Transformacja F=exp [1-f ̄1] i jej zastosowanie do wyznaczania własności dynamicznych obiektów cieplnych o parametrach rozłożonych

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ S e r i a : AUTOMATYKA z . 14

________ 1969 Nr k o l . 267

R e g i n a l d Kr zyżanows ki K a t e d r a Urządzeń i Układów A ut oma t yk i

2 . 5 . TRANSFORMACJA F = exp [ l - f " 1] I J EJ ZASTOSOWANIE DO WYZNA­

CZANIA WŁASNOŚCI DYNAMICZNYCH OBIEKTÓW CIEPLNYCH O PARAME­

TRACH ROZŁOŻONYCH

S t r e s z c z e n i e . W a r t y k u l e p r z e d s t a w i o n o pewien t y p t r a n s f o r m a c j i , p o d a j ą c e j związ ek między u k ła d ami o p a r a m e t r a c h s k u p i on yc h a u k ł a da mi o p a r a m e t r a c h r o z ł o ż o n y c h . T r a n s f o r m a c j a t a j e s t s z c z e g ó l n i e p r z y d a t n a d l a wy zn ac ze n ia w ł a s n o ś c i dynamicznych o bie któw o i e p l n y o h . W a r t y k u l e p r z e d s t a w i o n o k i l ­ ka przykładów z a s t o s o w a n i a .

1 . Podstawy t e o r e t y o z n e

Wśród Jednoparametr owych o b i e k t ó w , z w ł a s z c z a o bie któw o i e p l ­ n y oh, i s t n i e j ą o b i e k t y o p i s a n e pewną k l a s ą równań r ó ż n i c z k o w y c h , c z ą s t k o w y c h , l i n i o w y c h , k t ó r e po s t r a n s f o r m o w a n i u według o z a - s u , d l a zerowych warunków początkowych, mogą byó sprowadzone do p o s t a c i o p e r a t o r o w e j ( 1 ) :

W y s tę pu j ąo a w t y c h z a l e ż n o ś c i a o h w s p ó ł r z ę d n a x , t o w z g l ę d n a , bezwymiarowa w s p ó ł r z ę d n a d ł u g o ś c i , o d n i e s i o n a do o a ł k o w i t 9 j d ł u g o ś c i r o z p a t r y w a n e g o o b i e k t u . O b i e k t o p i s a n y t a k i m równa­

niem (1) J e s t o b ie k te m o p a r a m e t r a o h r o z ł o ż o n y c h równ omi er ni e (1)

Przy warunkaoh br zego wy ch :

d l a : x = 0 K ( o , p ) * YWQ(p)

(

)

d l a : x » 1. Y(.1,p) = \ y ( v )

158 R e g in a ld K rzyżanow ski na d ł u g o ś c i . Wyrażenie o p er a t o r ow e A ( p ) , n i e z a l e ż n e od x , Y ,

p o w s t a j ą c e w wyniku t r a n s f o r m a c j i według o z a s u , u k ł a d u równań r ó żn ic z ko w yc h l i n i o w y c h , po wyel i mi no wani u i nn yc h zmiennyoh o p r ó cz Y ( x , p ) , powinno s p e ł n i a ó dodatkowe w a r u n k i z a p e w n i a j ą ­ ce s t a b i l n o ś ó r o z w i ą z a ń r ównania ( 1 ) . Warunki t e s ą o czy wi ś­

c i e s p e ł n i o n e d l a r z e c z y w l ś o i e i s t n i e j ą c y o h , p r a k t y c z n y o h , s t a ­ b i l n y c h obiektów t e o h n i o z n y o h .

Rozwiąz anie r ównani a (1) pr zy warunkaoh brzegowyoh (2) ma p o s t a ó :

\ y ( p ) = *w a (p).«XP 0 ( P ) ]

Można z d e f i n i o w a ó t r a n s m i t a n c J ę ( f u n k c j ę p r z e j ś c i a ) o p e r a t o r o ­ wą o b i e k t u , o p i s a n e g o równaniem (1) p rzy warunkaoh ( 2) j a k o :

f(p) * = 0xp

WQ

T r a n s m i t a n c j a t a i n f o r m u j e n a s , j a k s y g n a ł w i e l k o ś c i w e j ś o i o - w e j , j e s t p r z e n o s z o n y p r z e z t e n o b i e k t o p a r a m e t r a c h r o z ł o ż o ­ nych ( r y s . 1 ) .

Takiemu o b i e k t o w i o p a r a m e t r a o h r o z ł o ż o n y c h , można przyporządkowań o d po wi ad aj ąo y mu o b i e k t o parame­

t r a o h s k u p i o n y c h , o p i s a n y równa­

niem operatorowym ( 4 ) , p o w s t a j ą - oyra t a k , że w m i e j s c e Y ( x , p ) w s t a -

■nr* F(p)

Rys<

wiamy w r ó w n a n i u ( 1 ) , w y r a ż e n i e n i e z a l e ż n e od x mi anowicie Y ^ i p ) , a w m i e j s c e ^ wstawiamy r ó ż n i o ę Yk (p) - vYp ( p ) J

Yk (p) - Yp (p) =* A(p) Yk (p)

7 7 Yk ( p ) - i D(p)

yTJwaga: ś c i ś l e j powinniśmy wst awi ó --- “---- >■, t o znaczy r ó ż n i c ę p o d z i e l o n ą p r z e z c a ł k o w i t ą d ł u g o ś ó , k t ó r a w j e d ­ n o s t k a c h względnych j e s t równa 1 .

