Der Bauingenieur : Zeitschrift für das gesamte Bauwesen, Jg. 17, Heft 33/34

DER BAUINGENIEUR

17. J a h rg a n g 21. A u gu st 1936 H e ft 33/34

D E R W ID E R S T A N D V O N E IS E N B E T O N B A L K E N G EG E N H E R A B F A L L E N D E LA STEN .

V o n D r.-In g . E r n s t B i t t n e r , W ien.

Ü b e r s i c h t : Es wird die plastische Verformung eines Eisenbeton- balkens unter herabfallender L ast berechnet, in allgemein anwendbaren Linicnbildern dargestellt und die erforderlichen Erfahrungswerte auf Grund der bisherigen Versuche angegeben.

B e i E ise n b e to n tra g w e rk e n , die d er B e a n sp ru c h u n g d u rch her- a b fa lle n d e L a s t e n d a u e r n d a u s g e s e tz t sin d , m uß g e fo rd e rt w erd en , d aß keine b leib en d e V erfo rm u n g e n tste h t, w elch e ü b e r die gew öh n lich e H a a rriß b ild u n g , d. h . die A u ssc h a ltu n g d e r B e to n z u g ­ zone, h in a u sg e h t. E in p la stisc h e s S tre c k e n d er B e w e h ru n g h ä tte eine fo rtsch re ite n d e D u rch b ie g u n g un d sch ließ lich Z e rstö ru n g des B a lk e n s zu r F o lg e ; gegen d iese m uß eine en tsp rech en d e S ich e rh e it v o rh a n d e n sein . B e i S c h u t z b a u t e n hin gegen, die n u r in A u sn a h m e fä lle n in T ä t ig k e it tre te n , is t au ch eine p la s tis c h e V e r­

fo rm u n g z u lä ssig b is zu ein em A u sm aß e, w elch es noch keinen E in ­ s tu rz zu r F o lg e h a t bzw . es is t eine b estim m te S ich e rh e it gegen den E in s tu rz ein zu h alte n . W e n n die K a ta stro p h e n b e a n sp ru c h u n g und d a m it die p la stisc h e V e rfo rm u n g ein getreten ist, m uß d er in M it­

le id e n sc h a ft gezogene T e il des T ra g w e rk s e rn e u e rt w erden.

S c h w in g u n g eines B a lk e n s m it p lastisch er V erfo rm u n g . E s so ll z u n ä c h st d e r e in fach e F a l l ein es B a lk e n s a u f zw ei S tü tz e n b e h a n d e lt w erd en , d er a u f irgen d eine W eise in B ew e g u n g g e se tz t w ir d u n d d a b e i sein e la stisc h e s F o rm än d e ru n g sve rm ö g e n ü b e rsch re ite t.

D ie S te ifh e it E J w ird ü b e r die ga n ze B a lk e n lä n g e k o n sta n t an gen om m en , g ilt a b e r n u r b is zu ein er b e stim m te n G röße des B ie g e m o m e n te s M F . B e i w e ite r w ach se n d e r K rü m m u n g , ,

Q J

so ll d a s B ie g e m o m e n t g leich M p bleib en .

I m e lastisch e n B e re ic h is t d ie G r u n d s c h w i n g u n g B a lk e n s gegeb en d u rc h :

(i)

des

. 71 X .

= A sin —j - sin ß t .

H ie rb e i is t 1 d ie S tü tz w e ite , A d e r S c h w in g u n g sa u ssch la g in B a lk e n ­ m itte u n d ß die „ K r e is fr e q u e n z “ . W e n n f die se k u n d lich e S c h w in ­ gu n g szah l u n d /( die M asse des B a lk e n s je L ä n g e n e in h e it b ed eu tet, ist

(2) ß —271 f

i y ®

^{H J}

B e i ein er gegeb en en A n fa n g sg e sch w in d ig k e it d e r B a lk e n m itte is t d e r S c h w in g u n g sa u ssc h la g A ^Vom

T '

(3)

(4)

D a s B ie g e m o m e n t in B a lk e n m itte is t M m J p Tm *

D ie se A u sd rü c k e gelten n u r, so lan ge M < M F b le ib t.

B e i d e r D u rch b ie g u n g y F =

M p ]2

F a lls — > y FVom E J 71*

is t in B a lk e n m itte d ie E la s tiz itä ts g re n z e e rre ich t, r a u s ß is t, b e g in n t b e i y F ein e n eu e A r t d e r B e w e g u n g . I n einem klein en B e re ic h b eid e rse its d e r B a lk e n m itte t r i t t p la s tis c h e V erfo rm u n g e in ; b ei ein em E ise n b e to n b a lk e n w ird sich a n d ieser S te lle ein R iß ö ffn en .

D ie N e ig u n g d e r B ie g e lin ie in B a lk e n m itte is t je t z t ke in e r e la stisch e n B e d in g u n g m e h r u n te rw o rfe n ; es sc h w in g t d a h e r jed e B a l k e n h ä l f t e fü r sich w e ite r a ls S ta b , d er an einem E n d e d re h b a r fe stg e h a lte n , a m än d e rn fr e i b ew eglich u n d n u r d u rch d as k o n sta n te M o m en t M F b e la ste t ist.

D ie e in fa ch ste B e w e g u n g d ieses S ta b e s is t die D re h u n g um d as A u fla g e r a ls s ta rr e r K ö r p e r ; sic is t im vo rlieg en d en F a ll die w e se n tlich ste . D a s G esetz d e r G r u n d s c h w i n g u n g 1 la u te t:

5 n

T . S in 5 51 ■ (5) y = sin (ft t - f <pj) • A x sin x - f

1 2 1

Gin 2 1

m it

(

⁶

)

ßi ^£5Z ^ | / E J = £ 5 «

4 I 2 I I* 4 '

(ß is t die K re isfre q u en z d er G ru n d sch w in g u n g d es gan zen B a lk e n s).

D ie A n fa n g sb ed in g u n g e n s in d :

(7) y ,

D a ra u s is t

V om 71 X . . 71 'S.

