Podstawy elektrodynamiki klasycznej
##########################################################################################
Autor : R. Waligóra ;
data powstania dokumentu : 2009-06-01 ostatnie poprawki z dnia: 2018-10-01
##########################################################################################
1. Wprowadzenie.
Śledząc historie rozwoju teorii fizycznych możemy zauważyć pewien charakterystyczny schemat : w pierwszej fazie zbierane są dane eksperymentalne tzn. prowadzi się liczne eksperymenty ( obserwacje i/lub doświadczenia) związane z danym zagadnieniem fizycznym np. dla rozwoju mechaniki klasycznej takimi eksperymentami były obserwacje ruchów ciał niebieskich oraz doświadczenia kinematyczne Galileusza, w fazie drugiej dochodzi do syntezy takich danych do postaci pewnego modelu (modeli ) matematycznych, „jądrem” takiego modelu jest zazwyczaj jakieś równanie ( układ równań ) różniczkowe ( zwyczajne lub cząstkowe ) pozwalające ( wraz z narzuconymi warunkami początkowymi – brzegowymi) obliczyć wielkość lub wielkości charakterystyczne dla danej teorii. W mechanice klasycznej będzie to równanie ruchu, pozwalające obliczyć np. tor ruchu ciała materialnego poddanego działaniu znanego pola sił, w mechanice analitycznej jest to równanie Eulera-Lagrange’a a w mechanice kwantowej może to być np. równanie Diraca.
Oczywiście, zazwyczaj dopiero na etapie syntezy danych doświadczalnych możemy stwierdzić, czy różnorodność danych eksperymentalnych wiąże się z konkretnym i jednym kręgiem zjawisk fizycznych.
Ten klasyczny schemat rozwoju teorii fizycznej ma swoje najpełniejsze potwierdzenie w elektrodynamice klasycznej.
Rozwój elektrodynamiki zapoczątkowany był licznymi eksperymentami prowadzonymi głownie w XVIII i XIX wieku i związany jest z pracami takich ludzi jak : (wymieniam tylko czołowych – najbardziej charakterystycznych uczonych ) Cavendish, Couloumb, Amper, Faraday, Hertz, Kirchoff, Maxwell, Lorentz.
Zainteresowanych historią powstania i rozwoju elektrodynamiki odsyłam do [5] literatury w języku angielskim ,[1]
literatury w języku polskim oraz [1] literatury uzupełniającej, jak również do artykułu :
„Historia odkrycia równań Maxwella” – I. S. Szapiro; Postępy Fizyki tom 34 zeszyt 1 1983.
Elektrodynamika klasyczna jest teorią, która zajmuje się analizą (makroskopowych) pól wektorowych : elektrycznego E i magnetycznego B. ( oczywiście konkretne ich oznaczenia mogą być inne )
Źródłem tych pól jest przestrzenny (zazwyczaj ) rozkład ładunków elektrycznych oraz przepływ prądów ( związany z ruchem tych ładunków). Jak każda teoria fizyczna, elektrodynamika klasyczna ma swój własny i ograniczony zakres zastosowania. Zazwyczaj przyjmuje się, że opisuje ona zjawiska w których zaniedbać możemy dyskretną strukturę ładunków elektrycznych. ( dokładniej zobacz [9] str. 23 lub [3] str. 10 )
Przedstawiony tekst ma na celu prezentacje głównych wyników teoretycznych uzyskiwanych w ramach tzw. teorii Faradaya-Maxwella ( zwanej elektrodynamiką klasyczną ). Jako podstawę matematyczną tekstu można
przeczytać rozdział X pt. „Rachunek wektorowy i tensorowy w fizyce” lub inny tekst dotyczący rachunku wektorowego i tensorowego. Zakładam również, że czytelnik zapoznał się już (ogólnie) z poruszanymi tematami ( co w szczególności oznacza, że znane mu są wyniki licznych eksperymentów które ugruntowały pozycje elektrodynamiki jak teorii o solidnej bazie empirycznej ) co najmniej poprzez lekturę ( lub/i ) [1,2,3 ].
2. Elektrostatyka ( elecrostatics )
Z doświadczenia wynika, że w przyrodzie występują dwa rodzaje ładunków elektrycznych – dodatni i ujemny.
( there are two kinds of charges, positive and negative ones. Unlike charges attract each other, like charges repel each other )
Wartość bezwzględna tych ładunków jest równa i przyjmuje jedynie wartości dyskretne będące wielokrotnością ładunku elektronu ( Należy mieć na uwadze, że w elektrodynamice klasycznej zajmujemy się ładunkiem uśrednionym ) :
| qe | = 1,602 ·10-19 [ C ]
Uwaga ! Ponieważ w wielu publikacjach omawiających elektrodynamikę stosuje się różne jednostki a co za tym idzie otrzymuje się „różne” wzory należy zawsze zwracać uwagę na ich wybór. W całym tekście stosuje układ jednostek SI z wyjątkiem tych sytuacji w których wyraźnie napisze, że stosuje inny układ jednostek.
W elektrostatyce rozpatrujemy stały w czasie i przestrzeni rozkład ładunków tj. rozpatrujemy ładunki znajdujące się w spoczynku w pewnym IUO tzn. ρ = ρ(r, t) = const. Rozkład ładunków może być liniowy, powierzchniowy lub
objętościowy. Pewien, dany rozkład ładunków elektrycznych jest źródłem wektorowego pola elektrostatycznego.
Podstawową wielkością charakteryzującą pole elektryczne jest wektor natężenia pola elektrycznego E ( electric field intensity ) [ V/m = N/C ] ; E = E(r) – dla elektrostatyki ( mówimy wtedy o polu elektrostatycznym, niezależnym od czasu ), a w ogólności :
E = E(r ,t ) – pole elektryczne ( zależne od miejsca i czasu )
Jeżeli w polu siły elektrycznej wytworzonej przez ładunek Q ( lub rozkład ładunków taki że: Qcałkowity =Σ qi )
umieścimy ładunek próbny ( nabój próbny) q, to pole elektryczne będzie na niego działało siłą :
F = q E (2.1) W ogólności pole wektorowe E definiujemy jako granice :
E = lim ∆F/∆q = dF/dq
∆q→0
Rys. 1 Rozkład linii sił pola elektrycznego ładunków dodatniego i ujemnego
Rys. 2 Rozkład linii sił pola elektrycznego dwóch ładunków jednoimiennych
Rys. 3 Rozkład linii sił pola dwóch ładunków różnoimiennych.
Jeżeli mamy układ złożony z n ładunków umieszczonych w punktach o promieniach wodzących ri ; i = 1,2 ... n
To każdy z nich działa siłą określoną prawem Coulomba na każdy z pozostałych oraz na ładunek próbny umieszczony w punkcie r. Całkowita siła działająca na ładunek próbny jest sumą wektorową wszystkich tych sił.
( pole elektrostatyczne spełnia zasadę superpozycji – jest polem liniowym, zatem słusznym jest modelowanie go jako pola wektorowego )
Prawo Coulomba (Coulomb’s law )
Doświadczenie pokazuje, że dwa ładunki q1i q2, oddziałują na siebie siłą proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi. W zależności od znaku tych ładunków będzie to siła odpychająca lub przyciągająca. Prawo to nazywamy prawem Coulomba.
F12 = ± (1/4πε0 ) ( q1q2 / r2 ) r^ (2.2) ε0 – stała przenikalności elektrycznej próżni , ε0 = 8,85 ·10-12 [ C2 / Nm2 = As/Vm] (permittivity of vacum)
Jak widać prawo Coulomba ma z dokładnością do znaku ( co wiąże się z występowaniem zarówno dodatnich jak i ujemnych ładunków elektrycznych , podczas gdy w teorii pola grawitacyjnego stwierdza się występowanie jedynie dodatnich ładunków ) taką sama postać matematyczną jak prawo grawitacji Newtona. Możemy więc zastosować taki sam aparat matematyczny jaki zastosowaliśmy do analizy pola grawitacyjnego.