(4)

T ransf ormaoja F = exp [i - f ~^j. 159 O b i e k t o p i s a n y równaniem (4) j e s t o bi ek tem o p a r a m e t r a o h s k up io ny ch na d ł u g o ś o i x ( ni e z a l e ż y Y^Cp) od x , a r ó ż n i s i ę t y l k o d l a x = 0 (na p o c z ą t k u o b i e k t u ) , g d zi e w y no si Yp ( p ) ) . Dla t a k i e g o o b i e k t u możemy z d e f i n i o w a ó t r a n s m i t a n o j ę ja k o i

f l ( p ) = y ? T = T = 5 I pT ( 5 )

T r a n s m i t a n o j a f ( p ) i n f o r m u j e n a s o p r z e n o s z e n i u sygnałów p r z e z o b i e k t o p a r a m e t r a c h s ku p io n yc h ( r y s . 2 ) .

O c zy w iś c ie w y r a ż e n i e f ( p ) musi s p e ł n i a ó w a r u n k i s t a b i l n o ś c i (wszy­

s t k i e b i e g u n y f ( p ) muszą mieó ujem­

n ą ozęśó r z e c z y w i s t ą ) , co zapewnia n p . r e a l i z o w a l n o ś ó pomiaru o h a r a k - 2 t e r y s t y k i a m p l i t u d o w o - f a z o w e j f ( j c o ) . Pomiędzy t r a n s m i t a n o j ą ( f u n k o j ą p r z e j ś c i a ) o b i e k t u o p a r a ­ me tr ao h s k u p io ny ch a t r a n s m i t a n o j ą o b i e k t u o p a r a m e t r a c h r o z - ł o ż o n y o h , i s t n i e j e w o p a r c i u o wzory (3) i (5) p r o s t a r e l a o j a :

F ( p ) * exp [ i - f ( p ) “ 1] (6)

Wzór (6) s t a n o w i pewną t r a n s f o r m a c j ę ( p r z e k s z t a ł c e n i e ) , k t ó r a p r z e k s z t a ł c a t r a n s m i t a n o j ę o b i e k t u o p a r a m e t r a o h s k u p i o n y c h , danego wzorem ( 4 ) , w t r a n s m i t a n o j ę a n a l o g i o z n e g o co do wymia­

rów o b i e k t u , a l e ' t r a k t o w a n e g o j a ko o b i e k t o p a r a m e t r a c h r o z ł o ­ żonych na d ł u g o ś c i .

J e ś l i w m i e j s c e p p od st awi ó j c o , t o z a l e ż n o ś c i b ędą obowią­

zywać n a d a l i bę dą podawaó z w ią z ek między od powiadaj ącymi s o ­ b i e p unktami c h a r a k t e r y s t y k amp li t ud owo- faz owych o b i e k t u s k u ­ pion ego i o b i e k t u o p a r a m e t r a c h r o z ł o ż o n y c h . O s t a t n i ą z a l e ż ­ no ść można w y k o r z y s t a ć p r a k t y c z n i e b u d u j ą c n p . model e l e k t r y c z ­ ny a p a r a t u c i e p l n e g o , t r a k t o w a n e g o j ako u k ł a d o p ar a m e t r a o h s k u p i o n y c h , m i e r z ą c znanymi metodami c h a r a k t e r y s t y k ę a m p l i t u - dowo-fazową f ( j e u ) , a n a s t ę p n i e k o r z y s t a j ą c z t r a n s f o r m a c j i

( 6 ) , wyznaczyć c h a r a k t e r y s t y k ę r z e c z y w i s t ą o b i e k t u o par ame-

160 R e g in a ld K rzyżanow ski t r a o h r o z ł o ż o n y c h . Wykonanie w p r o s t modelu o p a r a m e t r a c h r o z ­ ł o ż o n y c h j e s t u t r u d n i o n e , model t a k i można wykonać d z i e l ą o c a ł y a p a r a t na k i l k a n a ś c i e l u b k i l k a d z i e s i ą t c z ę ś c i , stosować p o t r z e b a e l e k t r o n o w e s e p a r a t o r y i t r z e b a p r z e p r o w a d z i ć s k o m p l i ­ kowaną d y s k u s j ę d o k ł a d n o ś c i modelowania, Model o b i e k t u o p a r a - m et raoh s ku pi on yc h j e s t p r o s t y , s k ł a d a s i ę z n i e w i e l k i e j l i c z ­ by elementów b i e r n y c h (oporów e l e k t r y c z n y c h i k o nd en s at or ó w) i co n a j w a ż n i e j s z e n i e wymaga s t o s o w a n i a skomplikowanych s e p a r a ­ t or ó w. Metoda t a z o s t a ł a p r z e d s t a w i o n a p r z e z a u t o r a na IV K r a ­ jowej K o n f e r e n c j i Auto ma ty ki [ 1 ] 1 r ozpr acowana szczegółowo d l a p r z e g rz e wa c za pary [2] .

Typowymi o b i e k t a m i c i e p l n y m i , k t ó r e można o p i s a ć równaniem (1) s ą n p . f r a g m e n t wymiennika c i e p ł a r u r o we go , w którym d r u g i e medium u l e g a k o n d e n s a c j i lub odparowaniu ( p r a k t y c z n i e s t a ł a t e m p e r a t u r a 2 medium przy s t a ł y m c i ś n i e n i u ) , i zolowana c i e p l ­ n i e r u r a i n s t a l a c j i d o p r o w a d z a j ą c e j p ar ę l u b c i e c z , r e g u l a c y j ­ ny o d c i n e k p r z e gr ze w ac za pary i t p . Są t o o b i e k t y z wymuszonym, t u r b u l e n t n y m przepływem medium w a p a r a c i e o dominującym wymia­

r z e w k i e r u n k u p rzepł ywu medium (dużym s t o s u n k u wymiaru p o d ł u ż ­ nego do p o p r z e c z n e g o ) . S chematycznie na r y s . 3 p r z e d s t a w i o n o k o l e j n o : f r a g m e n t wymiennika o l e p ł a ze zmianą s t a n u s k u p i e n i a d r u g i e g o medium ( r y s . 3 a ) , o d c i n e k i z o l o w a n e j r u r y i n s t a l a c j i t e c h n o l o g i c z n e j ( r y s . 3b) i r e g u l a o y j n y wycinek p r zeg rze wa oza p ar y ( r y s . 3 c ) .

