Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IFT i IF
2. Indukcja zupełna, funkcje
1. Indukcja zupełna
1.1 Wykazać, że dla każdego ݊ ∈ ℕ liczba n −3 n jest podzielna przez 3.
1.2 Udowodnić, że dla każdego ݊ ∈ ℕ prawdziwe są wzory:
a)
( )
2 1
1
= +
∑
=
n k n
n
k
;
b)
( )( )
6 1 2 1
1
2 + +
∑
==
n n k n
n
k
;
c)
2
1 1
3
=
∑
∑
=
=
n
k n
k
k
k ;
d)
( ) ( ) ( )
3 1 1 1
1
+
= −
∑
−=
n n k n
k
n
k
.
2. Funkcje – własności podstawowe
2.1 Proszę narysować wykres i omówić własności następujących funkcji elementarnych (prawidłowo określić dziedzinę funkcji):
a) f
( )
x =const;b) f
( )
x =xn dla ሺ݊ ∈ ℕሻ;c) f
( )
x =x−n dla ሺ݊ ∈ ℕሻ;d) f
( )
x =xq dla ሺݍ ∈ ℚሻ;e) f
( )
x =sin( )
x ;f) f
( )
x =cos( )
x ; g) f( )
x =tg( )
x ; h) f( )
x =ctg( )
x ;i) f
( )
x =logax dla(
a>0) (
∧ a≠1)
; j) f( )
x =ax dla(
a>0)
.2.2 Proszę narysować wykres i omówić własności następujących funkcji (prawidłowo określić dziedzinę funkcji):
a) f
( )
x = x; b) f( )
x =[ ]
x ; c) f( )
x =[
−x]
;d) f
( )
x =[ ] [
x + −x]
; e) f( )
x = x ; f) f( )
x =lnx .2.3 Proszę omówić własności funkcji g
( )
x w stosunku do własności funkcji f( )
x : a) g( )
x =a+ f( )
x , ܽ ∈ ℝ;b) g
( )
x = f(
x+a)
, ܽ ∈ ℝ;c) g
( )
x = f(
−x)
;d) g
( )
x =−f( )
x ; e) g( )
x =−f(
−x)
.3. Funkcje ograniczone
Zbadać, czy podane funkcje są ograniczone na podanych zbiorach:
a)
( )
1, (1,3] x xf = ;
b) g
( )
x =log2x,( )
0,1 ;c)
( )
,1 1
2 2
+
= − x x x
h ℝ;
d)
( )
, [0, ) 12 1 + ∞
= − x x x
k .
4. Złożenia funkcji
4.1 Określić funkcje złożone f , f f , g g f , g g oraz ich dziedziny, jeśli:
a) f
( )
x =x2, g( )
x = x; b) f( )
x =2x, g( )
x =cosx;c)
( ) ( )
3
3 1
,
x x g x x
f = = ;
d)
( ) ( )
x x x g x x
f 1
1 2, =
= + .
4.2 Znaleźć funkcje f i g takie, że h=g f , jeżeli:
a)
( )
x x x
h +
= − 2
2 ;
b) h
( )
x =sin2x;c) h
( )
x =log(
x2+1)
; d) h( )
x = x+2.5. Funkcje odwrotne
Znaleźć funkcje odwrotne do podanych:
a) f
( )
x =x7+5, ݔ ∈ ℝ;b) f
( )
x =x2−2x, x∈[1,∞);c) f
( )
x =2−5 x+1, ݔ ∈ ℝ;d) f
