Stabiliteitsfactor en kans op afschuiven van grondlichamen

i n g . M. T h . v a n d e r Meer i r . W. Meermans C c i . D e l f t , november J'i34 n r . 13780510 v a k g r o e p W a t e r b o u w k u n d e a f d . d e r C i v i e l e T e c h n i e k TH D e l f t

1. I n l e i d i n g , d o e l v a n h e t o n d e r z o e k 1 2. G e b r u i k t e g l i j v l a k b e r k e n i n g s m e t h o d e 6 2.1. I n l e i d i n g ^ 2.2. G l i j c i r k e l a n a l y s e m.b.v. de methode " F e l l e n i u s " 6 2.3. P r o b a b i l i s t i s c h e n i v e a u I l - b e r e k e n i n g e n 8 3. H e t g e v a l , d a t de s t a b i l i t e i t s f a c t o r u i t s l u i t e n d b e p a a l d w o r d t d o o r de h o e k v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g e n de t a l u d h e l l i n g s h o e k 13 3 . 1 . I n l e i d i n g , . 3.2. De h o e k v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g a l s s t o c h a s t i s c h e v a r i a b e l e met e e n n o r m a l e v e r d e l i n g _ '3 3.3. De h o e k v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g e n de t a l u d h e l l i n g s h o e k a l s s t o c h a s t i s c h e v a r i a b e l e n met n o r m a l e v e r d e l i n g e n 17 4. H e t g e v a l , d a t de s t a b i l i t e i t s f a c t o r u i t s l u i t e n d b e p a a l d w o r d t d o o r de c o h e s i e , h e t v o l u m e g e w i c h t v a n de g r o n d , de t a l u d h o o g t e e n de t a l u d h e l l i n g s h o e k 21 4 . 1 . A n a l y t i s c h e b e s c h o u w i n g 21 4 . 1 . 1 . I n l e i d i n g , ^' 4.1.2. De c o h e s i e e n h e t v o l u m e g e w i c h t a l s s t o c h a s t i s c h e v a r i a b e l e n m e t n o r m a l e v e r d e l i n g e n _ 22 4.1.3. De c o h e s i e e n h e t v o l u m e g e w i c h t a l s s t o c h a s t i s c h e v a r i a b e l e n , w a a r b i j c e e n l o g n o r m a l e e n Y e e n n o r -m a l e v e r d e l i n g h e e f t 25 4.1.4. De c o h e s i e , h e t v o l u m e g e w i c h t e n de t a l u d h o o g t e ^ a l s s t o c h a s t i s c h e v a r i a b e l e n met n o r m a l e v e r d e l i n ¬ gen .. . 30 4.1.5. De c o h e s i e , h e t v o l u m e g e w i c h t e n de.coördingaten v a n de k r u i n l i j n a l s s t o c h a s t i s c h e v a r i a b e l e n met n o r m a l e v e r d e l i n g e n 32 4.2. N u m e r i e k e b e n a d e r i n g 37 4 . 2 . 1 . G e b r u i k t e p r o g r a m m a t u u r 37 4.2.2. T o e p a s s i n g op h e t g e v a l , d a t de c o h e s i e , h e t y o l u -m e g e w i c h t e n de a b s c i s e n o r d i n a a t v a n de k r u i n s t o c h a s t i s c h e v a r i a b e l e n met n o r m a l e v e r d e l i n g e n z i j n 6. C o n c l u s i e s L i t e r a t u u r 38 5. Meer g e c o m p l i c e e r d e g e v a l l e n ^ 1 5 . 1 . I n l e i d i n g _ _ ' 5.2. C o h e s i e , h o e k v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g , v o l u m e g e w i c h t e n de coördinaat v a n de k r u i n l i j n v a n h e t t a l u d a l s s t o c h a s -t i s c h e p a r a m e -t e r s ^ 1 5.3. V o o r b e e l d a l s i n p a r . 5.2., e c h t e r met t o e v o e g i n g v a n g r o n d w a t e r

5.4. Een g e v a l met twee g r o n d l a g e n '48 5.5. V o o r b e e l d a l s i n p a r . 5.4., e c h t e r m e t t o e v o e g i n g v a n g r o n d w a t e r 5.6. Een g e v a l met d r i e g r o n d l a g e n ^ 52 5.7. V o o r b e e l d a l s i n p a r . 5.6., e c h t e r met t o e v o e g i n g v a n g r o n d w a t e r ^2 5.8. O v e r z i c h t v a n e n i g e r e s u l t a t e n 56 5.9. V e r g e l i j k i n g v a n s t a b i l i t e i t s f a c t o r e n e n f a a l k a n s e n 56 59 62

1 Programma PROB«« ^3 - I n l e i d i n g . ^5 - W e r k i n g v a n h e t programma e n u i t v o e r - G e b r u i k v a n h e t programma e n i n v o e r - Runnen v a n h e t programma - V o o r b e e l d -jq - L i s t i n g programma PROB«# 2 B e p a l i n g v a n de s t a b i l i t e i t s f a c t o r v o o r e e n t a l u d b e s t a a n d e ÏÏrhomogene g r o n d m e t a l l e e n e e n h o e k v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g 73 3 B e p a l i n g v a n de s t a b i l i t e i t s f a c t o r v o o r e e n t a l u d b e s t a a n d e u i t homogene g r o n d m e t a l l e e n c o h e s i e 83 4 Programma FELLENIUS - B e s c h r i j v i n g v a n h e t programma gg - T e s t p r o b l e e m - L i s t i n g programma FELLENIUS 97 5 Programma FELPRO - B e s c h r i j v i n g v a n h e t programma - T e s t p r o b l e e m - L i s t i n g programma FELPRO 6 U i t v o e r FELPRO v o o r h e t g e v a l d a t de c o h e s i e h e t v o l u m e g e -w i c h t e n de a b s c i s e n de o r d i n a a t v a n d e k r u i n s t o c h a s t i s c h e v a r i a b e l e n m e t n o r m a l e v e r d e l i n g e n z i j n 7 U i t v o e r FELPRO v o o r h e t g e v a l d a t de c o h e s i e de h o e k v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g , h e t v o l u m e g e w i c h t e n de ^^^^^^H^l d i n a a t v a n de k r u i n s t o c h a s t i s c h e v a r i a b e l e n m e t n o r m a l e v e r d e l i n g e n z i j n 8 U i t v o e r FELPRO v o o r h e t g e v a l a l s b e s c h o u w d m b i j l a g e 7, e c h t e r m e t t o e v o e g i n g v a n g r o n d w a t e r ( m e t de coördinaten v a n de f r e a t i s c h e l i j n a l s s t o c h a s t i s c h e v a r i a b e l e n ) 9 U i t v o e r FELPRO v o o r e e n g e v a l m e t t w e e g r o n d l a g e n 10 U i t v o e r FELPRO v o o r e e n g e v a l met t w e e g r o n d l a g e n e n g r o n d -w a t e r n U i t v o e r FELPRO v o o r e e n g e v a l met d r i e g r o n d l a g e n J2 U i t v o e r FELPRO v o o r e e n g e v a l m e t d r i e g r o n d l a g e n e n g r o n d -w a t e r 121 123 127 129 135

I. Inleiding, doel van het onderzoek

In de ontwerppraktijk wordt de stabiliteit van grondlichamen

onder-zocht m.b.v. een glijvlakanalyse. Bij zo'n analyse wordt

veronder-steld, dat een deel van het grondlichaam over een bepaald vlak kan

afglijden. Er worden zekere vooronderstellingen omtrent de vorm

van dat vlak gemaakt, d.w.z. dat het een plat vlak is, of een

cir-kelcilinder, etc.

Voor de analyse van de stabiliteit van taluds worden meestal

cirkel-cilindrische glijvlakken verondersteld. Dit impliceert een vlakke

vervormingstoestand: de spanningen in de richting van de as van de

cilinder zijn constant en in die richting vervormt het grondlichaam

niet. De analyse kan zich dan beperken tot het beschouwen van het

evenwicht in een dwarsdoorsnede. Men spreekt dan van een

glijcir-kelanalyse.

Gewoonlijk worden een aantal additionele veronderstellingen gemaakt

m.b.t. de spanningsverdeling in het grondlichaam (lit.{I} ). Een

grenstoestand wordt geacht te zijn bereikt, als de schuif- en

nor-maalspanningen in de grond nog juist evenwicht kunnen maken met de

horizontale en vertikale krachten en de momenten als gevolg van

het gewicht van (en eventueel de belasting op) het deel van het

grondlichaam dat op het punt van afschuiven staat.

Veelal wordt het horizontale en vertikale evenwicht · buiten

schouwing gelaten en wordt alleen het momentenevenwicht in de

be-rekening betrokken.

In de ontwerppraktijk wordt de standzekerheid van taluds

beoor-deeld aan de hand van een stabiliteitsfactor:F. Deze factor kan,

in het geval dat alleen het momentenevenwicht in de berekening

wordt betrokken, gedefinieerd worden als het quotient van het

weer-strevend moment en het aandrijvend moment:

M

weerstrevend

F

= ~---M

_{aan rl.JVen}

d ' ' d M

w

=

M •••••••• • •• •. • •••••••• (1) a

Een stabiliteitsfactor van I definieert de grenstoestand: het

talud wordt dan geacht nog juist in evenwicht te zijn.

Het weerstrevend moment wordt bepaald door de gesommeerde

(gein-tegreerde) maximaal mobiliseerbare schuifspanningen:

= c + O ' t a n d) f n ^ ( 2 ) l a n g s h e t c i r k e l c i l i n d r i s c h e s c h u i f v l a k T t e v e r m e n i g v u l d i g e n m e t de s t r a a l R v a n de c i l i n d e r . I n d e f o r m u l e ( 2 ) i s : = m a x i m a a l m o b i l i s e e r b a r e s c h u i f s p a n n i n g (kN/m^) c = c o h e s i e v a n de g r o n d (kN/m^) = n o r m a a l k o r r e l s p a n n i n g ( l o o d r e c h t op h e t s c h u i f v l a k ) ( k N / m ^ ) <i> = h o e k v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g v a n de g r o n d (° o f r a d ) H e t a a n d r i j v e n d moment w o r d t gevormd d o o r h e t g e w i c h t G v a n h e t d e e l v a n h e t g r o n d l i c h a a m d a t g e a c h t w o r d t op h e t p u n t v a n a f s c h u i v e n t e s t a a n , v e r m e n i g v u l d i g d met de a f s t a n d a t u s s e n de c i l i n d e r -as e n de w e r k l i j n v a n d i t g e w i c h t ( z i e f i g . l ) .