( zobacz tekst pt. : Prawo powszechnego ciążenia - Klasyczna (newtonowska) teoria pola grawitacyjnego ) W szczególności stwierdzamy, że pole elektrostatyczne jest polem o potencjale skalarnym spełniającym równanie Poissona, słuszna jest również dla niego zasada superpozycji tj. siła działająca na ładunek próbny jest równa algebraicznej sumie sił działających na niego od poszczególnych ładunków.
Możemy zatem, analogicznie jak dla przypadku sił grawitacji sformułować prawo Gaussa ( dla ciągłego rozkładu ładunków).
Niech ρ = ρ(r ) – będzie gęstością objętościową rozkładu ładunków elektrycznych.
E(r ) = (1/4πε0 ) ∫ [ ρ(r ) / | r – r’ |2 ] r^ dV (2.3) V
Strumień pola elektrycznego Φe definiujemy zależnością całkową :
Φe = ∫ En dS [ Vm] (2.4) S
En – składowa normalna wektora natężenia pola elektrycznego.
dS = in dS – skierowany element powierzchniowy Dla ładunku punktowego : Φe = q /ε0
Dla rozkładu objętościowego ładunku : Φe = (1/ε0 ) ∫ ρ dV V Zatem :
∮E dS = (1/ε0 ) ∫ ρ dV (2.5) S V
Wzór (2.5) wyraża prawo Gaussa w postaci całkowej. Wzór ten możemy zapisać również w postaci :
ε0 ∮ E dS = Qwewn. (2.6) S
Prawo Gaussa jest podstawowym prawem elektrostatyki i stanowi pierwsze z równań Maxwella w próżni. Możemy je wypowiedzieć następująco : w dowolnym polu elektrycznym w próżni, strumień wektora elektrycznego E przez dowolną powierzchnię zamkniętą S jest równy wartości ładunku znajdującego się wewnątrz tej powierzchni podzielonemu przez stałą ε0.
Prawo to uogólnia następujące własności pola elektrostatycznego :
- zależność natężenia pola kulombowskiego od odwrotności kwadratu odległości 1/r2 - centralność siły oddziaływania pola Coulomba
- liniowość pola elektrostatycznego.
Prawo Gaussa w postaci całkowej możemy przekształcić ( stosując twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego ) do postaci różniczkowej. Stosując wzór : ∫ E dS = ∫ div E dV otrzymamy :
div E = ρ/ε0 (2.7) Jak wiemy : div ... ≡ ∇ · ...
zatem :
∇ ·E = ρ/ε0
Ponieważ dywergencja pola elektrycznego jest różna od zera a rot E = 0 ( zobacz np. [6], str 51lub [5] str. 98 ), to pole elektryczne jest polem bezwirowym, źródłowym o potencjale skalarnym.
E = − grad V ; V – skalarny potencjał pola elektrycznego (elektrostatycznego ).
Oczywiście bezwirowość pola elektrycznego jest równoważna znikaniu cyrkulacji ( krążenia ) : ( rozdział X str. 34 )
∮E dl = 0 lub równoważnie : ∂Ex/∂y = ∂Ey/∂x ; ∂Ez/∂y = ∂Ey/∂z ; ∂Ex/∂z = ∂Ez/∂x ; L
Ogólny wzór dla potencjału jest następujący:
V(r ) = - ∫ E dl (2.8) lub ( potencjał ciągłego rozkładu ładunków ) :
V(r ) = (1/4πε0 ) ∫ [ ρ(r ) / | r – r’ | ] r^ dV (2.9) Pole elektryczne jest, zatem polem zachowawczym. Dla pola elektrycznego różnica potencjałów nazywana jest
„napięciem elektrycznym”. Przypominam klasyczną definicje napięcia: napięciem elektrycznym między dwoma różnymi punktami A, B znajdującymi się w polu elektrycznym nazywamy stosunek pracy wykonanej przez siły pola przy
przesunięciu ładunku próbnego z punktu A do punktu B do wielkości tego ładunku:
V12 = V(r1 ) -V(r2 ) [ Nm/C = J/C = V – volt ].
Potencjał jak wiadomo jest określony niejednoznacznie, zazwyczaj przyjmujemy, że jest on równy zeru w nieskończoności ( dla zagadnień fizycznych ) lub jest równy zeru na powierzchni Ziemi ( dla zagadnień elektrotechnicznych ). Jak wiadomo potencjał elektryczny spełnia równanie Poissona :
∆ V = - ρ/ε0 (2.10) A dla obszarów, w których nie występują ładunki elektryczne spełnia równanie Laplace’a :
∆ V = 0 (2.11) Można pokazać ( w formie dowodu odpowiednich twierdzeń matematycznych ), że jeżeli potencjał V spełnia równanie Laplace’a to :
- Zmienia się on od punktu do punktu w taki sposób , że jego średnia wartość na powierzchni dowolnej kuli o środku w punkcie P jest równa wartości potencjału V w punkcie P.
- Potencjał V nie może osiągnąć ani wartości ani wartości maksymalnej ani minimalnej w punktach przestrzeni , w których nie ma ładunków elektrycznych.
- Jeśli V osiąga maksimum (minimum) w jakimś punkcie , to w punkcie tym musi się znajdować ładunek dodatni (ujemny)
- Linie pola mogą zaczynać się tylko na ładunkach dodatnich a kończyć na ładunkach ujemnych.
Z powyższych własności wynika twierdzenie Earnshawa : cząstka naładowana nie może być utrzymywana w równowadze stabilnej jedynie przez siły elektrostatyczne. [ 5, str. 139 ] lub :
Niemożliwe jest wytworzenie w próżni pola elektrostatycznego , w którym ładunek elektryczny znajdowałby się w stanie statycznej równowagi trwałej. [ 3, str. 46]
Własność posiadania lub nie posiadania ładunku elektrycznego tj. bycia naładowanym elektrycznie lub bycia elektrycznie obojętnym przysługuje wielu rodzajom cząstek materialnych w tym sensie, że nie ma ładunku elektrycznego samego w sobie a jest on związany z materią.
Ładunek elektryczny jest wielkością zachowaną tzn. że w układzie odosobnionym suma algebraiczna ładunków
elektrycznych pozostaje stała. Ładunek elektryczny dowolnego ciała elektrycznie obojętnego składa się z sumy równych sobie ładunków ujemnych i dodatnich.
W typowym problemie elektrostatycznym znamy rozkład ρ(r ) ładunku-źródła i musimy znaleźć ( funkcje ) natężenia pola elektrycznego E(r ), wytwarzane przez dany rozkład. Można pokazać, że równanie Poissona wraz z warunkami brzegowymi wyznacza pole E(r ) w sposób jednoznaczny.
Uwaga ! Należy ostrożnie podchodzić do stosowania równania Poissona dla ładunku punktowego. W punkcie r = 0 potencjał kolumbowski ma osobliwość. Aby zapisać równanie Poissona dla tego przypadku należy posłużyć się funkcją delta Diraca. Można mianowicie pokazać, że : ∆ (1/r) = - 4π δ(r) ; δ(r) - funkcja delta Diraca.
[ 3, str 152, 3 literatury dodatkowej , str . 83 ]
Prawo Coulomba jest słuszne ( potwierdzone eksperymentalnie ) od skal kosmicznych do skal subatomowych ( pewne poprawki dla skal poniżej ≈ 10-18 [m] wprowadza elektrodynamika kwantowa. [ 3, str. 92]
Energia pola elektrycznego.