= - g - Sill — sin ßt = y F sin

sin ß t — y ? ß und

(8)

Vom a Vom . 71 X

v a = ß -ß~ Sin — cos ß t

1

Z u r D re h u n g d e r B a lk e n h ä lfte um d a s A u fla g e r ge h ö rt eine g e ra d lin ig v e r te ilte G e sch w in d ig k e it

(9) v d = A 0 x

U n te r d e r E in w ir k u n g des k o n sta n ten M om en tes M F , d as a m E n d e d er B a lk e n h ä lfte a n g re ift, e n ts te h t ein e g l e i c h f ö r m i g v e r ­ z ö g e r t e B e w e g u n g . D ie V erzö g e ru n g is t e b e n fa lls dem A b ­ stan d x v e rh ä ltn isg le ic h ; die „ T r ä g h e it s k r a ft “ je L ä n g e n e in h e it is t a u s G leich g e w ich tsg rü n d e n

d v 24 M f

— jä x

(10) P = ' ‘ T i

u n d e rzeu gt eine sta tis c h e B ie g e lin ie , die a ls sin -R e ih e e n tw ic k e lt la u t e t :

(X I) y P ~ T r

Mf l2 96

E J 7 1 2 1

1 Sill -L— + . .3J"TX ,

729 1 ^ = 0 ,98 55 y F also fa s t m it d e r A n fa n g sb ie g e lin ie y a ü b e re in stim m t. D ie E n t ­ w ick lu n g d er G e sch w in d ig k e iten v a n ach den neuen B ew e g u n g e n g ib t fo lg e n d e s:

(12) ,s in — = A 0 x^{. 7 1X}

4- f t A j

I

sin -j- . 5 7 1 sin ——

Sin

_ ± _ @ i n5£ L i +

5 » 2 1

W enn m an beide Seiten m it x v e r v ie lfa c h t und ü b er den ganzen S ta b in te g rie rt, b ek o m m t m an A c, d a die än d e rn In te g r a le d er rech ten S e ite gleich N u ll sin d :

1/2

f ■ 71X x sin V arn J 1 T lx

( J3) ^{A n} _1/2

/

‘ TI2 1 x 2 d x

1 Über die Behandlung solcher Schwingungsaufgaben s. z. B. bei T i m o s h e n k o : Schwingungsprobleme der Technik. Berlin: Julius Springer 1932.

340

B I T T N E R , W I D E R S T A N D VON E I S E N B E T O N B A L K E N GEG E N H E R A B F A L L E N D E L A S T E N . h e f t " / “ f.

D ie G e sch w in d ig k e it w ä h re n d d er D re h u n g is t v = A 0 x ---—t

ß

(t v o m B e g in n d e r D re h u n g gerech n et). D u rch E in s e tz e n n a ch G l. (8), (io) und (13 ) e rh ä lt m an

1 / i v i 'ß V 2 4 24 M f , ( 14 ) v — v 0m |/ 1 — ^I — 1 ' ' x ---^ r r - x t . D ie G e sch w in d ig k e it w ird N u ll zu r Z e it

Vom J 31“ 1 l3 f*

D ie G röß e d er p la s tis c h e n V e rfo rm u n g is t a m e in fa ch ste n d u rch G leich setzen d e r B e w e g u n g se n e rg ie am A n fa n g un d d er A r b e it d es M o m en tes M p zu fin d e n :

1 / 2

(16)

I ^ß

(Aq x ) 2

= Mp —

w o b ei y pI d en g e sam ten K n ic k w in k e l d e r B ie g e lin ie in B a lk e n m itte b ezeich n et. D u rch E in se tz e n der F o rm e ln fü r A 0, M F u n d ß b e­

k o m m t m an

24

n- 1

f e ) ! -

^{y f}

bzw .

(I ) Vfl

. 3 4 n4 QV

^ora

ß

'ÖF M i:

D e r A u ssc h la g d er G ru n d sch w in g u n g in B a lk e n m itte e rg ib t sich a u f dem g leich en W ege w ie d a s A 0 zu

(W)

J / V

0

m

\ 2

, = — 0,0267 y F |

\ y r ß J — i.

D e r A u ssc h la g is t n e g a tiv , d. h . die erste S c h w in g u n g g e h t d e r G e ­ sa m tb e w e g u n g sric h tu n g e n t g e g e n . I n A b b . 1 is t d e r zeitlich e

i , 1 ,5 , 1 und 3.

ge m e in sam m it dem B a lk e n , g le ich sa m m it d iesem v e rb u n d e n , w e ite r; diese S c h w in g u n g h a t d a n n ein an d e re s G esetz a ls b eim B a lk e n allein . D ie u n g ü n stig ste B e a n sp ru c h u n g t r it t n a tü rlic h ein, w e n n die L a s t in B a l k e n m i t t e a u ffä llt . D ie se n F a ll h a t I f a u f m a 11 n 2 a u sfü h rlich b eh a n d e lt. M it d en B e z e ich n u n g e n :

P = L a s t in B a lk e n m itte , G = B a lk e n g e w ic h t,

P

” “ G

la u te t die G ru n d sch w in g u n g :

(18) y = y r 2 u

sm - r - x - 1 2 cos U V 1

COS U 2 U , . . .

• © Ul

~r

X sin ß t

( £ 0 1 1 1 '

w ob ei u die k le in ste W u rze l d e r „F r e q u e n z g le ic h u n g “ (19)

und

/ E J (20)

ist.

D a s M o m e n t in B a lk e n m itte e rg ib t sich zu

(21) M_ " V TT1

= E J - j,- y> m it yi = 2 v u 3 (tg u + 2g u).

D ie G e sc h w in d ig k e it beim D u rc h g a n g d u rch d ie R u h e la g e , d. i. d ie s ta tis c h e B ie g e lin ie d u rch die L a s t P u n d d a s E ig e n g e w ic h t, is t w ie b eim B a lk e n a lle in

v o ‘ ß ymax*

D ie Ä n d eru n g d er G e sc h w in d ig k e it w ä h re n d des D u rch la u fe n s d e r sta tisc h e n D u rch b ie g u n g u n m itte lb a r n a c h d em S to ß k a n n v e r ­ n a c h lä ss ig t w erd en , w e n n d ie F a llh ö h e im V e rh ä ltn is zu r sta tisc h e n D u rch b ie g u n g groß ist.