^ ^ ^ ^

De a n a l y s e i s g e r i c h t op h e t v i n d e n v a n de m i n i m a l e s t a b i l i t e i t s -f a c t o r b i j m o g e l i j k e l i g g i n g e n v a n h e t g l i j c i r k e l m i d d e l p u n t e n b i j m o g e l i j k e c i r k e l s t r a l e n . Deze m i n i m a l e s t a b i l i t e i t s f a c t o r w o r d t DE s t a b i l i t e i t s f a c t o r v a n h e t t a l u d genoemd, e n g e e f t e e n i n d i c a t i e v a n de v e i l i g h e i d v a n h e t t a l u d t e g e n a f s c h u i v e n . I n de p r a k t i j k w o r d t v e e l a l e e n s t a b i l i t e i t s f a c t o r v a n m i n i m a a l 1,3 geëist v o o r een v o l d o e n d e v e i l i g h e i d . Men k a n z i c h e c h t e r a f v r a g e n , w a t " v o l d o e n d e v e i l i g h e i d " i n h o u d t , m.a.w. z i c h de v r a a g s t e l l e n , w a t de k a n s i s , d a t e e n t a l u d m e t een b e p a a l d e s t a b i l i t e i t s f a c t o r i n d e r d a a d n i e t a f s c h u i f t . B e r e k e n i n g e n , w a a r i n k a n s v e r d e l i n g e n v a n d i v e r s e p a r a m e t e r s mede i n b e s c h o u w i n g w o r d e n genomen, w o r d e n p r o b a b i l i s t i s c h e b e r e k e n i n g e n genoemd. U i t g a n g s p u n t i s h i e r de g r e n s t o e s t a n d . w a a r i n a a n d r i j v e n d

en w e e r s t r e v e n d moment e l k a a r n o g j u i s t i n e v e n w i c h t h o u d e n . De b e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e (BTF) k a n g e d e f i n i e e r d w o r d e n a l s h e t v e r s c h i l v a n d e " s t e r k t e " ( h i e r : h e t w e e r s t r e v e n d moment) en de " b e l a s t i n g " ( h i e r : h e t a a n d r i j v e n d m o m e n t ) : Z = M - M ( 3 a ) w a o f a l s h e t quotiënt v a n h e t w e e r s t r e v e n d moment en h e t a a n d r i j -v e n d moment, -v e r m i n d e r d m e t 1 : 7 _ !w _ , ( 3 b ) ^ " M a V o o r een v e r g e l i j k i n g m e t de s t a b i l i t e i t s f a c t o r F l e e n t d e n o t a t i e v a n d e BTF v o l g e n s v e r g e l i j k i n g ( 3 b ) z i c h b e t e r d a n d i e v o l -gens v e r g e l i j k i n g ( 3 a ) , z i e v e r g e l i j k i n g ( 1 ) . De p r o b a b i l i s t i s c h e b e r e k e n i n g h e e f t t o t d o e l , g e g e v e n d e k a n s v e r -d e l i n g e n v a n -de -d i v e r s e p a r a m e t e r s ( b a s i s v a r i a b e l e n ) , -d e k a n s t e b e p a l e n , d a t de BTF e e n w a a r d e k l e i n e r d a n n u l aanneemt. H e t v e r s c h i l t u s s e n d e " k l a s s i e k e " g l i j c i r k e l a n a l y s e e n e e n p r o b a b i l i s t i s c h e b e r e k e n i n g i s d u s h i e r i n g e l e g e n , d a t men i n de l a a t s t g e -noemde o o k de k a n s v e r d e l i n g e n v a n de v e r s c h i l l e n d e p a r a m e t e r s i n de b e r e k e n i n g e n b e t r e k t . P r o b a b i l i s t i s c h e b e r e k e n i n g e n k u n n e n w o r d e n o n d e r s c h e i d e n i n d r i e n i v e a u s ( l i t . { 2 } ) : N i v e a u I I I b e h e l s t de e x a c t e p r o b a b i l i s t i s c h e b e r e k e n i n g , w a a r i n de k a n s d i c h t h e i d s f u n c t i e s ( k . d . f . ' s ) v a n a l l e p a r a m e t e r s i n b e -s c h o u w i n g w o r d e n genomen e n de BTF n i e t w o r d t g e l i n e a r i -s e e r d . N i v e a u I I omvat e e n a a n t a l b e n a d e r e n d e m e t h o d e n , w a a r b i j d e BTF w o r d t g e l i n e a r i s e e r d i n e e n b e p a a l d p u n t . B i j d e z e m e t h o d e n mogen g e e n g e c o r r e l e e r d e v a r i a b e l e n v o o r k o m e n . N i v e a u I b e t r e f t de h u i d i g e o n t w e r p m e t h o d e n , d i e a f s t a n d s c h e p p e n t u s s e n de k a r a k t e r i s t i e k e w a a r d e n v a n s t e r k t e e n b e l a s t i n g d o o r m i d d e l v a n v e i l i g h e i d s f a c t o r e n . De " k l a s s i e k e " g l i j c i r k e l a n a l y s e i s een v o o r b e e l d v a n e e n n i v e a u I -b e r e k e n i n g . Men k a n immers v e r g e l i j k i n g ( 1 ) o o k s c h r i j v e n a l s : ^ °^ \ e e r s t r e v e n d " ^ * ^ a a n d r i j v e n d ^ ^

Omdat de s t a b i l i t e i t s f a c t o r a l s v e r m e n i g v u l d i g i n g s f a c t o r v o o r de " b e l a s t i n g " g e b r u i k t w o r d t , s p r e e k t men h i e r v a n e e n " l o a d f a c t o r d e s i g n " . N i v e a u I l l b e r e k e n i n g e n r e s u l t e r e n i n z e e r i n g e w i k k e l d e , m e e s t -a l -a n -a l y t i s c h n i e t o p l o s b -a r e i n t e g r -a l e n . N u m e r i e k e i n t e g r -a t i e s v e r g e n , i n d i e n men a l t h a n s e n i g e r e l e v a n t e n a u w k e u r i g h e i d . e i s t , z e e r v e e l r e k e n t i j d ( z i e l i t . { 3 } ) . U i t p r a k t i s c h o o g p u n t z i j n n i v e a u I l - m e t h o d e n i n t e r e s s a n t e r . Ook h i e r i n i s e e n k l a s s e - i n d e l i n g a a n t e g e v e n : 1. g e m i d d e l d e w a a r d e - e e r s t e o r d e - t w e e d e moment m e t h o d e (mean v a l u e - b e n a d e r i n g ) 2. v e r f i j n d e e e r s t e o r d e - t w e e d e moment m e t h o d e ( a d v a n c e d l e v e l I l - b e n a d e r i n g ) 3. m e t h o d e , d i e g e b r u i k m a a k t v a n d o o r n o r m a l e v e r d e l i n g e n b e n a -d e r -d e k a n s -d i c h t h e i -d s f u n c t i e s ( a p p r o x i m a t e f u l l - d i s t r i b u t i o n a p p r o a c h ) I n de o n d e r 1. genoemde m e t h o d e w o r d t de BTF g e l i n e a r i s e e r d i n h e t p u n t , b e p a a l d d o o r de g e m i d d e l d e w a a r d e n v a n d e p a r a m e t e r s . De BTF b e h o e f t d a a r dus z e k e r n i e t n u l t e z i j n . De h i e r b i j b e r e -k e n d e f a a l -k a n s i s a f h a n -k e l i j -k v a n de s c h r i j f w i j z e v a n de BTF. I n h e t o n d e r h a v i g e g e v a l m a a k t h e t dus v e r s c h i l u i t , o f men v e r g e -l i j k i n g ( 3 a ) o f v e r g e -l i j k i n g ( 3 b ) a -l s BTF b e s c h o u w t . I n de o n d e r 2. genoemde m e t h o d e w o r d t d e BTF g e l i n e a r i s e e r d i n een p u n t w a a r i n de BTF g e l i j k i s a a n n u l en v o o r d i e w a a r d e n v a n de p a r a m e t e r s , w a a r v o o r de m a x i m a l e k a n s d i c h t h e i d w o r d t b e r e i k t : h e t z g n . d e s i g n p o i n t . H e t d e s i g n p o i n t w o r d t i n e e n i t e r a t i e p r o -ces b e p a a l d . De b e r e k e n d e f a a l k a n s i s h i e r o n a f h a n k e l i j k v a n d e s c h r i j f w i j z e v a n de BTF. Z o w e l de o n d e r 1 . a l s de o n d e r 2. genoemde m e t h o d e v e r e i s t , d a t de k a n s v e r d e l i n g e n v a n de p a r a m e t e r s n o r m a l e v e r d e l i n g e n z i j n ( o f d a a r u i t e e n v o u d i g k u n n e n w o r d e n a f g e l e i d , z o a l s l o g n o r m a l e v e r -d e l i n g e n ) . De o n d e r 3. genoemde m e t h o d e l a a t ook n i e t - n o r m a l e v e r d e l i n g e n t o e . Deze w o r d e n l o c a a l b e n a d e r d d o o r n o r m a l e v e r d e l i n g e n d i e i n h e t

beschouwde p u n t d e z e l f d e w a a r d e en d e z e l f d e a f g e l e i d e h e b b e n . D i t v e r g t t . o . v . de o n d e r 2. genoemde m e t h o d e een e x t r a i t e r a -t i e . Ook h i e r w o r d -t een g e l i n e a r i s e e r d e BTF beschouwd en i s de b e r e k e n d e f a a l k a n s o n a f h a n k e l i j k v a n de s c h r i j f w i j z e v a n de BTF. I n d i t r a p p o r t w o r d t de s t a b i l i t e i t s f a c t o r , b e r e k e n d v o l g e n s een " k l a s s i e k e " g l i j c i r k e l a n a l y s e v e r g e l e k e n met de f a a l k a n s e n , b e -r e k e n d v o l g e n s n i v e a u I I , k l a s s e 1 en 2-methoden. T e v e n s z a l de i n v l o e d v a n de d i v e r s e p a r a m e t e r s op de t o t a l e b e z w i j k k a n s w o r d e n n a g e g a a n . D i t l a a t s t e i s m o g e l i j k , omdat n i v e a u I l b e r e k e n i n -g e n i n wezen -gewo-gen -g e v o e l i -g h e i d s a n a l y s e s z i j n : de -g e v o e l i -g h e i d v a n de f a a l k a n s v o o r e e n b e p a a l d e p a r a m e t e r w o r d t b e p a a l d d o o r de w a a r d e v a n de partiële a f g e l e i d e d a a r v a n , gewogen met de s t a n

-d a a r -d a f w i j k i n g v a n -d i e p a r a m e t e r . E e r s t z u l l e n n u de g e b r u i k t e g l i j v l a k b e r e k e n i n g s m e t h o d e ( z i e o o k b i j l a g e 4 ) . e n i g e a a n v u l l e n d e v e r o n d e r s t e l l i n g e n m . b . t . de g e -b r u i k t e p r o -b a -b i l i s t i s c h e n i v e a u I l - -b e n a d e r i n g en de g e v o l g d e w e r k w i j z e n a d e r w o r d e n b e h a n d e l d . V e r v o l g e n s z u l l e n t w e e e e n v o u d i g e g e v a l l e n w o r d e n b e z i e n , t e w e t e n ,. De s t a b i l i t e i t s f a c t o r F w o r d t u i t s l u i t e n d b e p a a l d d o o r de h o e k v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g W e n de t a l u d h e l l i n g s h o e k ( a ) . 2. De s t a b i l i t e i t s f a c t o r F w o r d t u i t s l u i t e n d b e p a a l d d o o r de c o h e s i e ( c ) , h e t v o l u m e g e w i c h t v a n de g r o n d ( y ) . de t a l u d h o o g t e ( h ) en d e t a l u d h e l l i n g s h o e k ( a ) . Wegens de o v e r z i c h t e l i j k h e i d en h e t g e r i n g e a a n t a l p a r a m e t e r s d a t e e n r o l s p e e l t , l e n e n d e z e g e v a l l e n z i c h goed v o o r een u i t g e b r e i -d e r e u i t e e n z e t t i n g v a n -de g e b r u i k t e n i v e a u I l - b e n a -d e r i n g . T e n s l o t t e w o r d e n meer g e c o m p l i c e e r d e g e v a l l e n b e h a n d e l d , z o a l s de c o m b i n a t i e v a n c o h e s i e en h o e k v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g , de i n v l o e d v a n g r o n d w a t e r e n m e e r - l a g e n - s y s t e m e n .