W = ½ ε0 ∫ E2 dV (2.12) ( całkujemy względem całej przestrzeni w której zawarte są ładunki )
Wielkość :
w = ½ ε0E2 (2.13) nazywamy „gęstością energii pola elektrycznego”. ( energy density of the electric field )
Wzór ten wypowiemy następująco : w każdej jednostce objętości
( rozpatrujemy przestrzeń dla której E(r ) ≠ 0 ) zawarta jest energia w = ½ ε0E2
Uwaga ! Ponieważ energia pola elektrostatycznego jest dana przez funkcje kwadratową nie podlega zasadzie superpozycji. Energia układu złożonego nie jest sumą energii części układu rozważanych osobno. [5 str. 119]
Warunki brzegowe w elektrostatyce. ( boundary conditions )
Równanie Poissona jest równaniem różniczkowym cząstkowym drugiego rzędu. Dla takiego równania można postawić pytanie o to jakie warunki brzegowe są warunkami dobrze postawionymi tzn. przy jakich warunkach istnieje
jednoznaczne odpowiednio regularne i ciągłe względem warunków brzegowych ( czyli mające sens fizyczny )
rozwiązanie tego równania w pewnym ograniczonym obszarze D. Z matematycznego punktu widzenia możemy wyróżnić trzy rodzaje zagadnień brzegowych :
a) zagadnienie brzegowe pierwszego rodzaju – zagadnienie Dirichleta.
Znamy wartości poszukiwanej funkcji we wszystkich punktach brzegu ∂S obszaru D – fizycznie oznacza to określenie potencjału na ∂S.
Znamy wartości pochodnej normalnej poszukiwanej funkcji we wszystkich punktach brzegu ∂S obszaru D – fizycznie oznacza to określenie pola elektrycznego w każdym punkcie ∂S.
c) Zagadnienie brzegowe trzeciego rodzaju – zagadnienie Hankela.
Znamy wartości kombinacji liniowej poszukiwanej funkcji i jej pochodnej normalnej we wszystkich punktach brzegu ∂S obszaru D
Z tych trzech warunków możemy zadawać warunki mieszane np. na pewnej części ∂S zadać warunki Dirichleta a na pozostałej warunki Neumanna. [9, str. 61]
Zainteresowanego odsyłam do „Wstęp do teorii równań różniczkowych cząstkowych” – Hanna Marcinkowska PWN 1986 str. 147 lub „Równania liniowe fizyki matematycznej” – W. M. Babicz, M. B. Kapilewicz i inni PWN 1970 str. 84.
3. Pole elektryczne w materii - dielektryki.
Ośrodki materialne nie przewodzące prądu elektrycznego nazywamy dielektrykami ( izolatorami). W dielektrykach nie występują swobodne ładunki elektryczne. W zależności od budowy atomowej lub cząsteczkowej dielektryka, występują różne sposoby jego oddziaływania z zewnętrznym polem elektrycznym.
Ogólnie dielektryki możemy podzieli na : Dielektryki niepolarne ( nie dipolowe) Dielektryki polarne (dipolowe ) Ferroelektryki.
Uwaga ! Nie omawiam fizycznych mechanizmów polaryzacji dielektryków, zainteresowanego odsyłam do [ 3, od str. 103 ]
Zgodnie z doświadczeniem Faradaya ( badanie wpływu pojemności kondensatora płaskiego w zależności od obecności miedzy jego okładkami różnych dielektryków ) oznaczymy :
ε = Cd / Co (3.1) ε > 1 – przenikalność elektryczna względna danego dielektryka ( ε nazywamy również mniej precyzyjnie „stałą
dielektryczną” – przyjmując , że ε nie zależy od częstości ω oraz od natężenia pola elektrycznego ) Cd – pojemność kondensatora z dielektrykiem, Co – pojemność tego samego kondensatora bez dielektryka ( pojemność kondensatora próżniowego )
Konkluzją doświadczenia Faradaya jest stwierdzenie, że obecność dielektryka między okładkami kondensatora powoduje, że natężenie pola zmniejsza się ε razy. Fizyczną przyczyna takiego zjawiska jest polaryzacja dielektryka, polegająca na mikroskopowym przesunięciu ładunków elektrycznych w atomach i cząsteczkach dielektryka. Oznaczmy : Ed – natężenie pola elektrycznego między okładkami kondensatora w przypadku kiedy obecny jest dielektryk
Eo – natężenie pola elektrycznego kondensatora próżniowego ( przyjmujemy pewną idealizacje – brak dielektryka między okładkami będzie oznaczało, że jest to kondensator próżniowy )
Ed = Eo/ε (3.2) Wprowadźmy teraz wektor polaryzacji elektrycznej P :
P(r ) = Σ ni < pi > (3.3) ni – liczba dipoli w jednostce objętości dielektryka ; < pi > - uśredniony po wszystkich dipolach moment dipolowy.
Wektor polaryzacji elektrycznej jest sumą momentów dipolowych atomów lub cząsteczek przypadającą na jednostkę objętości dielektryka.
Moment dipolowy definiujemy podobnie jak grawitacyjny moment dipolowy rozkładu masy.
pe = ∫ rρ(r ) dV V
ρ(r ) – gęstość ładunku w objętości V jako funkcja położenia.
Słuszny jest następujący wzór :
P = ε0 χd E (3.4) χd = ε – 1 podatność dielektryczna. ( electric susceptibility )
Następnie wprowadza się ( pomocniczy) wektor indukcji ( wektor przesunięcia, dielectric displacement ) D.
Wzorem definiującym wektor indukcji jest wzór :
D = ε0 E + P (3.5) Ze wzoru (3.4) wynika :
D = ε0 εE (3.6) Wektor indukcji nie zmienia się wskutek obecności izotropowego dielektryka.
W przypadku dielektryków anizotropowych wielkości ε , χ nie są wielkościami skalarnymi ale tensorowymi.
Dla takich środowisk związek między wektorem D a wektorem E wyrazić możemy za pomocą zależności macierzowej : ( Dx ) ( ε11, ε12 , ε13 ) ( Ex )
( Dy ) = ( ε21, ε22 , ε23 ) ( Ey ) ( Dz ) ( ε31, ε32 , ε33 ) ( Ez )
Prawo Gaussa w dielektrykach.
Całkowite pole elektryczne w dielektryku pochodzi od ładunków nie związanych z atomami lub cząsteczkami , czyli od ładunków swobodnych oraz od ładunków związanych. Zatem całkowitą objętościową gęstość ładunku w dielektryku możemy zapisać jako ich sumę :
ρ = ρsw + ρzw (3.7) Prawo Gaussa wyprowadzimy następująco :
ε0 div E = ρsw + ρzw = ρsw – div P => div ( ε0 E + P ) = ρsw Zatem :
div D = ρsw (3.8)
∮D dS= Qsw, wewn (3.9) S
Qsw, wewn - wewnętrzny całkowity ładunek swobodny , zawarty wewnątrz powierzchni zamkniętej S.
∮D dS= ∫ ρswdV S V
Energia pola elektrostatycznego w dielektrykach
Energia zawarta w objętości V wypełnionej dielektrykiem jest określona wzorem :
W = ½ ∫ DE dV (3.10) V
Gęstość objętościowa energii w przypadku obecności dielektryka określona jest wzorem :
W = ½ DE (3.11)
4. Magnetostatyka. ( Magnetostatic )
Magnetostatyka zajmuje się polami prądów stałych w czasie. Prądem elektrycznym nazywamy uporządkowany ( w elektrostatyce nie wykluczony był ruch ładunków ale był to ruch albo chaotyczny albo/i krótkotrwały ruch prowadzący do wyrównania potencjału ) ruch ładunków elektrycznych. Kierunek przepływu prądu przyjmuje się jako zgodny z kierunkiem ruchu ładunków dodatnich.
