Statystyka i eksploracja danych
2. Podstawy rachunku prawdopodobieństwa — zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 2.1 (K. B. D. K. W., Zad. 2.3. str. 52) W grupie studentów przeprowadzono spraw- dzian. Niech X będzie zmienną losową oznaczającą ocenę losowo wybranego studenta.
Zakładając, że stosunek ocen bdb (5), db (4), dst (3), ndst (2) ma się jak 1:3:4:2, wyznacz:
1. rozkład zmiennej X, 2. dystrybuantę i jej wykres,
3. P (X ¬ 3, 5) oraz P (3 < X ¬ 4, 5), korzystając raz z rozkładu, raz z dystrybu- anty,
4. wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej X, 5. medianę i kwantyl rzędu 3/5.
Zad. 2.2 (K. B. D. K. W., Zad. 2.4. str. 54) Dystrybuanta zmiennej losowej X ma postać
FX(t) =
0, t < −2, 0, 4, −2 ¬ t < 3, 0, 5, 3 ¬ t < 5, 1, t 5.
Wyznacz rozkład zmiennej X, oblicz wartość oczekiwaną, wariancję i 3. moment absolutny tej zmiennej.
Zad. 2.3 (K. B. D. K. W., Zad. 2.44. str. 110) Rozkład zmiennej losowej X dany jest tabelą:
k −5 −2 0 1 3 8
P (X = k) 0, 1 0, 2 0, 1 0, 2 c 0, 1 Wyznacz
1. stałą c,
2. dystrybuantę i jej wykres,
3. prawdopodobieństwa P (X = 1), P (X = 2), P (X < 3), P (X < 2), P (X 0), P (−2 ¬ X < 3), korzystając raz z rozkładu, raz z dystrybuanty,
4. wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej X, 5. medianę i kwantyl rzędu 0, 3.
Zad. 2.4 Zmienna losowa X ma gęstość f (x) = 4a3x1(0,3)(x). Wyznacz parametr a i dys- trybuantę tej zmiennej oraz oblicz 3. i 4. moment absolutny, medianę i 1. kwartyl (tzn. kwantyl rzędu 1/4).
Zad. 2.5 (K. B. D. K. W., Zad. 2.108. str. 117) Dobierz stałą c tak, aby funkcja
f (x) =
c sin x dla 0 ¬ x ¬ π
0 w p. w.
była gęstością. Następnie wyznacz jej dystrybuantę, medianę i 1. kwartyl oraz oblicz P (|X| < π3).
Zad. 2.6 (K. B. D. K. W., Zad. 2.113. str. 118) Wyznacz tak stałą a, by funkcja
F (x) =
0 dla x < 1 21 − 1x dla 1 ¬ x < a
1 dla x a
była dystrybuantą zmiennej losowej X typu ciągłego.
1. Oblicz P (−1 ¬ X ¬ 1, 5).
2. Wyznacz ogólny wzór na kwantyl rzędu p.
3. Wyznacz gęstość tej zmiennej losowej.
4. Oblicz wartość oczekiwaną oraz 3. i 4. moment absolutny tej zmiennej.
Zad. 2.7 Rozkład wektora (X, Y ) dany jest tabelką:
Y
X 1 2 3 4
2 0, 125 0, 25 0 0
4 0, 125 0 0, 125 0, 25
6 0 0 0, 125 0
1. Znajdź rozkłady brzegowe zmiennych X i Y . 2. Czy X i Y są niezależne? Czy są nieskorelowane?
3. Wyznacz P (X = Y ).
4. Wyznacz wartość oczekiwaną, macierz kowariancji i wariancję wektora (X, Y ).
5. Wyznacz rozkład zmiennej Z = X + Y .
Zad. 2.8 Dana jest funkcja
f (x, y) =
( Cxy, 1 ¬ x ¬ 2, 2 ¬ y ¬ 4, 0, w p.w.
Wyznacz stałą C tak, aby funkcja ta była gęstością dwuwymiarowego wektora losowe- go. Podaj rozkłady brzegowe i dystrybuantę. Czy wektor z tak zdefiniowaną gęstością ma składowe niezależne? Czy ma składowe nieskorelowane? Wyznacz współczynnik korelacji. Oblicz P (Y > 2X).
Zad. 2.9 Niech (X, Y ) będzie wektorem losowym o gęstości f (x, y) = 1
27(x2+ y2)1A(x, y),
gdzie A jest trójkątem o wierzchołkach (0, 0), (3, 0), (3, 3). Oblicz P (X + 2Y > 3).
Wyznacz rozkłady brzegowe zmiennych X i Y oraz oblicz współczynnik kowariancji.
Zad. 2.10 Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają rozkład N (0, 1). Czy zmienne losowe 2X + Y , X + 2Y są niezależne? (Wskazówka: sprawdź, czy wartość oczekiwana iloczynu tych zmiennych jest równa iloczynowi wartości oczekiwanych).