2« G e b r u i k t e g l i j v l a k b e r e k e n i n g s m e t h o d e 2 . 1 , I n l e i d i n g Onder de g l i j v l a k b e r e k e n i n g s m e t h o d e n w a a r i n a l l e e n h e t momenten-e v momenten-e n w i c h t w o r d t b momenten-e s c h o u w d , k u n n momenten-e n gmomenten-enomomenten-emd w o r d momenten-e n : 1. d e " s i m p l i f i e d B i s h o p " - m e t h o d e 2. d e m e t h o d e "Hoogenboom" 3. d e m e t h o d e " F e l l e n i u s " Van d e z e i s d e " s i m p l i f i e d B i s h o p " - m e t h o d e h e t m e e s t g e b r u i k e l i j k . Om p r a k t i s c h e r e d e n e n i s v o o r h e t o n d e r h a v i g e o n d e r z o e k g e k o z e n v o o r de m e t h o d e " F e l l e n i u s " . Van de " s i m p l i f i e d B i s h o p " m e t h o d e i s a f g e -z i e n , omdat i n d e -z e m e t h o d e de s t a b i l i t e i t s f a c t o r l a n g s i t e r a t i e v e weg b e p a a l d w o r d t . I n de p r o b a b i l i s t i s c h e n i v e a u I l - b e n a d e r i n g w o r d t h e t d e s i g n p o i n t e v e n e e n s l a n g s i t e r a t i e v e weg b e p a a l d . De " s i m p l i f i e d B i s h o p " m e t h o d e , i n g e v o e r d a l s BTF, v e r g t d a n e e n e x t r a i t e r a t i e -p r o c e d u r e , w a a r d o o r de r e k e n t i j d s t e r k t t o e n e e m t .

Een meer o p p o r t u n i s t i s c h e r e d e n was g e l e g e n i n h e t f e i t , d a t a a n -g e s l o t e n k o n w o r d e n b i j r e e d s o n t w i k k e l d e p r o -g r a m m a t u u r . V o o r o.a. de m e t h o d e F e l l e n i u s was i n 1980 e e n r e k e n p r o g r a m m a v o o r een éénlaagsysteem en e e n o n g e k n i k t t a l u d o n t w i k k e l d d o o r V e r r u i j t ( l i t . { l } ) . I n e e n a f s t u d e e r o n t w e r p i s d i t programma u i t g e b r e i d v o o r e e n m e e r -l a g e n s y s t e e m , i n c -l u s i e f g r o n d w a t e r , en v o o r g e k n i k t e t a -l u d s ( -l i t . { 4 } ) . Door d e a f d e l i n g WTG v a n d e D e l t a d i e n s t w e r d e e n a a n z e t g e p r o g r a m -m e e r d v o o r e e n p r o b a b i l i s t i s c h e b e n a d e r i n g -m e t e e n z e e r b e p e r k t a a n t a l s t o c h a s t i s c h e v a r i a b e l e n ( l i t . { 5 } ) . V o o r h e t o n d e r h a v i g e o n d e r z o e k i s d i t l a a t s t e programma u i t g e b r e i d en g e k o p p e l d a a n e e n b i j de V a k g r o e p W a t e r b o u w k u n d e a a n w e z i g s t a n d a a r d p r o b a b i l i s t i s c h n i v e a u I l p r o g r a m r a a , z o d a t z o w e l s t a b i l i t e i t s -f a c t o r e n a l s -f a a l k a n s e n b e r e k e n d k o n d e n w o r d e n . D i t programma ( z i e b i j l a g e 4 ) w e r d g e s c h r e v e n i n A p l l e s o f t B A S I C . A l l e v o o r d i t r a p -p o r t g e m a a k t e b e r e k e n i n g e n w e r d e n u i t g e v o e r d m.b.v. e e n A -p l l e I l e m i c r o c o m p u t e r ( m e t i n c i d e n t e l e a a n v u l l i n g v a n een HP85 m i c r o c o m p u -t e r , e v e n e e n s g e p r o g r a m m e e r d i n B A S I C ) .

2.2. Glii£irkelanal2se_m^b^v^_de_methode F e l l e n i u s _ ( 1 i 6 } _ 2 B i j de m e t h o d e F e l l e n i u s w o r d t de c i r k e l c i l i n d r i s c h e a f s c h u i v e n d e g r o n d m o o t v e r d e e l d i n e e n a a n t a l l a m e l l e n , d i e b e g r e n s d w o r d e n d o o r v e r t i k a l e v l a k k e n . L a n g s h e t g l i j v l a k w e r k t een s c h u i f s p a n n i n g T , w a a r v o o r g e s t e l d , w o r d t d a t d i e o v e r a l e e n f a c t o r F k l e i -n e r i s d a -n de m a x i m a a l m o g e l i j k e : T = ( 5 ) m e t : = c + t a n (j) ... ( 2 ) U i t h e t m o m e n t e n e v e n w i c h t t . o . v . h e t m i d d e l p u n t v a n d e c i r k e l v o l g t ( z i e f i g . 2 ) : N N T Ax. R Z Yh. Ax R s i n i j j . = T. , . ' 1 i ^ 1 . , c o s Tp. 1=1 ^ 1=1 ^ 1 ( 6 ) w a a r i n N h e t a a n t a l l a m e l l e n i s . V e r g e l i j k i n g e n ( 2 ) en ( 5 ) i n g e v u l d i n ( 6 ) l e v e r t ! F = N • ^ ^ i

( c + a

tan^)^^

1=1 ^ N

E Yh. Ax. s i n ilJ. i = l ^ ^ ( 7 ) De g r o n d n o r m a a l s p a n n i n g 0^ w o r d t b e n a d e r d d o o r a a n t e nemen d a t de l a m e l l e n o n d e r l i n g g e e n k r a c h t e n op e l k a a r u i t o e f e n e n . Dan v o l g t u i t h e t e v e n w i c h t i n r a d i a l e r i c h t i n g :

O

= Yh. c o s

\b.

n ' 1 ^ 1 ( 8 ) en m e t

w a a r i n : = g r o n d n o r m a a l s p a n n i n g (kN/m ) ' 2 a = k o r r e l n o r m a a l s p a n n i n g (kN/m ) 2 p = w a t e r s p a n n i n g (kN/m ) v o l g t : ' 2 O = Y h . c o s ^. - p , n ^ ' 1 ^ 1 ^ 1 ( 1 0 ) (10) i n g e z e t i n ( 7 ) g e e f t : A x , F = N T. y h . Ax, siwh. i = l ^ ^ ^ ( I I ) A l s b e z w a r e n t e g e n de m e t h o d e F e l l e n i u s k u n n e n w o r d e n genoemd: 1. A l g e m e e n b e z w a a r t e g e n g l i j v l a k b e r e k e n i n g e n : h e t o n t b r e k e n v a n een d e g e l i j k e f u n d a m e n t e l e b a s i s v o o r een m a t e r i a a l m e t e e n hoek v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g . De p l a s t i c i t e i t s t h e o r i e o f de b e r e k e n i n g a a n de v e i l i g e o f aan de o n v e i l i g e k a n t i s . 2. De i n t e r l a m e l k r a c h t e n w o r d e n v e r w a a r l o o s d . 3. Er w o r d t a l l e e n r e k e n i n g g e h o u d e n met h e t m o m e n t e n e v e n w i c h t , n i e t met h e t k r a c h t e n e v e n w i c h t . 4. E r i s s p r a k e v a n i n t e r n e i n c o n s i s t e n t i e . E n e r z i j d s w o r d t g e s t e l d , d a t de c i r k e l een g l i j v l a k i s , a n d e r z i j d s w o r d t g e -s t e l d , d a t de v e r t i k a l e n o r m a a l -s p a n n i n g een h o o f d -s p a n n i n g i -s . ( S c h u i f s p a n n i n g e n t u s s e n de l a m e l l e n w o r d e n immers v e r w a a r -l o o s d ) . H e t v o o r d i t r a p p o r t g e b r u i k t e programma i s opgenomen i n b i j -l a g e 4. 2.3. P£2kShilistische n i v e a u _ I l 2 b e r e k e n i n g e n H e t p r o b l e e m d o e t z i c h v o o r , d a t g r o n d l i c h a m e n ( o f , b i j g e l a a g d -h e i d d a a r i n : de v e r s c -h i l l e n d e l a g e n ) z e l d e n -homogeen z i j n . (N.B. D i t h o u d t i n , d a t de g r o n d p a r a m e t e r s ( c o h e s i e , h o e k v a n i n -w e n d i g e -w r i j v i n g , v o l u r n e g e -w i c h t ) en de " g e o m e t r i e p a r a m e t e r s " ( t a l u d h e l l i n g s h o e k , h o o g t e v a n h e t t a l u d , l i g g i n g v a n l a a g -s c h e i d i n g e n , e t c . ) v a n p l a a t -s t o t p l a a t -s k u n n e n v e r -s c h i l l e n . i n de g e b r u i k e l i j k e v o r m , met o n d e r g r e n s e n b o v e n g r e n s c r i -t e r i a i s d a n n i e -t v a n -t o e p a s s i n g . Men k a n dus n i e -t z e g g e n

Z i e n we a f v a n r u i m t e l i j k e c o r r e l a t i e ( h e t v e r b a n d t u s s e n d e g r o o t -t e v a n e e n p a r a m e -t e r op e e n b e p a a l d e p l a a -t s e n d e g r o o -t -t e d a a r v a n op e e n a n d e r e p l a a t s , z i e o.a. l i t . { 7 } , { 8 } ) e n v a n c o r r e l a t i e t u s s e n p a r a m e t e r s o n d e r l i n g ( c o h e s i e e n h o e k v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g b i j v o o r b e e l d k u n n e n g e c o r r e l e e r d z i j n , z i e l i t . { 9 } ) d a n k u n -n e -n d e p a r a m e t e r s -n o g -n i e t e e -n d u i d i g ( d e t e r m i -n i s t i s c h ) w o r d e -n v a s t g e s t e l d omdat m.n. g r o n d p a r a m e t e r s w o r d e n b e p a a l d u i t t e s t r e -s u l t a t e n d i e p r a k t i -s c h -s t e e d -s e e n z e k e r e -s p r e i d i n g v e r t o n e n . I N D I T ONDERZOEK ZAL SLECHTS MET D I T LAATSTE ASPECT REKENING WOR-DEN GEHOUWOR-DEN. D i t i m p l i c e e r t , d a t e l k e d a a r v o o r i n a a n m e r k i n g komende p a r a m e t e r w o r d t o p g e v a t a l s e e n s t o c h a s t i s c h e g r o o t h e i d . A l s d a a r v a n e c h t e r e e n m a a l e e n ( m e e s t w a a r s c h i j n l i j k e ) w a a r d e i s v a s t g e s t e l d , d a n g e l d t d i e w a a r d e v o o r h e t g e h e l e g r o n d m a s s i e f ( m u t a t i s m u t a n d i s v o o r d e g e h e l e l a a g o f v o o r de g e o m e t r i e v a n h e t t a l u d ) . De b e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e (BTF) k a n g e d e f i n i e e r d w o r d e n a l s : Z = " S t e r k t e " - " B e l a s t i n g " Z o w e l de " s t e r k t e " a l s de " b e l a s t i n g " k a n a f h a n k e l i j k z i j n v a n d i v e r s e p a r a m e t e r s X, , d i e z u l l e n w o r d e n o p g e v a t a l s s t o c h a s t i s c h e g r o o t h e d e n . V o o r de g r e n s t o e s t a n d s f u n c t i e v o l g t d a n : Z = Z ( X j , X 2 X ^ ) = O ( 1 2 ) N i v e a u I l b e n a d e r i n g e n g a a n u i t v a n e e n g e l i n e a r i s e e r d e b e t r o u w -b a a r h e i d s f u n c t i e : V o e r t men d e l i n e a r i s e r i n g u i t i n h e t g e m i d d e l d e v a n Z, d a n d i e n e n v o o r de s t o c h a s t i s c h e p a r a m e t e r s X, de g e m i d d e l d e w a a r -d e n -d a a r v a n t e w o r -d e n i n g e v u l -d :

' 9 ^ 1

.(x.-y

) . . . . ( 1 4 )

z = z(y , y , ) + .^ 3x.

