Wprowadzenie do klasycznej i kwantowej - relatywistycznej teorii pola

********************************************************

Wprowadzenie do klasycznej i kwantowej - relatywistycznej teorii pola

CZĘŚĆ I - POLA KLASYCZNE.

ABELOWE I NIEABELOWE POLA CECHOWANIA

******************************************************************************************

Autor : R. Waligóra

data powstania dokumentu : 2018-10-01 ostatnie poprawki z dnia : 2018-11-10

******************************************************************************************

WPROWADZENIE

Przedstawiony tekst ma na celu omówienie podstawowych pojęć i metod stosowanych w klasycznej (w części I ) i kwantowej (w części II ) - relatywistycznej teorii pola. Takie teorie stanowią podstawę konstrukcji wszystkich współczesnych teorii oddziaływań fizycznych. Sztandarowym tego przykładem jest Model Standardowy fizyki cząstek elementarnych ( w sktrócie MS ). „Teorio-polowa” jest również grawitacja.

W poniżej przedstawionym tekście omawiane są teorie pól : skalarnych rzeczywistych i zespolonych,

wektorowych, tensorowych i spinorowych. Pola te są od samego początku przyjmowane jako relatywistycznie niezmiennicze tj. muszą być inwariantne względem grupy przekształceń Poincarego (GP), lub grupy Lorentza (GL), przy czym oczywiście GP ⊂ GL – tj. grupa Lorentza jest podgrupą grupy Poincarego. Innymi słowy żądamy, aby pola przekształcały się zgodnie z odpowiednią reprezentacja podstawową GP.

Jak już powiedziano, we współczesnej fizyce, relatywistyczna teoria pól stanowi fundament na jakim rozwijane są wszystkie znane teorie fizyczne, począwszy od elektrodynamiki maxwellowskiej, einsteinowskiej teorii grawitacji, a kończąc na modelu standardowym cząstek elementarnych tj. w szczególności jest to, teoria oddziaływań

elektrosłabych i silnych (chromodynamika – dynamika koloru ).

Sformułowane w ten sposób teorie podlegają oczywiście dalszym modyfikacjom np. w ramach teorii supersymetrii, lub teorii (super)strun, jednakże pozostają one przy tym nadal relatywistycznie inwariantne.

Dla zrozumienia przedstawionego tekstu konieczna jest znajomość podstaw :

- mechaniki analitycznej (aparatu kanonicznego – ujęcia Lagrange’a i Hamiltona - mechaniki klasycznej ) - STW – szczególnej teorii względności, w szczególności zapisu czterowektorowego

- MQ - mechaniki kwantowej (postulaty MQ, zapis w notacji Diraca – „bra” „ket” )

- elektrodynamiki klasycznej (maxwellowskiej ) – zapis równań Maxwella w postaci relatywistycznej - rachunku wariacyjnego, równania Eulera- Lagrange’a (w skrócie E-L)

- analizy wektorowej i tensorowej (notacje indeksowe, algebra i analiza wektorów i tensorów )

Innymi słowy, czytelnikowi powinny być znane takie pojęcia jak np. : współrzędne uogólnione, prędkości i pędy uogólnione, lagranżjan i hamiltonian - układu mechanicznego, reprezentacja grupy Lorentza

(Poincarego ), pochodna kowariantna, komutator pól wektorowych, itp.

W pierwszej kolejności wprowadzę odpowiednie wielkości mechaniki analitycznej dla przypadku

nierelatywistycznego, następnie pojęcia te zostaną rozszerzone na układy o nieskończonej (w granicy ) liczbie stopni swobody tj. ośrodki ciągłe, dalej uzyskają one zapis relatywistycznie niezmienniczy.

Dla takich układów, współrzędne uogólnione zostają zastąpione (ciągłymi) funkcjami pola, lagranżjan i hamiltonian zastępujemy odpowiednio gęstością lagranżjanu i gęstością hamiltonianu. Przejście to uwzględnia polowy charakter zmiennych działania. Oczywiście formalizmowi temu nadajemy relatywistyczną

niezmienniczość wprowadzając tym samym pojecie „pola relatywistycznie niezmienniczego”.

W tekście podkreślono kluczową dla teorii pola (zarówno klasycznego jak i kwantowego ) rolę zasad zachowania wynikających z istnienia odpowiednich grup symetrii równań wariacyjnych – ciągłych lub dyskretnych.

W pierwszej kolejności rozpatrujemy tzw. symetrie czasoprzestrzenne – geometryczne.

W tym temacie zasadniczą rolę odgrywa twierdzenie podane przez Emme Noether.

W dalszym planie występują symetrie „wewnętrzne” np. związane z prawem zachowania ładunku w elektrodynamice klasycznej.

Tym sposobem przechodzimy do najważniejszej kwestii dla współczensej teorii pola – symetrii cechowania.

W „procesie” kwantowania pól klasycznych otrzymujemy „obraz” korpuskularnych innymi słowy z kazdym polem wiążemy (lub próbujemy wiązać ) odpowiadjaąca mu cząstkę o własnościach kwantowo-mechanicznych.

Pojęcie pola i cząstek (cząstki) odpowiadających takiemu polu jest we współczesnej fizyce podstawą zrozumienia zasad funkcjonowania wszechświata – zarówno w skali makro jak i mikro (tego w szczególności).

Jeszcze raz należy podkreślić, że szczególnie istotne są dla nas, pola obdarzone specyficznym rodzajem symetrii - symetrie cechowania. Współczesnie dużą uwagę przyciągają pola, dla których pojecie symetrii (związanej z pewnym rodzajem niezmienniczością ) zostało w sposób nietrywialny rozszerzone - mowa tutaj o tzw.

supersymetrii.

Przyjęty schemat postępowania będzie następujący :

Wychodzimy od mechaniki analitycznej i związanego z nią aparatu kanonicznego ( formalizm Lagrange’a i Hamiltona, przekształcenia kanoniczne , nawiasy Poissona , twierdzenie Noether , współrzędne cykliczne ) Następnie przechodzimy do rozpatrzenia formalizmu kanonicznego dla ośrodków ciągłych wprowadzając pojęcie pola jako zmiennej funkcjonału działania. W wyniku tego przejścia otrzymujemy charakterystyczną zamianę wielkości dynamicznych na odpowiadające im gęstości. Rozpatrując niezmienniczość równań polowych ze względu na grupę ich symetrii ( twierdzenie Noether dla teorii pola ) otrzymujemy odpowiednie wielkości zachowane tj. zachowane prądy i ładunki Noether. Ostatnie uogólnienie polega na takim sformułowaniu równań pola aby stały się niezmiennicze względem pewnej reprezentacji grupy Lorentza. Otrzymujemy w ten sposób relatywistyczna teorię pola (klasycznego ).

W następnym kroku realizujemy procedurę zwaną kwantowaniem pola – tzw. procedura drugiej kwantyzacji.

Zobacz również teks pt. „Szkic o fizyce i jej historii, matematyce i filozofii”

Teoria pola (teorie polowe) – szczególnie pola skwantowanego, jak wspomniałem jest podstawą na której opiera się cała fizyka teoretyczna. W jej metodach, a zwłaszcza używanych narzędziach matematycznych odbite jest całe bogactwo i różnorodność fizyki. Należy od razu powiedzieć , że jest to jednak okupione wieloma trudnościami zarówno natury fizycznej jak i matematycznej. Teoria pola ukazuje w pełni swoje możliwości kiedy zastosujemy odpowiedni formalizm matematyczny, do arsenału którego nalezą m.in. takie pojęcia jak :

tensor, forma różniczkowa , pochodna kowariantna, pochodna Liego, rozmaitość Riemannowska.

Zalecana literatura wstępna.

Początkującemu czytelnikowi, w pierwszej kolejności proponuje zapoznać się z artykułem pt. :

„Teoria pola” M. Kupczyńskiego napisanym dla „Encyklopedii fizyki współczesnej” PWN 1984.

Wzorcowym przykładem nierelatywistycznej teorii pola, jest teoria newtonowskiego pola grawitacyjnego, dlatego warto zapoznać się z tekstem pt. „Prawo powszechnego ciążenia”

Drugim „wzorcowym” przykładem relatywistycznej teorii pola jest maxwellowska teoria elektromagnetyzmu, dlatego warto również przeczytać tekst pt. :

Podstawy elektrodynamiki klasycznej W dalszej kolejności polecam :

1) „Elementy klasycznej i kwantowej teorii pola” – Jerzy Karaśkiewicz UMCS 2003 2) „Teoria pola” - L. D. Landau, E. M. Lifszyc PWN 1977 3) „Klasyczna teoria pola” – Krzysztof A. Meissner WN-PWN 2002 4) „Elementy mechaniki kwantowej” – Stanisław Szpikowski UMCS 1999 5) “Kwantowa teoria pola w zadaniach” – Voja Radovanovic WN-PWN 2008 6)„Fizyka matematyczna” tom 2 klasyczna teoria pola. – W. Thirring; PWN 1985

******************************************************************************************

Uwagi o zastosowanych skrótach i oznaczeniach.

