Zbadać istnienie granic iterowanych limx→alim y→bf(x, y), lim y→blim x→af(x, y) oraz granicy podwójnej (x,y)→(a,b)lim f(x, y) w przypadku gdy: (i)f(x, y

1. Uzasadnić, że podane granice nie istnieją:

(i) lim(x,y)→(0,0) x

x+y, (ii) lim(x,y)→(0,0) 2xy x²+y², (iii) lim(x,y)→(0,1) x⁶

y²−1, (iv) lim(x,y)→(π,0) sinx siny, (v) lim(x,y)→(4,−3) xy+12

x²+y²−25, (vi) lim(x,y)→(0,0) xy x+y.

2. Załóżmy, że istnieje granica iterowana lim_x→x

0 lim

y→y0f(x, y) = z oraz istnieje granica lim_y→y

0f(x, y) = h(x) jednostajna wzgledem x. Wykazać istnienie granicy podwójnej_ lim

(x,y)→(x0,y0)f(x, y).

3. Zbadać istnienie granic iterowanych lim_x→alim

y→bf(x, y), lim

y→blim

x→af(x, y) oraz granicy podwójnej

(x,y)→(a,b)lim f(x, y) w przypadku gdy:

(i)f(x, y) = ^x_x²2+y^+y42, a = ∞, b = ∞, (ii) f(x, y) = sin(_2x+y^x ), a = ∞, b = ∞, (iii) f(x, y) = xsin(¹_y),a = 0, b = 0, (iv) f(x, y) = ^x−y+x_x+y^2+y2,a = 0, b = 0, (v) f(x, y) = (x² +y²)^x2y2, a = 0, b = 0.

W każdym podpunkcie określić zbiór A, jeśli f : A →R, A ⊂R².

4. Zbadać istnienie granic oraz granic iterowanych, jeśli:

(i)f : A → R, A =R²\ {(x, y) ∈R² :xy = 0}, f(x, y) = (x + y)sin¹_xsin¹_y w (x₀, y₀) = Θ, (ii) f : B →R, B = {(x, y) ∈R² :x > 0, x + y > 0}, f(x, y) = ^xsin_x+y^y1+y w (x₀, y₀) = Θ,

(iii) f :R²\ {Θ} → R, f(x, y) = _x2y^2x−(x−y)^{2y2 2} w (x0, y0) = Θ.

5. Zbadać istnienie granicy: lim(x,y)→(+∞,+∞) x+y x²−xy+y².

Arkusz 5