Podstawową wielkością opisującą ruch ładunków ( prądu elektrycznego ) jest natężenie prądu :
I = dq/dt [ C/s = A – amper ] (4.1) Natężenie prądu jest wielkością makroskopowa odnoszącą się do całkowitego przekroju poprzecznego powierzchni
ośrodka , przez którą przepływają ładunki elektryczne. Ruch ładunków określony jest w układzie
obserwatora i jest to IUO ( w magnetostatyce ). Z fizycznego punktu widzenia, w zależności od mechanizmu poprzez który ładunki mogą się poruszać, możemy wyróżnić kilka rodzajów prądu elektrycznego, przykładowo:
- prąd konwekcyjny ( ruch ładunku wraz z niosącym go ciałem naelektryzowanym – dielektrykiem ) - prąd przewodzenia ( ruch ładunków swobodnych – elektronów - w przewodnikach, pod wpływem pola elektrycznego )
W magnetostatyce rozważamy prądy których natężenie jest stałe : I = const
Ważną wielkością (makroskopową ) charakteryzującą ( lepiej niż natężenie prądu ) prąd elektryczny jest wektor gęstości prądu ( current density ) :
j = dI / dSn= dI/ dt dSn [ A/m2 ] (4.2) dSn – element normalny powierzchni prze który przepływa ładunek.
wektor ten jest jak widać równy ładunkowi przepływającemu przez jednostkę powierzchni prostopadłej do ruchu ładunków. natężeniu prądu
j = J n ; n – wersor płaszczyzny normalnej Mamy zatem :
I = ∫ j dS (4.3) S
Uwaga ! Nie omawiam fizycznych mechanizmów przepływu prądu w przewodnikach i izolatorach, w szczególności mechanizmów przewodnictwa cieczy i gazów - zainteresowanego odsyłam do [ 3, od str. 172 ]
Podstawowymi faktami doświadczalnymi dla magnetostatyki są stwierdzenia :
Magnes posiada dwa bieguny ( N, S ) – dwa bieguny jednoimienne odpychają się , dwa bieguny różnoimienne przyciągają się.
Nie można otrzymać magnesu o jednym i tym samym biegunie.
Dwa dostatecznie długie magnesy oddziałują siłą odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi.
Prawo Ohma
Prawo Ohma jest podstawowym prawem (makroskopowym ) rządzącym przepływem prądu elektrycznego.
j = γ E = - γ grad V (4.4) γ [ 1/Ωm] – przewodność elektryczna właściwa ośrodka przewodzącego prąd.
( z wzoru (4.3) w przypadku przewodnika prostoliniowego o stałym przekroju poprzecznym możemy wyprowadzić
„klasyczny” wzór U = IR )
Równanie ciągłości dla ładunku elektrycznego.
W ośrodku przewodzącym, w którym płynie prąd elektryczny wybierzmy pewien obszar o objętości V otoczony powierzchnią zamkniętą S. Ładunek wypływający w jednostce czasu z wybranej objętości V dany jest przez całkę powierzchniową po S z iloczynu j dS :
∮j dS= - dQ /dt (4.5) S
Wzór ten możemy zapisać również w postaci :
∮j dS= - d/dt ∫ ρ dV = - ∫ ∂ρ/∂t dV S V V
Zamieniając całkę powierzchniowa na całkę objętościową otrzymamy również wzór :
∮j dS= ∫ div j dV (4.6) S V
Zatem :
∫ div j dV + ∫ ∂ρ/∂t dV = 0 V V
I dalej :
∫ ( div j + ∂ρ/∂t ) dV = 0 V
A to oznacza , że :
div j = - ∂ρ/∂t (4.7) ( Co wynika z tego, że obszar V był dowolny a zatem znikanie całki musi odpowiadać zerowaniu się wyrażenia pod całkowego. Dla prądu stacjonarnego j (t) = const => div j = 0 , co oznacza, że dla prądów stacjonarnych pole wektorowe gęstości prądu jest polem bezźródłowym )
Wzór (4.6) nazywamy równaniem ciągłości ( continuity equation ) – wyraża on zasadę zachowania ładunku elektrycznego.
∮j dS= 0 S
Dla magnetostatyki ∂ρ/∂t = 0, zatem równanie (4.6) redukuje się do postaci : div j = 0
Prąd przesunięcia. ( displacement current )
Prąd przesunięcia jest prądem który przepływa przez kondensator próżniowy lub z dielektrykiem.
Z doświadczenia wiadomo, że kondensator umieszczony w obwodzie prądu stałego stanowi przerwę a dla prądu przemiennego jest elementem o pewnym oporze ( impedancji ).
Rys. 4 Prąd przesunięcia.
Prąd przesunięcia definiujemy zależnością :
Iprzes = ∫ jprzes dS (4.8) S
jprzes = ∂D/∂t (4.9)
Pole magnetostatyczne.
Z doświadczenia wiadomo, że dwa prostoliniowe przewody w których przepływa stały prąd elektryczny, w zależności od kierunku przepływu tego prądu mogą się przyciągać lub odpychać. Wiadomo również, że istnieją substancje które charakteryzują się własnościami magnetycznymi (magnesy stałe). W elektrodynamice klasycznej przyjmuje się, że nie istnieją ładunki magnetyczne (monopole magnetyczne).
( istnieją pewne mocne podstawy teoretyczne przemawiające za istnieniem takich monopoli ale jak dotąd nie uzyskano empirycznych dowodów na ich istnienie )
Rys. 5 Solenoid i magnes stały.
Rys. 6 Oddziaływanie dwóch przewodów z prądem.
Podstawową wielkością charakteryzującą pole magnetyczne jest wektor indukcji pola magnetycznego B.
Jednostka indukcji magnetycznej jest : [ Ns/Cm = N/Am = Vs/m2 = T – tesla ]
Empirycznym wzorem opisującym siłę działającą na ładunek q, poruszający się w polu magnetycznym jest wzór definiujący siłę Lorentza :
F = q ( v × B ) (4.10) ( ponieważ F i v są wektorami B musi by pseudowektorem )
Jeżeli ładunek porusza się zarówno w polu elektrostatycznym jak i magnetycznym to wzór (4.9) zastępujemy wzorem : F = qE + q ( v × B ) (4.11) Siła Lorentza nie jest siłą centralną, nie wykonuje ona pracy podczas zmiany trajektorii ruchu cząstki naładowanej.
Jak widać jest ona zawsze prostopadła do wektora prędkości i wektora indukcji magnetycznej.
Zatem : siły magnetyczne nie wykonują pracy.
Rys. 7 Linie pola indukcji magnetycznej B wokół przewodnika z prądem
Umieśćmy teraz w polu magnetycznym przewodnik z prądem , będzie na niego działała siła określona wzorem :
F = I ∮ dl × B (4.12) C
Całkujemy po całym obwodzie umieszczonym w polu magnetycznym.
Siła ta nazywana jest siłą pondermotoryczną ( siła Ampere’a ) .
Pole magnetyczne wokół przewodników z prądem – prawo Biota-Savarta
Prawo Biota-Savarta stanowi uogólnienie wielu doświadczeń wykonanych przy użyciu obwodów o różnych kształtach przez licznych fizyków w pierwszej połowie XIX wieku.
Orzeka ono, że pole magnetyczne obwodu z prądem jest sumą przyczynków postaci :
dB = ( µ0 /4π ) dl × r / r3 = ( µ0 /4π ) dl it × ir / r2 (4.13) dB – przyczynek do indukcji magnetycznej pochodzący od elementu prądu I dl w punkcie obserwacji P odległym od tego elementu o r w kierunku ir = r / r . Przyczynek ten jest odwrotnie proporcjonalny do kwadratu odległości.
Chociaż pole indukcji magnetycznej B zmienia się według prawa odwrotnych kwadratów nie jest polem centralnym ale ma kierunek it × ir .
µ0 - przenikalność magnetyczna próżni. µ0 = 4π ·10-7 [ mkg /C2 = N /A2 ]
B = ( µ0 I /4π ) ∮ it × ir / r2 dl (4.14) C
Całkujemy po całym obwodzie C !
Rys. 8 Przyczynek dB oraz kontur całkowania.
Z prawa Biota-Savarta wynika, że indukcja magnetyczna B w pewnym punkcie P, wytwarzana przez element
przewodnika l przez który płynie prąd o natężeniu I, jest wprost proporcjonalna do długości przewodnika oraz sinusa kąta zawartego między kierunkiem elementu l a kierunkiem wektora łączącego element l i punkt P. Jest również wprost proporcjonalna do prądu I i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości elementu l od punktu P.
Prawo Gaussa dla magnetostatyki.