W prezentowanym tekście zastosowano następujące skrótowe oznaczenia : MQ – mechanika kwantowa

MK – mechanika klasyczna CP – czasoprzestrzeń

EM – elektromagnetyczna, elektromagnetycznej itp. Np. fala EM STW, OTW – odpowiednio - szczególna i ogólna teoria względności KTP – kwantowa teoria pola (ang. QFT )

KLTP – klasyczna teoria pola Y-M – ( teoria )Yanga-Millsa QCD – chromodynamika kwantowa GUT – teoria wielkiej unifikacji FD – funkcjonał działania

FCT – feynmanowska całka po trajektoriach

IUO, NIUO – odpowiednio – inercjalny i nieinercjalny układ odniesienia rr – równanie różniczkowe

GP – grupa Poincarego

GL, PL – odpowiednio grupa i przekształcenie Lorentza

Wielkości wektorowe (trój- lub więcej – wymiarowe ) oznaczono pogrubiona czcionką np. r –wektor wodzący r = (x, y, z ) – w trójwymiarowej przestrzeni Euklidesa lub r = (x1,x2,x3 ), rot H - rotacja pola wektorowego H Cytaty z rozlicznych książek mają za zadanie pokazać w jaki różnorodny sposób można przedstawić dane zagadnienie fizyczne lub jego rozwiązanie. Cytaty zawarto w symbolach

...

zachowując przy tym (o ile to możliwe ), pierwotną numeracje wyrażeń, rysunków i równań matematycznych.

******************************************************************************************

Uwagi o jednostkach stosowanych w KTP

Zazwyczaj, chociaż nie jest to żadnym standardem stosuje się tzw. naturalny układ jednostek, w którym : stała Plancka/2π ≡ ħ = c = 1

Jedynym nietrywialnym wymiarem przy takim wyborze jest wymiar masy [m]. Zatem : Masa [m] = m

Energia [E] = m Pęd [p] = m

Współrzędna [x] = 1/m

( Fizycznie 1/m jest comptonowską długością fali cząstki o masie m ) Pochodna po współrzędnej [∂µ ] = m

Działanie [S] = 1 Ładunek [q] = 1

Stała grawitacyjna [G] = 1/m–2 Natężenie pola EM [Fµν ] = m2 Potencjał pola [Aµ ] = m

I tak przykładowo jeden z popularnych autorów pisze :

...

Z tego samego powodu dla którego nie posługujemy się już dla pomiarów odległości stopą królewską,

wykorzystamy jednostki naturalne, w których prędkość światłą c i stała Diraca ħ (* w tekście tłumaczonym będzie to dla wygody po prostu h *) przyjmowana jest równą 1. Planck zauważył iż w jednostkach naturalnych wszystkie wielkości fizyczne można wyrazić poprzez masę Plancka :

MPlanck ≡ 1 / √GNewton ≅ 10 [GeV]

Wielkości c i h nie są zbyt fundamentalne jako czynniki przeliczeniowe. W tym świetle dziwię się specjalistom w obszarze fizyki materii skondensowanej, którzy operują stałą Boltzmanna k, właściwie niczym nie różniącej się od współczynnika przeliczenia stopy na metry.

Współrzędne CP xµ mają indeksy greckie ( µ = 0, 1, 2, 3 ) o współrzędnej czasowej x0 czasami oznaczaną jako t.

Współrzędne przestrzenne xi mają indeksy łacińskie ( i = 1, 2, 3 ) oraz ∂µ ≡ ∂/∂xµ. Wykorzystuje metrykę Minkowskiego ηµν o sygnaturze ( +, −, − ,− ), tak, że η00 = +1.

Wykorzystuje zapis następujący zapis :

ηµν ∂µϕ∂µϕ = ∂µϕ ∂µϕ = (∂ϕ )2 = (∂ϕ/∂t )2 − Σ (∂ϕ/∂xi )2 i

Metryka w zakrzywionej CP zawsze jest oznaczana jako gµν jednakże będę często oznaczał symbolem gµν metrykę Minkowskiego, jeśli z kontekstu będzie jasne, że znajdujemy się w płaskiej CP.

Ponieważ w niniejszej książce głownie będziemy mówili o relatywistycznej KTP, będę bez szczególnych wyjaśnień wykorzystywał język fizyki relatywistycznej. Zatem, jeśli będę mówił o pędzie ( za wyjątkiem szczególnych przypadków ), to będę miał na myśli energię i pęd.

Również dlatego, że h = 1, nie będę dokonywał rozróżnienia pomiędzy wektorem falowym k i pędem, oraz pomiędzy częstością ω i energią.

W teorii pola lokalnego mamy do czynienia głownie z gęstością lagranżjanu £, a nie z samym lagranżjanem : L =

∫

Tak jak to przyjęto w literaturze i swobodnych dyskusjach, często będę wielkość £ nazywał lagranżjanem.

Stosuje również i inne potoczne oznaczenia np. macierz jednostkową oznaczam jako 1 a nie jako I. Wykorzystuje również ten sam symbol ϕ dla przekształcenia Fouriera ϕ(k) funkcji ϕ(x), za każdym razem, kiedy ryzyko zamieszania jest niewielkie tj. praktycznie zawsze. Według mnie lepiej jest nieco swobodnie wykorzystywać terminologie, niż obciążać tekst za każdym razem innymi oznaczeniami i przejawiać zbytni pedantyzm.

Symbol * oznacza sprzężenie zespolone, a† - sprzężenie hermitowskie - pierwsze stosujemy do liczby, drugie do operatora. Wykorzystuje również skróty dla takich operacji : s.z i s.h

...

Kwantowa teoria pola w pigułce - Anthony Zee ; Princeton University Press 2003

******************************************************************************************

I. PODSTAWOWE POJĘCIA MECHANIKI ANALITYCZNEJ.

( Zobacz tekst pt. „Wprowadzenie do mechaniki analitycznej” )

1.1 Funkcjonał działania.

Przypomnijmy pewne standardowe oznaczenia stosowane w mechanice analitycznej :

qi(t) - współrzędne uogólnione punktu materialnego lub układu mechanicznego składającego się z wielu punktów materialnych . i = 1 ... N ; N – liczba stopni swobody układu mechanicznego.

Gdy na układ składający się z n – punktów materialnych , nałożono m – więzów, to : N = 3n - m W szczególności jako współrzędne uogólnione mogą być wykorzystywane standardowe współrzędne kartezjańskie x(t), y(t), z(t) – przyjmowane jako zmienne czasu.

Liczba współrzędnych uogólnionych równa jest liczbie stopni swobody.

Współrzędne uogólnione będziemy, kierując się tradycją oznaczać jako : q1 , ... ,qn ; n = 1, ... ,S

lub w zapisie wektorowym : q = ( q1 , ... ,qn ), n = 1, ... ,S

Współrzędne uogólnione nie koniecznie muszą mieć wspólne miano, mogą to być np. współrzędne postaci : długość-kąt ; długość – pole. Zazwyczaj konkretny wybór współrzędnych uogólnionych podyktowany jest względami prostoty rachunkowej.

Prędkościami uogólnionymi nazywamy pierwsze pochodne względem czasu współrzędnych uogólnionych.

Jeżeli : q1= q1(t) , ... , qn= qn(t) ,to otrzymujemy następujące prędkości uogólnione : v1= dq1(t) /dt ≡ q1^• , ... , vn= dqn(t) /dt ≡ qn^•

(kropka w charakterze indeksu górnego ^• oznacza różniczkowanie po czasie ) W charakterze prędkości uogólnionych możemy przyjąć ich pochodne po czasie :

vx = dx/dt , vy = dy/dt , vz = dz/dt , Wielkość określona zależnością : n n

T = ½

Σ

Σ

nazywa się „energią kinetyczną“ układu n-punktów materialnych. Mamy również zapis o postaci : T = ½

Σ

( energię kinetyczną będziemy oznaczali również jako K )

W ogólności energia kinetyczna jest dodatnio określoną forma kwadratową zmiennych q^•i : n

T = ½

Σ

i,k =1

Wielkości :

pi = ∂T/∂qi• ( dalej pi = ∂L/∂qi• ) nazywamy „pędami uogólnionymi”. W przypadku ogólnym należy posługiwać się taką definicją pędów, które w

przypadku szczególnym będą równe iloczynowi : masa × prędkość.

Generalnie jednakże należy mieć na uwadze iż pędy i prędkości są zadane na różnych przestrzeniach – pęd – na przestrzeni kostycznej, prędkość – na przestrzeni stycznej.

Warto również mieć na uwadze fakt, iż forma energii kinetycznej zadaje w istocie metrykę na odpowiedniej przestrzeni, stad czasami energię kinetyczną nazywa się metryką.

Ruch w polu o potencjale newtonowskim.