W tyoh a p a r a t a c h t e m p e r a t u r a czy nn i ka p ł yną ceg o odpowiada Y ( x , t ) .

Na ' r y s . 4 a , b , o , p r z e d s t a w i o n o k o l e j n o te same a p a r a t y t r a k ­ towane ja k o o b i e k t y o p a r a m e t r a c h s ku p io n yc h na d ł u g o ś c i (z i - dealnym mi eszaniem na d ł u g o ś c i a p a r a t u ) .

P o s t ę p u j ą c podobnie można d l a obiektów w ie l op ar ame t ro wy c h (o k i l k u w e j ś c i a c h i w y j ś c i a c h ) , p r z e d s t a w i ć z a l e ż n o ś c i pozwa­

l a j ą c e u s t a l i ć związ ek między o b i e k t a m i o p a r a m e t r a c h s k u p i o ­ n y c h , a o b i e k t a m i t r a kt o wa n ym i ja k o u kł ad y o p a r a m e t r a o h r o z ­ ł o ż o n y c h . Dla obiektów w ie l o w e j ś c i o w y c h (wielowymiarowych), n a l e ż y p o s ł u ż y ć s i ę zapi se m macierzowym.

Wśród obiektów wielowymiarowych i s t n i e j ą o b i e k t y op is a ne pewną k l a s ą równań ró żn ic z ko wy ch czą st k owy c h, l i n i o w y c h , k t ó r e

T r a n s f o r m a c ja F = exp [ l - f '~1] . «. 161

- rz>rnt m edium k o n d cn su ja ce fab

£ porające p rzy sta ły m ds'n iem u

* L "

— — ---- — --- ////////////////7 7 /7 7 7 A "jZZZX y /y /7 /7 /z .

—r ■ 1

G _{x J}

777777ZZr2ZZZZZ22ZŁ:; 2 & ¿ L .. v /s /s /s A - , --- X ” 7 ^ * * 0 ~ "

r y & '

& r(xt) Rys . 3a

\ ^ odpow iada

Ą x ,o

izo facja de fi/na

temperatura

Y(x,t) - A x ,t)

Rys. 3b

Aro/rat

w e 6

-p a ro --- p ra k tyczn ie Q =» con st

V /} ////- } /7 /t) / / / ) / / / ) / / Ą - - 1 $ 7 7 7 ^7 7 7 \ A x , t ) - te n p e ra ti pary

Y (x ,t) = Ą \ t ) ił(x fy

* r M '

\ara y v

Rys. 3c

162 R e g i n a ld K rzy^anow ski

Rys. 4"b

izo /a cja

f a

G

*

2 z 4 z 1 ( J L

' - f a r r ' t i i p — T ^{) ^}

R,va. 4o

• 1 «

T r a n s f ormaoja F « exp . . . 163 po s t r a n s f o r m o w a n i u według o z a s u , d l a zerowych warunków p o c z ą t ­ kowych, mogą być sprowadzone do o p e r a t o r o w e j p o s t a c i m a c i e r z o ­ wej (7)

(7)

g d z i e :

Y ( x , p )

Ï-, ( x , p ) Y2 ( x , p )

J n ( x , p ) _

s t a n o w i m a c i e r z kolumnową l u b i n a c z e j w e k to r w p r z e s t r z e n i n - w ym ia ro w ej .

A (

)

A1 1 ( p ) -^1 2 (P)

a2 1 (p) a2 2 (p)

An 1 (p) An 2 (p) — An n {p)

■* Am (p) . . A2 n (p)

s t a n o w i m a c i e r z k wadr atową, k t ó r e j wyrazami s ą w y r a ż e n i a ope­

r a t o r o w e , s p e ł n i a j ą c e w a r u n k i s t a b i l n o ś c i r o z w i ą z a n i a ( 7 ) . x - w s p ó ł r z ę d n a bezwymiarowa d ł u g o ś c i .

N i e c h a j w a r u n k i brzegowe mają p o s t a ć : d l a : x = 0

Y ( o , p ) » Y we(p)

(

)

d l a : x = 1 Y d i i ) - Y l t J Cp)

Jak wiadomo ro zw ią z a n ie równania (7 ) przy warunkach brzegowych ( 8 ) , może byó za p isa n e w p o s t a c i m acierzowej:

Y w y ( p ) - e x p [ A ( p ) ] Y w a ( p)

164 R e g in a ld K rzyżanow ski g d z i e : exp [ A ] j e s t m a c i e r z ą kwadratową s t o p n i a n i może być wyznaozona gdy znamy

A

r df „ A A 2 A 3 ^

exp [ A ] 1 +

TT

Można z d e f i n i o w a ó m a c i e r z t r a n s m i t a n o j i :

F

=

[A(p)]

Wyrazami t e j ma c i e r z y t r a n s m i t a n o j i s ą t r a n s m i t a n o j e o p e r a t o ­ rowe między p os z c z e g ó l n y m i w e j ś o i a m i Yj_W0(p)» a s y g n a ł a m i w y j ­ ściowymi Y ^ y i p )

Yjwy ^ = V p)/ Yl * . ( *>

J e ś l i p r z y j ą ó o dp owiadaj ąoy temu o b i e k t o w i , opisanemu r ów na - n i e m ( 7 ) i warunkami ( 8 ) , o b i e k t s ku p io n y o p i s a n y w p o s t a o i ma­

c i e r z o w e j :

Y k (p) - Y p(p) = A (p)Yk^p) (10>

[ 1 - A < p ) ] Y k W - Y P W ( 1 0 , ) ,

Y k(p) - f (p).Yp(p) (11>

R ys. 5

Tr a n s f o r m a o j a F = exp pl-f*"'1] 165 M a ci e rz $ ( p) - nazywamy m a c i e r z ą t r a n s m i t a n o j i o b i e k t u s k u ­ p i o n e g o . 0 ma'cierzy kwadr atowej s t o p n i a n n a l e ż y z a ł o ż y ć , że j e s t t o m a c i e r z n ie o so bl iw a ( r y s . 6 ) .

