Mówimy, że funkcja F : Bn → Bm jest obliczalna przez obwód kwantowy U (nad baz¸a standardow¸a), jeśli dla każdego ¯x X ¯ z |hF (¯x), ¯z|U |¯x, ¯0i|2 ≥ 1 − ε, gdzie ε &lt

Obliczenia KK

11. KLASY ZŁOŻONOŚCI ALGORYTMÓW KWANTOWYCH Niech B = {0, 1}, a B^∗ b¸edzie sum¸a wszystkich Bⁿ. W celu określenia złożoności, rozpatrujemy liczby naturalne w standardowej postaci binarnej, tzn. jako ci¸agi z B^∗.

Definiujemy rozmiar liczby n jako długość odpowiedniego ci¸agu z B^∗ (tzn. liczb¸e bitów).

1. Definicja. Mówimy, że funkcja F : Bⁿ → B^m jest obliczalna przez obwód kwantowy U (nad baz¸a standardow¸a), jeśli dla każdego ¯x

X

¯ z

|hF (¯x), ¯z|U |¯x, ¯0i|² ≥ 1 − ε,

gdzie ε < 1/2

(ε może być zmniejszona w dowolny sposób).

2. Definicja. Mówimy, że funkcja F : B^∗ → B^∗ jest obliczalna przez algorytm kwantowy, jeśli istnieje klasyczna deterministyczna maszyna Turinga M , która dla każdego ¯x ∈ B^∗ znajduje obwód kwantowy M_¯x, który oblicza F (¯x) na pustym wejściu.

Jeśli funkcja ¯x → M_x¯ jest obliczalna przy pomocy maszyny Turinga o wielomianowym czasie w stosunku do rozmiaru x, to mówimy, że F należy do klasy BQP.

3. Uwaga. Na mocy p.5.11 Listy 5, jeśli F jest obliczalna przez algorytm kwantowy, to istnieje klasyczna deterministyczna maszyna Turinga Z, która dla każdego n ∈ N znajduje obwód kwantowy Zn, który oblicza funkcj¸e F_n: Bⁿ→ B^∗ - obci¸ecie F na Bⁿ.

Jeśli czas pracy maszyny Turinga Z jest ograniczony przez t(n), to mówimy, że F jest obliczalna przez algorytm kwantowy w czasie t(n).

4. Definicja. Funkcja L : B^∗ → {0, 1, "undefined" } należy do klasy BQNP jeśli istnieje wielomianowa klasyczna deterministyczna maszyna Turinga M , która dla każdego ¯x ∈ B^∗ znajduje obwód kwantowy M_¯x, realizuj¸acy oper- ator U_x¯ na odpowiednim zbiorze n(= n_x¯) rejestrów, taki, że dla podprzestrzeni V = C|¯1i ⊗ B^⊗(n−k) zachodz¸a nast¸epuj¸ace własności:

L(¯x) = 1 ⇒ ∃|ξiP(U_x¯(|ξi ⊗ |¯0i), V ) ≥ p₁(|¯x|), L(¯x) = 0 ⇒ ∀|ξiP(U_x¯(|ξi ⊗ |¯0i), V ) ≤ p₀(|¯x|),

1

gdzie |ξi jest unormowany, p₁(l) − p₀(l) ∈ Ω(l^−α) dla pewnego α ≥ 0, tzn.

dla pewnych l₀ i C zachodzi ∀l > l₀ p₁(l) − p₀(l) > Cl^−α.

5. Uwaga. ("amplification") Jeśli L ∈ BQNP, to powyższa definicja zachodzi dla funkcji p⁰₀(l), p⁰₁(l) = 1 − p⁰₀(l) z warunkiem p⁰₀ = exp(−Ω(l^β)), gdzie β > 0 może być dowolna.

Klasa BQNP jest kwantowym odpowiednikiem NP i zawiera NP.

6. Twierdzenie.

BPP ⊆ BQP ⊆ BQNP ⊆ PP ⊆ PSPACE,

gdzie klasa PP składa si¸e ze wszystkich predykatów postaci funkcji charak- terystycznych zbiorów postaci

{¯x : |{¯y : R₀(¯x, ¯y)}| < |{¯y : R₁(¯x, ¯y)}|} , gdzie R₀, R₁ ∈ P i |y| = poly(|x|).

7. Definicja. Operator H : B^⊗n → B^⊗n nazywa si¸e k-lokalnie hamiltonowskim, jeśli ma przedstawienie H = P H_j[S_j], gdzie każdy H_j jest nieujemnym operatorem hermitowskim na rejestrze S_j rozmiaru ≤ k.

Przy tym zakłada si¸e, że I − H_j też s¸a nieujemne.

8. Problem "LOCAL HAMILTONIAN". Niech k ∈ N, α ≥ 0 i niech funkcja F jest określona na zbiorze ci¸agów nast¸epuj¸acej postaci:

(n , H , a(n) , b(n)) , gdzie 0 ≤ a(n) < b(n) , b(n) − a(n) = Ω(n^−α),

H = operator k-lokalnie hamiltonowski n-kubitowy przedstawiony przez macierz odpowiedniej złożoności.

Definiujemy wartość funkcji F na takim ci¸agu jako 1, jeśli U ma wartość własn¸a ≤ α(n); gdy wszystkie wartości własne s¸a wi¸eksze niż b(n), definiu- jemy wartość F jako 0.

Tak¸a F nazywamy problemem lokalnie hamiltonowskim.

9. Twierdzenie. Problem lokalnie hamiltonowski jest BQNP-zupełny wzgl¸edem redukowalności wg Karp.

2