Wprowadźmy zatem współrzędne uogólnione : q(t ) = ( q1(t ), ... qn(t) ) ,n = 1, ...

prędkości i pędy uogólnione : vi ≡ q^•i = dqi /dt

pi = mi q^•i ; i = 1, … , n

Niech taki układ znajduje się w polu o potencjale : U(q1, ... , qn )

Równanie dynamiki n- cząstek materialnych, we współrzędnych uogólnionych ma postać : mi q^••i = −∂U/∂ qi , i = 1, ... , n

Przykładem potencjału w/w potencjału, jest niezależny od czasu potencjał newtonowski : U(q^•i ) =

Σ

i, j

Mechanikę klasyczna możemy rozwinąć (czasami równoważnie ) korzystając z różnych przestrzeni ( w sensie matematycznym ):

przestrzeń konfiguracyjna qi przestrzeń zdarzeń (qi, t ) przestrzeń pędu i energii przestrzeń fazowa ( qi, pi )

przestrzeń fazowa rozszerzona ( qi, pi , t )

Przestrzeń konfiguracyjną możemy traktować jako pewną rozmaitość różniczkową, oznaczmy ja jako Mn.

( rozmaitość konfiguracyjna, dla układu mechanicznego o n stopniach swobody będzie to rozmaitość n wymiarowa )

W każdej chwili t, położenie układu mechanicznego reprezentowane jest przez pewien punkt q(t) ∈ Mn.

Dla lokalnego układu współrzędnych określonego na rozmaitości konfiguracyjnej położenie układu możemy opisywać przez współrzędne uogólnione :

q1(t), ... , qn(t) ∈ Mn.

Ruch układu jest znany, gdy znane jest odwzorowanie : t → q(t) ∈ Mn

t ∈ < a, b >

Doświadczenie poucza, że jednoczesna znajomość wszystkich współrzędnych i prędkości uogólnionych całkowicie określa stan układu i ( z punktu widzenia MK ) pozwala jednoznacznie przewidzieć dalsze jego zachowanie – jest to oczywiście stwierdzenie o charakterze empirycznym pierwotnie ujęte w II prawie Newtona.

Zbiór wszystkich wektorów stycznych do rozmaitości Mn, tzn. sumę przestrzeni stycznych do tej rozmaitości we wszystkich jej punktach :

T(M) =

∪

nazywamy „wiązką styczną” do rozmaitości Mn. Zbiór T(M) w sposób naturalny wyposażony w strukturę rozmaitości różniczkowej.

Bardzo ważne jest spostrzeżenie, że forma kwadratowa związana z energią kinetyczną T wprowadza na przestrzeni M strukturę przestrzeni Riemanna.

Formalizm Lagrange’a. Lagranżjan

Przestrzeń konfiguracyjna układu mechanicznego wyznaczona jest przez współrzędne uogólnione tego układu.

Każdy układ mechaniczny może być scharakteryzowany poprzez pewną funkcję współrzędnych uogólnionych , prędkości uogólnionych i czasu.

L = L(qi(t), q

.

Funkcje tą nazywamy „lagranżjanem” ( w niektórych publikacjach spotyka się pisownie „lagrangian” ) układu mechanicznego (ogólnie układu fizycznego).

Mechanika Lagrange’a opisuje ruch układu mechanicznego za pomocą przestrzeni konfiguracyjnej. Przestrzeń konfiguracyjna układu mechanicznego ma strukturę rozmaitości różniczkowej. Na takiej rozmaitości działa grupa dyfeomorfizmów. Podstawowe pojęcia i twierdzenia mechaniki Lagrange’a są niezmiennicze względem tej grupy.

Układ mechaniczny Lagrange’a określają : rozmaitość (przestrzeń konfiguracyjna ) oraz funkcja na wiązce stycznej do tej rozmaitości ( funkcja Lagrange’a )

Każdej jednoparametrowej grupie dyfeomorfizmów przestrzeni konfiguracyjnej zachowującej funkcje Lagrange’a, odpowiada zasada zachowania – całka pierwsza równań ruchu.

Mechanika Lagrange’a pozwala wyczerpująco zbadać szereg ważnych zagadnień mechaniki np. zagadnienia w teorii małych drgań i w dynamice bryły sztywnej

Funkcjonał działania.

Rozpatrzmy funkcjonał postaci : t1

S [γ] =

∫

.

S [γ] – oznacza zależność funkcjonalną S od γ - jest więc funkcjonał – funkcjonał działania w skrócie FD;

γ - jest pewną krzywą w przestrzeni konfiguracyjnej.

Funkcjonał o takiej postaci nazywamy „działaniem”.

Wielkość ta reprezentuje sobą pewną całkę krzywoliniową, wzięta wzdłuż linii w przestrzeni konfiguracyjnej danego układu i zadawanej przez zbiór funkcji qi(t), na pewnym jej skończonym odcinku – od punktu o współrzędnych qi(t0), do punktu qi(t1).

Jak się okazuje, wszystkie podstawowe prawa fizyki klasycznej można wyprowadzić z jednej, jedynej konstrukcji matematycznej - FD. Z niej właśnie wynikają klasyczne równania ruchu, a analiza warunków, inwariantności działania pozwala znaleźć wielkości zachowane przy ruchu klasycznym. Na dodatek, jak pokazali Dirac i Feynmann, rola pojęcia działania w sposób pełny ujawnia się w fizyce kwantowej.

Dzięki temu zapewniony zostaje jasny i elegancki język użyteczny w opisie przejścia od fizyki klasycznej do kwantowej, językiem tym jest feynmanowska całka po trajektoriach (FCT )

( ang. Feynman path integral ).

1.2 Zasada stacjonarnego działania

Do podstawowych zasad mechaniki należy zasada stacjonarnego działania, zwana niesłusznie z matematycznego punktu widzenia zasadą najmniejszego działania. Głosi ona iż :

Rzeczywisty ruch układu mechanicznego w przestrzeni konfiguracyjnej opisywany jest przez taką krzywą γ , dla której działanie (1.1) osiąga ekstremum (w szczególności może to być minimum ).

Tak postawione zagadnienie prowadzi do równań różniczkowych (ogólnie o pochodnych cząstkowych ), które powinny spełniać funkcje qi(t) i które opisują ruch danego układu.

Zgodnie z podstawowym twierdzeniem rachunku wariacyjnego możemy powiedzieć :

warunkiem koniecznym, aby działanie S osiągało ekstremum jest spełnienie równania Eulera-Lagrange’a : d/dt (∂L/∂q

.

.

.

Równanie to wynika z równania wariacyjnego o postaci :

δS = 0 (1.2.2)

Rozwiązania równania : p

.

Wprowadzając pojęcie pochodnej wariacyjnej (pochodnej Hamiltona ) :

hL /hqi = d/dt (∂L/∂q

.

hL / hqi = 0

Należy zauważyć, że lagranżjan jest określony niejednoznacznie. Wynika to z tego, że lagranżjan postaci : L’ = L + d/dt f (qi, t )

również spełnia równania (1.2.3).

Innymi słowy, można pokazać, że lagranżjan o postaci : L’ = L + d/dt f(qi(t), t )

również określa te same równania ruchu.

Wynika to z faktu, że zasada ekstremalnego działania zadana jest w postaci całkowej, a równania ruchu w postaci różniczkowej.

W ogólności będziemy mieli następującą niejednoznaczność :

₤ → ₤’ = ₤ + ∂µFµ

która nie będzie naruszała działania tj. S = S’ ( zatem i odpowiednich równań ruchu ) Własność ta jest słuszna dla określonych zależności topologicznych.

Działanie jest jedynie pewną konstrukcją matematyczną, a liczba konstrukcji takiego rodzaju jest w zasadzie nieograniczona. Jednakże działanie powinno opisywać świat fizyczny, który jak zakładamy zbudowany jest w całkowicie określony sposób. Zatem, pośród wielu możliwych powinien istnieć, ten jeden szczególny FD, który prawidłowo opisuje to, co przebiega w rzeczywistości.

Pojawia się wobec tego pytanie – jak odróżnić taki szczególny FD od innych ?

Odpowiedź podpowiada nam twierdzenie Noether, wskazujący na związek między symetriami danego układu, a symetriami FD, którym go opisujemy.

Dobrze są nam znane symetrie w rodzaju tych, które wynikają z STW i ze wszystkich możliwych działań

powinniśmy wybrać tylko te, które odzwierciedlają te symetrie. Inne symetrie, w rodzaju np. zachowania ładunku elektrycznego, jeszcze bardziej ograniczają postać szukanego FD. Mamy podstawę zakładać, że natura preferuje określone typy działań, mianowicie te, które posiadają wszelkie inwariantności zmieniającymi się od punktu do punktu. Inwariantności tego rodzaju prowadzą do teorii z cechowaniem.

Fundamentalną własnością układów fizycznych jest inwariantność FD względem przekształceń należących do niejednorodnej grupy Lorentza, lub ogólniejszej grupy Poincarego.

Asymptotyczna addytywność lagranżjanu.

Jeżeli będziemy rozpatrywali dwa układy mechaniczne znajdujące się w znacznej odległości jeden od drugiego to jest oczywiste , że procesy zachodzące w jednym układzie nie powinny wpływać na procesy zachodzące w drugim układzie. Z drugiej strony jednak, nie można zabronić aby rozpatrywać te dwa układy jako jeden układ złożony z dwóch odległych przestrzennie części I i II.

