Zasada indukcji matematycznej:(od szczegóªu do ogóªu)

(1)

Indukcja matematyczna i elementy trygonometrii

Informacje pomocnicze:

Zasada indukcji matematycznej:(od szczegóªu do ogóªu)

Niech symbol T (n) oznacza form¦ zdaniow¡ (tez¡) zmiennej naturalnej n. Metoda indukcji matematycznej mówi, »e je»eli:

1) istnieje taka liczba naturalna n 0 , taka »e forma zdaniowa T (n 0 ) jest prawdziwa;

2) dla ka»dej liczby naturalnej k ≥ n 0 prawdziwa jest implikacja T (k) ⇒ T (k + 1), to dla ka»dej liczby naturalnej n ≥ n 0 prawdziwe jest forma zdaniowa T (n).

Powy»sz¡ zasad¦ mo»emy zapisa¢ w postaci:

h

T (n ₀ ) ∧ ∀ _k≥n

_o

T (k) ⇒ T (k + 1) i

⇒ ∀ _n≥n

_o

T (n)

Zasada indukcji matematycznej spotykana jest równie» pod nazwami indukcja zupeªna lub do- skonaª¡

Funkcje trygonometryczne Zdeniujmy funkcje trygonometryczne dowolnego k¡ta α ∈ [0, 2π) :

sin α = y

r , cos α = x r , tg α = y

x , ctg α = x y ,

gdzie r to odlegªo±¢ punktu P (x, y) od pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych, wi¦c r = px ² + y ² .

(2)

Wªasno±ci funkcji sinus y = sin x :

• D _f = R, W f =< −1, 1 >;

• okresowa o okresie podstawowym 2π, sin(x + 2π) = sin x;

• ograniczon¡, −1 ≤ sin x ≤ 1 dla ka»dego x ∈ R;

• nieparzysta, sin(−x) = − sin x.

Rysunek 1: Wykres funkcji f(x) = sin x

Wªasno±ci funkcji kosinus y = cos x :

• D f = R, W ^f =< −1, 1 >;

• okresowa o okresie podstawowym 2π, cos(x + 2π) = cos x;

• ograniczon¡, −1 ≤ cos x ≤ 1 dla ka»dego x ∈ R;

• parzysta, cos(−x) = cos x.

Rysunek 2: Wykres funkcji f(x) = cos x

(3)

Wªasno±ci funkcji tanges y = tg x :

• D _f = R \ { ^π ₂ + kπ : k ∈ Z}, W f = R;

• okresowa o okresie podstawowym π, tg(x + π) = tg x;

• nieograniczon¡;

• nieparzysta, tg(−x) = − tg x.

Rysunek 3: Wykres funkcji f(x) = tg x

Wªasno±ci funkcji kotanges y = ctg x :

• D _f = R \ πk : k ∈ Z}, W f = R;

• okresowa o okresie podstawowym π, ctg(x + π) = ctg x;

• nieograniczon¡;

• nieparzysta, ctg(−x) = − ctg x.

Rysunek 4: Wykres funkcji f(x) = ctg x

(4)

Znaki funkcji trygonometrycznych w ¢wiartkach

ϕ I ¢w. II ¢w. III ¢w. IV ¢w.

sin ϕ + + − −

cos ϕ + − − +

tg ϕ + − + −

ctg ϕ + − + −

Mo»na nauczy¢ si¦ wierszyka, który obrazuje powy»sz¡ tabel¦: w pierwszej ¢wiartce same plusy, w drugiej tylko sinus(jest dodatni), w trzeciej tangens i kotangens, a w czwartej kosinus.

Wzory redukcyjne

ϕ ^π ₂ − α ^π ₂ + α π − α π + α ^3π ₂ − α ^3π ₂ + α 2π − α sin ϕ cos α cos α sin α − sin α − cos α − cos α − sin α cos ϕ sin α − sin α − cos α − cos α − sin α sin α cos α

tg ϕ ctg α − ctg α − tg α tg α ctg α − ctg α − tg α ctg ϕ tg α − tg α − ctg α ctg α tg α − tg α − ctg α

Przykªad 1. Wykorzystuj¡c wªasno±ci (równie» wzory redukcyjne) funkcji trygonometrycznych mamy:

a) sin ⁵ ₄ π = sin(π + ^π ₄ ) = − sin ^π ₄ = −

√ 2 2 ;

b) cos(−23 ¹ ₃ π) = cos 23 ¹ ₃ π = cos 1 ¹ ₃ π = cos(π + ^π ₃ ) = − cos ^π ₃ = − ¹ ₂ ; c) tg 3 ³ ₄ π = tg ³ ₄ π = tg( ^π ₂ + ^π ₄ ) = − ctg ^π ₄ = −1;

d) ctg(− ²⁵ ₃ π) = − ctg 8 ¹ ₃ π = − ctg ¹ ₃ = −

√ 3

3 .

