Zasada indukcji matematycznej: (od szczegóªu do ogóªu)

dr Krzysztof ›yjewski Budownictwo L¡dowe; S-I ⁰ .in». 10 pa¹dziernika 2017

Indukcja matematyczna Informacje pomocnicze:

Zasada indukcji matematycznej: (od szczegóªu do ogóªu)

Niech symbol T (n) oznacza form¦ zdaniow¡ (tez¡) zmiennej naturalnej n. Metoda indukcji matema- tycznej mówi, »e je»eli:

1) istnieje taka liczba naturalna n 0 , taka »e forma zdaniowa T (n 0 ) jest prawdziwa;

2) dla ka»dej liczby naturalnej k ≥ n 0 prawdziwa jest implikacja T (k) ⇒ T (k + 1), to dla ka»dej liczby naturalnej n ≥ n 0 prawdziwe jest forma zdaniowa T (n).

Powy»sz¡ zasad¦ mo»emy zapisa¢ w postaci:

h

T (n 0 ) ∧ ∀ k≥n

T (k) ⇒ T (k + 1) i

⇒ ∀ n≥n

T (n)

Zasada indukcji matematycznej spotykana jest równie» pod nazwami indukcja zupeªna lub dosko- naª¡

Zadania

1. W oparciu o zasad¦ indukcji matematycznej wykaza¢, »e:

a) P ⁿ

k=1 1

k(k+1) = _n+1 ⁿ b) P ⁿ

k=1

k ² = n(n+1)(2n+1) 6

c) P ⁿ

k=1

k ³ = h

n(n+1) 2

i 2

d)1 + 11 + 111 + ... + 11...1

| {z }

n

= ¹⁰

⁻⁹ⁿ⁻¹⁰ ₈₁ 2. Udowodnij, »e dla ka»dej liczby naturalnej n oraz liczby rzeczywistej x ∈ (−1, +∞) jest speª-

niona tzw. nierówno±¢ Bernoulliego:

(1 + x) ⁿ ≥ 1 + nx

3. Udowodnij, »e dla ka»dej liczby naturalnej n ≥ 5 zachodzi nierówno±¢:

n ² < 2 ⁿ . 4. Udowodnij, »e dla ka»dej liczby naturalnej n liczba:

a) 3 ⁴ⁿ⁺² + 1 jest podzielna przez 10; b) 3 ³ⁿ − 26n − 1 jest podzielna przez 169.

5. Udowodnij, »e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y oraz dowolnej liczby naturalnej n ma miejsce tzw. wzór dwumianowy Newtona:

(x + y) ⁿ =

n

X

k=0

 n k



x ^k y ^n−k , gdzie  n k



= n!

k! · (n − k)! . Wskazówka: Skorzystaj ze wªasno±ci ⁿ⁺¹ _k
= _k−1 ⁿ
+ ⁿ _k

1

dr Krzysztof ›yjewski Budownictwo L¡dowe; S-I ⁰ .in». 10 pa¹dziernika 2017

6. Udowodnij, »e:

n

X

k=0

 n k



= 2 ⁿ .

7. Udowodnij, »e dla ka»dej liczby naturalnej n ≥ 4 zachodzi nierówno±¢:

2 ⁿ ≤ n!.

2