Jeżeli pewien układ ( I + II ) rozdzielimy na dwa pod układy I i II w taki sposób , że minimalna odległość między punktami materialnymi układu I i II rI II → ∝ , to funkcje Lagrange’a układu I + II możemy rozłożyć na dwie (osobne ) funkcje Lagrange’a :

LI + II → LI + LII r I II→ ∞

Jest to warunek asymptotycznej addytywności funkcji Lagrange’a.

Przykład 1.2.1

Rozważmy układ zachowawczy fizyczny (mechaniczny) składający się z jednego punktu materialnego o jednym stopniu swobody. Dla takiego układu jak wiadomo lagranżjan ma postać :

L = T – U ; gdzie : T – to energia kinetyczna , U – to energia potencjalna.

I odpowiednio, dla energii tych mamy zależności postaci : T = ½ mv2 ; U = U(x)

Równanie Eulera–Lagrange’a przyjmuje postać :

p

.

p = ∂L/∂v = mv ; f = ∂L/∂x = ∂U/∂x zatem :

dp/dt = f ⇒ ma = F ⇒ ma = − ∂U/∂x

Co oczywiście pokrywa się z „klasycznie” rozumianym II prawem Newtona.

Przykład 1.2.2

Rozpatrzmy przykład 1 bardziej formalnie.

Zbadamy FD dla elementarnego układu – cząstki punktowej, której wektor położenia w chwili t jest dany przez funkcje xi(t ) ( i = 1, 2, 3 ) i która porusza się w potencjale niezależnym od czasu V(xi ).

Odpowiedni FD dany jest przez wyrażenie : t1

S( [xi ] ; t1 , t2 ) ≡

∫

Jest on funkcją chwili początkowej i końcowej t1, t2 i funkcjonałem od trajektorii xi(t ) przy t1< t < t2 ( względem powtarzających się indeksów łacińskich prowadzimy sumowanie )

Wszystko to oznacza, że zadanej trajektorii xi(t ) przyporządkowujemy pewną liczbę, nazywaną funkcjonałem ( w danym przypadku S ). Argument funkcjonału będziemy obejmować nawiasem kwadratowym [ ... ].

Przykładowo, długość trajektorii jest funkcjonałem trajektorii.

Zobaczmy teraz jak zmienia się S przy małej deformacji trajektorii :

xi(t ) → xi(t ) + δxi(t )

Mamy :

t2

S[xi + δxi ] =

∫

t1

Zaniedbując człony O(δx)2 możemy zapisać :

d(xi δxi )/dt d(xi + δxi )/dt = (dxi /dt ) (dxi /dt ) – 2(d2xi /dt2 ) δxi + 2d/dt (δxi dxi /dt )

V(xi + δxi ) ≈ V(xi ) + δxi ∂iV

gdzie : ∂i ≡ ∂/∂xi Zatem :

t2

S[xi + δxi ] ≈ S[xi] +

∫

∫

t1

Ostatnia składowa jest członem “powierzchniowym”.

Możemy się jej pozbyć, jeśli ograniczymy się do wariacji trajektorii zerujących się w punktach końcowych : δxi (t1) = δxi( t2 ) = 0

Jeśli przyjmiemy ten warunek, to z wymogu stałości działania S przy dowolnych δxi wynikają klasyczne równania ruchu danego układu.

Symbolicznie zapiszemy to jako równość zeru pochodnej funkcjonalnej, określonej przez zależność :

S[xi + δxi ] = S[xi] +

∫

Zatem, :

δS/δxi = – [m(d2xi/dt2 ) + ∂iV] = 0

Zatem ustanowiliśmy odpowiedniość wzajemną między równaniami ruchu i warunkiem ekstremalności działania S.

Zauważmy jednakże, że warunek ekstremalności działania S prowadzi do całej klasy możliwych trajektorii.

Po jakiej z nich w istocie następuje ruch, zależy od warunków brzegowych zadawanych jako wartości początkowe wielkości xi i dxi /dt .

1.3 Formalizm Hamiltona. Równania Hamiltona. Przestrzeń symplektyczna.

Nawiasy Poissona

Mechanika Hamiltona jest w istocie geometrią w przestrzeni fazowej. Przestrzeń fazowa ma strukturę rozmaitości symplektycznej. Na takiej rozmaitości działa grupa dyfeomorfizmów symplektycznych – tj. przekształceń zachowujących strukturę symplektyczną.

Hamiltonowski układ mechaniczny określają : rozmaitość parzystego wymiaru (przestrzeń fazowa), struktura symplektyczna określona na przestrzeni fazowej oraz funkcja zadana na tej rozmaitości – hamiltonian. Każda jednoparametrowa grupa symplektycznych dyfeomorfizmów przestrzeni fazowej zachowująca funkcje Hamiltona związana jest z całka pierwsza równań ruchu.

Mechanika Lagrange’a zawiera się w mechanice Hamiltona jako przypadek szczególny ( przestrzenią fazową jest tutaj wiązka kostyczna rozmaitości konfiguracyjnej, a funkcją Hamiltona – przekształcenie Legendre’a funkcji Lagrange’a )

Formalizm Hamiltona ma duże znaczenie w teorii zaburzeń (mechanika nieba ) oraz w ogólnym rozumieniu ruchu w złożonych układach mechanicznych (teoria ergodyczna, mechanika statystyczna), ma również walor

pozwalający dokonywać jej uogólnień na układy kwantowe.

Jak wiemy w mechanice hamiltonowskiej, układ mechaniczny opisywany jest przez współrzędne uogólnione qi i pędy uogólnione p^•i. I chociaż formalizm Hamiltona nie rożni się od formalizmu Lagrange’a jeśli chodzi o treść fizyczną, jest on bardziej predysponowany do wyłożenia mechaniki kwantowej, mechaniki statystycznej. W szczególności wykorzystanie przestrzeni fazowej daje podstawę dla omówienia pojęcia całkowalności i

niecałkowalności oraz dla opisania zjawisk chaotycznych, które mogą mieć miejsce w układach niecałkowalnych.

Powiedziałem iż formalizmy te nie różnią się od siebie – należy jednakże dodać, iż nie równią się w przypadku szczególnym, kiedy możliwe jest zastosowanie formalizmu przekształceń kanonicznych. Gdy takie

przekształcenie nie jest możliwe, to jednolite formalizmy : Hamiltona i Lagrange’a mogą już nie opisywać jednego i tego samego układu fizycznego

Przejścia od formalizmu Lagrange’a, opartego na zmiennych qi i q^•i , do formalizmu Hamiltona, możemy dokonać za pomocą standardowego przekształcenia Legendre’a. Z jego pomocą lagranżjan L = L(q, q^•, t) przekształcamy względem q^• do nowej funkcji dla której q^• wyrażamy w terminach p :

n

H(p, q, t) =

Σ

i=1

Teraz p, q, i q^• przedstawiają sobą n-wymiarowe wektory : p = (p1, ... , pn ) , q = (q1, ... , qn ) , q^• = (q^•1, ... , q^•n )

a nowa funkcja H nazywa się hamiltonianem układu.

Podstawowa zależność, za pośrednictwem której pi wyrażamy przez qi i q^•i :

pi(q, q^•, t) = ∂L/∂q^•i (q, q^•, t) (1.3.2)

może być, przy warunku :

det | ∂2L/ ∂q^•i ∂q^•j | ≠ 0 (1.3.3)

odwracalną, co pozwala wyrazić q^•i przez pi , rozpatrując qi oraz t , jako parametry.

W charakterze prostego przykładu omawianego przekształcenia rozpatrzmy lagranżjan postaci : n

L =

Σ

i=1

Dla takiego lagranżjanu znajdujemy :

pi = (∂L/∂q^•i ) = mq^•i (1.3.5)

a ponieważ warunek (2.2.3) jest spełniony, zależność odwrotna ( trywialna w tym przypadku ) ma postać :

q^•i = pi /mi (1.3.6)

Hamiltonian zapiszemy zatem w następującej postaci :

n n n

H(p, q )=

Σ

Σ

Σ

Lagranżjan (1.3.4) opisuje ważną klasę układów mechanicznych, jego zależność pi i qi jest jednak niezwykle prosta, zatem pewne subtelności nie są ujawnione. Standardowym przykładem mniej trywialnego przekształcenia jest przykład ruchu cząstki pod działaniem siły ciężkości, ograniczonej gładką krzywą o zadanej formie ( Jest to przykład więzu holonomicznego ).

Równania ruchu Lagrange’a określane są zgodnie z zadanym lagranżjanem układu za pomocą zasady Hamiltona.

Naturalnym jest, że chcielibyśmy teraz otrzymać równania ruchu w ramach formalizmu hamiltonowskiego. Można to zrobić opierając się na zasadzie wariacyjnej, jednak bardziej poprawna jest następująca droga.

Różniczka funkcji H, zadanej zależnością (2.2.1) ma postać :

dH =

Σ

Pierwsza i trzecia składowa po prawej stronie znoszą się wzajemnie, zgodnie z definicją pi = ∂L/∂ q^•i , a po uwzględnieniu zależności p^•i = ∂L/∂qi znajdujemy :

dH =

Σ

Otrzymujemy zatem równania „kanoniczne“ ruchu lub „równania Hamiltona” :

q^•i = ∂H/∂pi ; p^•i = – ∂H/∂qi (1.3.10) a oprócz tego, można również udowodnić, że

dH/dt = ∂H/∂t.