K o r z y s t a j ą c z ( 1 1 ) , ( 1 0 r ) i

(9) o t rz ym u je s i ę z wi ąz e k s i ę - Yfk dzy m a c i e r z ą t z a n s m i t a n o j i

ytk o b i e k t u o p a r a m e t r a c h s k u p i o - nyoh i m a c i e r z ą t r a n s m i t a n o j i t e g o samego o b i e k t u t r a k t o w a ­ nego j a k u k ł a d o p a r a m e t r a c h

Hys. 6 r o s ł o ż o n y o h .

F (p) = exp [ 1 - f (p)*"1] ( 12) Ot rzymuj e s i ę wzór macierzowy a n a l o g i c z n y do wzoru (6) ( d l a

obi e kt ów j e d n o w e j ś c i o w y c h ) .

O s t a t n i związ ek może byó p r a k t y c z n i e w y ko r zy s ta ny do wyzna­

c z e n i a w ł a s n o ś c i dynamicznych b a r d z o p o p u l a r n y c h w pr zemyśl e a p a r a t ó w , j a k i m i s ą rurowe dwumediowe w ymi enn ik i c i e p ł a . Dla współ prądowego wymiennika c i e p ł a t y p u " r u r a w r u r z e " , ma­

c i e r z o w a z a l e ż n o ś ć ( 12) podaj e z wi ąz ek między t r a n s m i t a n o j a m i wymiennika a n a l o g i c z n e g o , a l e t r a k t o w a n e g o j ako u k ł a d o p a r a ­ me t ra ch s k u p i on y ch na d ł u g o ś c i , a t r a n s m i t a n o j a m i r z e c z y w i s t y ­ mi wymiennika o p a r a m e t r a c h r o z ł o ż o n y c h na d ł u g o ś c i ( r y s . 7 ) .

r , "y

Y

G<

t r \

»r w(X.t)

Y*"</

Rys. 7

166 R e g in a ld K rzyżanow ski Ponieważ wymienniki o parametrach ro zło żo n y ch w yróżn iają k ie r u n k i przepływu mediów (współprąd lub p rzeoiw p rąd ), a wy­

miennik traktowany jako układ o parametriaoh skupionych n ie j e s t w s t a n i e tego w y ró żn ló , dla wymienników przeoiwprądowyoh n a leż y wprowadzió pewną m odyfikaoję.

Dla przeoiwprądowego wymiennika c i e p ł a równanie maoierzowe ma postaó

(13)

g d zie zmodyfikowana maoierz A m(p) j e s t m aoierzą, k t ó r e j wyra­

zy pierw szego w iersza są id en ty o zn e z wyrazami maoierzy A ( p ) , a wyrazy drugiego w ie r s z a maoierzy A m(p) mają przeolwny znak do odpowiednioh wyrazów nraoierzy

A

Warunki brzegowe wymiennika przeoiwprądowego s ą n astępu ją o e ( r y s . 8)

d l a : x ■ 0

d l a :

Y , ( o , p ) - * 1we( p ) f Y2 ( o , p ) “ Y2wy^p ^

1 (ii»p) - I 1WJ(P)» *2 ( 1 »p) = Y2we(p)- ( U )

Obowiązuje dla równania (13) za le ż n o ó ó :

Y ( t . p ) - exp[Am(p)]Y (o,p)

ZZZZZZZZZZZZZZt

x=o

&

t

~ I

J'ttnft) Ą(W

¿(W

T r a n s f o r m a o ja F - exp f l - f ~ 1] . . . 167 Zmodyfikowana m a c i e r z exp [ A b <P)J p od aj e związ ek pomiędzy s y ­ g n a ł a m i , Y^ na p o o z ą t k u , a s y g n a ł a m i Y^, Y2 na koóou wymien- n i k a . Maoier z t ę można oznaczyć p r z e z F m( p ) . Związek między wyrazami ma oier zy t r a n s m i t a n o j i , a ma oierzy F m, można podać w o p a r o i u o z a l e ż n o ś c i ( 1 4 ) . Można z a p i s a ć Je w p o s t a o i :

11 (P)

22m (P)

?12 ( P ) ’ ^{F1 2 m (p)}

, , F2 l n / p )

P2 2 (P) * W p7

(15)

Metoda t a j e s t s z c z e g ó l n i e wygodna d l a n ie t yp ow yc h p o p r z e o z - nyoh k s z t a ł t ó w geometrycznyoh wymienników o i e p ł a . Można wtedy z a st o s o w a ć metodę modelowania o h i e k t u s k u p i on eg o za pomocą tzw, a n a l i z a t o r ó w polowyoh ( a n a l i z a t o r ó w s i a t k o w y o h ) l u b i n a o z e j mówiąo za pomooą s i e o i oporowo-pojemnośoioweJ [ 3 ] , [4] , [ 2] , [1 ] .