U n te r den gleich en V o ra u sse tz u n g e n w ie frü h e r b e g in n t b ei

/ „ „t m f l2

(22) y F = E j 7

die p la stisc h e F o rm ä n d e ru n g . D e r R e c h n u n g s g a n g is t d e r g leich e w ie beim B a lk e n a lle in ; b ei d e r B e re c h n u n g des W e rte s A 0 is t je d o ch ü b e r d en h alb en B a lk e n e i n s c h l i e ß l i c h d e r h a lb e n L a s t zu

v 1

in te g rie re n , w o b ei le tz te re m it •— ein zu setzen ist.

2

E s e rg ib t sich sch ließ lich fü r den W in k e l d er p la stisch e n V er- 1

fo rm u n g

(23) 'P p i =

/Vom \ 2

M

^*

E s is t nu n die G e sch w in d ig k e it v om F o rm e l fü r den u n e la stisch e n S to ß is t

v — --- -— ■»_om m i

2 4_________________

(2U)‘ (I + 3” ) ■

zu b erech n en . N a c h d er

V e r la u f d e r B e w e g u n g in B a lk e n m itte d a rg e ste llt, un d z w a r fü r Vom

yP

N ac h B e e n d ig u n g d er p la stisch e n V e rfo rm u n g t r it t w ie d e r die u rsp rü n g lich e h arm o n isch e S c h w in g u n g in K r a f t , w en n m an a n ­ n im m t, d aß b ei E n t la s tu n g d as u rsp rü n g lich e E J g ilt. D e r A u s ­ sch la g d er B a lk e n m itte is t y F ; die R u h e la g e is t um y pl gegen die ursp rü n glich e ve rsch o b e n . (D ie w e ite re n Sch w in g u n g e n sin d n ich t m eh r gezeich n et, son d ern n u r die e n d g ü ltig e R u h e lag e .)

Sch w in g u n g eines B a lk e n s sam t L a s t m it p lastisch er V erfo rm u n g . W en n ein B a lk e n v o n ein er h e rab fallen d e n L a s t g e tro ffe n w ird un d d e r Sto ß „v o llk o m m e n u n e la stis c h " ist, b ew e g t sich die L a s t

(24) V° m ~ u q + "1

w o b e i v F = V 2 g h { d ie F a llg e s c h w in d ig k e it d e r M a sse n q u n d m i die „r e d u z ie rte M a sse “ d es B a lk e n s b ed eu te t.

D ie „r e d u z ie rte M a sse “ w ird in d en L e h rb ü c h e rn d e r M e ch a n ik fü r den S to ß in B a lk e n m itte m it - m an gegeb en , w e il m it d ieser1 7 Z a h l d e r E n e r g ie v e rlu s t b eim B a lk e n m it d em b ei ein em freien K ö rp e r ü b e re in stim m t.

Z s c h e t z s e h e 3 w e n d e t den S a tz vo m K r a ft a n t r ie b an u n te r d e r stillsch w e ig e n d e n A n n ah m e, d aß a n den A u fla g e rn des B a lk e n s k e in e M o m e n ta n k rä fte a u ftre te n , u n d b e k o m m t fü r die

„re d u z ie rte M asse “

m = - m

K a u f m a n n 2 ü b e rn im m t die A b le itu n g Z sc h e tz sc h e s u n d w eist ih re R ic h tig k e it a n ein igen V ersu ch e n m it eisern en T rä g e rn vo n 5 ,8 m S tü tz w e ite u n d ein em h e ra b fa lle n d e n E ise n k e r n v o n 20 k g G e w ich t n a c h . D a v o n a b w e ich e n d d e n k t sich K ö g 1 e r ! den

2 Beitrag zur Beurteilung der Stoßwirkung herabfallender Körper auf einfache Balken. Bauing. 5 (1924) S. 498 u. 545.

3 Berechnung dynamisch beanspruchter Tragkonstruktionen. Z.

VDI 38 (1894) S. 134.

4

ü b e r die Stoßwirkung fallender Lasten auf Tragwerke. Brücken­

bau (19 12 ) S. 19 1 u. 197.

« . AUGUSTE>936.U R B I T T N E R , W I D E R S T A N D V O N E I S E N B E T O N B A L K E N G E G E N H E R A B F A L L E N D E L A S T E N . 341 B a lk e n z u n ä c h st in d e r M itte d u rch sch n itte n , so d aß er dem Stoß

keinen B ie g e w id e rsta n d , son d ern n u r sein e T rä g h e it e n tgegen setzt.

D ie re d u zie rte M a sse eines S ta b e s, d er a n ein em E n d e festg e h a lte n un d am än d e rn E n d e gestoß en w ird , is t —. K ö g lc r s e tz t je d o ch m '

= — lm d fin d e t bei A n w e n d u n g vo n N ä h e ru n g sfo rm cln fü r den S ch w in g u n g sa u ssch la g b efried igen d e Ü b ere in stim m u n g sein er R e c h ­ n u n g m it v o n ihm d u rch g e fü h rte n V ersu ch e n . D ie N ach rech n u n g d iese r V e rsu ch e n ach d er gen au en S c h w in g u n g sth e o rie vo n K a u f­

m an n e rg ib t fo lg e n d e s : B e i V ersu ch e n m it R e iß sc h ie n e n v o n 88 un d x 36 cm S tü tz w e ite is t die au s dem gem essenen Sc h w in g u n g sa u ssc h la g b erech n ete A n fa n g sg e ­ sc h w in d ig k e it w e se n tlich

(um 10 — 2 0 % ) k le in e r a ls nach d e r F o rm e l

P v om = V1 r

p + ~

2

höhe hf n u r vo n den A b m essu n gen und F e stig k e itse ig e n sc h a fte n des B a lk e n s ab .

