Wrocªaw, 28 listopada 2017 ZASTOSOWANIE POCHODNYCH - ZADANIA, C.D.
1. Funkcja f jest okre±lona wzorem f(x) = xx−12+1 dla ka»dej liczby rzeczywistej x. Wy- znacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie P = (1, 0).
2. Funkcja f okre±lona jest wzorem f(x) = x3− 2x2+ 1 dla ka»dej liczby rzeczywistej x. Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji f, które s¡ równolegªe do prostej o równaniu y = 4x.
3. Wyznacz maksymalne przedziaªy monotoniczno±ci i ekstrema lokalne funkcji:
f (x) = −x3+ 12x − 3, g(x) = x
x2− 5x + 4, h(x) = ln x
√x. 4. Wyznacz przedziaªy wkl¦sªo±ci i wypukªo±ci oraz punkty przegi¦cia funkcji:
f (x) = 16 −p3
(x − 2)5.
5. Na kuli opisano sto»ek, o najmniejszej obj¦to±ci. Oblicz stosunek pola powierzchni tego sto»ka do pola powierzchni kuli.
6. Rozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni caªkowitej P . Oblicz wy- soko±¢ i promie« podstawy tego walca, którego obj¦to±¢ jest najwi¦ksza. Oblicz t¦
najwi¦ksz¡ obj¦to±¢.
7. Rozpatrujemy wszystkie sto»ki, których przekrojem osiowym jest trójk¡t o obwodzie 20. Oblicz wysoko±¢ i promie« podstawy tego sto»ka, którego obj¦to±¢ jest najwi¦ksza.
Oblicz obj¦to±¢ tego sto»ka.
8. Rozpatrujemy wszystkie walce, których pole powierzchni caªkowitej jest równe 2π. Ob- licz promie« podstawy tego walca, który ma najwi¦ksz¡ obj¦to±¢. Podaj t¦ najwi¦ksz¡
obj¦to±¢.
9. Suma kraw¦dzi graniastosªupa prawidªowego czworok¡tnego wynosi 32. Oblicz, dla jakich wymiarów obj¦to±¢ tego graniastosªupa b¦dzie najwi¦ksza.
10. Udowodnij, »e dla ka»dej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówno±¢ x4− x2− 2x + 3 > 0.
11. Zapisz wzór Taylora dªugo±ci n i punktu startowego a = 0 dla poni»szych funkcji:
1
1 − x, , 1
1 + x, sin(x), cos x, ex, ln(1 + x),√
1 + x, (1 + x)1/3.
12. Uzasadnij, »e reszta we wzorze Taylora z poprzedniego zadania d¡»y do zera dla funk- cji sin(x), cos(x), ex i dowolnych x ∈ R. Podobnie, spróbuj uzasadni¢ to samo dla
1
1−x, ln(x), ale tylko dla maªych x (powiedzmy |x| < 1/4).
13. Za pomoc¡ wzoru Taylora znajd¹ liczb¦ x z dokªadno±ci¡ do δ, gdy x = e, δ = 10−6,
x = e1/2, δ = 10−8, x = cos(2o), δ = 10−6,
x =√
10, δ = 10−3, x = log1011, δ = 10−4, 14. Wyka», »e dla ka»dego x ≥ 0 zachodzi
0 < √3
1 + x − 1 −1 3x +1
9x2< 5 81x3.
Marcin Preisner [ marcin.preisner@uwr.edu.pl ].
1