W t a b l i o y T.1 z a s t a w i o n o z a l e ż n o ś o i d l a układów j e d n o w e j ś - oiowyoh ( je dn op ar ame t ro wy o h) i wi el o we j śo i owy o h ( w i el op a ra me ­ t r o w y c h ) .

N a jwi ęks ze z a s t o s o w a n i e p r a k t y o z n e z n a l e ź ć może t r a n s f o r ­ macja między u k ł a d a m i o p a r a m e t r a c h s k u p io n yc h a u k ł a d a m i o p a r a m e t r a c h r o z ł o ż o n y o h , d l a obiektów j e d nowe j śoi owyoh . J e ś l ? o b i e k t y r ozważans s t a n o w i ą w y m ie n ni ki o i e p ł a , t o wzmoonieni- w t a k i o h u k ł a d a o h j e s t n i e wi ęk sz e od J e d n o ś c i [2] . Dla o t .ek-

tów jednoweJśoiowyoh można p r z e d s t a w i ć na p ł a s z o z y ź n i e Gr i s s a f ( j t o ) l i n i e równyoh f a z i a m p l i t u d z p ł a s z c z y z n y F ( j co], pod warunkiem o g r a n i c z e n i a s i ę do n a j w y ż e j j ed neg o p eł n e g o o bi e gu

p o o z ą t k u u k ł a d u na p ł a s z o z y ź n i e F ( j co).

168 R e g in a ld K rzyżanow ski T a b l i c a 1 Układy jednov&ej-

ściowe ( j e d n o p a r a - m e tr o we )

Układy w i e l o w e j ś o i o - we ( w ie l o p a r a m e t r o w e ) T r a n s m i t a n c J a

u k ł a d u s ku pi on eg o

( m a c i e r z t r a n s m , ) i (p) f (p)

T r a n s m i t a n c j a u k ł a d u o p a r a me ~ t r a c h r o z ł o ż o n y c h

( m a c i e r z )

P i p )

F(p)

T r a n s f o r m a c j a p r z e k s z t a ł c a j ą c a u k ł a d o p a r . sku- p i o n . w układ, o p a r . r o z ł .

F(p)=*exp [ l - f ( p ) " 1]. F (p )* ex p [ 1 - f ( p ) " 1]

P r z y k ł a d t e c h n o ­ l o g i o zny

H T i l P r z eg r z e wa o z

p ar y Współprądowy rurowy

wymiennik o i e p ł a - J e ś l i oznaczyć f - k ą t fazowy w r a d i a n a c h na p ł a s z c z y ź n i e F ( 3 w ) i a A - a m p l i t u d ę w y r a ż e n i a F ( j co) na p ł a s z c z y ź n i e F ( j c o ) t o w d p a r c i u o z a l e ż n o ś ć (6) d l a \ f \ < 2 31, można z a p i s a ć

„2 / 1 -.2 t 1 \2

1 \2 2 ,1 \2 (16) (u _ g - ) + T = ( j . ) g d z i e : A » e 1 q; u ■ R e f ; r =* Imf.

Są t o o k r ę g i p r z e c h o d z ą c e p r z e z p o c z ą t e k u k ł a d u , k t ó r y c h

*'-.1 l e ż ą k o l e j n o na o s i a c h v , u , a i c h p r om i e n i e s ą odpo- i o równe l - A r l i I 4^"| • Podaje t o r y s . 9.

ś r o d k i wie d ni o

I r a n s f o r m a o j a F - axp [ l - f ~ 1] . . . 169 Z a l e ż n o ś c i (16) p o z w a l a j ą podaó p r o s t ą i wygodną, metodę p r z e n i e s i e n i a punktów z p ł a s z o z y z n y . f ( j c o ) , na o dpowiadaj ące

im punkty c h a r a k t e r y s t y k i na p ł a s z o z y ź n i e F ( j c o ) » W tym o e l u dany p u nk t P c h a r a k t e r y s t y k i f , ł ą c z y s i ę p r o s t ą z p o cz ą t ki e m u k ł a d u w s p ó ł r z ę d n y c h i do t a k p o ws t a ł e g o od ci nka OP wystawia s i ę s y m e t r a l n ą , k t ó r a p r z e c i n a p ó ł o s i e OU i OY odpowiednio w p u nk t a c h o w s p ó ł r z ę d n y c h : r u , r y ( r y s . 1 0 ) .

Między t ymi w i e l k o ś c i a m i , a w s pó ł rz ęd n ymi biegunowymi punk­

t u c h a r a k t e r y s t y k i F i s t n i e j ą r e l a c j e :

9 = 2 F " ' A = e 1 ^ (17)

Dla o b i e k t ó w , w k t ó r y c h wzmocnienie d l a dowolnej c z ę s t o t l i ­ w o ś c i j e s t m n i e j s z e od j e d n o ś c i o r a z gdy ograniczymy s i ę do wy­

170 R a g l a a ld K rzyżanow ski z n a c z e n i a c h a r a k t e r y s t y k i F w t r z e c h p i e r w s z y c h ć w i a r t k a o h p ł a - s z ozyzn y G au ssa , l l o z ą o w k i e r u n k u ma tema ty czn ie ujemnym, ( n a j ­

b a r d z i e j i s t o t n e d l a po­

t r z e b a u t o m a t y k i [2] ) , to o b s z a r o dpo wi ada j ąc yc h ch a­

r a k t e r y s t y k f , na p ł a s z ­ c z y ź n i e f , można o p i s a ć j e d n o c z e s n y m i z a l e ż n o ś o i a - ml ( 1 8 ) :

t < 0

2 2

U + Y — U < 0

U + Y Y > 0

( 18)

Obszar ten przedstaw iono na r y s . 11.