Zdefiniujmy strumień wektora indukcji magnetycznej B wzorem :
Φb = ∫ Bn dS [ Tm2 = Wb – Weber ] (4.15) S
( porównaj wzór (2.4) )
Strumień indukcji obliczany przez dowolną powierzchnię zamkniętą, ze względu na brak ładunków magnetycznych jest zawsze równy zeru :
∮B dS = 0 (4.16) S
Pole magnetyczne jest polem bezźródłowym, zatem ( wynika to ze wzoru (4.16) ) :
div B = 0 (4.17) Wzór (4.17) stanowi zapis prawa Gaussa dla magnetostatyki ( ogólnie dla pola magnetycznego ).
Prawo Ampere’a
Krążenie wektora indukcji magnetycznej B wzdłuż krzywej zamkniętej C otaczającej przewodnik z prądem jest proporcjonalne do natężenia I tego prądu :
∮B dl = µ0 I (4.18) C
Wzór powyższy jest zapisem prawa Ampere’a w postaci całkowej, korzystając z twierdzenia Stokesa możemy przepisać go do postaci różniczkowej :
rot B = µ0 j (4.19) (pole indukcji magnetycznej jest polem wirowym )
Warto już teraz zauważyć, że prawo to nie jest słuszne dla przypadku niestacjonarnego działając obustronnie operatorem div dostaniemy bowiem : div j = 0 a jak wiadomo z równania (4.6) powinno być div j = -∂ρ/∂t. Należy więc dodać pewien wektor który zerowałby się dla przypadku stacjonarnego. Taką „poprawkę” wprowadził Maxwell dodając prąd przesunięcia o szczególnej postaci : ∂E/∂t ( lub dla przypadku liniowego ∂D/∂t ) – poprawka ta oczywiście znalazła również potwierdzenie w praktyce.
Magnetyczny potencjał wektorowy. ( magnetic vector potential )
Ponieważ div B = 0 ( pole indukcji magnetycznej jest polem bezźródłowym ) to możemy wprowadzić pole wektorowe A, takie że :
B = rot A ≡ ∇ × A (4.20) Jak wiadomo dla danego pola B, pole wektorowe A nie jest określone jednoznacznie. Ze względu na to, że dla dowolnej funkcji skalarnej φ(r ) zachodzi : rot grad φ(r ) ≡∇×∇× φ(r ) = 0, wektor A + grad φ(r ) jest również potencjałem wektorowym pola B. Innymi słowy wektor indukcji magnetycznej B, mający bezpośredni sens fizyczny, jest niezmienniczy względem przekształcenia :
A’ = A + grad φ (4.21) Takie przekształcenie potencjału wektorowego nazywamy “transformacją cechowania”. (gauge transformations )
Niezmienniczość ze względu na cechowanie jest związana z niezmienniczością danej teorii na transformacje pewnej, ciągłej grupy Liego. W przypadku elektrodynamiki jest to grupa abelowa ( przemienna ) U(1)
[ 3 lit. dodatkowej , str. 87 – przypis ] Układ równań różniczkowych : div B = 0 rot B = µ0 j
pozwala wyznaczyć pole wektorowe B bez źródłowe z jego wirów j.
Istnieje pewna dowolność w wyborze dodatkowych warunków narzucanych na potencjał A, jednym z najczęściej stosowanych warunków jest warunek aby : div A = 0 – jest to tzw. cechowanie kulombowskie. (the Coulomb gauge ) ( jest to wynikiem twierdzenia o jednoznaczności pola wektorowego, w myśl którego aby jednoznacznie wyznaczyć pole wektorowe należy podać jego rotację i dywergencje – rotacje określa (4.20), dywergencje możemy wybrać zgodnie pewnymi przesłankami teoretycznymi). Prawo fizyczne które nie zmienia się pod wpływem trannsformacji cechowania nazywamy „inwariantnym względem transformacji cechowania.
( W angielskim brzmi to lepiej : A physical law which does not change under a gauge transformation is said to be gauge invariant )
Jeżeli potencjał wektorowy wybierzemy w postaci :
A(r ) = (µ0 /4π ) ∫j(r’ ) / | r – r’ | d3r’ (4.22) ( potencjał o tej postaci spełnia warunek cechowania kulombowskiego )
to z równania (4.18) otrzymamy równanie Biota-Savarta. [ 3, str. 288 ]
( Można to pokazać wykazując, że równanie: rot rot A = µ0 j prowadzi do równania Poissona na potencjał wektorowy
∆A = µ0 j, a następnie nałożyć warunek cechowania kulombowskiego oraz warunek dążenia do zera gęstości prądu w nieskończoności [6, str 168 ] )
Podsumowanie.
Prawo Biota-Savarta jest w magnetostatyce tym ,czym w elektrostatyce prawo Coulomba, a prawo Ampere’a odgrywa podobną rolę jak prawo Gaussa.
5. Pole magnetyczne w materii. ( the magnetic field in matter )
W zależności od tego w jaki sposób ośrodek materialny modyfikuje pole magnetyczne ( doświadczenia z pierścieniem Rawlanda ) możemy je ogólnie podzielić na : diamagnetyki, paramagnetyki i ferromagnetyki.
W przypadku diamagnetyków następuje nieznaczne zmniejszenie indukcji magnetycznej, w przypadku paramagnetyków nieznaczny jej wzrost a w przypadku ferromagnetyków następuje bardzo duży wzrost.
Uwaga ! Nie omawiam szczegółowo fizycznych mechanizmów zjawisk magnetycznych w ośrodku materialnym,
zainteresowanego odsyłam do [ 3, od str. 379 ]. Ogólnie mechanizm ten ( klasyczny tj. nie uwzględniający wielu zjawisk kwantowych ) jest następujący : gdy pole elektryczne działa na materię wtedy polaryzuje atomy i cząsteczki. W każdej z tych cząsteczek ładunek dodatni ( jądro atomowe) zostanie nieco przesunięty w jedną stronę, a ładunek ujemny w przeciwną. Powstaje więc w każdym atomie czy cząsteczce niewielki elektryczny moment dipolowy. Podobnie działa pole magnetyczne, tworząc magnetyczne momenty dipolowe. Ładunki powstające w wyniku polaryzacji (elektrycznej lub magnetycznej ) nazywane są ładunkami związanymi
( w przeciwieństwie do ładunków swobodnych ) – są one związane sztywno z cząsteczkami. Ładunki związane wytwarzają własne pole elektryczne (magnetyczne), które osłabia pole zewnętrzne.
Aby scharakteryzować własności ośrodka materialnego w polu magnetycznym wprowadzimy wektor namagnesowania ( magnetyzacji , polaryzacji magnetycznej ) ( macroscopic magnetization ). Podobnie do wektora polaryzacji elektrycznej , wektor magnetyzacji definiujemy jako sumę magnetycznych momentów dipolowych, przypadającą na jednostkę objętości ośrodka :
M = Σ ni < pi > [ A/m] (5.1) ni – liczba dipoli magnetycznych w jednostce objętości ośrodka ; < pi > - uśredniony po wszystkich dipolach
magnetyczny moment dipolowy i-tej cząsteczki ośrodka.
Wprowadźmy teraz wektor natężenia pola magnetycznego ( magnetic field intensity ) ( jest to wektor pomocniczy ) :
H = (1/µ0 ) B – M (5.2) B = µ0 ( H + M ) (5.3) Dla większości substancji paramagnetycznych i diamagnetycznych wektor magnetyzacji jest wprost proporcjonalny do indukcji pola magnetycznego. Takie materiały nazywamy liniowymi. Ze względów tradycyjnych , zależność tę wyraża się jako prostą proporcjonalność do natężenia pola magnetycznego :
M = χm H (5.4) χm – podatność magnetyczna ośrodka ( magnetic susceptibility ).
Wobec tego :
B = µ0 ( H + M ) = µ0 ( 1 + χm )H = µ H (5.5) µ = µ0 µr - przenikalność ośrodka (premeability ).
µr = µ / µ0 – względna przenikalność magnetyczna.