is t jen e G röß e vo n 0, bei d er die G ren ze d er p la stisch e n V e rfo rm u n g e rre ich t w ir d ; sie h ä n g t led iglich vo m V e rh ä ltn is v ab . F ü r 0 < 0F is t s e lb s tv e rstä n d lic h 0 = 0 . D e r Z u sam m en h an g zw ischen 0 un d 0 n ach G l. (II) h ä n g t e b e n fa lls n u r vo n v a b . E r is t in A b b . 2 fü r v = 0 ,1 b is v = 3 d a rg e ste llt. F a lls au ß e rh alb der A b b ild u n g fa lle n d e W e rte b e n ö tig t w erden , k a n n m an d ie G erad en le ic h t so w eit v e rlä n g e rn . F ü r k l e i n e r e v a ls 0 ,1 k a n n die

D a b ei R e iß sc h ie n e n d er L u ftw id e r s ta n d b ed eu ­ te n d se in m uß, is t d er

U n te rsch ie d e rk lä rlic h . B e i w e ite re n V ersu ch e n m it I-Iolzbohlen vo n 3 m S tü tz w e ite is t eb e n falls ein U n tersch ied vo rh an d en , a b e r w e n ig er groß (5— 9 % ). B e i eisern en T r ä g e m v o n 3 m S tü tz w e ite en d lich z e ig t sich re c h t g u te Ü b erein stim m u n g. A ls F a llg e w ic h te w u rd e n h ie r d u rch w e gs S a n d sä c k e verw en d e t.

D ie S to ß v e rsu ch e m it E ise n b c to n b a lk e n v o n S a l i g e r 5 b e­

stä tig e n e b e n fa lls die A n n ah m e m ' = D ie E ig e n fre q u e n z h ä n g t v o m V e r la u f d e r S te ifh e it E J a b , die h ie r n ich t m eh r k o n sta n t is t ; m an m uß sich in d es d a m it b egnügen , ein m ittle re s E J au s d e r g e ­ m essen en s ta tis c h e n D u rch b ie g u n g zu rechn en und in die F o rm e l fü r die K re isfre q u e n z [G l. (20)] ein zusetzen . D ad u rch w ird bei E ise n b e to n b a lk e n die B e re ch n u n g d e r G e sch w in d ig k e it a u s dem A u ss c h la g e tw a s u n sic h e r; ein N a c h w e is, ob die red u zierte M asse des B a lk e n s m ' = — o d e r e tw a — m b e trä g t, is t k a u m m öglich .

2 35

A u f G ru n d d er an g e fü h rte n V ersu ch e is t die A n n ah m e m ' = —

ö 2

a ls b ra u c h b a r zu b e tra ch te n . E s is t also

(25)

und (26)

S e tz t m a n

1/

^{2 g h}

om

yp ß, = 2 g h.

] f

^{g h ,}

M t

V1’ H— tg u — T g u

x 2

Abb. 2. Linien tafel zur Erm ittlung der plastischen Verform ung.

F o rm e l (1) a ls N ä h e ru n g b e n ü tz t w e rd e n ; m an b ra u c h t n u r v onl n ach G l. (25) zu b erechnen.

Ü b e r die G rößen, die in 0 un d 0 V orkom m en, is t fo lgen d es zu b em e rk e n : q is t die stä n d ig e B e la stu n g des B a lk e n s je L ä n g e n ­ ein h eit, so w e it sie m it dem B a lk e n f e s t v e r b u n d e n is t ; eine lose Ü b e rsc h ü ttu n g e tw a d a r f n ich t e in gerech n et w erd en , d a sie d u rch den S to ß n ic h t in B e w e g u n g g e se tz t w ird , son d ern e rst in folg e d er S ch w ere a u f den au sgesch w u n gen en B a lk e n h e ra b fä llt.

I n d a s V e rh ä ltn is v = T r i s t e b e n fa lls n u r d a s m it d em B a lk e n fe s t P G

ve rb u n d en e, in n e rh a lb d e r S tü tz w e ite b efin d lic h e G e w ich t ein zu ­ setzen . F ü r Mp ist bei E ise n b e to n b a lk e n d as F lie ß m o m e n t a b z ü g ­ lich ru h iges B iegem o m en t d u rch stä n d ig e L a s t u n d F a llg e w ic h t e in z u se tz e n :

q l2 P 1 4

B e i den S to ß ve rsu ch e n vo n S a lig e r erw ies sich die S t r e c k ­ grenze vo n S t 37 b ei ra sch e r B e la stu n g d u rch den Sto ß w e se n tlich h öh er a ls b ei ru h ig e r B ie g u n g , bzw . b eim Z u g v e rsu c h . B e i ein er sto ß w eisen S ta h lsp a n n u n g vo n rd . 350 0 k g/cm 2 zeig te sich der B a lk e n noch vo llk o m m e n e la stisch , w ä h re n d die S tre ck g re n z e au s dem Z u g v e rsu c h im M itte l 2400 k g /cm 2 b etru g . H ö h e rw e rtig e S tä h le (Iste g sta h l, S t 55 un d S t 80) zeig ten d ieses H in au fsch n ellen d er F lie ß gren ze n ich t o d e r n u r in ge rin ge re m M aße. B e z ü g lich d er E in z e lh e ite n se i a u f den V e rsu c h sb e ric h t 5 verw iesen .

D ie K rü m m u n g — k an n a n n äh ern d b erech n et w e rd e n nach1 (30) Mp = F e <rs z —

„ + _

t g u + T g u \ 2

(27)

(m it (23)

fe rn e r

h f gp q Mp "

<?F

= 'V

; /« = q.