Przyrównanie tego wyniku do równań kanonicznych (1.3.10) prowadzi do wniosku, że H i t, formalnie mogą być rozpatrywane jako para zmiennych kanonicznych. Takie podejście jest dogodne w przypadku hamiltonianów zależnych od czasu dla których rozpatruje się często (2n + 1)-wymiarową „rozszerzoną” przestrzeń fazową zmiennych q1, ... , qn ; p1, ... , pn ; t.

∂H/∂t = – ∂L/∂t (1.3.11)

Układ równań (1.3.10) zawiera w sobie 2n równań pierwszego rzędu, w odróżnieniu od układu n równań drugiego rzędu, otrzymanego w formalizmie Lagrange’a. Można pokazać, że równanie drugiego rzędu, przykładowo o postaci :

x^•• = f(x)

można zapisać w postaci pary równań pierwszego rzędu, wprowadzając nową zmienną : y = x^•, jednak należy podkreślić, że równania te nie koniecznie musza mieć formę hamiltonowską.

Równania Hamiltona (1.3.10) posiadają szereg ważnych własności, na razie ograniczymy ich omówienie dla przypadku hamiltonianów nie zależnych od czasu. Po pierwsze zbiór 2n zmiennych q1, ... , qn ; p1, ... , pn , który często nazywamy „zmiennymi kanonicznymi” lub „kanonicznie sprzężonymi” ( „ pi –pęd jest sprzężony z qi ) obrazuje 2n-wymiarową przestrzeń fazową.

Łatwo jest zauważyć, że równania (2.2.15) spełniają warunek „nieściśliwości” : n

Σ

Wyobraźmy sobie kroplę „cieczy” przestrzeni fazowej – równanie (1.3.12) stwierdza, że objętość tej kropli pozostaje stała. Zatem, element objętości przestrzeni fazowej w strumieniu fazowym jest zachowany – to właśnie jest treścią elementarnego twierdzenia Liouville’a, opisuje ono jedną z najważniejszych własności układów hamiltonowskich

Równania Hamiltona są symetryczne względem p i q co prowadzi do naturalnego rozpatrywania zmiennych pi i qi jako całkowicie równouprawnionych. W wielu przypadkach wygodnie jest jeden „zbiór” z 2n zmiennych zi , gdzie : z = ( q1, ... , qn ; p1, ... , pn , ). To pozwala zapisać równanie Hamiltona dla danego hamiltonianu : H = H( p, q ) = H( z), w krótkiej postaci :

z• = J • ∇ H( z) (1.3.13)

gdzie : ∇= (∂z1, ... , ∂z2n ) a macierz J o wymiarze 2 × 2 nazywamy „macierzą symplektyczną” :

J = ( 0 , 1 ) (1.3.14)

( -1 , 0 )

1 – macierz jednostkowa.

Można pokazać, że w dowolnej chwili czasu trajektorie, określana przez równania Hamiltona nie przecinają się w przestrzeni fazowej. Własność ta wynika z odpowiednich twierdzeń matematycznych - o istnieniu i

jednoznaczności rrz.

Funkcjonał działania (1.3.1) możemy zapisać również wykorzystując funkcje Hamiltona : t1 t1

S [γ] =

∫

∫

Σ

.

.

Wariacja takiego funkcjonału prowadzi do równań kanonicznych Hamiltona.

Pojęcie strumienia fazowego

Stan układu mechanicznego zadany jest poprzez punkt w przestrzeni fazowej (q, p ), charakteryzowany przez N- wymiarowe wektory q = ( q1, ... qn ) , p = ( p1, ... pn )

( Mówimy, że układ mechaniczny ma N stopni swobody, a jego przestrzeń fazowa jest 2N wymiarowa ) Zmiana stanu w czasie t prowadzi do przemieszczenia się punktu (q, p) w przestrzeni fazowej. W mechanice newtonowskiej mieliśmy zmianę punktu (układu punktów ) w przestrzeni Euklidesa, zmiana taka nie

charakteryzowała oczywiście całkowicie danego układu mechanicznego. Zmianę położenia punktu w przestrzeni fazowej możemy scharakteryzować wprowadzając operator ewolucji T^ , przeprowadzający układ z jednego stanu w chwili t = 0 w drugi stan w chwili t :

( q(t), p(t)) = T^ ( q(0) , p(0) )

operator ten nazywamy potokiem fazowym. Zazwyczaj potok fazowy zadajemy za pomocą układu równań różniczkowych

q• = Q(q, p, t ) , p• = Q(q, p, t )

ich rozwiązaniem jest trajektoria – krzywa fazowa. Przy określonych warunkach operator T^ realizuje odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne przestrzeni fazowej w siebie.

Definicja. Niech M – będzie przestrzenią fazową, x ∈M – pewnym stanem początkowym. Zdefiniujmy odwzorowanie :

T^ ≡ gt : M → M

przestrzeni fazowej w siebie. Odwzorowanie gt nazywamy odwzorowaniem w chwili t i przeprowadza ono każdy stan x ∈ M w nowy stan gtx.

Definicja. Jednoparametrową grupą odwzorowań przestrzeni (lub zbioru ) M , nazywamy rodzinę { gt } odwzorowań przestrzeni M w siebie, parametryzowanych przez zbiór liczb rzeczywistych t ∈ R, jeśli dla dowolnych s, t ∈ R

gt+s = gt gs

i g0 jest odwzorowaniem tożsamościowym.

Definicja. Strumieniem fazowym ( M, { gt } ) nazywamy parę uporządkowaną składającą się z przestrzeni ( lub zbioru ) M i jednoparametrowej grupy jej odwzorowań { gt }. W przypadku mechaniki hamiltonowskiej zbiór M – jest to przestrzeń fazowa.

Ponieważ przestrzeń fazowa jest skończenie wymiarową rozmaitością różniczkową – to strumień fazowy możemy traktować jako jednoparametrową grupę dyfeomorfizmów działającą na takiej rozmaitości.

Dyfeomorfizmem f : U → V nazywamy takie odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne, że zarówno f jak i f–1 : V

→ U są odwzorowaniami różniczkowalnymi.

Jak wiadomo strumień fazowy ( M, { gt } ) generuje pole wektorowe prędkości fazowych v(x ) : d/dt |t=0 gtx = v(x )

Podstawowym problemem teorii równań różniczkowych zwyczajnych jest badanie związków

jednoparametrowych grup { gt } dyfeomorfizmów rozmaitości M i pól wektorowych na M zadanych przez takie dyfeomorfizmy.

Przekształcenia kanoniczne.

Przy opisie Lagrange’a układu dynamicznego

( tj. z użyciem pojęć współrzędnych uogólnionych i prędkości (qi ,q• i ) )

w pewnych przypadkach wygodnie jest przejść do pewnego nowego zbioru współrzędnych uogólnionych :

Qi = Qi ( q1, .. , qn ) (2.3.1)

To wielokrotnie pozwala uprościć całkowanie równań ruchu ( jako przykład takiego przekształcenia może służyć przejście od współrzędnych kartezjańskich do współrzędnych sferycznych )

W formalizmie Hamiltona mamy dwa zbiory zmiennych niezależnych pi ,qi ; i = 1, ... n , które są równouprawnione.

Wynika zatem konieczność rozpatrzenia możliwości przejścia od jednego zbioru zmiennych fazowych ( pi ,qi ) do drugiego

( Pi ,Qi ) tj. :

Pi = Pi ( q1, … ,qn , p1, … , pn ) (2.3.2)

Qi = Qi ( q1, … ,qn , p1, … , pn ) (2.3.2)

Podkreślmy, że każda z nowych współrzędnych Pi i Qi może, w ogólnym przypadku zależeć od wszystkich pi i qi.

Przekształcenia, które pozwalają wyrazić nowe Pi tylko przez stare pi, a nowe Qi – tylko przez stare qi ( tak jak w równaniu (2.3.1) ), nazywają się „przekształceniami punktowymi”.

Przekształcenia postaci (2.3.2) nie naruszające struktury symplektycznej układu nazywamy „przekształceniami kanonicznymi”. Mówiąc niezbyt ściśle oznacza to, że kanoniczna forma równań Hamiltona pozostaje

niezmieniona tj. : Q•

i = ∂/∂Pi H’( P, Q) ; P•

i = - ∂/∂Qi H’( P, Q) (2.3.3)

Gdzie : H’ = H( P (q, p ), Q (q, p ) ) – przekształcenia Hamiltona. ( Przejście od H (p, q ) do H’ (P, Q ) nie zawsze przedstawia sobą proste podstawienie zmiennych ).