^ 1 ^ 2 n i = l L -1. - 1 X . Omdat w o r d t u i t g e g a a n v a n n o r m a a l v e r d e e l d e , o n g e c o r r e l e e r d e s t o c h -a s t e n , v o l g t e e n v o u d i g v o o r h e t g e m i d d e l d e v -a n Z:

1 2 n e n v o o r de s t a n d a a r d a f w i j k i n g v a n Z: ( 1 5 )

°

-9Z ]

dx.

X.=y - 1

'K.y

1 ( 1 6 ) De b e t r o u w b a a r h e i d s i n d e x 3 i s gedefiniëerd a l s h e t quotiënt v a n h e t g e m i d d e l d e en d e s t a n d a a r d a f w i j k i n g : ( 1 7 ) Daar d e g e l i n e a r i s e e r d e b e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e e e n s o m m a t i e i s v a n o n g e c o r r e l e e r d e , n o r m a a l v e r d e e l d e s t o c h a s t e n , i s o o k de g e l i n e a r i s e e r d e BTF e e n n o r m a a l v e r d e e l d e s t o c h a s t . De b e t r o u w b a a r h e i d s i n d e x n o r m e e r t d e z e s t o c h a s t t o t e e n , m e t s t a n d a a r d a f w i j k i n g 1 . De k a n s , d a t d e BTF een w a a r d e k l e i n e r d a n n u l a a n n e e m t , v o l g t d a n e e n v o u d i g u i t h e t i n v e r t e r e n v a n de n o r m a l e v e r d e l i n g ( " t e r u g z o e k e n " i n e e n t a b e l v a n de s t a n d a a r d n o r m a l e v e r -d e l i n g ) v o o r -de p a r a m e t e r w a a r -d e B: P r ( Z < 0 ) = P ~ ' ( - 3 ) ( 1 8 ) ( Z i e f i g . 3 )

of>p..-Tr[>:^o)

2rO

Wegens d e l i n e a r i s e r i n g i n d e g e m i d d e l d e w a a r d e n v a n de p a r a m e t e r s w o r d t d e v o r e n g a a n d e b e n a d e r i n g de mean v a l u e b e n a d e r i n g genoemd. Deze l e v e r t s l e c h t s b e t r o u w b a r e r e s u l t a t e n a l s de g r e n s t o e s t a n d s f u n c t i e l i n e a i r i s . V o o r t s i s de mean v a l u e b e n a d e r i n g n i e t i n -v a r i a n t t e g e n de s c h r i j f w i j z e -v a n de b e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e . ( Z i e o.a. l i t { l O } e n { l l } ) . V o o r t w e e s t o c h a s t i s c h e p a r a m e t e r s i s d e p r o c e d u r e h i e r o n d e r n o g eens g r a f i s c h w e e r g e g e v e n . A l s e e n h e d e n op de X j e n a s s e n z i j n de s t a n d a a r d a f w i j k i n g v a n X j r e s p . X^ g e k o z e n . De h o o g t e l i j n e n v a n de " k a n s d i c h t h e i d s b e r g " , b e p a a l d d o o r d e k a n s d i c h t h e d e n v a n X j en X„ , w o r d e n h i e r d o o r c i r k e l s om h e t p u n t Z = 0 , X, = y , X„= y . H e t p u n t , b e p a a l d d o o r de g e m i d d e l d e w a a r d e n v a n d e s t o c h a s t i s c h e p a r a m e t e r s b l i j k t u i t s t a t i s t i s c h o o g p u n t b e z i e n e e n v r i j w i l l e -k e u r i g p u n t om d e BTF t e l i n e a r i s e r e n . Een b e t e r e b e n a d e r i n g w o r d t v e r k r e g e n d o o r t e l i n e a r i s e r e n i n h e t d e s i g n p o i n t , d a t i s d a t p u n t op de g r e n s t o e s t a n d s f u n c t i e m e t de m a x i m a l e k a n s d i c h t h e i d ( z i e o n d e r s t a a n d e f i g u u r ) . H e t d e s i g n p o i n t i s op v o o r h a n d v a a k n i e t b e k e n d . H e t k a n b e p a a l d w o r d e n i n e e n i t e r a t i e f p r o c e s , s t a r t e n d m e t e e n mean v a l u e b e n a -d e r i n g , w a a r b i j m e t v o o r -d e e l g e b r u i k gemaakt k a n w o r -d e n v a n h e t f e i t , d a t d e h o o g t e l i j n e n v a n de g e z a m e n l i j k e k a n s d i c h t h e i d s f u n c t i e ( m e e r d i m e n s i o n a l e ) c i r k e l s w o r d e n a l s d e a s s e n v a n de p a r a m e t e r s g e s c h a a l d w o r d e n v o l g e n s de r e s p e c t i e v e l i j k e s t a n d a a r d a f w i j k i n g e n . 2

W i s k u n d i g g e z i e n komt h e t p r o b l e e m n e e r op h e t m i n i m a l i s e r e n v a n de b e t r o u w b a a r h e i d s i n d e x o n d e r de n e v e n v o o r w a a r d e , d a t de b e t r o u w -b a a r h e i d s f u n c t i e g e l i j k a a n n u l i s . Voor e e n n a d e r e t o e l i c h t i n g op de n i v e a u I l b e r e k e n i n g e n w o r d t v e r -w e z e n n a a r l i t . { 1 2 } . H e t b i j d i t o n d e r z o e k g e b r u i k t e programma PROB** i s a l s b i j l a g e 1 opgenomen i n d i t r a p p o r t .

3. H e t g e v a l , d a t de s t a b i l i t e i t s f a c t o r u i t s l u i t e n d b e p a a l d w o r d t d o o r de h o e k v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g <h e n de t a l u d h e l l i n g s h o e k a. 3 . 1 . I n l e i d i n g B i j a f w e z i g h e i d v a n c o h e s i e w o r d t d e s t a b i l i t e i t s f a c t o r F v a n e e n t a l u d b e p a a l d d o o r : F = t a n

<l>

( 1 9 ) t a n a ( Z i e b i j l a g e 2 ) . I n f o r m u l e ( 1 9 ) i s : F = s t a b i l i t e i t s f a c t o r 4» = h o e k v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g (° o f r a d ) a = t a l u d h e l l i n g s h o e k (° o f r a d ) A l s i n f o r m u l e ( 1 9 ) : F > 1 . d a n w o r d t h e t t a l u d g e a c h t s t a b i e l t e z i j n ; a l s F < 1 d a n w o r d t a f s c h u i v i n g g e a c h t op t e t r e d e n . H i e r u i t v o l g t , d a t e e n t a l u d u i t c o h e s i e l o z e g r o n d n i e t s t e i l e r o p g e z e t k a n w o r d e n d a n o n d e r d e h o e k v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g ( h e t " n a t u u r l i j k t a l u d " ) . De s t a b i l i t e i t i s d a n n i e t a f h a n k e l i j k v a n h e t v o l u -m e g e w i c h t v a n d e g r o n d . 3.2. De_hoek__van_inwendige_wriiving_É_ met e e n _ n o r m a l e _ v e r d e l i n g . A l s t a n a g e l i j k g e s t e l d w o r d t a a n i (a=26°33' 5 4 " ) e n tancf. w o r d t g e l i j k g e s t e l d a a n 1//3(<|)=30°) d a n v o l g t u i t f o r m u l e ( 1 9 ) : F = l , 1 5 4 7 W o r d t e e n s t a b i l i t e i t s f a c t o r v a n 1.3 geëist, d a n z a l men d i t t a l u d a l s " o n v o l d o e n d e s t a b i e l " k w a l i f i c e r e n . De v r a a g r i j s t n u : Hoe " o n v o l d o e n d e " i s de s t a b i l i t e i t ? M.a.w. w a t i s d e k a n s , d a t e e n d e r g e l i j k t a l u d i n d e r d a a d a f s c h u i f t ? De g r e n s t o e s t a n d w o r d t g e a c h t b e r e i k t t e w o r d e n a l s F = l . U i t f o r m u l e ( 1 9 ) v o l g t d a n v o o r de b e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e : Z = tancf) - t a n a (^°^ V e r o n d e r s t e l l e n we e e r s t , d a t a e e n d e t e r m i n i s t i s c h e g r o o t h e i d i s en d a t t a n a = | . V e r o n d e r s t e l l e n we v o o r t s , d a t de g r o n d b e s t a a t u i t homogeen, z u i v e r zand en d a t u i t p r o e f r e s u l t a t e n i s g e b l e k e n , d a t d e h o e k v a n i n w e n -d i g e w r i j v i n g g e m i -d -d e l -d 30° i s m e t een s t a n -d a a r -d a f w i j k i n g v a n 1° e n d a t d e p r o e f r e s u l t a t e n n o r m a a l v e r d e e l d z i j n .

v a r i a b e l e

x(i)=4>

G e m i d d e l d e ^ x ( i ) S t a n d a a r d a f w i j k i n g ^ x ( i ) v a r i a b e l e

x(i)=4>

30° 1° T a b e l 1 De g r e n s t o e s t a n d s f u n c t i e w o r d t : t a n ^ - 0,5 = O o f (}> = 26°33'54" ( 2 1 ) Gegeven de k a n s v e r d e l i n g e n v a n ^ , m o e t e n we dus de k a n s b e p a l e n O ' " d a t <j) e e n w a a r d e < 26 33 54 aanneemt: P r ( ^ < 26°33'54") =.p( 2 6 . 5 6 5 - 3 0 ^ ^ ^ (-3,435)=-2,96*1 0~^ H i e r i n i s : P r ( . ) = k a n s op g e b e u r t e n i s (.) P ( . ) = s t a n d a a r d n o r m a l e v e r d e l i n g ( g e m i d d e l d e n u l en s t a n d a a r d a f w i j -k i n g één) v o o r de p a r a m e t e r w a a r d e (.) ^ = a a n d u i d i n g , d a t . een s t o c h a s t i s c h e g r o o t h e i d i s . Naar a n a l o g i e v a n de f i g u r e n 3 en 5 k a n d i t r e s u l t a a t ook g r a f i s c h w o r d e n geïnterpreteerd, z i e f i g . 6. Hoewel op z i c h j u i s t , i s v o r e n g a a n d e b e s c h o u w i n g f o r m e e l n i e t g e h e e l c o r r e c t . E r d i e n t u i t g e g a a n t e w o r d e n v a n de g r e n s t o e s t a n d s f u n c t i e : Z = t a n | - 0,5 = O ( 2 1 ) F o r m u l e ( 1 3 ) g e e f t : * , * Z tan(j) + (^-(}) ) - 0,5 c o s (() ~ De b e r e k e n i n g w o r d t u i t g e v o e r d i n r a d i a l e n . V o o r h e t d e s i g n p o i n t ({)*=0,463647609 r a d = a t a n (|) w o r d t g e v o n d e n : Z 1 ,25 * ((() - 0,4636 ) Voor (j)=vi^ =^/^ r a d g e e f t d i t : =^ 1,25 * (^/g - 0,4636) ^ 7,4939 * 1 o"^ r a d U i t f o r m u l e ( 1 6 ) v o l g t : 2 V 2 " = 1,25 * 1 (° I ) - d e s i g n p o i n t

o f " ''^^ * ' * ° 0,0218166156 r a d .