(5)

Zadania

1. W oparciu o zasad¦ indukcji matematycznej wykaza¢, »e:

a) P ⁿ

k=1

(2k + 1) = n ² b) P ⁿ

k=1 1

k(k+1) = _n+1 ⁿ c) P ⁿ

k=1

k ² = n(n+1)(2n+1)

6 d) P ⁿ

k=1

k ³ = h

n(n+1) 2

i 2

2. Udowodnij, »e dla ka»dej liczby naturalnej n oraz liczby rzeczywistej x ∈ (−1, +∞) jest speªniona tzw. nierówno±¢ Bernoulliego:

(1 + x) ⁿ ≥ 1 + nx

3. Udowodnij, »e dla ka»dej liczby naturalnej n ≥ 5 zachodzi nierówno±¢:

n ² < 2 ⁿ . 4. Udowodnij, »e dla ka»dej liczby naturalnej n liczba:

a) 3 ⁴ⁿ⁺² + 1 jest podzielna przez 10; b) 3 ³ⁿ − 26n − 1 jest podzielna przez 169;

c) 2 ²ⁿ⁺¹ + 3n + 7 jest podzielna przez 9; b) 3 ³ⁿ⁺² + 5 · 2 ³ⁿ⁺¹ jest podzielna przez 19.

5. Zamie« stopnie na radiany:

(a) 45 ^◦ (b) 90 ^◦ (c) 150 ^◦ (d) 275 ^◦

(e) 330 ^◦ (f ) 480 ^◦ (g) 3090 ^◦ (h) 910 ^◦

6. Zamie« radiany na stopnie:

(a) ^π ₃ (b) ³ ₄ π (c) ⁷ ₆ π (d) ⁴ ₃ π

(e) ¹¹ ₆ π (f ) ⁴⁵ ₄ π (g) 4 ² ₃ π (h) 3 ⁷ ₆ π

7. Korzystaj¡c ze wzorów redukcyjnych oraz wªasno±ci funkcji trygonometrycznych oblicz:

(a) sin 135 ^o (b) cos ² ₃ π (c) tg ⁵ ₆ π (d) cos 180 ^o

(e) ctg ⁵ ₄ π (f ) sin(−1290 ô ) (g) cos(−7 ² ₃ π) (h) ctg(−315 ô ) (i) tg(−570 ô ) (j) sin ⁷⁷ ₃ π (k) cos ¹¹ ₃ π (l) tg 510 ô (m) ctg ³² ₃ π (n) sin(−37 ² ₃ π) (o) cos 58 ⁴ ₃ π (p) tg 1001 ⁷ ₄ π 8. Wyznacz warto±ci pozostaªych funkcji trygonometrycznych wiedz¡c, »e:

(a) sin α = − ² ₃ oraz ³ ₂ π < α < 2π, (b) cos α = ¹ ₅ oraz ³ ₂ π < α < 2π, (c) tg α = −3 oraz ¹ ₂ π < α < π, (d) sin 2α = ¹² ₁₃ oraz π < α < ³ ₂ π, 9. Wyznacz x wiedz¡c, »e:

(a) sin x = ¹ ₂ oraz ¹ ₂ π < x < π, (b) cos ² x = ³ ₄ oraz ³ ₂ π < α < 2π, (c) ctg x = 1 oraz π < x < 2π, (d) tg x = −

√ 3

3 oraz 3 ¹ ₂ π < α < 4π,

Zasada indukcji matematycznej:(od szczegóªu do ogóªu)

Indukcja matematyczna i elementy trygonometrii

Informacje pomocnicze:

Zasada indukcji matematycznej:(od szczegóªu do ogóªu)

Niech symbol T (n) oznacza form¦ zdaniow¡ (tez¡) zmiennej naturalnej n. Metoda indukcji matematycznej mówi, »e je»eli:

1) istnieje taka liczba naturalna n 0 , taka »e forma zdaniowa T (n 0 ) jest prawdziwa;

2) dla ka»dej liczby naturalnej k ≥ n 0 prawdziwa jest implikacja T (k) ⇒ T (k + 1), to dla ka»dej liczby naturalnej n ≥ n 0 prawdziwe jest forma zdaniowa T (n).