B a lk e n g e w ic h t je L än gen ein h eit) / v tg u -f- T g u\ - 1

und

d er F o rm e l (3Ü

M c • CT ruhig

+ - t g u — T g u ' Pf

E c F c z ( h - x ) E ( h - x )

D e r N u llin ie n a b sta n d x is t zu e rm itte ln e n tw e d e r in d e r üb lich en E c

W e ise m it n = 1 5 , b zw . n = 7 ^ b ei b ek an n te m E b, o d e r n ach ein er

(29)

so la u te t G l. (23) :

(II) 0 =

Vpl 0

24

( 2 U ) 1 (1 - f 3 v)

0 is t ein e d im en sion slose G röß e u n d h ä n g t au ß er vo n d er F a ll- 5 S a l i g e r u. B i t t n e r : Versuche an Eisenbetonbalken unter ruhenden und herabfallenden Lasten. Ju liu s Springer: Berlin u. Wien,

1 9 3 6

-

gen au eren B ere ch n u n g , die eine k ru m m lin ig e, e tw a p ara b o lisc h e B e to n sp a n n u n g sv e rte ilu n g b e rü c k sic h tig t. O bige F o rm e l s e tz t v o ra u s, d aß sich d e r ga n z e B a lk e n im Z u s t a n d I I b e fin d e t; ta ts ä c h ­ lich w ird d er B e to n zw isch en den R is s e n die S ta h lsp a n n u n g un d -deh n u n g e tw a s v e rm in d ern un d in d e r N ä h e d e r A u fla g e r w ird noch d er Z u sta n d I h errsch en . E in e genau z u tre ffen d e B e r e c h ­ n u n g d er K rü m m u n g is t h ie r eben so sch w ie rig w ie b ei ru h ig b e ­ la ste te n B a lk e n .

Z u r B e u rte ilu n g d e r E in stu rz sic h e rh e it is t nun noch d er g rö ß t­

m öglich e K n ic k w in k e l cppl e rfo rd erlich . B e i den Sa lig e rsc h e n V er-

342

R A U S C H , H A M M E R R U N D A M E N T E . D E R B A U IN G E N IE U R 1 7 ( 1 9 3 6 ) H E F T 3 3 /3 4 .

su ch en w u rd en b ish e r K n ic k w in k e l v o n 0 ,0 5 b is 0 ,0 7 e rre ich t, oh ne daß eine n en n e n sw e rte D ru c k z e rstö ru n g zu b em e rk e n w a r. D ie so v e rfo rm te n B a lk e n k o n n te n n a tü rlic h n ic h t zu w eite re n S to ß v e r­

su ch en b e n ü tz t w erd en , so daß ein e S te ig e ru n g d e r K n ic k w in k e l ü b er d as an gegeb en e M aß e rs t b e i dem noch b e v o rste h e n d e n le tz te n T e il d e r V e rsu ch e s ta t t fin d e n k a n n . E s is t zu e rw a rte n , d aß b ei

VPi = noch S ta n d sic h e rh e it v o rh a n d e n ist.

D ie erp ro b te n B a lk e n h a tte n R e c h te c k q u c rs c h n itt 20 • 25 cm u n d 1 , 2 % B e w e h ru n g a u s S t 37 bzw . ein e h in sic h tlic h d e r T r a g ­ k r a ft g le ic h w e rtig e B e w e h ru n g a u s Is te g s ta h l, S t 55 u n d S t 80. D e r B e to n e n th ie lt rd . 30 0 k g gew öh n lich en P o rtla n d z e m e n t je K u b ik ­ m eter, w a r b eim V ersu ch x b is i 1/, Ja h r e a lt u n d h a tte eine P ris m e n ­ fe s tig k e it v o n 2 1 0 k g/cm 2. F ü r den B ie g e d ru c k w id e rs ta n d is t die P r is m e n fe s tig k e it m aß g e b e n d ; d ie W ü rfe lfe stig k e it b e tru g im M itte l 36 0 k g /cm 3.

E s e rh e b t sich die F ra g e , o b d er grö ß tm ö g lich e K n ic k w in k e l v o n d e r H ö h e d er D ru ck zo n e a b h ä n g ig is t, d ie ih re rse its vo n d er N u tzh ö h e, v o m B e w e h ru n g ssa tz un d v o n d e r B e to n g ü te a b h ä n g t.

M an k a n n sich v o rste lle n , daß die p la stisc h e V e rk ü rz u n g des D ru c k ­ ran d e s ¿1 = <7P] • x sich a u f ein e S tre c k e v e r te ilt, d ie dem x v e r­

h ä ltn isg le ich is t ; d an n w ä re die S ta u c h u n g a m D ru c k ra n d n u r v o m K n ic k w in k e l a b h ä n g ig u n d u m g e k e h rt d e r grö ß tm ö g lich e K n ic k ­ w in k e l n u r v o n d e r S ta u c h fä h ig k e it d es B e to n s. E s b e ste h t a lso kein B e d e n k e n , den W e rt <ppl = 0 , 1 a u c h b ei größ eren Q u e rsch n itt­

höhen in B e t r a c h t zu ziehen.

Z u m S ch lu ß se i die B e re ch n u n g d e r p la s tis c h e n V e rfo rm u n g an ein em B e i s p i e l e rlä u te rt.

G egeb en se i ein e zw e ise itig g e s tü tz te E is e n b c to n p la tte vo n 6 m S tü tz w e ite u n d 3 m B r e it e ; ih re D ic k e se i 4 5, d ie N u tz h ö h e 40 cm , d e r B e w e h ru n g ssa tz 0 ,8 % a u s S t 37 m it ein er S tre c k g re n z e vo n 2400 k g/cm 2. A u f die M itte d e r P la t t e so ll ein K ö rp e r v o n 4 t G e w ich t au s ein er H ö h e v o n 4 m h e ra b fa lle n . W ir n eh m en a n , daß ein e au sreich e n d e Q u erb ew eh ru n g vo rh a n d e n is t, so daß d ie ga n z e P la tte n b re ite e in h eitlic h w ir k t.

