (zgodnie z rozważaniami § 8.7)

Er

E

{E*)*

E*

{E*)r.

Można pokazać, że warunek limsup

Pt(x, A)

na to, aby

xeAr

AeB(BN

xeA*.

§ 11.2. Zbiory s-regularne. Zbiór

E

s-regularny

quasi

s

-regularny

E

E*

E*

A,

A

E

E

E*,

E\E*

Dowodzi się, że następujące warunki są równoważne: 1°

E

Er,

2°

E

8?

BE

ve3fl{U).

§ 11.3. Zbiory półklasyczne. Podzbiór

E

U

półklasyczny,

SE{x)

(x)

E.

zbiór E jest półklasyczny wtedy i tylko wtedy, gdy Sf