Dla Diamagnetyków : µ < 1 χm < 0 Dla paramagnetyków : µ > 1 χm > 0 Dla ferromagnetyków : µ >> 1 µ = µ(H)
Energia pola magnetycznego w magnetykach.
W = ½ ∫ BH dV V
W = ½ BH (5.6)
Nie omawiam interesujących dla magnetyzmu i nie tylko, konsekwencji teorii nadprzewodnictwa, zainteresowanego odsyłam do książki „Nadprzewodnictwo” – J. Stankowski, B. Czyżak WNT 1999
Pewne aspekty nadprzewodnictwa omówione są również w [3 – literatura w języku rosyjskim]
6. Pole elektromagnetyczne – elektrodynamika.
Do tej pory rozważaliśmy niezależne od czasu pola : elektryczne E( r ) i magnetyczne B( r ). Doświadczenie pokazuje, że zmieniające się w czasie pole magnetyczne B( r, t ) ( elektryczne E( r, t ) ) powoduje pojawienie się zmiennego pola elektrycznego ( magnetycznego B( r, t ) . Z tego powodu jeżeli mamy do czynienia z polami E i B zależnymi od czasu, należy mówić o polu elektromagnetycznym.
Indukcja elektromagnetyczna. Prawo Faradaya. ( Faraday’s law of inductions )
Podstawowe prawo indukcji elektromagnetycznej zostało sformułowane przez Faradaya na podstawie danych empirycznych. Prawo to wyraża związek między zmianami w czasie pola magnetycznego i wirowym polem elektrycznym, które te zmiany wywołują.
ε= ∮ E ds = − dΦb /dt (6.1) C
ε[V] - siła elektromotoryczna indukowana przez pole magnetyczne.
Prawo indukcji Faradaya głosi, że siła elektromotoryczna ε ( w skrócie SEM ) równa jest wziętej ze znakiem minus szybkości zmian strumienia indukcji magnetycznej Φb .
Reguła Lenza – kierunek przepływu prądu indukowanego jest taki, że przeciwstawia się zmianom, które go wywołały.
Ze wzorów (6.1) i (4.14) otrzymujemy :
∮ E ds = − d/dt ∫ Bn dS (6.2) C S
Jest to prawo indukcji Faradaya wyrażone w postaci całkowej.
Przekształcając ten wzór możemy otrzymać prawo indukcji w postaci różniczkowej :
rot E = − ∂B/∂t lub ∇ × E = − ∂B/∂t (6.3)
Rys. 9 Prawo indukcji Faradaya.
SEM powstająca w poruszającym się przewodniku.
Niech przewodnik porusza się w (stałym i stacjonarnym ) polu magnetycznym o indukcji B z prędkością v, wtedy Na jego końcach A, B powstanie SEM o wartości danej wzorem :
B
ε= ∫ ( v × B ) ds (6.4) A
W przypadku przewodnika prostoliniowego o długości l, położonego w płaszczyźnie prostopadłej do jednorodnego pola B i poruszającego się z prędkością v prostopadłą do przewodnika otrzymamy :
ε = Bvl (6.5)
7. Równania Maxwella. ( Maxwell equations )
Jak wiadomo podsumowaniem wszystkich wprowadzonych powyżej empirycznych praw jest „klasyczny” układ czterech równań wektorowych wprowadzony ( oczywiście w nieco innej postaci – zapis wektorowy wprowadził później Gibss ) przez J. C. Maxwella [ 1-literatury uzupełniającej , głównie od str 364 ]. Ponieważ są to równania wiążące pola (którym przypisujemy jak najbardziej fizyczną realność ) – elektryczne i magnetyczne, równania te ( uwzględniając bardzo płodną koncepcje pola fizycznego wprowadzoną przez Faradaya ) nazywamy wielokrotnie równaniami pola Faradaya-Maxwella.
( Ja, jednak dla uproszczenia pozostanę przy nazwie „równania Maxwella” )
Równania pola Maxwella w postaci całkowej w próżni : I prawo Maxwella ( Maxwella – Faradaya )
∮ E ds = − d/dt ∫ Bn dS (7.1) C S
( pole elektryczne w tym prawie nie jest polem zachowawczym ponieważ jego krążenie nie jest równe zeru ) II prawo Maxwella ( Maxwella– Ampere’a )
∮ B dr = µ0 I + µ0ε0d/dt ∫ E dS (7.2) C S
I prawo Gaussa
ε0 ∮E dS = Qwewn. (7.3) S
II prawo Gaussa
∮B dS = 0 (7.4) S
Prawa Maxwella w postaci różniczkowej w próżni : I prawo Maxwella ( Maxwella – Faradaya )
rot E = - ∂B/∂t lub ∇ × E = - ∂B/∂t (7.5) II prawo Maxwella ( Maxwella – Ampere’a ) otrzymamy jeżeli zastąpimy gęstość prądu j przez wektor
j + ε0 (∂E/∂t) ( uogólnienie to wprowadził Maxwell )
rot B = µ0j + µ0 ε0 (∂E/∂t) (7.6) Prawo to mówi, że zarówno prąd elektryczny, jak i zmienne w czasie pole elektryczne wywołują wirowe pole
magnetyczne.
I prawo Gaussa dla elektrostatyki
div E = ρ/ε0 (7.7) ( źródłem pola elektrycznego są ładunki elektryczne )
II prawo Gaussa dla magnetostatyki
div B = 0 (7.8) ( nie ma źródeł pola magnetycznego )
Działając obustronnie operatorem div na II równanie Maxwella otrzymamy prawo zachowania ładunku ( równanie ciągłości ) – prawo to jest zatem konsekwencją równań Maxwella.
Istotnie, mamy :
div rot B = div [ µ0j + µ0 ε0 (∂E/∂t) ] ⇒ 0 = div j + ∂/∂t div E ⇒ div j + ∂ρ/∂t = 0
Równania pola Maxwella w postaci różniczkowej dla ośrodków materialnych :
div D = ρ/ε0 (7.9) div B = 0 (7.10)
rot E = - ∂B/∂t (7.11) rot H = µ0j + µ0 ε0 (∂D/∂t) (7.12) Prawa te należy uzupełni równaniami materiałowymi ( które tylko dla ośrodków liniowych maja prostą postać ) :
D = εE ; B = µH
Równania pola Maxwella dla elektrostatyki w próżni :
div E = ρ/ε0 (7.13) rot E = 0 (7.14) Przy warunku brzegowym E → 0 daleko od ładunków , równania te pozwalają wyznaczyć pole elektrostatyczne dla
danego rozkładu ładunków- źródeł ρ( r).
Równania pola Maxwella dla magnetostatyki w próżni :
div B = 0 (7.15)
rot B = µ0j (7.16) Przy warunku brzegowym B → 0 daleko od zlokalizowanych prądów, równania te pozwalają wyznaczyć indukcje pola
magnetycznego dla danego rozkładu prądów- źródeł j( r).
Równania pola Maxwella wraz z wzorem określającym siłę Lorentza stanowią najbardziej eleganckie sformułowanie elektrostatyki i magnetostatyki.
Należy zauważyć, że równania Maxwella są równaniami liniowymi i nie zawierają jako swych konsekwencji równań ruchu. Propozycja elektrodynamiki nieliniowej zawierającej w „sobie” równania ruchu podali m.in. Born i Infeld [ 4-literatury uzupełniającej , str. 286, jak również : „Lectures on non-linear electrodynamics” – J. Plebański, Nordita 1970 ]. ( Nieliniowymi równaniami pola zawierającymi w „sobie” równania ruchu są np. einsteinowskie równania pola grawitacyjnego ). Konsekwencją liniowości równań jest stwierdzenie, że jeśli rozważamy dwa rozwiązania równań Maxwella ( oczywiście mające sens fizyczny tj. będące rozwiązaniami równań dobrze określonych ) przedstawiające pola dwu cząstek o zadanych liniach świata to dowolna ich kombinacja liniowa również będzie rozwiązaniem tych równań.