E s erg eb en sich fo lg e n d e Z a h le n w e rte (in t u n d m , b z w . c m 2) : q = 3,0 • 0 ,4 5 • 2 ,4 = 3 ,2 5 t/rn

G = q • 1 = 3 ,2 5 • 6,0 = 1 9 ,5 t v = --- = 0 ,2 0 3, sow ie4,0

19.5

F c = 0,008 • 30 0 ■ 40 = 96 c m 2

M it n = 1 5 is t fü r den an gegeb en en B e w e h r u n g s s a tz : x = 0 ,3 8 h un d z = 0 ,8 7 h.

M it d e r e rh ö h ten S tre c k sp a n n u n g v o n 35 0 0 k g/cm 2 is t d as S tre c k - m o m e n t:

M s Mj-uhig —

96 ' 3.5 ' o.s 7 ' °.4 19.5-6 , 4-6 _

8 + 4

= 1 1 7 tm 20 ,6 tm

M p 1 ÖF "

M s • M.ruhig 96 tm 96

2 10 0 • 96 • 0 ,8 7 • 0 ,4 • (I ----0,38) • 0,4 hf q Pf 4 • 3 .2 5 - 181

1 8 1 m

V

M F 96 24.5

A u s A b b . 2 fin d e n w ir d azu m it Z w is c h e n s c h a ltu n g :

1 6

0 = 1 ,2 7 u n d d a ra u s <ppl = </>— = 1 ,2 7 • —— = 0,042 D ie se r K n ic k w in k e l is t w e n ig er a ls die H ä lfte d es g e fä h rlic h e n . R e c h n e n w ir n u r m it <rs = 2,0 s t a t t 3 ,5 t/c m 2, so b ek o m m en w ir :

XP — 10 5 , 0 = 6 ,2 u n d <pp] = 0 ,1 ,

a lso die v e rm u tlic h e E in stu rz g re n z e . D ie S ic h e rh e it gegen eine A b - n äh m e d e r S tre c k s p a n n u n g b e t r ä g t d em n ach = 1 ,7 5 .

D em W e rte XI’ = 2 4 ,5 e n ts p ric h t ein 0 = 3,0 u n d rppl — 0 ,1 b ei v = 0 ,3 3 (aus A b b . 2), a lso P = 19 ,5 • 0 ,3 3 = 6,45 t . D ie S ic h e rh e it gegen V e rg rö ß e ru n g d e r L a s t i s t 6,45 = 1 , 6 1 . D ie E m -

4,0 Sen kun g d er P la tt e n m it te b ei <ppl = 0 , 1 w ä re

1 600

y Pi = <FPi ~4 = o-1 v r = 1 5 c m -4

W en n P la tte n q u e rs c h n itt, L a s t , F a llh ö h e u n d d er zu lässig e K n ic k w in k e l geg e b en sin d , k a n n die B e w e h ru n g b em essen w erd en . M it den frü h e re n G rößen u n d <ppl = 0 ,0 3 (w illk ü rlich angen om m en ) h ä tte m a n zu b ere ch n e n :

a- — 3,0 1

2 10 0 ■ 0 ,4 (1 — 0,4) 16 8 m

E s is t w ie d e r <ts = 35 0 0 k g /cm 2 a n g e n o m m e n ; (Xruhig = 500 k g /cm 2 un d — = 0 ,4 sin d g e sch ä tz t.

0

<Pp\ —

^{O p} 1 = ° ,° 3 ‘ ^{16 8}6 m it v = 0 ,2 0 5 ein — I 7,3-

D a ra u s is t

M £ f _

\P ~ 12 6

0,84, d azu g e h ö rt n ach d e r L in ie n ta fe l

M p 4 • 3 ,2 5 • 16 8

un d F..

T7>3

= 1 2 3 cm 2

= 1 2 6 tm .

3 ' 0 ,8 5 - 0 ,4

CTruhig u n d die s ta tis c h e n W e rte k ö n n te n je t z t g e n a u e r gerech n e t w erd en , es lo h n t sich a b e r n ich t, d a die R e c h n u n g m it n = 1 5 se lb st n u r a n n ä h e rn d z u tr ifft.

W en n die G ru n d la g e n d u rch w e ite re V e rsu c h sfo rsc h u n g g e ­ n ü gen d sic h e rg e stc llt w erd en , k a n n m an äh n lich w ie fü r die ru h ige B e la s tu n g u n te r Z u g ru n d e le g u n g ein er b e stim m te n S ich e rh e it die re c h n u n g sm äß ig e S ta h ls p a n n u n g (S tre ck sp a n n u n g ) u n d d en zu ­ lä ssig e n K n ic k w in k e l festse tz e n .

H A M M E R F U N D A M E N T E .

V o n D r .-In g ., D r. te c h n .

E. Rausch,

a . o. P r o f. a n d e r T e ch n isc h e n H o ch sch u le B e rlin , b e ra te n d e r B a u in g e n ie u r.

I n h a l t s a n g a b e : E s w ird zu zwei neueren Veröffentlichungen über H am m erfundam ente Stellung genommen, und vo r allem darauf hingewiesen, daß eine elastische E in lage zwischen Amboß und Fundam ent zur Schonung des Fundam entbetons erw ünscht ist. B e i W eglassung d er­

selben muß ein schwerer Amboß mit großer A uflagerfläch c verwendet werden.

N ac h d em die B ere c h n u n g sg ru n d la g e n fü r H a m m e rfu n d a ­ m e n te s e it lä n g e re r Z e it g e k lä r t s in d 1, e rsch ien en v o r k u rz e m zw ei V erö ffe n tlic h u n g e n hierzu v o n F r a t s c h n e r 2 und Z e l l e r 3, die m ich v e ra n la s s e n , z u r F r a g e e rn e u t S te llu n g zu nehm en.

1 V gl. R a u s c h : Ham m erfundam ente. Beton u. Eisen 27 (192S) S. 32 1. — P a v l ü c k : H am m erfundam ente. Beton u. Eisen 29 (1930) S. 249 mit Stellungnahm e Rausch. — R a u s c h : R ichtige und fehler­

hafte Maschinengründungen. Z. V D I 75 (19 3 1) S. 1069 u. 1 1 3 3 . — R a u s c h : Abschnitt „M aschinengründungen“ in „H ü tte “ 26. Auflage, I I I . B d. S. 134.