M

30-Jl

ll> k "Pirct-juniii-t is- xi> -+- 1—I x,i iS io U i t f o r m u l e ( 1 7 ) v o l g t d a n : L 7,4939*10-^ , 3^^33 2,1817*10 h e t r e e d s e e r d e r g e v o n d e n r e s u l t a a t , maar nu v i a een c o r r e c t e b e s c h o u -w i n g l Ook d e z e p r o c e d u r e k a n g r a f i s c h -w o r d e n t o e g e l i c h t ( z i e f i g . 7 ) .

L a a t s t b e s c h r e v e n p r o c e d u r e w o r d t d o o r h e t programma PROB** ( b i j l a g e 1 ) u i t g e v o e r d a l s de r e g e l n u m m e r s 1000 t/m 2000 w o r d e n v e r -v a n g e n d o o r : 1000 DATA 1 1010 DATA " P h i " , 3 0 , 1 2000 Z = T A N ( X ( ! ) * A T N ( l ) / 4 5 ) - 0 . 5 De u i t v o e r i s h i e r o n d e r w e e r g e g e v e n .

A L L E V E R D E L I N G E N NORMAAL =• F ' R O E i * * B e t r o u w b a a r h B i d s - f u n c t i e : Z= +7. 7 3 5 0 2 6 9 E - 0 2 G e m i d d e l d e v a n Z: = + 7 . 7 3 5 0 2 6 9 E - 0 2 S t a n d a a r d a f w i j k i n g v a n Z: = + 2 . 3 2 7 0 2 5 9 E - 0 2 B e t r o u w b a a r h e i d s i n d e ; ; : BETA= + 3 . 3 2 3 9 9 7 0 E + 0 0 F a a l k a n s : P ( Z < = 0 ) = + 4 . 4 3 7 4 2 6 1 E - 0 4

dZ/dX dZ/dX*B!! (dZ/dX*S;!)'^2 7.inVAR ALFA ALFA*BETA*S>! X*niBUw

P h i + 2 . 3 2 7 E - 0 2 +2,327E--02 + 5 . 4 1 5 E - 0 4 1 0 0 + 1 . 0 E + 0 0 + 3 . 3 2 4 E + 0 0 + 2 . 6 6 S E + 0 1 + 5 . 4 1 5 E - 0 4 100 B e t r o u w b a a r h e i ds-f u n c t i e: Z G e m i d d e l d e v a n g e l i n . Z: S t a n d a a r d a f w i j k i n g v a n Z: B e t r o u w b a a r h e i d s i n d e x : BETA= + 3 . 4 3 4 9 4 B B E + 0 0 F a a l k a n s : P ( Z < = 0 ) + 0 . 0 0 0 0 0 0 0 E + 0 0 + 7 . 4 9 3 7 6 3 8 E - 0 2 + 2 . 1 8 1 6 2 3 1 E - 0 2 X ( I ) P h i + 2 . 6 5 6 5 0 5 l E + 0 1 B e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e = 2 0 0 0 Z = TAN ( X d ) * ATN ( 1 ) / 4 5 ) + 2 . 9 6 3 S 2 0 0 E - 0 4 m u d ) s i g m a d ) +3.OOOOE+01 +1. OOOOE+00 A a n d e e l i n v a r . ("/.) +1.OOOOE+02 T a b e l 2 3.3. De_hoek_van_inwendige_\rtïivin a l s s t o s c h a s t i s c h e _ v a r i a b e l e n _ m e t _ n o m a N i e t a l l e e n de h o e k v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g k a n e e n s t o c h a s t i s c h e g r o o t h e i d z i j n . Ook de t a l u d h e l l i n g s h o e k i s g e e n d e t e r m i n i s t i s c h e g r o o t h e i d ( " b o u w f o u t " b i j h e t a a n l e g g e n v a n h e t t a l u d ) . V e r o n d e r s t e l l e n we: v a r i a b e l e G e m i d d e l d e ^ x ( i ) S t a n d a a r d -a f w i j k i n g ^ x ( i )

x(i)=4.

30° 1° x ( 2 ) = a atan(|)° (26°33'54" o f 2 6 , 5 9 5 . 0 5 . . ) 1° T a b e l 3

De BTF i s w e e r : Z = t a n ^ - t a n a De g r e n s t o e s t a n d s f u n c t i e w o r d t nu e c h t e r : ( 2 0 ) t a n ^ - t a n a = 0 o f (J) = a ( 2 2 ) G r a f i s c h w e e r g e g e v e n a l s i n f i g . 5 k a n u i t f i g . 8 w o r d e n a f g e l e z e n :

3

^

2,4 w a a r b i j een k a n s op a f s c h u i v e n k a n w o r d e n g e v o n d e n ( " t e r u g z o e k e n " i n e e n t a b e l v o o r de n o r m a l e v e r d e l i n g ) : P r ( 2 < 0)=^0,8*10"^

H e t programma PROB** v a n b i j l a g e 1 g e e f t d e " e x a c t e " u i t k o m s t ( v o o r z o v e r r e s u l t a t e n v a n e e n n u m e r i e k e b e r e k e n i n g e x a c t k u n n e n z i j n ) .

Beschouwen we de m.b.v. genoemd programma v o o r h e t o n d e r h a v i g e g e v a l b e r e k e n d e u i t v o e r ( t a b e l 4 ) , d a n b l i j k t de b e t r o u w b a a r -h e i d s i n d e x ( o n d e r -h e t k o p j e DESIGN POINT) g e l i j k t e z i j n a a n : 3=2.4288756 w a a r b i j e e n f a a l k a n s k a n w o r d e n b e p a a l d v a n : P r ( Z < 0 ) = 7,57*10"^ H e t r e s u l t a a t k o m t goed o v e r e e n m e t d a t v a n f i g . 8 . ' A L L E V E R D E L I N G E N NORMAAL ' ^^[ï^^fl!*!* , M E i ï = i M V « . L _ L J E B e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e : Z= + 7 . 7 3 5 0 2 6 V E - 0 2 G e m i d d e l d e v a n Z: = + 7 . 7 3 5 0 2 6 9 E - Ü 2 S t a n d a a r d a f w i j k i n g v a n Z: = + 3 . 1 8 9 B 3 3 4 E - U 2 B e t r o u w b a a r h e i dBindB)-;: B E T A = +2. 4 2 4 9 U U U E + Ü U F a a l k a n s : P ( Z < = 0 ) = +7. 6 5 6 3 0 0 7 E - 0 c . dZ/dX dZ/dX*SK ( d Z / d X * S x ) - 2 -/.inVAR ALFA A L F A * B E T A * B . X * n i e u w ïïï. - ~ + 1 . 0 1 B E - 0 3 100 D E : s I C 3 ^ 4 i = - o i M ~ r B e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e : Z= +0.OOOOOOOE+00 G e m i d d e l d e van' g e l i n . Z: = •^7.73054ME-O^ S t a n d a a r d a f w i j k i n g v a n Z: = i S 2 7 6 6 2 E - 0 ^ B e t r o u w b a a r h e i d s i n d e x : BETA= + 2 . 4 2 B B 7 5 6 E + 0 U F a a l k a n s : P ( Z < = 0 ) = + 7 . 5 7 2 B 6 3 5 E - U 3 X ( i ) m u d ) s i g m a d ) A a n d e e l i n v a r . (7.) P h i + ^ . 8 2 B 2 5 3 7 E + 0 1 + 3 . 0 0 0 0 E + 0 1 +1. OOOOE+00 + ^ ' ' J J . T Ü m m i a t5.B2B5537E+01 +2.6565E-K.1 + 1 . 0 0 0 0 E + 0 0 + 5 . 0 0 U 1 E + 0 1 B e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e =

2 0 0 0 Z = TAN ( X d ) * ATN ( 1 ) / 4 5 ) - TAN ( X ( 2 ) * ATN d ) / 4 5 )

a e n (() hebben e e n e v e n g r o o t a a n d e e l ( 5 0 % ) i n de v a r i a n t i e v a n de B T F . ( K o l o m : A a n d e e l i n v a r . ( % ) o n d e r h e t k o p j e DESIGN POINT). Daar n i v e a u I l - b e r e k e n i n g e n "met de s t a n d a a r d a f w i j k i n g e n gewo-g e n " gewo-g e v o e l i gewo-g h e i d s a n a l y s e s z i j n e n de s t a n d a a r d a f w i j k i n gewo-g e n v a n a e n (j) g e l i j k a a n 1 g e k o z e n z i j n , b e t e k e n t d i t , d a t d e BTF e v e n g e v o e l i g i s v o o r v a r i a t i e s i n a a l s i n cf), h e t g e e n t e v e r -w a c h t e n -was op g r o n d v a n de s t r u c t u u r v a n de BTF ( f o r m u l e ( 2 0 ) . De m e e s t w a a r s c h i j n l i j k e w a a r d e n v a n a en (j) z i j n : a* = (()* = 28°16'57" (28,282537°) ( k o l o m X ( I ) o n d e r h e t k o p j e DESIGN POINT i n t a b e l 4 ) De w a a r d e n z i j n a a n e l k a a r g e l i j k , z o a l s t e v e r w a c h t e n was op g r o n d v a n f o r m u l e ( 2 2 ) . De f a a l k a n s P r ( Z < 0 ) = 7 , 5 7 * 1 0 ~ 3 k a n w a t a a n d e hoge k a n t g e a c h t w o r -d e n , h e t g e e n o v e r e e n k o m t m e t -de w a t l a g e s t a b i l i t e i t s f a c t o r v a n 1,1547, B i j e e n s t a b i l i t e i t s f a c t o r v a n 1,3 en e e n hoek v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g v a n 30° r e s u l t e e r t f o r m u l e ( 1 9 ) i n e e n t a l u d h e l l i n g s h o e k v a n 23 5 6 ' 4 8 " (=: a t a n ( 2 ^ ) ) . V e r o n d e r s t e l l e n we; G e m i d d e l d e _{S t a n d a a r d a f w i j k i n g} v a r i a b e l e ^ x ( i ) _{^ x ( i )} X ( l ) = ( f ) 30° _3° X ( 2 ) = a 23,9467° 2° T a b e l 5 d a n k a n e e n b e t r o u w b a a r h e i d s i n d e x : e = l , 6 7 8 9 w o r d e n b e r e k e n d , w a a r u i t e e n k a n s op a f s c h u i v e n k a n w o r d e n a f g e l e i d : P r ( Z < 0 ) = 4 , 6 6 * 1 0 " ^ V o o r g a n g b a r e w a a r d e n v a n a en iJ) e n m i n o f meer r e a l i s t i s c h e s t a n -d a a r -d a f w i j k i n g e n -d a a r v a n r e s u l t e e r t -d e e i s : "F m i n i m a a l g e l i j k a a n 1,3" d u s n i e t n o o d z a k e l i j k i n e e n a a n v a a r d b a a r k l e i n e f a a l k a n s .