Oznacza to, że obie cząstki mogą poruszać się niezależnie tj. bez wzajemnego oddziaływania. Fakt ten jest jednak sprzeczny z wynikami doświadczeń w rzeczywistości każda cząstka jest źródłem pola EM [ 11, str. 154]
Równania pola Maxwella – postać : pola-źródła : div E = ρ/ε0
div B = 0 rot E + ∂B/∂t = 0
rot B - µ0 ε0 (∂E/∂t) = µ0j
Zapis ten podkreśla fakt, że pola elektromagnetyczne są wyznaczane przez ładunki i prądy. Równania Maxwella mówią, jak ładunki wyznaczają pola ; wzór określający siłę Lorentza mówi jak pola wpływają na ruch ładunków.
Równania pola Maxwella w pustej przestrzeni ( przy braku ładunków i prądów ) div E = 0
div B = 0 rot E = ∂B/∂t
rot B = µ0 ε0 (∂E/∂t)
Równania pola Maxwella w przypadku istnienia monopolu magnetycznego ( hipotetycznego ale dotychczas nie odkrytego )
( Dirac’s symmetrised Maxwell equations or the electromagnetodynamic equations ) div E = ρe/ε0
div B = µ0 ρm rot E + ∂B/∂t = µ0 jm
rot B - µ0 ε0 (∂E/∂t) = µ0je
ρe – gęstość rozkładu ładunku elektrycznego ; ρm – gęstość rozkładu ładunku magnetycznego ; jm – gęstość prądu magnetycznego ; je – gęstość prądu elektrycznego ;
Oczywiście, działając obustronnie operatorem div na równanie : rot E + ∂B/∂t = µ0 jm otrzymamy równanie ciągłości dla ładunku magnetycznego : div jm + ∂ρm/∂t = 0
Równania pola Maxwella zapisane poprzez potencjały elektromagnetyczne.
Potencjały elektromagnetyczne – potencjał skalarny V – potencjał wektorowy A Zapiszmy I prawo Maxwella ( wzór (7.5) ) w postaci :
rot E + ∂B/∂t = rot E + ∂/∂t rot A = rot ( E + ∂A/∂t ) = 0 (7.17) Wielkość w nawiasie możemy zapisać posługując się potencjałem skalarnym :
E + ∂A/∂t = -grad V ⇒ E = − grad V − ∂A/∂t
( wprowadzona w ten sposób funkcja skalarna pokrywa się z wprowadzona wcześniej funkcją V jedynie dla pól stałych w czasie ). Potencjały elektromagnetyczne są określone jak wiadomo z dokładnością do transformacji cechowania :
A → A’ = A + grad φ ; V → V’ = V −∂φ/∂t ; φ – funkcja dowolna , zwana funkcją cechowania ; φ = φ(t, r )
Podstawiając potencjały do równań Maxwella możemy otrzymać : ( podstawiając E = − grad V − ∂A/∂t do równania div E = ρ/ε0 )
∆V + ∂/∂t div A = - ρ/ε0 (7.18) ( podstawiając B = rot A do równania rot B - µ0ε0 ∂/∂t ( -grad V - ∂A/∂t ) = µ0j )
∆A - µ0 ε0 (∂2A /∂t2 ) – grad ( div A + µ0 ε0 ∂V/∂t ) = µ0j (7.19) Są to dwa sprzężone równania do których zredukowaliśmy cztery równania Maxwella. Aby otrzymać równania nie sprzężone zastosujemy drugi rodzaj cechowania – cechowanie Lorentza, tzn. żądamy aby :
div A = - µ0 ε0 (∂V/∂t ) => div A + µ0 ε0 (∂V/∂t ) = 0 (7.20) Z cechowania tego wynika, że :
∂/∂t div A = - µ0 ε0 (∂2V /∂t2 )
Podstawiając (7.20) do (7.19) otrzymujemy :
∆A - µ0 ε0 (∂2A /∂t2 ) = µ0j (7.21) Podstawiając (7.19) do (7.17) otrzymujemy :
∆V - µ0 ε0 (∂2V/∂t2 ) =- ρ/ε0 (7.22) Następnie, wprowadzając znany operator d’Alemberta : □ = ∂2 / ∂t2 - ∆ równania (7.21) i (7.22) możemy zapisać w formie :
□ V = - ρ/ε0 (7.23)
□ A = µ0j (7.24) Jest to układ niejednorodnych równań różniczkowych drugiego rzędu i jest on równoważny równaniom Maxwella ( postaci różniczkowej ). Jak widać zarówno potencjał wektorowy jak i skalarny spełniają niejednorodne równanie falowe. Opisywane przez nie falę rozchodzą się z prędkością fazową :
vf = 1/ sqrt (µ0 ε0 ) (7.25) Jak wiadomo są to fale elektromagnetyczne ich prędkość fazowa w próżni jest stała i równa :
c = 1/ sqrt (µ0 ε0 ) = 2,997925 ·108 [ m/s ]
Dla pól stacjonarnych Równania (7.23, 7.24) redukują się do odpowiednich równań Poissona :
∆ V = - ρ/ε0 (7.26)
∆ A = µ0j (7.27) Rozwiązania tych równań to znane wory :
V(r) = (1/4πε0 ) ∫ ρ(r’) (1 /r ) dV ; A(r) = (µ0 /4π) ∫ j (r’) ( 1/ r) dV R – odległość od punktu źródła r’ do punktu obserwacji pola r .
Uogólnieniem tych rozwiązań dla źródeł niestatycznych jest przez potencjały opóźnione : V(r) = (1/4πε0 ) ∫ ρ(r’, tr )(1 /r ) dV ; A(r) = (µ0 /4π) ∫ j (r’, tr )(1/ r ) dV tr – czas opóźniony ( retarded )
( odnośnie stosowanych potencjałów zobacz [ 5, str. 457 ] )
Pola V(r) i A(r) nie są polami fizycznymi tj. polami obserwowanymi bezpośrednio. ( Istnieją jednak pewne podstawy aby potencjałowi wektorowemu przypisać „realność” – zobacz np. „Topological foundations of electromagnetism” – Terence W. Barret , w szczególności omówienie doświadczenia Aharonova-Bohma ).
Należy również zauważyć, że operator D’Alemberta jest operatorem relatywistycznie inwariantnym.
Innymi rodzajami cechowania są : Cechowanie czasowe ( Hamiltona) : V = 0
( The temporal gauge, also known as the Hamilton gauge ) Cechowanie axialne : A3 = 0
( The axial gauge )
Prawo zachowania energii w elektrodynamice – energia pola EM(elektromagnetycznego).
Zasada zachowania energii dla pola elektromagnetycznego zwana jest twierdzeniem Poyntinga.
Rozważamy elementarną pracę wykonaną przez siły elektromagnetyczne aby zmienić konfiguracje ładunków i prądów wytwarzającą dane pola E i B. Można pokazać , że praca ta będzie równa :
dW/dt = – d/dt ∫ ½ [ ε0 E2 + ( 1/µ0)B2 ] dl – (1/µ0 ) ∮ (E × B ) dS (7.28) V S
( dokładne wyprowadzenie zobacz [5 str. 378 ] )
Wielkość :
Uem = ½ ∫ [ ε0 E2 + ( 1/µ0)B2 ] dS
V
określa energię zmagazynowaną w polu elektromagnetycznym. Drugi składnik wzoru (7.28) określa prędkość z jaką energia pola wypływa z obszaru V przez jego brzeg S. Twierdzenie Poyntinga mówi, że praca wykonana nad ładunkami przez siły elektromagnetyczne jest równa ubytkowi energii zmagazynowanej w polach , pomniejszonemu o energię , która wpłynęła przez powierzchnie ograniczająca rozważany obszar.
Wielkość :
S = ( 1/µ0) ( E × B ) (7.29 ) nazywamy wektorem Poyntinga ( the Poynting vector ) – określa on energię przenoszoną przez pola w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni.