Powy»sz¡ zasad¦ mo»emy zapisa¢ w postaci:

h

T (n 0 ) ∧ ∀ k≥n

T (k) ⇒ T (k + 1) i

⇒ ∀ n≥n

T (n)

Zasada indukcji matematycznej spotykana jest równie» pod nazwami indukcja zupeªna lub do- skonaª¡

Funkcje trygonometryczne Zdeniujmy funkcje trygonometryczne dowolnego k¡ta α ∈ [0, 2π) :

sin α = y

r , cos α = x r , tg α = y

x , ctg α = x y ,

gdzie r to odlegªo±¢ punktu P (x, y) od pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych, wi¦c r = px 2 + y 2 .

Wªasno±ci funkcji sinus y = sin x :

• D f = R, W f =< −1, 1 >;

• okresowa o okresie podstawowym 2π, sin(x + 2π) = sin x;

• ograniczon¡, −1 ≤ sin x ≤ 1 dla ka»dego x ∈ R;

• nieparzysta, sin(−x) = − sin x.

Rysunek 1: Wykres funkcji f(x) = sin x

Wªasno±ci funkcji kosinus y = cos x :

• D f = R, W f =< −1, 1 >;

• okresowa o okresie podstawowym 2π, cos(x + 2π) = cos x;

• ograniczon¡, −1 ≤ cos x ≤ 1 dla ka»dego x ∈ R;

• parzysta, cos(−x) = cos x.

Rysunek 2: Wykres funkcji f(x) = cos x

Wªasno±ci funkcji tanges y = tg x :

• D f = R \ { π 2 + kπ : k ∈ Z}, W f = R;

• okresowa o okresie podstawowym π, tg(x + π) = tg x;

• nieograniczon¡;

• nieparzysta, tg(−x) = − tg x.

Rysunek 3: Wykres funkcji f(x) = tg x

Wªasno±ci funkcji kotanges y = ctg x :

• D f = R \ πk : k ∈ Z}, W f = R;

• okresowa o okresie podstawowym π, ctg(x + π) = ctg x;

• nieograniczon¡;

• nieparzysta, ctg(−x) = − ctg x.

Rysunek 4: Wykres funkcji f(x) = ctg x

Znaki funkcji trygonometrycznych w ¢wiartkach

ϕ I ¢w. II ¢w. III ¢w. IV ¢w.

sin ϕ + + − −

cos ϕ + − − +

tg ϕ + − + −

ctg ϕ + − + −

Mo»na nauczy¢ si¦ wierszyka, który obrazuje powy»sz¡ tabel¦: w pierwszej ¢wiartce same plusy, w drugiej tylko sinus(jest dodatni), w trzeciej tangens i kotangens, a w czwartej kosinus.

Wzory redukcyjne

ϕ π 2 − α π 2 + α π − α π + α 3π 2 − α 3π 2 + α 2π − α sin ϕ cos α cos α sin α − sin α − cos α − cos α − sin α cos ϕ sin α − sin α − cos α − cos α − sin α sin α cos α

tg ϕ ctg α − ctg α − tg α tg α ctg α − ctg α − tg α ctg ϕ tg α − tg α − ctg α ctg α tg α − tg α − ctg α

Przykªad 1. Wykorzystuj¡c wªasno±ci (równie» wzory redukcyjne) funkcji trygonometrycznych mamy:

a) sin 5 4 π = sin(π + π 4 ) = − sin π 4 = −

√ 2 2 ;

b) cos(−23 1 3 π) = cos 23 1 3 π = cos 1 1 3 π = cos(π + π 3 ) = − cos π 3 = − 1 2 ; c) tg 3 3 4 π = tg 3 4 π = tg( π 2 + π 4 ) = − ctg π 4 = −1;

d) ctg(− 25 3 π) = − ctg 8 1 3 π = − ctg 1 3 = −

√ 3

3 .