Przekształcenia kanoniczne ( jako szczególny przypadek przekształceń stycznościowych ) Rozważmy teraz ogólną teorię przekształceń zmiennych qi , pi → Qi , Pi

Qi = ( t, q1, ... , qk ; p1, ... , pk ) ; Pi = ( t, q1, ... , qk ; p1, ... , pk ) (21.7) Po pierwsze zakładamy, że jakobian tego przekształcenia jest różny od zera istnieje wtedy przekształcenie

odwrotne.

tj. jeśli J = ∂ (Q1, ... , Qk ; P1, ... , Pk )/ ∂ (q1, ... , qk ; p1, ... , pk ) ≠ 0 to istnieją funkcje : qi = ( t, Q1, ... , Qk ; P1, ... , Pk ) ; pi = ( t, Q1, ... , Qk ; P1, ... , Pk ) ;

Jak wspomniano będą nas interesowały tylko takie przekształcenia zmiennych które są kanoniczne. Oznacza to żądanie aby równania ruchu w nowych zmiennych miały postać :

dQi /dt = ∂K/∂Pi , dPi/∂t = – ∂K/∂Qi

gdzie K = K( t, Q1, ... , Qk ; P1, ... , Pk ) - jest pewną funkcją nowych zmiennych spełniająca rolę funkcji Hamiltona.

Warunkiem ( warunek Liego ) dostatecznym na to aby odwracalne przekształcenie (21.7) było kanoniczne jest aby forma różniczkowa :

Σ pi dqi = Σ Pi dQi + H0 dt + dF (21.8) gdzie : H0 , F – dowolne funkcje 4k+1 zmiennych ( t, q1, pi , Pi , Qi )

była spełniona tożsamościowo.

Forma (21.8) może by zapisana inaczej :

Σ pi dqi – Hdt = Σ Pi dQi – Kdt + dF (21.9) K = H – H0

Formę tę nazywamy „formą Liego”.

Przekształcenia kanoniczne mają duże znaczenie zarówno z punktu widzenia pojęciowego jak i praktycznego.

Okazuje się ,że każdy ruch można uważać za pewne przekształcenie kanoniczne, co pozwala na nadanie sensu fizycznego i to bardzo bezpośredniego takim wielkościom jak funkcja tworząca przekształcenia.

Co więcej, tego rodzaju interpretacja zbliża nas do kręgu pojęciowego mechaniki kwantowej.

Warto również podkreślić iż równania H-J mogą by wyprowadzone jako konsekwencja pewnego przekształcenia kanonicznego.

Przekształcenia kanoniczne tworzą grupę ( Liego ) przekształceń w przestrzeni fazowej, przy czym ustalonemu elementowi tej grupy odpowiada ustalona funkcja tworząca, przy ustalonej wartości parametru .

Wynika z tego, że :

a) istnieje jednoznacznie ustalone przekształcenie tożsamościowe

b) superpozycja dwu transformacji kanonicznych jest przekształceniem kanoniczny.

c) transformacja odwrotna do dowolnej transformacji kanonicznej jest przekształceniem kanonicznym.

Ponadto możemy dowieść, że nawiasy Poissona są niezmiennikami przekształceń kanonicznych. ( co wynika m.in.

z tego, że równania Hamiltona można zapisać przy użyciu tych nawiasów ) Zachowanie objętości fazowej.

Fundamentalną własnością przekształceń kanonicznych jest zachowanie objętości fazowej ( W rzeczywistości objętość fazowa wchodzi do całej hierarchii wielkości zachowujących się pod działaniem przekształcenia kanonicznego, a które ogólnie nazywamy inwariantami Poincarego. Pierwszy z takich inwariantów : n n

∫ ∫ Σ

∫ ∫ Σ

przedstawia sobą sumę powierzchni rzutów ( obszaru przestrzeni fazowej ) na zbiór (pi , qi ) płaszczyzn. W języku geometrycznym wyrażamy to zazwyczaj używając pojęcia „2-formy różniczkowej” :

n n

Σ

Σ

gdzie ∧ oznacza tzw. Iloczyn zewnętrzny. Takie podejście pozwala ściśle geometrycznie określić przekształcenia kanoniczne. Wszystkie pozostałe inwarianty, włączając (2.3.4) mogą być otrzymane właśnie w taki sposób

Niech iloczyn

Π

Π

w „nowej”, przy tym wymagamy równości objętości wyrażonej zależnością : n n

∫ Π

∫ Π

i=1 i=1

gdzie całkowanie wykonujemy względem zadanej 2n-wymiarowej objętości w przestrzeni fazowej.

Całki te związane są między sobą za pośrednictwem jakobianu :

n n

∫ Π

∫

Π

Z czego wynika, że jakobian przekształcenia zachowującego objętość powinien być równy jeden :

∂ (P1, ... , Pn , Q1, ... ,Qn )/∂( p1, ... , pn , q1, ... ,qn ) = ∂(p1, ... , pn , q1, ... ,qn )/∂( P1, ... , Pn , Q1, ... ,Qn ) = 1 (2.3.6)

Rozpatrzmy teraz prosty przykład :

Q = - p , P = q (2.3.7)

W tym przypadku :

∂(P, Q) / ∂(p, q) = | ∂P/∂p , ∂Q/∂p | = | 0 -1 | = 1 (2.3.8) | ∂P/∂q , ∂Q/∂q | | 1 0 |

Skąd wynika, że przekształcenie (2.3.7) zachowuje objętość ( jest kanoniczne ). Przekształcenie to ilustruje stopień równoważności zmiennych p i q – można je zamienić miejscami jednak przy tej zamianie należy zmienić znak.

Podkreślmy, że bez zmiany znaku ( tj. jeśli Q = p i P =q ) jakobian będzie równy –1.

W rzeczy samej konieczność zmiany znaku nie powinna dziwić, ponieważ jest ona konieczna dla zachowania formy równań Hamiltona (2.3.3), kiedy P i Q zmieniają się miejscami.

Przykładem przekształcenia nie kanonicznego jest przejście od współrzędnych biegunowych do kartezjańskich :

q = P cos (Q) ; p = P sin(Q) (2.3.9)

Ponieważ :

∂(q, p)/ ∂(Q, P) = | – Psin(Q) , P cos(Q) | = –P (2.3.10) | cos(Q) , sin(Q) |

to objętość fazowa nie jest zachowana.

Twierdzenie Liouville’a mówi, że objętość fazowa w potoku hamiltonowskim jest zachowana, jako oczywisty praktyczny warunek nieściśliwości, który wynika z formy równań Hamiltona. W języku przekształceń kanonicznych możemy sformułować to twierdzenie w następujący sposób.

Rozpatrzmy w przestrzeni fazowej pewną trajektorie, wzdłuż której wartości początkowe p0, q0 – odpowiadające chwili początkowej t0, zmieniają się w ( krótkim) odcinku czasu δt do wartości p1, q1 :

q1 = q( t0 + δt ) = q0 + δt (∂q/dt) | t = t0 + O (δt2 ) = q0 + δt (∂/dp0) H (q0, p0, t0 ) + O (δt2 ) p1 = p( t0 + δt ) = p0 + δt (∂p/dt) | t = t0 + O (δt2 ) = p0 + δt (∂/dq0) H (q0, p0, t0 ) + O (δt2 )

Jeśli przejście od q0, p0 do q1, p1 przedstawia sobą w rzeczywistości przekształcenie kanoniczne jednego zbioru zmiennych w drugi, to jakobian ∂( q1, p1) / ∂(q0, p0) powinien być równy jeden. Obliczmy go zatem :

∂(q1, p1)/∂(q0, p0) = | ∂q1/∂q0 , ∂p1/∂q0 | = | 1+ δt( ∂2H/∂ q0∂p0 ) , –δt (∂2H/∂ q02 ) | = 1 + O (δt2 ) = 1 | δt → 0 | ∂q1/∂p0 , ∂p1/∂p0 | | δt ( ∂2H/∂ p02

) , 1 – δt ( ∂2H/∂ q0∂p0 ) |

Zauważmy, że zeruje się człon O (δt2 ), a nie O(δt ). Z tego, że rozpatrywana zmiana jest proporcjonalna do O (δt2 ), wynika, że ogólna zmian powierzchni za dowolny skończony odcinek czasu ( krotność δt ) zachowuje się jak O (δt ), tj. zeruje się w granicy δt → 0. Zatem „infinitezymalne przekształcenie” wynikłe z samego

hamiltonianu, jest kanoniczne. Fazowa objętość w zmiennych p0, q0 jest zachowana przy przejściu ( w potoku hamiltonowskim ) do „nowych” zmiennych p1, q1 – co właśnie jest istotą twierdzenia Liouville’a.

Rys. 2.1 Poglądowe przedstawienie zachowania objętości fazowej przy ewolucji układu hamiltonowskiego.