R ys . 11 2 . P r z y k ł a d y

Z a l e ż n o ś ć ( 6 ) może być w y k o r z y s t a n a pr zy w y z na cz a ni u w ł a s - n o ś o i dynamioznych p r z e g r z e w a o s a p a r y , nawet u w z g l ę d n i a j ą c s k o ń -

ozony w s p ó ł c z y n n i k p r zew od zeni a o i e p ł a r a d i a l n i e w m a t e r i a l e r u ­ r y p r ze gr ze w ao za [2] , [ 1 ] . Znajomość o h a r a k t e r y s t y k i a m p l i t u - dowo-fazowej od zmiany t e m p e r a t u r y pary na w l o o i e do r e g u l a c y j ­ nego wycinka p rze gr ze wa o za p ar y do zmiany t e m p e r a t u r y na wy-

T r a n s f o r m a o ja F =* exp [ l - f ~ 1] . . . 171 l o c i e , J e s t n a j w a ż n i e j s z a pr zy dob or ze u k ł a d u r e g u l a c j i tempe­

r a t u r y pary s t e r o w a n e j p o p r z e z zmiany w t r y s k u k o n d e n s a t u [2]

( r y s . 1 2 ) .

Równania r ó ż n i c z k o w e p r z e g r z e w a ć z a , n a p i s a n e w o p a r c i u o z a ł o ż e n i a [5], [ć] i przy u w z g l ę d n i e n i u skońozonego w s p ó ł c z y n ­ n i k a p rz ew od ze ni a o i e p ł a x r a d i a l n i e w m a t e r i a l e r u r y [2] , p r z y z a ł o ż e n i u t y l k o zmiany t e m p e r a t u r y na w l o c i e do r e g u l a o y j - n e j o z ę ś o i p r z e g r z e w a o z a , mają p o s t a ó :

(19)

pr zy warunkach br zegowych:

,? ) = o d l a

d l a

5 3 7

0 ( x f t , 7 ) = 6>x ( x , t ) (20)

d l a 7 = a 5 a 6 ) = @r (x>t ) - # ( x , t ) ^

172 R a g in a ld K rzyżanow ski d l a x = O # ( o , t ) = # w e ( t )

(2 0)

Po t r a n s f o r m a c j i według względnego c z a s u t można o k r e ś l i ć f u n k ­ c j ę p r z e j ś c i a ( t r a n s m i t a n o j ę ) :

O

/ x ¿ wy( p '

g d z i e i a dące 1 1 w a c z y ) ,

0 0r

X ^{mm 1}

Ś -

t

L -

w0 V

R -

r ^{mm 1}

e

c —

p cr

-

? r ^_

- t e m p e r a t u r a względna p a r y ,

" " r u r y ,

" w e w n ęt r z ne j p o w i e r z c h n i r u r y ,

- d ł u g o ś ć [m],

= T, * xk Tlc ~ W * o ^ ~ c z a s [ 3] *

p r z e g r z e w a c z a [m],

< R *

c i e p ł o w ł aś ci we pary

- g ę s t o ś ć pary

■ m"

T r a n s f o r m a c ja F = exp [ l - f ~ 1] . . . 173

% - w s p ó ł c z y n n i k p r ze w o d n o ś c i w ł a ś c i w e j m a t e r i a ł u r u r y [ s md e g ] '

cć - w s p ó ł c z y n n i k w n i k a n i a c i e p ł a między p a r ą a r u r ą

o Lsm degj

7 „CpWor L

a , = — 5 -■ ■;— « -*■

1 2 ^ 0 L 3 7j.Cj.WoR2

r %

a 5 “ ff a 6 =

Z równań (19) przy warunkach (20) można otrzymać o p e r a t o r o ­ wą z a l e ż n o ś ć o p o s t a c i :

d ” a(p) $ (x»p)

g d z i e

A(p) = - p - ^{■ ■} C i P - ) - , a 1 [1+CCp)]

c(p) a6 k2

j 2 = - 1

p - o p e r a t o r względnego c z a s u .

j f yq - f u n k c j e B e s s e l a zerowego r z ę d u p i e r w s z e g o i d r u ­ g i e g o r o d z a j u ,

Yp - i o h pochodne p od łu g a r g u m e n t u .

174 R e g i n a ld K rzyżanow ski K o r z y s t a j ą c z z a l e ż n o ś c i p o p r z e d n i c h i w s t a w i a j ą c w m i e j s c e p , j cc,można by t e o r e t y c z n i e w y l i c z y ć c h a r a k t e r y s t y k ę a m p i i t u - dowo-fazową. Taki e postępowanie, j e s t j e d n a k z b y t u c i ą ż l i w e . Wy­

g o d n i e j wykonać model e l e k t r y c z n y j a k na r y s . 13, d z i e l ą c o a ł ą r u r ę w k i e r u n k u r a d i a l n y m na n war stw p i e r ś c i e n i o w y c h ( a l e n i e d z i e l ą c w k i e r u n k u wzdłużnym) i mo de l uj ąc p r z e z w y k o r z y s t a n i e a n a l o g i i o l e p l n o - e l e k t r y o z n y ó h : t e m p e r a t u r a odpowiada p o t e n o j a ­ ł o w i e l e k t r y c z n e m u , n a t ę ż e n i e s t r u m i e n i a o i e p ł a - odpowiada n a ­ t ę ż e n i u p r ąd u e l e k t r y c z n e g o [2] , [ i ] .