4. H e t g e v a l , d a t d e s t a b i l i t e i t s f a c t o r u i t s l u i t e n d b e p a a l d w o r d t d o o r de c o h e s i e , h e t v o l u m e g e w i c h t v a n d e g r o n d , de t a l u d h o o g t e en d e t a l u d h e l l i n g s h o e k . 4 . 1 . A n a l ^ t i s c h e _ b e s c h o u w i n g 4 . 1 . 1 . I n l e i d i n g B i j a f w e z i g h e i d v a n e e n h o e k v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g k u n n e n t a l u d s w o r d e n o n d e r s c h e i d e n i n t w e e categorieën ( z i e o.a. l i t { 1 3 } , p a g . 459 en b i j l a g e 3 v a n d i t r a p p o r t ) : A. S t e i l e t a l u d s , w a a r b i j d e g l i j c i r k e l , w a a r v o o r de s t a b i l i t e i t s -f a c t o r g e v o n d e n w o r d t , d o o r de t e e n v a n h e t t a l u d g a a t . ( z i e -f i g . 9a) B. F l a u w e t a l u d s , w a a r b i j d e g l i j c i r k e l , w a a r v o o r de s t a b i l i t e i t s -f a c t o r w o r d t g e v o n d e n , h e t v o o r l a n d v o o r h e t t a l u d s n i j d t . ( z i e f i g . 9 b ) De t a l u d h e l l i n g s h o e k a = a t a n ( l , 3 5 5 ) v o r m t , i n d i e n a l l e e n h e t momen-t e n e v e n w i c h momen-t w o r d momen-t b e s c h o u w d , d e o v e r g a n g v a n c a momen-t e g o r i e A n a a r c a t e g o r i e B. U i t b i j l a g e 3 v o l g t , d a t v o o r t a l u d s , b i j a f w e z i g h e i d v a n e e n h o e k v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g e n a l s alléén m o m e n t e n e v e n w i c h t w o r d t b e s c h o u w d , d e s t a b i l i t e i t s f a c t o r een f u n c t i e v a n d e c o h e s i e , h e t v o l u -m e g e w i c h t , de t a l u d h o o g t e e n de t a l u d h e l l i n g i s v o l g e n s : ( 2 3 ) I n f o r m u l e ( 2 3 ) i s : F = s t a b i l i t e i t s f a c t o r c = c o h e s i e v a n d e g r o n d Y = v o l u m e g e w i c h t v a n de g r o n d h = h o o g t e v a n h e t t a l u d Kj^= c o n s t a n t e , a f h a n k e l i j k v a n de t a l u d h e l l i n g

4.1.2. D e _ c o h e s i e _ c _ e n _ h e t _ v o l u m e g e w i ^ Y S E i S ^ e l en_me t _ n o r i n a l e _ v e r d e l i n g e n . V e r o n d e r s t e l l e n we e e r s t de " g r o n d p a r a m e t e r s " ( c e n y ) a l s s t o c h a s t i s c h e g r o o t h e d e n e n de " g e o m e t r i e p a r a m e t e r s " ( a - e n dus K^- e n h ) a l s d e t e r m i n i s t i s c h e g r o o t h e d e n . U i t f o r m u l e ( 2 3 ) v o l g t d e BTF: Z = — K - 1 Yh n ( 2 4 ) en d e g r e n s t o e s t a n d s f u n c t i e : K -1=0

yn

n (25) Voor e e n t a l u d h e l l i n g s h o e k a = a t a n ( 2 ) , w a a r v o o r K =5,09548837 n ( z i e b i j l a g e 3 ) , i s v o o r d i v e r s e t a l u d h o o g t e n h d e k a n s op a f -s c h u i v e n b e r e k e n d o n d e r de v e r o n d e r -s t e l l i n g , d a t d e c o h e -s i e , c , z o w e l a l s h e t v o l u m e g e w i c h t , y , n o r m a a l v e r d e e l d e s t o c h a s t i s c h e g r o o t h e d e n z i j n , g e k e n m e r k t d o o r de p a r a m e t e r s u i t t a b e l 6. G e m i d d e l d e S t a n d a a r d a f w i j k i n g v a r i a b e l e ^ x ( i )

a ...

x ( i ) X ( l ) = c lo'^N/m^ 1_{1 m'^} ™L2 X ( 2 ) = Y 18 kN/,3 1,8 kN/j„3 t a b e l 6 De r e s u l t a t e n z i j n w e e r g e g e v e n i n t a b e l 7. V o o r de b e r e k e n i n g i s g e b r u i k gemaakt v a n h e t programma PROB** v a n b i j l a g e 1 .

De g r a f i s c h e b e p a l i n g v a n d e b e t r o u w b a a r h e i d s i n d e x 0 v o o r e e n t a l u d -h o o g t e -h v a n 2,15 m i s g e s c -h e t s t i n f i g . 1 0 . B i j de g e v o n d e n w a a r d e B = l , 9 b e h o o r t e e n f a a l k a n s :

P r ( Z < 0 ) = 2 , 8 7 * 1 0 ~ ^

Met h e t programma PROB** v a n b i j l a g e 1 w o r d t e e n k a n s op a f s c h u i v e n g e v o n d e n v a n :

P r ( Z ^ 0 ) = 2 , 7 7 * 1 0 " ^

b e h o r e n d e b i j e e n b e t r o u w b a a r h e i d s i n d e x 3=1,915.... De u i t v o e r i s w e e r g e g e v e n i n t a b e l 8.

a = a t a n ( 2 ) h ( m ) P c F = — 7 - * 5,09548837 F a a l k a n s , b e r e k e n d m e t PROB'^* Y ( " h a n d b e r e k e n i n g " ) Mean v a l u e A d v a n c e d 1 ,40 1 ,60 1 ,80 2,00 2,15 2,20 2,02201919 1 ,76926680 1 ,57268160 1,41541344 1 ,31666366 1 ,28673949 1 ,758*10"'^ 1,054*10~3 5,014*10"3 1,898*10"^ 4,451*10"^ 5,754*10"^ 2,923*10"^ 7,683*10"^ 1,060*10"3 8,264*10"3 2,773*10"^ 3,924*10"^ 2,40 1 ,17951120 1,409*10"' 1,228*10"' 2,60 1,08877957 2,821*10"' 2,741*10"' 2,80 1,01100960 4,693*10"' 4,691*10"' 3,00 0,94360896 6,637*10"' 6,591*10"' 3,20 0,88463340 8,218*10"' 8,062*10"' 3,40 0,83259614 9,224*10"' 9,009*10"' 3,60 0,78634080 9,727*10"' 9,535*10"' t a b e l 7

V o o r d e d e t e r m i n i s t i s c h e w a a r d e n : kN 2 kN ? c=10 /m^, Y=18 Im^, h=2,15 m e n a = a t a n ( 2 ) v o l g t u i t f o r m u l e ( 2 3 ) : F = 'O * 5,09548837 ^ 1,3 18*2,15 U i t t a b e l 8 v o l g t , d a t e e n s t a b i l i t e i t s f a c t o r F > 1,3 n i e t s t e e d s _2 een k l e m e f a a l k a n s ( h i e r - 2,8*10 ) i m p l i c e e r t , z e l f s a l i s de s p r e i d i n g i n de " g r o n d p a r a m e t e r s " ( h i e r g e b r u i k t e variatiecoëffi-ciënten: „ "^c „ . '^Y V = — = 0,1 e n V = -J- = 0,1) <^ Y r e l a t i e f g e r i n g .

A L L E V E R D E L I N G E N NORMAAL F - - R O E t * * ; MiE:«=»h4 V * = > I _ L J E : B e t r o u w b a i A r h e i d s - f u n c t i e : Z= +3. 1 6 6 6 3 6 6 E - 0 1 G e m i d d e l d e v a n Z: = +3. 166636éiE-01 S t a n d a a r d a f w i j k i n g v a n Z: = + 1 . a 6 2 0 6 7 5 E - 0 1 B e t r o u w b a a r h e i d s i n d e ! ! : BETA= +1 . 7 0 0 6 0 2 5 E + 0 0 F a a l k a n s : P ( Z < = 0 ) = + 4 . 4 5 0 B 7 9 9 E - 0 2 dZ/dX dZ/dX*B!< ( d Z / d X * B K ) '-2 '/.inVAR ALFA A L F A * B E T A * S x X * n i e u w C o h e s i e + 1 . 3 1 7 E - 0 1 + 1 . 3 1 7 E - 0 1 + 1 . 7 3 4 E - 0 2 5 0 + 7 . l E - 0 1 + 1 . 2 0 3 E + 0 0 + 8 . 7 9 7 E + 0 0 V o l . g e w - 7 . 3 1 5 E - 0 2 - 1 . 3 1 7 E - 0 1 + 1 . 7 3 4 E - 0 2 5 0 - 7 . l E - 0 1 - 2 . 1 6 4 E + 0 0 + 2 . 0 1 6 E + 0 1 + 3 , 4 6 7 E - 0 2 100 D E S I C B N F - O I M T B e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e : Z= +0.OOOOOOOE+00 G e m i d d e l d e v a n g e l i n . Z: = + 2 . B 3 7 9 1 8 0 E - 0 1 S t a n d a a r d a f w i j k i n g v a n Z: = + 1 . 4 B 1 7 3 0 9 E - 0 1 B e t r o u w b a a r h e i d s i n d e x : B E T A = + 1 . 9 1 5 2 7 2 1 E + 0 0 F a a l k a n s : P ( Z < = 0 > = + 2 . 7 7 2 B a 3 5 E - 0 2 X ( i ) m u d ) s i g m a d ) A a n d e e l i n v a r . (7.) C o h e s i e + Ö . 4 7 4 7 4 6 0 E + 0 0 + 1 . 0 0 0 0 E + 0 1 + 1 . 0 0 0 0 E + 0 0 + 6 . 3 4 2 0 E + 0 1 V o l . g e w + 2 . 0 0 8 5 1 0 2 E + 0 1 + 1 . B 0 0 0 E + 0 1 + l , 8 0 0 0 E + 0 0 + 3 . 6 5 B 0 E + 0 1 B e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e = 2 0 0 0 Z = X d ) * 5 . 0 9 5 4 B 8 3 7 / X ( 2 ) / 2. 15 - 1 T a b e l B 4.1.3. De c o h e s i e _ c _ e n _ h e t _ v o l u m e g e w i c ^ v a r i a b e l e n _ w a a r b i j c _ e e n _ l o g - n o m a l e _ e n _ Y _ e e n _ n o m Y e i d e l i n g _ h e e f t . F y s i s c h g e z i e n k u n n e n de " g r o n d p a r a m e t e r s " g e e n n e g a t i e v e w a a r d e n aannemen. A l s d e variatiecoëfficiënten k l e i n z i j n , g e v e n b e n a d e r i n -g e n d o o r n o r m a l e v e r d e l i n -g e n -g e e n -g r o t e a f w i j k i n -g e n i n de f a a l k a n s t . o . v . b e n a d e r i n g e n , w a a r b i j de c o r r e c t e v e r d e l i n g e n w o r d e n i n g e -v o e r d . I s d e -variatiecoëfficiënt -v a n e e n b e p a a l d e s t o c h a s t i s c h e p a r a m e t e r w e l g r o o t , e n k a n d e z e p a r a m e t e r g e e n n e g a t i e v e w a a r d e n aannemen, d a n w o r d t w e l e e n LOGNORMALE v e r d e l i n g g e b r u i k t . V o o r h e t o n d e r h a v i g e p r o b l e e m g e l d t d i t m e t name v o o r de c o h e s i e . We v e r o n d e r s t e l l e n d a n , d a t de l o g a r i t h m e n v a n de c o h e s i e - w a a r d e n n o r m a a l v e r d e e l d z i j n , e n v o e r e n e e n g r o o t h e i d c"^ i n v o l g e n s :