Zadania

1. W oparciu o zasad¦ indukcji matematycznej wykaza¢, »e:

a) P n

k=1

(2k + 1) = n 2 b) P n

k=1 1

k(k+1) = n+1 n c) P n

k=1

k 2 = n(n+1)(2n+1)

6 d) P n

k=1

k 3 = h

n(n+1) 2

i 2

2. Udowodnij, »e dla ka»dej liczby naturalnej n oraz liczby rzeczywistej x ∈ (−1, +∞) jest speªniona tzw. nierówno±¢ Bernoulliego:

(1 + x) n ≥ 1 + nx

3. Udowodnij, »e dla ka»dej liczby naturalnej n ≥ 5 zachodzi nierówno±¢:

n 2 < 2 n . 4. Udowodnij, »e dla ka»dej liczby naturalnej n liczba:

a) 3 4n+2 + 1 jest podzielna przez 10; b) 3 3n − 26n − 1 jest podzielna przez 169;

c) 2 2n+1 + 3n + 7 jest podzielna przez 9; b) 3 3n+2 + 5 · 2 3n+1 jest podzielna przez 19.

T (n ₀ ) ∧ ∀ _k≥n

⇒ ∀ _n≥n

Funkcje trygonometryczne Zdeniujmy funkcje trygonometryczne dowolnego k¡ta α ∈ [0, 2π) :

gdzie r to odlegªo±¢ punktu P (x, y) od pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych, wi¦c r = px ² + y ² .

• D _f = R, W f =< −1, 1 >;

• D f = R, W ^f =< −1, 1 >;

• D _f = R \ { ^π ₂ + kπ : k ∈ Z}, W f = R;

• D _f = R \ πk : k ∈ Z}, W f = R;

ϕ ^π ₂ − α ^π ₂ + α π − α π + α ^3π ₂ − α ^3π ₂ + α 2π − α sin ϕ cos α cos α sin α − sin α − cos α − cos α − sin α cos ϕ sin α − sin α − cos α − cos α − sin α sin α cos α

a) sin ⁵ ₄ π = sin(π + ^π ₄ ) = − sin ^π ₄ = −

b) cos(−23 ¹ ₃ π) = cos 23 ¹ ₃ π = cos 1 ¹ ₃ π = cos(π + ^π ₃ ) = − cos ^π ₃ = − ¹ ₂ ; c) tg 3 ³ ₄ π = tg ³ ₄ π = tg( ^π ₂ + ^π ₄ ) = − ctg ^π ₄ = −1;

d) ctg(− ²⁵ ₃ π) = − ctg 8 ¹ ₃ π = − ctg ¹ ₃ = −

a) P ⁿ

(2k + 1) = n ² b) P ⁿ

k(k+1) = _n+1 ⁿ c) P ⁿ

k ² = n(n+1)(2n+1)

6 d) P ⁿ

k ³ = h

(1 + x) ⁿ ≥ 1 + nx

n ² < 2 ⁿ . 4. Udowodnij, »e dla ka»dej liczby naturalnej n liczba:

a) 3 ⁴ⁿ⁺² + 1 jest podzielna przez 10; b) 3 ³ⁿ − 26n − 1 jest podzielna przez 169;

c) 2 ²ⁿ⁺¹ + 3n + 7 jest podzielna przez 9; b) 3 ³ⁿ⁺² + 5 · 2 ³ⁿ⁺¹ jest podzielna przez 19.

(a) 45 ^◦ (b) 90 ^◦ (c) 150 ^◦ (d) 275 ^◦

(e) 330 ^◦ (f ) 480 ^◦ (g) 3090 ^◦ (h) 910 ^◦

(a) ^π ₃ (b) ³ ₄ π (c) ⁷ ₆ π (d) ⁴ ₃ π

(e) ¹¹ ₆ π (f ) ⁴⁵ ₄ π (g) 4 ² ₃ π (h) 3 ⁷ ₆ π

(a) sin 135 ^o (b) cos ² ₃ π (c) tg ⁵ ₆ π (d) cos 180 ^o

(a) sin α = − ² ₃ oraz ³ ₂ π < α < 2π, (b) cos α = ¹ ₅ oraz ³ ₂ π < α < 2π, (c) tg α = −3 oraz ¹ ₂ π < α < π, (d) sin 2α = ¹² ₁₃ oraz π < α < ³ ₂ π, 9. Wyznacz x wiedz¡c, »e:

(a) sin x = ¹ ₂ oraz ¹ ₂ π < x < π, (b) cos ² x = ³ ₄ oraz ³ ₂ π < α < 2π, (c) ctg x = 1 oraz π < x < 2π, (d) tg x = −

3 oraz 3 ¹ ₂ π < α < 4π,