Nawias Poissona (NP )

Definicja (aksjomaty NP ). Niech będą dane dwie funkcje różniczkowalne ( o pochodnych cząstkowych

odpowiedniego rzędu ) zmiennych kanonicznych : Φ = Φ( t, qi , pi ) ; Ψ = Ψ( t, qi , pi ). Nawiasem Poissona tych funkcji nazywamy wyrażenie :

k

[ Φ, Ψ ] =

Σ

Można dowieść następujących własności nawiasu Poissona :

[ Φ, Ψ ] = – [ Ψ, Φ ] - relacja antykomutacji. (18.2a) [ Ψ, Ψ ] = [ Φ, Φ ] = 0 (18.2b) [ Ψ 1 + Ψ 2 , Φ ] = [ Ψ 1, Φ ] + [ Ψ 2 , Φ ] (18.2c) [ αΨ , Φ ] = α [ Ψ , Φ ] ; α – dowolna liczba rzeczywista. (18.2d)

[ Ψ1Ψ 2 , Φ ] = Ψ1 [ Ψ2 , Φ ] + Ψ2 [ Ψ1, Φ ] (18.2e)

∂/∂t[Φ, Ψ ] = [ ∂Φ/∂t , Ψ ] + [ Φ, ∂Ψ/∂t ] (18.2f) [ Φ, qi ] = - ∂Φ/∂pi ; [ Φ, pi ] = - ∂Φ/∂qi (18.2g) [ qi , qj ] = [ pi , pj ] = 0 ; [ qi , pj ] = δi

j - analogia komutatorów Heisenberga.

[ Φ2 , Ψ ] = 2Φ [ Φ, Ψ ] (18.2h)

Dla trzech funkcji zmiennych kanonicznych możemy utworzyć podwójny nawias Poissona : [ Φ, [ Ψ, Θ ] ]

przy czym ma miejsce następująca tożsamość Poissona-Jakobiego : [ Φ, [ Ψ, Θ ] ] + [ Ψ, [ Θ, Φ ]] + [ Θ, [ Φ, Ψ, ] ] = 0

Definicja równoważna. Niech M będzie czterowymiarową rozmaitością. Przez C∞(M) oznaczymy zbiór wszystkich nieskończenie różniczkowalnych funkcji na M f : M → R

Strukturą symplektyczną Σ na M nazywamy odwzorowanie biliniowe { , } : C∞(M) × C∞(M) → C∞(M), spełniające następujące warunki :

1) { f, g } = − { g, f } ( skośna symetria )

2) {f g , h } = f{g, h} + g{ f, h } ( zasada Leibniza )

3) {{ f, g }, h } + {{ g, h }, f } + {{ h, f }, g } = 0 ( tożsamość Jakobiego )

4) jeśli punkt m ∈ M jest punktem krytycznym dla funkcji f, to istnieje taka gładka funkcja g, że { f, g }(m) ≠ 0 Parę ( M , Σ ) nazywamy rozmaitością symplektyczną.. Funkcje { f, g } nazywamy nawiasem Poissona funkcji f i g.

Nawias Poissona przekształca przestrzeń liniową C∞(M) w nieskończenie wymiarową algebrę Liego nad ciałem R.

Można dowieść, że w małym otoczeniu dowolnego punktu na M zawsze istnieją takie współrzędne lokalne ( x1 , ... , xn ; y1 , ... , yn ), że :

{ f, g } = Σ [ (∂f /∂xi )( ∂g/∂yi ) − (∂f /∂yi )( ∂g/∂xi )]

Jeśli zmienna dynamiczna nie zależy od czasu w sposób jawny ( tj. f = f(p, q )) a jej nawias Poissona z H (hamiltonianem ) jest równy zeru, to jest ona stałą ruchu. Jest oczywiste, że energia układów nie zależnych od czasu ( H = E ) przedstawia sobą stałą ruchu, ponieważ nawias Poissona dla funkcji H z samą sobą jest równy zeru tj. [ H, H ] = 0

Rozważmy teraz związek nawiasów Poissona z równaniami ruchu układu materialnego. W tym celu obliczmy pochodną zupełną względem czasu funkcji zmiennych kanonicznych Φ :

dΦ/dt =

Σ

dΦ/dt =

Σ

dΦ/dt = [ Φ, H ] + (∂Φ/∂t) (18.6) tzn. pochodna zupełna dowolnej funkcji zmiennych kanonicznych względem czasu jest równa nawiasowi Poissona tej funkcji i funkcji Hamiltona plus pochodna cząstkowa tej funkcji po czasie.

Jeżeli funkcja Φ nie zależy jawnie od czasu, to :

dΦ/dt = [ Φ, H ] (18.7) W mechanice kwantowej odpowiednik równania (18.6) nazywa się równaniem Heisenberga.

Z równania (18.7) wynika, że funkcja Φ jest stałą ruchu wtedy i tylko wtedy jeśli :

[ Φ, H ] = 0 tj. Φ = const ⇔ [ Φ, H ] = 0 (18.8) Z tego faktu możemy skorzystać w celu wyznaczenia całek pierwszych równań ruchu.

Za pomocą wzoru (18.6) możemy zapisać kanoniczne równania ruchu Hamiltona. Przyjmując kolejno za współrzędne uogólnione qi i pędy uogólnione pi , funkcję Φ otrzymujemy :

dqi/dt = [ qi, H ] ; dpi/dt = [ pi, H ] ; i = 1, ... , k (18.9) Jest to forma zapisu równań ruchu za pomocą nawiasów Poissona

Twierdzenie Poissona. Jeżeli dwie funkcje Φ = Φ( t, qi , pi ) ; Ψ = Ψ( t, qi , pi ), są całkami układu kanonicznego Hamiltona , to ich nawias Poissona jest również całką tego układu

Mając zatem dwie całki pierwsze możemy utworzyć trzecią całkę pierwszą itd. Ta nowa całka może jednak w pewnych okolicznościach by równa tożsamościowo zeru lub by zależna od dwóch poprzednich

Możemy zatem sformalizować powyższe podejście. Niech H : M → R będzie funkcją gładką. Układem hamiltonowskim na

( M , Σ ) o funkcji Hamiltona H, nazywamy rrc : F^• = { F, H } , F ∈ C∞(M)

We współrzędnych ( x1 , ... , xn ; y1 , ... , yn ) równanie to jest równoważne 2n równaniom kanonicznym Hamiltona :

x^•i = { xi , H } = ∂H/∂yi , y^•i = { yi , H } = − ∂H/∂xi

Równania te można zapisać w bardziej zwartej postaci. Wprowadźmy macierz skośnie symetryczną : J = [ 0 E ]

[ −E 0 ]

gdzie E – jednostkowa macierz n × n. Jeśli ( x, y ) = z, to : z^• = J ∂H/∂z

Dowolny dyffeomorfizm ϕ: M → M nazywamy kanonicznym, jeśli zachowuje on nawias Poissona. Takie kanoniczne dyffeomorfizmy przestrzeni symplektycznej tworzą grupę.

Powyżej określiliśmy strukturę symplektyczną za pomocą nawiasu Poissona.

Strukturę tą możemy określić wprowadzając na M2n pewną 2-formę zamkniętą Ω. Forma Ω pozwala określić izomorfizm przestrzeni stycznej T(M) i przestrzeni kostycznej T*(M). ( przestrzeń kostyczna to przestrzeń 1-form na przestrzeni stycznej )

Zgodnie z twierdzeniem Darboux w małym obszarze punktu p ∈ M2n we współrzędnych symplektycznych forma Ω przyjmuje postać:

Ω =

Σ

opisują związki w których występuje wyróżniony tensor o walencji dwa. ( jest to charakterystyczny wyróżnik dla określenia geometrii metrycznej ). Odpowiednikiem izometrii w przestrzeni fazowej są przekształcenia

kanoniczne. Nie na każdej rozmaitości można wprowadzić strukturę przestrzeni fazowej.

Wnioskiem z określenia PF przez formę Ω jest parzystość wymiaru PF.

Uogólnieniem PF jest dopuszczenie osobliwości formy Ω. Hamiltonowskie pola wektorowe i ich algebra.

Niech zadana będzie rozmaitość gładka M, niech będzie dany zbiór funkcji gładkich F1 , ... , Fn zadanych na M, oznaczmy go jako Ŧ(M). Dalej wprowadźmy na M standardowo określony nawias Poissona NP :

{ Fi , Fj } = Cijk Fk

Trójkę obiektów { M, NP, H(x) } : przestrzeń fazową M, strukturę Poissona NP i hamiltonian H(x) definiuje układ hamiltonowski.

Dalej określić możemy pole wektorowe szczególnego rodzaju, mianowicie :

Pole wektorowe { H, x } = XH nazywa się hamiltonowskim polem wektorowym, odpowiadającym hamiltonianowi H.

Oczywiście każde pole hamiltonowskie wektorowe generuje jednoparametrową grupę dyfeomorfizmów – potoków fazowych.

Niech M – będzie rozmaitością, Ŧ(M) – przestrzenią gładkich funkcji na M. Będziemy mówili, że na M zadana jest struktura poissonowska, jeśli zadana jest operacja przyporządkowująca parze funkcji F(x), G(x)∈ Ŧ(M) nową funkcje :

{ F(x), G(x) }∈ Ŧ(M), która jest liniowa po F i G i spełnia następujące warunki : a) skośna symetria

{ F(x), G(x) } = – { G(x), F(x) } (*) b) tożsamość Jakobiego

{ F(x), { G(x), H(x)}} + { G(x), { H(x), F(x)}} + { H(x), {F(x), G(x)}} = 0 (**) c) zasada Leibniza

{ F(x), G(x)H(x) } = { F(x), G(x) }H(x) + {F(x), H(x) }G(x) (***) Jednakże równości z gwiazdkami – to nic innego jak warunki które powinny spełniać elementy algebry Liego.