2 Bauing. 15 (1934) S. 73 u. S9. — 3 Bauing. 15 (1934) S. 402.

F r a t s c h n e r k r itis ie r t m it R e c h t d ie e in sc h lä g ig e n V o rs c h rifte n d e r G e w e rb e o rd n u n g . D a s G e w ic h t d es A m b o sse s m ü ß te ein e F u n k tio n d e r F a lle n e r g ie u n d n ich t d es B ä rg e w ic h te s se in . E s is t a u c h n ic h t r ic h tig zu v e rla n g e n , d aß H a m m e rfu n d a m e n te tie fe r h in a b g e fü h r t w e rd e n , a ls d ie F u n d a m e n te d e r N a c h b a rg e b ä u d e . W ird d e r H a m m e r u n m itte lb a r n eb en d em G e b ä u d e fu n d a m e n t e r­

ric h te t, d a n n m u ß im G e g e n te il d a s N a c h b a rfu n d a m e n t b is a u f die T ie fe d e r H a m m e rg rü n d u n g (b ei b este h e n d e n G e b ä u d e n d u rch U n te rfa n g u n g ) h in u n te rg e fü h rt w e rd e n . E r g ä n z e n d h ie rzu k a n n g e s a g t w e rd e n , daß die V erb in d u n g slin ie zw isch en den b e n a ch ­ b a rte n F u n d a m e n t-U n te rk a n te n b e i m ittle re m B o d e n n ac h A b b . 1 od er 2 n ic h t ste ile r a ls 1 (H öhe) zu 3 (L än ge) v e rla u fe n soll.

A n H a n d ein es a u s fü h rlic h e n B e re c h n u n g s g a n g e s 4 ü b t F r a ts c h -

* D er Berechnungsgang von Fratschner stü tzt sich offenbar auf meinen grundlegenden A ufsatz aus dem Ja h re 1928 (vgl. Fußnote 1).

D E R B A U IN G E N IE U R

2 1. A U G U S T 1936 . R A U S C H , H A M M E R F U N T) A M E N T E .

343

n er h a u p ts ä c h lic h K r it ik a n d e r B e s tim m u n g d e r G ew erb eord n u n g, w o n a ch u n te r dem A m b o ß ein e H o lz u n te rla g e a n g e o rd n e t w erden so ll. E r k o m m t zu dem E r g e b n is , d aß d iese A n o rd n u n g u n d ü b e r­

h a u p t d ie T re n n u n g des A m b o sse s v o m F u n d a m e n t u n zw eck m äß ig is t, d a h ie rd u rc h d e r S c h m ie d e w irk u n g sg ra d le id e t 5 u n d die B o d e n ­ d rü c k e so w ie die E rsc h ü tte ru n g e n g rö ß e r w e rd e n , a ls b e i s ta rre r V e rb in d u n g v o n A m b o ß u n d F u n d a m e n t. E r e m p fie h lt d a h e r die k ra fts c h lü s s ig e V e rb in d u n g b eid e r T e ile oh ne e la stisch e Z w isch e n ­ lage.

H am m er- j 1 E

fhndament \ \ \ \ ^t---L"

■> J

•///////////////////

J

_

A bb. 1. H öhenlage benachbarter Fundam ente. Abb. 2.

E in e so lch e k ra fts c h lü s s ig e V e rb in d u n g zw isch en A m b oß und F u n d a m e n t m a g fü r den S c h m ie d e w irk u n g sg ra d v o r t e ilh a ft sein, fü r den B e s ta n d des F u n d a m e n te s is t sie a b e r g e fä h rlic h , w e il an d er F u n d a m e n t-O b e rflä c h e u n z u lä ssig e h o h e B e to n p re ssu n g e n e n t­

ste h e n k ön n en , die den B lo c k u. U . zertrü m m e rn . D ie h ö ch ste zu ­ lä s s ig e D ru c k b e a n sp ru c h u n g d es E ise n b e to n s 6 b e tr ä g t 1 2 0 k g /cm 2, die m it R ü c k s ic h t a u f d ie B a u s to ffe r m ü d u n g b ei w ie d e rh o lte n B e ­ a n sp ru c h u n g e n 7 m it h ö ch ste n s 60 k g /cm 2 an gen om m en w erd en k a n n . B e i s t a r r e r A u fla g e r u n g des A m b o sse s w ird d ie se r W e rt b ei den ü b lich e n A m b o ß -A u sfü h ru n g e n w e it ü b e rsch ritte n , so d aß zum S c h u tz e des B e to n s ein e e la stisc h e E in la g e zw isch en A m b o ß und F u n d a m e n t e rfo rd e rlic h is t. M an ve rw e n d e te frü h e r E ich e n h o lz- U n te rla g e n , is t d a v o n je d o c h ab ge k o m m e n , d a d as H o lz u n te r den H a m m e rsc h lä g e n le ic h t z e rs tö rt w ird 8 u n d d e r F ä u ln is g e fa h r u n te r­

w o rfe n is t. I n n e u ere r Z e it w ird m . W . s te ts E is e n filz (H am m erfilz) v e rw e n d e t, w o d u rc h a u c h B a u h ö h e e rs p a rt w ird , d a d ie fed ern d e N a c h g ie b ig k e it v o n E is e n filz e tw a 2 5 m a l so groß is t, a ls v o n E ic h e n ­ holz q u e r z u r F a s e r , so d aß m a n m it ein er dü nnen F ilz la g e a u s ­ k o m m t (eine E is e n filz la g e v o n 2 cm D ic k e e n ts p ric h t ein em H o lz ­ s ta p e l v o n e tw a 50 cm H öhe) 8.