Wielkość :
w = (E2 + B2 ) (7.30 ) nazywamy gęstością energii pola EM. Dla rozpatrywanego przypadku w którym pomijamy ciepło wydzielane przez przepływający prąd możemy zapisać :
∂w/∂t + div S = 0
Fale elektromagnetyczne w próżni – część I
Rozważmy równania Maxwella w próżni : div E = 0 (a) rot E = ∂B/∂t (b)
div B = 0 (c) rot B = µ0 ε0 (∂E/∂t) (d) Jest to układ równań różniczkowych sprzężonych pierwszego rzędu dla wielkości E i B. Można je rozprząc działając
operatorem rot tj. ∇× do równań (b), (d) :
∇ × ( ∇ × E ) =∇ ( ∇ E ) - ∆E = ∇ × ( ∂B/∂t ) = ∂/∂t (∇ × B ) = µ0 ε0 (∂2E/∂t2 )
∇ × ( ∇ × B ) =∇ ( ∇ B ) - ∆B = ∇ × [ µ0 ε0 (∂E/∂t) ] = µ0 ε0 ∂/∂t ( ∇ × E ) = µ0 ε0 (∂2B/∂t2 ) Ponieważ ∇ E = 0 i ∇ B = 0 zatem :
∆E = µ0 ε0 (∂2E/∂t2 ) (7.31)
∆B = µ0 ε0 (∂2B/∂t2 ) (7.32) Są to równania falowe o postaci : ∆f = (1/v2 ) (∂2f/∂t2 ) ; gdzie v – jest prędkością rozchodzenia się zaburzenia falowego.
Dalsze zagadnienia związane m.in. z propagacją, generowaniem, odbiciem, prowadzeniem itp. fal EM omawia np. [ 9 –literatury uzupełniającej ]
8. Tensorowy (niezmienniczy - kowariantny) zapis równań Maxwella.
Równania Maxwella jak wiadomo są niezmiennicze nie względem przekształcenia Galileusza ale względem
przekształcenia Lorentza. Wyprowadzenie wzorów dla transformacji Lorentza na podstawie równań Maxwella prowadzi do wniosku, że prędkość światła w próżni jest identyczna we wszystkich IUO.
Obecnie wykorzystamy zapis z użyciem czterowektorów w przestrzeni Minkowskiego, której tensor metryczny możemy wyrazić za pomocą macierzy diagonalnej :
gαβ =gαβ = diag ( 1, -1, -1, -1 ) (8.1) Współrzędne czasoprzestrzenne przyjmujemy jako : xµ = - xµ = ( x0, x1, x2, x3 ) = ( ct, x1, x2 , x3 )
( wszystkie użyte dalej wskaźniki przebiegają wartości 0, 1, 2, 3 ) Macierz pchnięcia lorentzowskiego w kierunku x, ma postać :
Λµν = ( γ -vγ/c 0 0 ) ; β = v2/c2 ; γ = 1/ sqrt [ 1- (v2 /c2 ) ] ( -vγ/c γ 0 0 )
( 0 0 1 0 ) ( 0 0 0 1 )
4-dywergencja tensora Tµ... zapisywana jest w postaci :
∂µ Tµ... ≡ div Tµ...
4-rotacja 4-wektora Aµ zapisywana jest w postaci :
∂µ Aν - ∂ν Aµ ≡ (rot A )νµ
Operator D’Alemberta : □ = ∂2 / ∂t2 - ∆ ma w przestrzeni Minkowskiego postać : □ = ∂µ∂µ
Czterowymiarowe twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego :
∫ ∂µ Tµ... dΩ = ∮Tµ... dσµ Ω σ
σ – zamknięta hiperpowierzchnia otaczająca 4-objętość Ω
Równanie ciągłości (4.6) wyrażające prawo zachowania ładunku powinno być spełnione w dowolnym IUO dlatego powinno ono by inwariantnym względem przekształcenia Lorentza, a to jest możliwe tylko wtedy gdy wielkość :
∂ρ/∂t + div j będzie relatywistycznym skalarem. Wprowadzimy zatem : Czterowektor gęstości prądu (czteroprąd).
jµ = ( j0, j1 , j2, j3 ) = ( cρ, jx, jy , jz ) (8.2) Równanie ciągłości ma teraz postać :
∂µ jµ = 0 (8.3) Prawo to możemy zapisać również w postaci całkowej całkując (8.3) względem pewnej 4-objętości otoczonej zamkniętą hiperpowierzchnią σ ( wykorzystując czterowymiarowe twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego ) zapiszmy :
∫ ∂µ jµ dΩ = ∮jµ dσµ = 0 Ω σ
Czterowektor potencjału (czteropotencjał )
Aµ = ( V/c, Ax, Ay , Az ) (8.4) Operator Hamiltona w przestrzeni Minkowskiego zapisujemy w postaci : ∂µ = ( (1/c) ∂/∂t , ∇ ) (4-gradient )
Tensor (antysymetryczny) pola elektromagnetycznego.
W STW pole elektryczne i magnetyczne łączą się ( uwypuklając ich relatywistyczny charakter ) tworząc jeden obiekt natury tensorowej – tensor pola elektromagnetycznego. Pola : elektryczne i magnetyczne są ze sobą nierozerwalnie związane, występowanie jednego z nich związane jest z wyborem układu odniesienia - IUO. Przykładowo w układzie , w którym spoczywa ładunek elektryczny , a prądy są równe zeru , pojawia się tylko pole elektrostatyczne. W innym układzie , który poruszałby się względem tego układu będziemy mieli do czynienia z prądem elektrycznym , który powoduje pojawienie się pola magnetycznego.
Fµν = -Fνµ = ( 0 -Ex/c -Ey/c -Ez/c ) (8.5) ( Ex/c 0 -Bz By )
( Ey/c Bz 0 -Bx ) ( Ez/c -By Bx 0 ) Można pokazać, że [ 3, str. 369 ] :
- F01 = Ex/c = -(1/c) )(∂V/∂t) – (1/c) (∂Ax/∂t) = - (∂0A1 - ∂1A0 ) - F02 = Ey/c = -(1/c) )(∂V/∂t) – (1/c) (∂Ay/∂t) = - (∂0A2 - ∂1A2 ) - F03 = Ez/c = -(1/c) )(∂V/∂t) – (1/c) (∂Az/∂t) = - (∂0A3 - ∂1A3 )
- F23 = Bx = (∂Az/∂y) – (∂Ay/∂z) = (∂A3 /∂x2) - (∂A2 /∂x3) = - (∂2A3 - ∂3A2 ) - F31 = By = (∂Ax/∂z) – (∂Az/∂x) = (∂A1 /∂x3) - (∂A3 /∂x1) = - (∂3A1 - ∂1A3 ) - F12 = Bz = (∂Ay/∂x) – (∂Ax/∂y) = (∂A2 /∂x1) - (∂A1 /∂x2) = -(∂1A2 - ∂2A1 ) Wzory te zapisać możemy skrótowo w postaci :
Fµν = ∂µAν – ∂νAµ (8.6) Równania Maxwella możemy teraz zapisać w postaci :
∂αFαβ = µ0 jβ (8.7)
∂α Fβγ + ∂γFαβ + ∂β Fγα = 0 (8.8) Przykładowo pokazać możemy, że dla β = 0 otrzymamy :
∂αFα0 = µ0 j0
∂0F00 + ∂1F10 + ∂0F20 + ∂0F30 = ∂F00/∂x0 + ∂F01/∂x1 + ∂F02/∂x2 + ∂F03/∂x3 =
= (1/c) [ (∂Ex/∂x) + (∂Ey/∂y) + (∂Ez/∂z) ] = (1/c) ∇ E = µ0 j0 ale dalej :
∇ E = c µ0 ρ => ∇ E = ρ/ε0 a to już jest znajome prawo Gaussa.
Jako ćwiczenie można pokazać , że dla β = 1 otrzymamy : (∂By/∂z) - (∂Bz/∂y) - µ0 ε0 (Ex/∂t) = µ0 jx
