Zagadnienia do egzaminu z Analizy matematycznej dla I FT
1. Wartości logiczne i rachunek zbiorów:
• oznaczenia i wartości logiczne,
• zbiory,
• rachunek zbiorów.
2. Funkcje elementarne:
• zasada indukcji zupełnej,
• ciało liczb rzeczywistych,
• funkcje i działania na nich.
3. Ciągi – podstawowe informacje:
• definicja ciągu liczbowego,
• definicje granic ciągu liczbowego,
• własności ciągów zbieżnych.
4. Funkcje – własności podstawowe:
• definicje granic funkcji,
• twierdzenia o granicach właściwych i niewłaściwych funkcji,
• asymptoty funkcji,
• funkcje ciągłe i ich własności.
5. Pochodne funkcji:
• iloraz różnicowy,
• pochodne niektórych funkcji elementarnych,
• pochodne jednostronne funkcji,
• twierdzenia o pochodnej funkcji,
• różniczka funkcji,
• pochodne wyższych rzędów.
6. Twierdzenia o funkcjach z pochodnymi:
• twierdzenie Rolle’a,
• twierdzenie Lagrange’a,
• reguła de L’Hospitala,
• rozwinięcie Taylora funkcji.
7. Badanie funkcji:
• ekstrema funkcji,
• twierdzenie Fermata o istnieniu ekstremum,
• funkcje wypukłe i wklęsłe,
• punkty przegięcia wykresu funkcji,
• badanie przebiegu zmienności funkcji.
8. Całki nieoznaczone:
• funkcja pierwotna,
• definicja całki nieoznaczonej,
• całki nieoznaczone niektórych funkcji elementarnych,
• twierdzenia o całkach nieoznaczonych,
• całkowanie funkcji wymiernych, trygonometrycznych oraz funkcji zawierających niewymierności.
9. Całki oznaczone:
• definicja Riemanna całki oznaczonej,
• interpretacja geometryczna całki oznaczonej,
• interpretacja fizyczna całki oznaczonej,
• podstawowe twierdzenia,
• własności całki oznaczonej,
• twierdzenia podstawowe rachunku całkowego,
• całki niewłaściwe.
10. Zastosowanie całek oznaczonych:
• zastosowanie całek w geometrii,
• zastosowanie całek w fizyce.
11. Szeregi liczbowe:
• definicja szeregu liczbowego,
• kryteria zbieżności szeregów,
• zbieżność bezwzględna szeregów.
12. Ciągi i szeregi funkcyjne:
• definicja ciągu funkcyjnego,
• zbieżność punktowa i jednostajna ciągu funkcyjnego,
• suma częściowa szeregu funkcyjnego,
• kryteria zbieżności szeregów funkcyjnych,
• szeregi potęgowe,
• szereg Taylora i Fouriera.