Model na r y s . 13 j e s t modelem odpowiadającym u k ł a d o w i o pa­

r a m e t r a c h s k u p i o n y c h na d ł u g o ś c i i j e ś l i pomiarowo wyznaczyć

i " T " " - O - « ! li :<y =‘ C* ¿f |

--- i = i

zCĄ

\ li

=£-/=_ SI“ ‘'✓7 ^| ---O II rury /- te ogn/mro

R y s , 13

V j w )

c h a r a k t e r y s t y k ę f ( j c o ) = U ( j '"a>J* raożna p r z e z z a l e ż n o ś ć (6) p r z e j ś ć na r z e o z y w i s t ą c h a r a k t e r y s t y k ę pr ze gr ze wa o za F ( j o o ) . Model Ba s k r ó c o n ą s k a l ę c z a s u w s t o s u n k u do o b i e k t u , co pozwa­

l a z a s t o s o w a ć , d ok ła d ne i wygodne metody pomiarowe stosowane p rzy p r z e b i e g a c h o c z ę s t o t l i w o ś c i a c h a k u s t y c z n y c h . Sposób po­

d z i a ł u r u r y i w a r t o ś c i p r z y j ę t y c h p o j e m n o ś c i i o p o r n o ś c i o r a z o p i s metod pomiarowych można z n a l e ź ć w [2] a częśoi owo w [ 1 ] ,

Innym pr zy kł a de m może być z a s t o s o w a n i e t a k i e g o po stępowa­

n i a d l a w y zn a c z e n i a c h a r a k t e r y s t y k i a m pl i t u d o w o - f a z o w e j dwu- miediowego, wspćłprądowego wymiennika c i e p ł a t y p u " r u r a w r u ­ r z e " j a k na r y s . 7 . Przy z a ł o ż e n i u d l a r u r t y l k o p o j e mn oś c i c i e p l n y c h a przy p o m i n i ę c i u o p o r n o ś c i c i e p l n e j ( ) , r ów-

T r a n s f o r m a o ja F « exp [ l - f " 1] . 175 n a n l a t a k i e g o wymiennika mają p o s t a ć w w i e l k o ś o i a o h bezwymia­

rowych [ 7 ] :

g d z i e a ^ t a2 > a 3 » fe2 * ^ 3 » 1 “ bezwymiarowe w s p ó ł c z y n n i k i hędąoe l i c z b a m i kr y t e r i a l n y m i ( k r y t e r i a m i po d ob ie ń st wa wymien­

ników c i e p ł a ) .

$2

0 zw, 0 r z - t e m p e r a t u r y r u r y : w ew nętrznej i z e w n ę t r z n e j , x - bezwymiarowa wsp. d ł u g o ś c i -j*- = x ,

V L

t - "bezwymiarowy c z a s t = ijr—,

- p r ę d k o ś ć ś r e d n i a medium 1 [m/s] ,

>

(

)

d

2 1

" " » 2 [m/s] ,

- ś r e d n i o a wewnętrzna r u r y w e w n ę t r z n e j [m],

d d d2

3

z e wn ę t r z n a r u r y 11 [m], wewnętrzna r u r y z e w n ę t r z n e j [m], z e w n ę t r z n a r u r y n [m], L

1

- c a ł k o w i t a d ł u g o ś ć wymiennika [m],

- w s p ó ł o z y n n i k w n i k a n i a o i e p ł a do r u r y w e w n ę t r z n e j od medium

176 R e g in a ld Krzyżanowami U„ - w s p ó ł o z y n n i k w n i k a n i a c i e p ł a do r u r y w e w n ę t r z n e j od

s t r o n y medium 2 i — 1

Ls o degJ

c( - w s p ó ł c z y n n i k w n i k a n i a o l e p ł a do r u r y z e w n ę t r z n e j r — i — i?

Ls m d e g J

C1* C2 “ o l e p ł a w ł a ś c i w e medium 1 1 2

C » C „ - c i e p ł o w ła ś ci we m a t e r i a ł u r u r y w e w n ę t r z n e j i z e -

I W I B V T 1

w n ę t r z n e j

G— » G_„ - masa r u r y w ew n ę tr z n e j i z e w n ę t r z n e j [ k g ],

I W ' 1 9

G^, G2 - masa medium 1 i 2 w wymienniku [kg] ,

¿1 , 0-2 - p rzepł ywy masowe medium 1 1 2 [■££»] ,

cC, £5d , L ct K i 0L cC-JTd-l

a . - - 1 ---1 - a , - t-8 * - a 3 - - i * -

1 V l 2 02 C2 3 ° 2 02

cc, 5Td,L cC9 J r d ,l cc yCd-L

^ ’ C C I k ” 2 “ ‘ «w4« Tk 1,3 ’ Sr * 4r s ^

r , - } L 2

Po t r a n s f o r m a c j i i wyrugowaniu ©r w , ©I z » r ówn an ie o p e r a ­ torowe ma p o s t a ó mdoierzową ( 7) «

Rys« 14

Model e l e k t r y o z n y u k ł a d u s ku p io n eg o p r z e d s t a w i o n o na r y s . 14«

U ( i t ü ) u ( j co )

Mi e r z ą c k o l e j n o " f n ( 3 w ) » ï ï ^ ' f j ' a T ' J " “ f i 2 (;ICü) i t d « , można wyznaczyó m a o i er z i ( J w ) , a p r z e n o s z ą o punkty na p ł a s z c z y z n ę F ( n p . d l a k o n k r e t n e g o co 3 t o s u j ą o wzór S y l v e s t r e ) o tr zymać można ł a t w o m a c i e r z

F

T r a n s f o r m a c ja F = exp [ l - f ~ ^ ] . . . 177 Kożna r ó w n i e ż w modelu u w z g lę d n i ć s kończone % m a t e r i a ł u r u r , wymaga t o t y l k o podobnej s i e o i j a k d l a p r z e g r z e w a o z a .