W ten sposób, przestrzeń Ŧ(M) wyposażona w NP { . }, przekształca się w algebrę Liego ( nieskończenie wymiarową )

Zatem przestrzeń liniowa C napięta na funkcjach F1 , ... , Fn jest skończenie wymiarową algebrą Liego, liczby Cijk są jej tensorem strukturalnym w bazie F1 , ... , Fn.

Hamiltonowskie pola wektorowe tworzą podalgebrę Liego algebry Ŧ(M).

Twierdzenie. Załóżmy, że :

a) na zbiorze Ma = { (p, q) : F1= a1 , ... , Fn = an } funkcje F1 , ... , Fn są funkcjonalnie niezależne b)

Σ

c) algebra Liego G jest rozwiązywalna , przy czym { F1 , Fi } = C1i1 F1

Wtedy rozwiązania układu q• j = ∂H/∂pj , p•

j = – ∂H/∂qj

leżące na Ma można znaleźć w kwadraturach.

Komutator dwóch hamiltonowskich pól wektorowych XF , XH zadany jest wzorem : [ XF , XH ] = X{F, H}

Podsumowanie.

W ramach pewnego podsumowania możemy sporządzić następujący schemat strukturalny mechaniki hamiltonowskiej :

Mechanikę klasyczną możemy ufundować na określonej zasadzie wariacyjnej np. zasadzie d’Alemberta- Lagrange’a :

Σ ( mi ri^•• – Fi , δri ) = 0

Z takiej zasady możemy wyprowadzić równania Lagrange’a II rodzaju :

d/dt ∂T/∂qi^• – ∂T/∂qi = Qi , Qi – siły uogólnione, w przypadku sił potencjalnych Qi = ∂/U/∂qi Równania Lagrange’a można przedstawić w postaci kanonicznej :

qi^• = ∂H/∂pi , pi^• = – ∂H/∂qi

Co w szczególności wynika z możliwości przechodzenia od zmiennych Lagrange’a (t, qi , qi• ) do zmiennych Hamiltona (t, qi , pi ) , pi = –∂L/∂qi^•

Oczywiście jest to możliwe tylko wtedy kiedy hesjan tj. wyznacznik macierzy Hessego (macierzy drugich pochodnych ) jest różny od zera :

det ( ∂L/∂qi^• ∂qj^• ) ≠ 0

tzn. możemy formalnie wyrazić prędkości qi^• przez pędy pi (i odwrotnie ).

W przeciwnym wypadku, to w układzie występują nietrywialne więzy i należy wprowadzić zmodyfikowany formalizm.

Związek pomiędzy takimi dwoma sformułowaniami MK może być ustanowiony z wykorzystaniem przekształceń Legendre’a, których szczególnym przypadkiem są przekształcenia kanoniczne :

Równania Lagrange’a ← przekształcenia kanoniczne → równania Hamiltona.

Przekształcenia kanoniczne dają nam również możliwość sformułowania równania Hamiltona-Jakobiego : H( q , ∂S(q, J)/∂q ) = H(J )

Mając do dyspozycji sformułowanie kanoniczne MK możemy sformułować zagadnienia całkowalności równań Hamiltona, w ramach tego kierunku pojawiają się odpowiednie twierdzenia i metody np. twierdzenie Liouville’a mówiące o całkowalności , metoda mnożników Lagrange’a, metoda rozdzielania zmiennych, inwarianty całkowe itp.

Istotnym również jest sformułowanie MK z użyciem przestrzeni fazowej i wprowadzenie twierdzenia Liouville’a mówiącego o zachowaniu objętości przestrzeni fazowej. Wprowadzamy również pojęcie potoku fazowego i pól wektorowych generowanych na rozmaitości fazowej przez potoki fazowe.

W dalszej kolejności możemy wprowadzić pojecie nawiasu Poissona (NP ) { , } i zapisać równania kanoniczne z ich użyciem

qi^• = { qi , H } , pi^• = { pi , H }

W tym kontekście ważnym jest użycie twierdzenia Poissona.

Wprowadzenie NP pozwala zdefiniować pojęcie przestrzeni symplektycznej i zadać strukturę poissonowską na rozmaitości.

Tutaj ważnym jest twierdzenie Darboux, mówiące o możliwości wprowadzenia struktury symplektycznej jak również badanie geometrii takiej przestrzeni.

Kolejnym krokiem jest wprowadzenie pojęcia algebry Liego pól wektorowych.

Oczywiście struktura algebry Liego jest strukturą niezależną, która może być określona np. dla funkcji gładkich na rozmaitości symplektycznej. Na przestrzeni symplektycznej działa oczywiście naturalnie grupa jej izomorfizmów – grupa Sp(2n, R )

W ramach tego kierunku pojawiają się odpowiednie twierdzenia i metody np. twierdzenie Liego mówiącego o całkowalności, metody reprezentacji grup i ich orbit.

Wszystkie te metody pozwalają „przerzuceniu mostu” pomiędzy MK i MQ – np. w postaci kwantowania geometrycznego, czy też pomiędzy MK i układami chaotycznymi. Pozwalają one również dokonać szeregu ważnych uogólnień i wprowadzić nowe narzędzia matematyczne dla analizy starych problemów MK.

W tym miejscu należy dokonać dalszego wyboru drogi jaką będziemy podążali dalej :

Mechanika Hamiltonowska → sformułowanie w przestrzeni symplektycznej → całkowalność układu hamiltonowskiego w

aspekcie geometrycznym → algebra Liego zadana na przestrzeni fazowej → kwantowanie geometryczne → całkowalność układu hamiltonowskiego w

aspekcie algebraicznym → całkowalność i niecałkowalność układu hamiltonowskiego → układy chaotyczne

1.4 Zasady wariacyjne.

Klasyczny sposób przedstawiania jedności każdej gałęzi fizyki polega na sformułowaniu jej jako pewnego zagadnienia minimum. Metodę tę odkrył ok. II wieku n.e. Heron z Aleksandrii. Postawił on następujące pytanie : obierzmy dwa punkty A i B, gdziekolwiek w przestrzeni przed płaskim lustrem CD, niech promień światła APB przebiega od A do B poprzez odbicie od zwierciadła , jakie powinno być położenie punktu P, w którym promień pada na zwierciadło ?

Jak wykazał Heron, odpowiedź jest następująca : droga APB jest najkrótszą ze wszystkich dróg AQB zaczynających się w punkcie A, dochodzących do zwierciadła w punkcie Q i stąd do B.

W XVII Fermat uogólnił odkrycie Herona wypowiadając zasadę najkrótszego czasu : „przyroda działa zawsze po najkrótszej drodze”... Sto lat później Maupertius, Euler i Lagrange w ogólnej zasadzie najmniejszego działania ujęli całą dynamikę, a w r. 1834 Hamilton doprowadził zasadę najmniejszego działania do postaci dzięki której wszystkie prawa nauki newtonowskiej można było wyrazić jako zagadnienie minimum.

„Od Euklidesa do Einsteina” E. T. Whittaker ; PWN 1965 str. 89

Z chwilą kiedy sformułowano pierwsze równania matematyczne określające ruch ciał materialnych

( równanie Newtona ) lub promieni świetlnych ( zasada Fermata ), stało się nad wyraz jasnym, że przyroda działa w pewien ściśle określony sposób tj. ze wszelkich możliwych realizowane są tylko takie ruchy w których minimalizuje się pewna wielkość fizyczna. ( była to tzw. ekonomika praw przyrody ).

Jednakże o takiej własności ruchu ( ich natury ) dyskutowano znacznie wcześniej, były to jednakże rozważania czysto słowne ( spekulacyjne, jakościowe ).

Arystoteles przykładowo twierdził, że ze wszystkich możliwych ruchów realizują się tylko najszybsze,

następujące po najkrótszej linii, najprostszym sposobem. W takiej zasadzie Arystoteles i jego następcy widzieli główną przyczynę według której działa ( i dąży ) przyroda. Pod wpływem tych idei Heron z Aleksandrii sformułował ( dla przypadku szczególnego odbicia światła ) zasadę najkrótszej drogi. Już wtedy pojawiła się koncepcja zasady ekstremum, jako podsumowanie faktu pewnej „logiki” działania praw natury. Przyroda działa najprostszymi dostępnymi drogami”.

W wiekach średnich filozoficzne spekulacje na temat zasad ekstremalnych podejmują m.in. Mikołaj z Kuzy i Giordano Bruno. Jednakże największym impulsem ku nowemu spojrzeniu na zasady ekstremalne było ich wyrażenie w sposób matematyczny. Pierwszym ścisłym (matematycznym ) sformułowaniem zasady ekstremum była zasada najkrótszego czasu dla propagacji promienia świetlnego, przedstawiona przez P. Fermata (1662 ) Zgodnie z tą zasadą światło rozprzestrzenia się między dwoma punktami x, y po takiej drodze, na której potrzeba na to najmniejszego czasu.

W przypadku próżni lub ośrodka jednorodnego jest to linia prosta, w przypadku ośrodka niejednorodnego będzie to łamana lub krzywa gładka.