c = l o g ( c ) w a a r i n c"*" d a n n o r m a a l v e r d e e l d i s . G e m i d d e l d e en s t a n d a a r d a f w i j k i n g v a n c h a n g e n m e t d i e v a n c + samen ( z i e o.a. l i t { l O } ) v o l g e n s : ( 2 6 ) ) _{. ( 2 7 )} ( 2 8 ) . ( 2 9 ) ( 3 0 ) c c / ^ ^ P ^ ^ ) - 1 H i e r u i t v o l g t : y + = 2 e i o g VI - I e i o g ( a ^ + y 2 ) c c c v = De k a n s d i c h h e i d s f u n c t i e s v o o r c en c+ z i j n : j ( ? - y + ) ^ ^ c ^ ^ ^ - G c / 2 f ^ ^ P ( - " ^ ^ t C = ^ l o g ( c ) . . . . ( 3 1 ) ] <^-y ) ^ V ( ^ ) = V ^ ^ ^ P ( - ^ > ( 3 2 ) c De w a a r d e n u i t t a b e l 6 i n g e v u l d i n ( 2 9 ) en ( 3 0 ) g e e f t : V = 2 ^ l o g l O - l ^ l o g d ^ + i o ^ ) = 2,297609928 V = v ^ l o g ( l ^ + 1 0 ^ ) - 2 ^ 1 o g ( 1 0 ) ' = 0,0997513452 I n d e ^ g r e n s t o e s t a n d s f u n c t i e ( 2 5 ) moet d a n c v e r v a n g e n w o r d e n d o o r e x p ( c ) , z o d a t de b e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e w o r d t : z = K - 1 y n n ( 3 3 )

Beschouwen we weer een t a l u d met h e l l i n g s h o e k a = a t a n ( 2 ) , w a a r v o o r = 5,09548837, en k e n m e r k e n we de v e r d e l i n g e n v a n ^ l o g c e n y a l s i n t a b e l 9, d a n k a n $ g r a f i s c h b e p a a l d w o r d e n a l s i n f i g . 1 1 g e -s c h e t -s t . v a r i a b e l e X ( l ) = ^ l o g c X ( 2 ) = y G e m i d d e l d e ^ x ( i ) S t a n d a a r d a f w i j k i n g ^ x ( i ) v a r i a b e l e X ( l ) = ^ l o g c X ( 2 ) = y 2,2976 18 9 , 9 7 5 1 . . . . * 10~2 1,8 T a b e l 9

Met h e t programma PROB** w o r d t een k a n s op a f s c h u i v e n g e v o n d e n v a n : P r ( Z < _ 0 ) = 2,44*10"^ b e h o r e n d e b i j een b e t r o u w b a a r h e i d s i n d e x g = 1,97 De u i t v o e r i s w e e r g e g e v e n i n t a b e l 10. A n a l o o g aan t a b e l 7 k a n e e n t a b e l b e r e k e n d w o r d e n v o o r d i v e r s e t a l u d h o o g t e n h . De r e s u l t a t e n v o o r een t a l u d h e l l i n g s h o e k a = a t a n ( 2 ) w a a r v o o r K = 5 , 0 9 5 4 8 8 3 7 , e e n l o g n o r m a a l v e r d e e l d e c o h e s i e e n e e n n o r -m a a l v e r d e e l d v o l u -m e g e w i c h t a l s i n t a b e l 9, z i j n w e e r g e g e v e n i n t a b e l 1 1 . Een g r a f i s c h e v e r g e l i j k i n g v a n de t a b e l l e n 7 e n 11 i s ge-s c h e t ge-s t i n f i g . 1 2 .

A L L E V E R D E L I N G E N NORMAAL B e t r o u w b a a r h e i d s - f u n c t i e : 1-G e m i d d e l d e v a n Z: S t a n d a a r d a f w i j k i n g v a n Z: = B e t r o u w b a a r h e i d s i nde;-;: BETA= F a a l k a n s : P(Z-<=0) = -+-3. 1 0 1 2 9 3 1 E - 0 1 •+3. 1 0 1 2 9 3 1 E - 0 1 -+-l.e513a32E-01 + 1 . 6 7 5 1 2 2 2 E + 0 0 + 4 . 6 9 5 5 1 0 1 E - 0 2

dZ/dX dZ/dX*S>; ( d Z / d X * S x ) '-2 V.inVAR ALFA ALFA*BETA*S>! X « n i e u w

e L o g < C ) + 1 . 3 1 0 E + 0 0 •+-1,308E-01 + 1 . 7 1 1 E - 0 2 4 9 . 9 2 +7. 1 E - 0 1 •<-l.lB2E-01 +2. 179E-^00 V o l . g e w - 7 . 2 7 8 E - 0 2 - 1 . 3 1 0 E - 0 1 • H . 7 1 6 E - 0 2 5 0 . 0 8 - 7 . l E - 0 1 - 2 . 1 3 4 E + 0 0 + 2 . 0 1 3 E + Ó l + 3 . 4 2 B E - 0 2 100 D E: S I C3 M F-- O I M T B e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e ; Z= G e m i d d e l d e v a n g e l i n . Z: = S t a n d a a r d a f w i j k i n g v a n Z: = B e t r o u w b a a r h e i d s i n d e ) - ; : BETA= F a a l k a n s : P ( Z < = 0 ) = X ( I ) •+-9.3132258E-10 -+-2.62B7316E-01 •t-1.333a290E-01 + 1 . 9 7 0 8 1 6 1 E + 0 0 + 2 . 4 3 7 2 3 S 7 E - 0 2 mu ( I ) e L o g ( C ) +2. 1 5 0 2 9 a 9 E + 0 0 +2,2976E-<-00 V o l . gew +2.0352150E-1-01 + 1 . B 0 0 0 E + 0 1 s i g m a ( I ) + 9 . 9 8 5 1 E - 0 2 + 1 . B 0 0 0 E + 0 0 A a n d e e l i n v a r . (%) +5.6036E-+-01 + 4 . 3 9 6 4 E + 0 1 B e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e = 2 0 0 0 Z = E X P ( X d ) ) )^ 5 . 0 9 5 4 B B 3 7 / X ( 2 ) / 2. 15 - 1 T a b e l 10 h ( i n ) a = a t a n ( 2 ) F = 5,09548837 F a a l k a n s m e t w a a r d e n u i t t a b e l 9 Mean v a l u e | A d v a n c e d 1,40 1 ,60 1,80 2,00 2,15 2,20 2,40 2,60 2,80 3,00 3,20 3,40 3,60 2,02201919 1,76926680 !,57268160 1,41541344 1,31666366 1,28673949 1,17951120 1,0887757 1,01100960 0,94360896 0,88463340 0,83259614 0,78634080 1,86*10"^ M 2 * i o ~ 3 5 . 3 2 * i o ~ 3 2,01*10"^ 4,70*10"^ 6,06*1 0~2 1,48*10 2,93*1 O 4,83*10' 6,77*1 o' 8,32*1 o' 9,29*1 o' 9,75*1 o" 5,90*10 1 ,12*10 4,45*10 5,93*10' 2,44*10 3,60*10 1,24*10 2,84*10 4,83*10 6,71*10 8,13*10 9,03*10' 9,53*10" -8 -5 -4 -3 -2 -2 T a b e l 11

3- ^-5¬ 6. 3- ^-6¬

1-S¬

r.

3-t

r.

6-

V- .9-0^ U^-normaal verdedJ:

_^-B-mean value 6enoJeri>i^

4 i

De f a a l k a n s e n v o o r c n o r m a a l v e r d e e l d e n v o o r c l o g n o r m a a l v e r d e e l d w i j k e n HIER n i e t v e e l v a n e l k a a r a f , h e t g e e n t e v e r w a c h t e n was op g r o n d v a n de g e r i n g e variatiecoëfficiënt (V = 0 , 1 ) 4.1.4. 2ê_£2l}Êsiei_het_volumegewicht_Y_ 5t2£hSS£iS£he_YSEisbelen_met_nora . T o t nu t o e z i j n ( b i j a f w e z i g h e i d v a n e e n h o e k v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g ) a l l e e n de " g r o n d p a r a m e t e r s " c en y a l s s t o c h a s t i s c h e g r o o t h e d e n b e s c h o u w d . De " g e o m e t r i e p a r a m e t e r s " h e n a k u n n e n e c h t e r e v e n -eens g r o o t h e d e n m e t k a n s v e r d e l i n g e n z i j n . Men d e n t e b i j v . " b o u w f o u t e n " . a a n S t e l l e n we, d a t , b e h a l v e de " g r o n d p a r a m e t e r s " c e n y , v a n d e "geom e t r i e p a r a "geom e t e r s " a l l e e n d e t a l u d h o o g t e h e e n s t o c h a s t i s c h e g r o o t -h e i d i s . (De t a l u d -h e l l i n g s -h o e k a w o r d t dus n o g a l s d e t e r m i n i s t i s c -h b e s c h o u w d ) . F o r m u l e ( 2 3 ) b l i j f t d a n g e l d i g , w a a r u i t v o o r d e BTF v o l g t : ' = ïh \ -e n v o o r d-e g r -e n s t o -e s t a n d s f u n c t i -e : c ïh \ - ' = O-(34) ( 3 5 ) G r a f i s c h i s d i t p r o b l e e m n i e t meer weer t e g e v e n . V e r o n d e r s t e l l e n we, d a t d e p a r a m e t e r s c, y e n h n o r m a a l v e r d e e l d z i j n en d a t de g e m i d d e l d e n en s t a n d a a r d a f w i j k i n g e n v a n t a b e l 12 g e l d e n . G e m i d d e l d e _{1 S t a n d a a r d a f w i j k i n g} v a r i a b e l e ^ x ( i ) _{^ x ( i )} X ( l ) = c _{10 2} m ' '''/m2 X ( 2 ) = y _{18 3} m 1.8 '^N/ 3 _m X ( 3 ) = h _{2,15 m 0,215 m} T a b e l 12 A l s t a l u d h e l l i n g w o r d t a = a t a n ( 2 ) g e k o z e n . ( K ^ = 5 , 0 9 5 4 8 8 3 7 )