Metoda t a j e s t s z c z e g ó l n i e p r z y d a t n a d l a nie t yp ow yc h k s z t a ł ­ tów poprzeoznyoh wymiennika o i e p ł a . Np. j a k na r y s . 15.

lowaó u k ł a d o p a r a m e t r a c h r o z ł o ż o n y c h na d ł u g o ś c i (wzdłuż me­

dium p r z e p ł y w a j ą c e g o ) , t o p o s z c z e g ó l n e segmenty s i e c i m u s i e l i ­ byśmy s eparować p op r z e z wzmacniacze n p . lampowe, co powodowało­

by nieporównywalne p o d r o ż e n i e modelu.

Na z a k o ń c z e n i e w a r t o p or us z yć problem d o k ł a d n o ś o i t a k i e j me­

t o d y . Ponieważ dokonujemy pomiaru na innym skupionym modelu i a n a l i t y c z n i e p rzechodzimy na w i e l k o ś c i r z e c z y w i s t e punktów c h a r a k t e r y s t y k i F, n a l e ż y podać j a k wpływa uohyb w yzn ao zen ia f na uchyb F .

D e t f i n i u j ą o uchyb pomiaru p un kt u c h a r a k t e r y s t y k i a m p l i t u d o - T a k i niet ypo wy k s z t a ł t ma n p . wy­

m i en n i k r e a k t o r a j ą dr ow eg o. Ponieważ w t a k i m r e a k t o r z e s t r u m i e ń c i e p l n y r e a k c j i j ą d r o w e j z a l e ż y od p o o h ł a n i a - n i a n e u t r o n ó w , a p r a k t y o z n i e n i e z a l e ­ ży od t e m p e r a t u r y medium o h ł o d z ą o e g o , w i ę c gdy o h o i e l i b y ś m y wyznaozyó t r a n s -

Rys. 15’

wykonać modelująo u k ł a d o i e p l n y p r z e z z a s t o s o w a n i e t zw. a n a l i z a t o r ó w p o l o - wyoh ( d z i e l ą c na w y o i n k i w k i e r u n k u poprzeoznym) i p r zy j m u j ą o u k ł a d a n a ­ logowy e l e k t r y c z n y , s k ł a d a j ą o y s i ę z z e s p o ł u oporków i p o j e m n o ś c i . Należy z a z n a c z y ć , że gdybyśmy c h c i e l i moda­

w o - f a z o w e j ja k o d., =

mi

d > — można podać z a l e ż n o ś ć d l a r e l a c j i (6)

178 Reginald. K rzyżanow ski Wyprowadzenia t y c h z a l e ż n o ś c i można z n a l e ż ó w [ 2 ] , Dla d u ­ żych d o k ł a d n o ś c i pomiaru ( d ^ ) f , (d^ może hy<5 nawet w g r a n i c a c h 0 , 5 $ ) u z y s k u j e s i ę w y s t a r c z a j ą c ą d o k ł a d n o ś ć wy znacze ni a c h a r a k ­ t e r y s t y k i F.

LITERATURA

[ i ] K r zy żano ws ki R. - Metoda wyz na cz a ni a c h a r a k t e r y s t y k a m p l i - t udowo-fazowych pewnego t y p u o hi ek tćw o p a r a m e t r a c h r o z ­ ł o ż o n y c h . Pr aoe IV KKA T. 1 ( s e k c j a t e o r i i s t e r o w a n i a ) s t r . 2 1 5 - 2 3 2 , Kraków 1967.

£2] Krzyżanowski R. - Metoda wyznaczania w ł a s n o ś c i dynamioz- nyoh gr u bo ś ć le n ny ch p rzegr zewaozy p a r y . P raca d o k t o r s k a , P o l i t e o h n i k a Ś l ą s k a , Gliwioe 1965.

["3 I Gutenmaoher L . J . - E l e k t r i c z e s k i je m o d i e l i ( r o s . ) LAN SSSR Moskwa 1949.

[ 4 ] Auer A. - Wybrane z a g a d n i e n i a anal ogo wo- cy fro wego r o z w i ą ­ zywania równań r ó ż ni c zk o wy ch c z ą s t k o w y c h . Praoe IV KKA T. 4 s t r . 7 - 1 3 , Kraków 1967.

r 5 l P r o f o s P. - Die Regel un g von Dampfanl agen. B e r l i n S p r i n g e r 1962.

[ ó ] T a k a h a s h i Y. - R e g e l t e c h n i s c h e E i g e n s c h a f t e n von G l e i o h - und Gege ns tr omw är me aus t aus oh er n. R e g e l u n g s t e c h n i k 1953, H e f t 2 .

[7] Krzyżanowski R - Temperaturowe f u n k c j e p r z e j ś o i a wymien­

n i k a c i e p ł a . Pr ao a dyplomowa m a g i s t e r s k a , Gliwioe 1958 ( n i e p u b l i k o w a n e ) .

TRANSFORMATION F = exp [ l - f “ *] AND ITS APPLICATION IN DETERMI­

NATION OF DYNAMIC PROPERTIES OF DISTRIBUTED PARAMETERS THERMAL PROCESSES

S u m m a r y

I n t h e p aper a t r a n s f o r m a t i o n was p r e s e n t e d , which d e t e r m i n e s t h e i n t e r r e l a t i o n bet ween s y st e m s o f c o n c e n t r a t e d p a r a m e t e r s a nd t h o s e of d i s t r i b u t e d p a r a m e t e r s . The t r a n s f o r m a t i o n i s p a r ­ t i c u l a r l y u s e f u l i n d e t e r m i n a t i o n of dynamic p r o p e r t i e s o f t h e r ­ mal p r o c e s s e s . A p p l i c a t i o n of t h e t r a n s f o r m a t i o n was i l l u s t r a ­ t e d w i t h s e v e r a l ex am pl es .