A. Eh r e n e e i t c h t (Warszawa)
Kryterium absolutnej nierozkładalności wielomianów
Niech będzie dany układ wielomianów jednej zmiennej TJx(x1) 1 U2(x2), Un{xn) o współczynnikach zespolonych. Będziemy oznaczali przez S i W stopień wielomianu W względem zmiennej Niech będzie
SiUiicTi) — ki > 0 dla i = 1, 2, . .., n. Zachodzi następujące
Tw i e r d z e n i e. Jeżeli największy wspólny dzielnik liczb kx, k 2, . .. , kn П
jest równy 1, to wielomian T( x l 7 x2f . . . , x n) = I U ( (Xj) jest nierozkladalny
w ciele liczb zespolonych. i= 1
Zauważmy, że bez zmniejszenia ogólności twierdzenia możemy za
łożyć, że wielomiany Ui{Xi) {i — 1 ,2, . .. , n) nie mają pierwiastków wie
lokrotnych. W przeciwnym bowiem razie można znaleźć takie stałe cx, c21 . . . , cn, że wielomiany Ui(Xi) = Рг(жг )+ Сг nie mają już pierwiast-
П
ków wielokrotnych i jest Ci — 0.
г = i
Oznaczmy przez eix, ei2, . .. , eikt pierwiastki wielomianu Ui (х{). Dla każdego układu pierwiastków elh, s2h, •••» enin jest
П Щ
T ( e i h J2h > •••> e n i J ( e i u ) = 0 . г = 1
Przypuśćmy, że T{x x, я?а, . . . , xn) = P ( x x, . . xn)R(x X, . . . , x n), przy czym wielomiany P i li są różne od stałych, i oznaczmy
P i — ( X \ j X 2 j • • • j n ) j • ^ г == $ % H ( X x 7 X2 , . . . , Xn ) .
Zachodzą nierówności
(1) pi > 0 i rx > 0.
Istotnie, przypuśćmy na przykład, że p x = 0. Wtedy P { x 17 x2, . .. , xn) nie zależy od xx i istnieją takie stałe ?/2, ą3, . .., yn, że P ( x x, y2, ...
. . . , rj n) = 0, a więc T( x 1,rj2,rj8, . .. , »yn) = 0, co jest sprzeczne z zało
żeniem, ponieważ wielomian
% П
T{Xu y 2j рз, . . . , yn) =: Ui(Xi) ~i~ Uiipi)
i=2
jest stopnia &x > 0 względem a?x.
168 A. E h r e a f e u c h t
Udowodnimy, że zachodzi równość
(2) 8 iP ( slhi £2hJ •••) si—l,U-1? £i+l,Zi+i> •••> eńlJ) ~ Pi"
Oczywiście, jest
$ i P {£lZi) elZ21 '• • J ? • • • ) £wZn) ^ P i l $ i R ( fc'iZi > £2Za ? • • ч ® i i • • ч £ w Z «) >
ale
^ i - ^ >( £lZi > £2Z2j • • • ? j • • • ? £nZn) “Ь t f < £ ( e l h , £2Za? • * * ? i • • ч £nZ«)
= ( £iZi ? e2Za ? • • v ? • • • ? £TtZ») = ~ ~ki ~ P i ^ i i
skąd otrzymujemy równość (2).
Z (2) wynika, że dla każdego układu pierwiastków
e l Z i 5 £ 2 Z a? • • • i £ i — l , Z » _ i ? £ i + l , Z n + i ’ • * • ? £ nZ »
Pi spośród liczb ец, ? • • • ? £i*< spełnia równanie
■ Р ( £ 1 Ь , £ 2Za? • • • > i • • • > £ n Z« ) = ?
a więc kx &2... p* ki+1... fcn spośród fcx k2... kn układów elh, e2i2, . . . , enltt spełnia równanie
P (жг, # 2j • • • ? H •
Ilość tych układów nie zależy oczywiście od sposobu ich policzenia, a więc lc1'ki ...1ci^1p ik i+i...1cn = Tc1Tci ...k i_ 1pi Tej+ l...Ten dla i, j = 1,2, . .. , n i
Ponieważ (lcx, Jc^, Jcn) — 1, więc istnieją takie liczby całkowite stąd
( 3) JciPi — Ц-pi dla i, j = 1 ,2 ,
n
mxi m2, . . . , mn, że w = 1. Stąd
г = 1
П
a więc na podstawie (3) jest
П П
co przeczy założeniu, ponieważ na podstawie (1) jest p x > 0 i p x —
— lcx—rx < . Twierdzenie zostało zatem udowodnione.
Kryterium nierozkładalności wielomianów 169
А. Эрен ф ойхт (Варшава)
ПРИЗНАК НЕПРИВОДИМОСТИ МНОГОЧЛЕНОВ
Р Е З ЮМ Е
Если многочлен W(xu хъ, хп) является суммой многочленов одной пере
менной и наибольший общий делитель степеней этих многочленов равен 1, то многочлен W неприводим в поле действительных чисел.
Доказательство исходит из основной теоремы алгебры.
A. Eh r e n f e u c h t (Warszawa)
A CRITERION OF INDECOMPOSABILITY OF POLYNOMIALS SUMMARY
If a polynomial W {xlt x2, ..., xn) is a sum of polynomials of one variable and the greatest common divisor of the degrees of those polynomials is equal to 1, then the polynomial W is indecomposable in the field of complex numbers.
The combinatorical proof is based on the fundamental theorem of algebra.