Met h e t programma PROB** k a n t a b e l 13 w o r d e n b e r e k e n d . A L L E V E R D E L I N G E N NORMAAL B e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e : Z= +Z-.. ii,i,6Zb6E-0i G e m i d d e l d e v a n Z: = + 3 . 1 6 6 6 3 6 6 E - 0 1 S t a n d a a r d a f w i j k i n g v a n Z: = + 2 . 2 2 B 7 7 6 4 E - 0 1 B e t r o u w b a a r h e i d e i n d e x : I3ETA= + 1 . 4 2 0 7 7 6 0 E + 0 0 F a a l k a n s : P ( Z < = 0 ) = + 7 . 7 6 B 8 0 S 2 E - 0 2 d Z / d X dZ/dX*B!! ( d Z / d X ^ B x ) - - ^ y.inVAR A L F A ALFA*BETA*B>; X * n i e u w C o h e s i e + 1 . 3 1 7 E - 0 1 + 1 . 3 1 7 E - 0 1 + 1 . 7 3 4 E - 0 2 3 4 . V Vd1.c)c?w - 7 . 3 1 5 E - 0 2 - 1 . 3 1 7 E - 0 1 + 1 . 7 3 4 E - 0 2 3 4 . 9 H o o g t e - 6 . 1 2 4 E - 0 1 - 1 . 2 2 5 E - 0 1 + 1 . 5 0 0 E - 0 2 3 0 . 2 + 4 . 9 & 7 E - 0 2 1 0 0 + 5 . 9 E - 0 1 + 8 . 3 9 4 E - 0 1 + 9 . 1 6 1 E + 0 0 - 5 . 9 E - 0 1 - 1 . 5 1 1 E + 0 0 + 1 . 9 5 1 E + 0 1 - 5 . 5 E - 0 1 - 1 . 5 6 2 E - 0 1 + 2 . 3 0 6 E + 0 0 E e t r o u w b a a r h e i d s f unc-.tie: Z= +0. OOOOOOOE+00 B e m i d d e l d e v a n g e l i n . Z: = + 2 . 7 5 7 i 5 9 7 E - 0 1 S t a n d a a r d a f w i j k i n g v a n Z: = + 1 . 6 B 7 3 0 7 7 E - 0 1 B e t r o u w b a a r h e i d s i n d e x : BETA== + 1 . 6 3 4 0 S 0 7 E + 0 0 F a a l k a n s : P ( Z < = 0 ) = + 5 . 1 1 2 3 2 5 1 E - 0 2 X ( I ) mu ( I > B i g m a ( I ) C o h e s i e + 8 . 9 1 3 t 5 1 0 9 E + 0 0 + 1 . 0 0 0 0 E + 0 1 +1.OOOOE+00 V o l . g e w + 1 . 9 6 0 0 B 4 9 E + 0 1 + 1 . B 0 0 0 E + 0 1 + 1 . 8 0 0 0 E + 0 0 H o o g t e + 2 . 3 1 7 1 7 9 8 E + 0 0 + 2 . 1 5 0 0 E + 0 0 + 2 . 0 0 0 0 E - 0 1 B e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e = 2 0 0 0 Z = X d ) t 5 . 0 7 5 4 B 8 3 7 / X ( 2 ) / X ( 3 ) - 1 A a n d e e l i n v a r + 4 . 4 2 0 9 E + 0 1 + 2 . 9 i b 2 2 E + 0 1 + 2 . 6 1 6 8 E + 0 1 (•/.) T A B E L 1 3 H i e r u i t b l i j k t , d a t , h o e w e l de s t a n d a a r d a f w i j k i n g v a n h v e e l k l e i -n e r i s d a -n d i e v a -n de " g r o -n d p a r a m e t e r s " , h e t a a -n d e e l v a -n h i -n d e v a r i a n t i e v a n Z n i e t v e r w a a r l o o s b a a r i s . ( Z i e o n d e r DESIGN POINT, l a a t s t e k o l o m ) . De m e e s t w a a r s c h i j n l i j k e c o m b i n a t i e v a n d e v a r i a b e -l e n c, Y e n h i s i n t a b e -l 13 g e g e v e n o n d e r de k o p DESIGN POINT i n de k o l o m X ( I ) . A n a l o o g a a n t a b e l 7 k a n , v o o r v e r s c h i l l e n d e g e m i d d e l d e w a a r d e n v a n h t a b e l 14 w o r d e n b e r e k e n d , w a a r b i j de o v e r i g e w a a r d e n u i t t a b e l 12 z i j n a a n g e h o u d e n . De v a r i a t i e c o e f f i c i e n t v a n h i s s t e e d s g e l i j k a a n 0,1 g e s t e l d . De f a a l k a n s e n u i t de t a b e l l e n 7 e n 14 z i j n v e r g e l e k e n i n f i g . 1 3 . H i e r b i j d i e n t i n h e t o o g g e h o u d e n t e w o r d e n , d a t b e h a l v e h o o k c e n Y s t o c h a s t i s c h e v a r i a b e l e n z i j n . V o o r de meest w a a r s c h i j n l i j k e

com-b i n a t i e v a n de w a a r d e n v a n de v a r i a com-b e l e n w o r d t v e r w e z e n n a a r de l a a t s t e 3 kolommen v a n t a b e l 14. (m) 1,40 1,60 1,80 2,00 2,15 2,20 2,40 2,60 2,80 3,00 3,20 3,40 3.60 T a b e l 14 5 , 0 9 5 4 8 8 3 7 2 , 0 2 2 0 1 9 1 9 1 , 7 6 9 2 6 6 8 0 1 , 5 7 2 6 8 1 6 0 1 , 4 1 5 4 1 3 4 4 1 , 3 1 6 6 6 3 6 6 1 , 2 8 6 7 3 9 4 9 I , 1 7 9 5 1 1 2 0 1 , 0 8 8 7 7 9 5 7 1 , 0 1 1 0 0 9 6 0 0 , 9 4 3 6 0 8 9 6 0 , 8 8 4 6 3 3 4 0 0 , 8 3 2 5 9 6 1 4 0 . 7 8 6 3 4 0 8 0 a = a t a n ( 2 ) F a a l k a n s e n met w a a r d e n u i t t a b e l 12 Mean v a l u e 1*76*10 6 , 0 3 * 1 0 " 1,78*10 4,51*10' 8 , 2 5 * 1 0 " 9,91*10 1 .90*10' 3 , 1 9 * 1 0 ' 4 , 7 5 * 1 0 " 6 , 3 5 * 1 0 ' 7 , 7 4 * 1 0 " 8 , 7 7 * 1 0 " 9,42*10' -2 -2 -2 A d v a n c e d 2 , 8 9 * 1 0 " 4 , 9 3 * 1 0 " 4 , 2 8 * 1 0 ¬ 2,16*10"'' 5 , 4 6 * 1 0 " ^ 7 . 1 1 * 1 0 " 2 1 , 6 9 * 1 0 3,11*10' 4,75*10' 6,31*10' 7 , 5 9 * 1 0 ' 8 , 5 2 * 1 0 ' 9 , 1 4 * 1 0 A a n d e e l i n v a r i a n t i e i n % Y 5 9 . 4 5 3 , 8 4 9 , 0 4 5 , 0 4 2 , 4 4 1 , 4 3 8 , 6 3 6 , 0 3 3 . 6 31 ,6 3 0 , 0 2 8 , 2 2 6 , 8 2 0 , 3 23,1 2 5 . 5 2 7 , 5 2 8 , 8 2 9 , 3 3 0 , 7 3 2 , 0 3 3 , 2 3 4 , 2 3 5 , 0 3 5 , 9 3 6 , 6 2 0 , 3 23,1 2 5 , 5 2 7 , 5 2 8 , 8 2 9 , 3 3 0 , 7 3 2 , 0 3 3 , 2 3 4 , 2 3 5 , 0 3 5 , 9 3 6 , 6 X ( I ) c kN i n D E S I G N POINT m 6,9 7.6 8,2 8,6 9,0 9,1 9.4 9,7 10,0 10,2 10,4 10,6 10,7 Y kN m 2 1 , 3 2 0 , 8 20.4 19,9 19.5 19.4 19,0 18,5 18,1 17,6 17.3 16,9 16,5 4.1.5. D e _ c o h e s i e _ c ^ _ h e t _ v o l u m e g e w i c h ^e ! 5 E y i n l i i n _ X j ^ _ e n _ Y j ^ _ a l s _ s t o c h a s t i s c h v e r d e l i n g e n . A l s l a a t s t e s t a p i n h e t p r o b l e e m v a n de s t a b i l i t e i t v a n een t a l u d b i j a f w e z i g h e i d v a n een h o e k v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g k a n de t a l u d h e l l i n g s -h o e k a nog a l s s t o c -h a s t i s c -h e g r o o t -h e i d w o r d e n i n g e v o e r d . H e t l i g t dan e c h t e r meer i n de r e d e . de coördinaat v a n de k r u i n l i j n v a n h e t t a l u d a l s s t o c h a s t i s c h e g r o o t h e d e n t e k i e z e n , omdat de h e l l i n g s h o e k u i t g e d r u k t a l s a t a n ( a ) o f a c o t a n ( a ) met de e e r d e r a l s o n a f h a n k e l i j k e s t o c h a s t geïntroduceerde t a l u d h o o g t e h g e c o r r e l e e r d i s . De s t a n d a a r d a f w i j k i n g e n v a n de a b s c i s e n de o r d i n a a t v a n de k r u i n l i j n k u n -nen e v e n r e d i g a a n de g e m i d d e l d e n d a a r v a n w o r d e n g e k o z e n , h e t g e e n e e n v e r h o u d i n g v a n de s t a n d a a r d a f w i j k i n g e n a l s v a n de t a n g e n s v a n de t a l u d h e l l i n g s h o e k i m p l i c e e r t ( z i e f i g . 1 4 ) W i l f o r m u l e ( 2 4 ) b r u i k b a a r b l i j v e n , d a n m o e t h e t v e r b a n d t u s s e n K en a ( o f , a l s i n b i j l a g e 3 t u s s e n e n c o t a n ( a ) ) g e g e v e n z i j n . V o o r c o t a n ( a ) < 0,738 ie h i e r v o o r a l s b e n a d e r i n g a a n g e h o u d e n : K ^ - 3 . 8 3 1 + 3 . 0 5 0 3 4 9 2 6 * c o t a n ( a ) - 1 . 0 7 1 0 4 8 * c o t a n ^ a ) + + 0 . 0 5 2 6 9 8 7 4 1 l * c o t a n ^ ( a ) (36)

f _

é-

"i-Jz

r

-

6-

4--to"

_ 8 0-o.cl/*ncte/ nintmE- ieti<uJti-i»^

-2

1