A u f die e la s tis c h e Z w isc h e n la g e w ird m a n n u r d an n v e rz ich te n k ö n n en , w en n d e r A m b o ß so sc h w e r u n d m it ein er so groß en G ru n d ­ flä c h e a u s g e b ild e t w ird , d aß ein e ü b e rm ä ß ige B e a n sp ru c h u n g des B e to n s n ich t e in tritt. D ie se r F o r d e ­ ru n g k a n n m an w ie fo lg t g e rec h t w e r d e n :

I s t die B e rü h ru n g sflä c h e des B ä ­ ren m it dem A m b o ß F 0, die S ta u c h - g re n ze d es A m b o ß -M ate rials k , dann k a n n ein P r e lls c h la g die grö ß te K r a f t (A b b . 3 ) :

Abb. 3. K raftw irk u n g wenn (1) Po = F 0 • k Amboß mit Fundam ent

s ta rr verbunden. ve ru rsa c h e n . D ie se r K r a f t w ir k t die M a s se n k ra ft des A m b o sse s und des F u n d a m e n te s e n tgegen . A u f die U n te rflä c h e des A m b o sse s Meine in dieser A rbeit entwickelte und von Fratschner kritisierte Formel für die Bodenpressung is t schon 1930 richtig gestellt (vgl. Fußnote 1) und in der richtigen Form in meinen weiteren Veröffentlichungen (vgl.

Fußnote 1) enthalten. D er dynam ische B eiw ert ist nicht

1 + v ^ l

w ie Fratschner angibt, sondern nur der zweite Teil des Ausdruckes (die Einheit ste llt den Einfluß der ruhenden L a s t dar).

5 H ierau f hat schon Lindenau hingewiesen. Schalltechn. 1 (1928) S. 24.

6 B est. des Deutschen Ausschusses fü r Eisenbeton 1932, § 29, 4.

7 Ü ber den Erm üdungsbeiw ert vgl. 3. u. 4. Aufsatz in Fußnote 1.

8 Fratschner befindet sich im Irrtum , wenn er die zulässige Pressung für Eichenholz quer zur F aser mit 150 kg/cm2 angibt. D as ist die F estig­

keit des Holzes, seine zulässige statische Beanspruchung b eträgt höch­

stens 50 kg/cm2, bei dynam ischer Beanspruchung nur etw a 25 kg/cm2.

8 B e i seinen Vergleichsbercchnungen nimmt auch Fratschner eine dünne L ag e H am m erfilz an, vernachlässigt jedoch dessen elastische Nach-

(bzw . a u f die O b e rflä ch e d es B e to n s) w ir k t n u r die a n te ilig e M a sse n ­ k r a ft d es F u n d a m e n te s :

(2) P i = P „ • G /(A + G),

w en n A b zw . G d as G e w ic h t d es A m b o sse s bzw . des F u n d a m e n te s b ed eu ten . M it ein er z u lä ssig e n B e to n p re ssu n g ff (h öch sten s 60 k g / cm 2) des B e to n s u n d d e r A m b o ß -A u fla g e rflä c h e Tq e rh ä lt m an d a ra u s

(3) P j <; ff • F i

und n ach E in s e tz e n d e r e n tsp re ch e n d en W e rte : (4) G /(A - f G) <( <t F x/k F 0 .

Im F a lle e in er s ta rr e n A u fla g e r u n g sin d d em n ach d a s A u n d F j so zu w ä h le n , daß d iese B e d in g u n g e rfü llt w ird . —

Im A u fs a tz vo n Z e l l e r w ir d z u r V e rrin g e ru n g d er E r ­ sc h ü tte ru n g sü b e rtra g u n g d e r G ru n d sa tz a u fg e s te llt, daß d ie d y ­ n am isch e B o d e n b e la s tu n g s te ts n u r ein en B ru c h te il (höchstens 5 0 % ) d e r s ta tis c h e n L a s t b e tra g e n so ll. M it d iese r F o rd e r u n g w ird m a n d e r E r sc h iitte r u n g sw irk u n g n ic h t g a n z g e r e c h t: b e tr ä g t die d y n a m isch e K r a ftw ir k u n g 5 0 % d e r ru h en d en L a s t , so is t d iese K r a f t b ei ein em le ic h te n F u n d a m e n t g e rin g e r a ls b ei ein em sc h w e ­ ren , u n d die E rsc h ü tte ru n g s w irk u n g w ird im le tz te n F a ll grö ß e r sein , a ls im e rste n . D e r G ru n d s a tz g ib t a b e r im m erh in ein en A n ­ h a lts p u n k t fü r d en F a ll, d aß b eso n d ere V o rk e h ru n g e n ge ge n E r ­ sc h ü tte ru n g sü b e rtra g u n g g e tro ffe n w e rd e n m ü ssen (W oh n un gen od e r e rsch ü tte ru n g se m p fin d lich e A n la g e n u n w e it des H a m m ers).

Ic h stim m e dem V e r fa s s e r zu, d aß in so lch e n F ä lle n ein e a u s ­ reich en d w eich e A b fe d e ru n g des H a m m e rfu n d a m e n te s d u rch d ie ü b lich e K o rk is o lie ru n g u n te r d em F u n d a m e n t (au ch b ei m eh reren L a g en ) k a u m zu e rreich en u n d die A n o rd n u n g v o n S ta h lfe d e rn v o r ­ zuziehen i s t 10. E s m uß a b e r h e rv o rg e h o b e n w erd en , d aß die F e d e rn au sreich e n d zu b em essen s in d : z u r s ta tis c h e n L a s t m uß d e r d y ­ n am isch e B e la stu n g s a n te il m it dem d reifa c h en W e rt (w egen d er B a u s to ff-E rm ü d u n g b e i W e ch selb ean sp ru ch u n gen ) h in z u g e z ä h lt w erd en , u n d die F e d e rn sin d fü r d iese s ta tis c h e E r s a t z k r a ft zu b e ­ stim m en . In d e r T a fe l d e r „ H ü t t e “ 11 is t die T ra g fä h ig k e it d er F e d e rn u n te r B e rü c k sic h tig u n g ein es 5op roz. E r s c h ü tte ru n g s z u ­ sch la g e s an gegeb en , die s ta tis c h e T ra g fä h ig k e it is t um 5 0 % größ er.

B e re c h n e t m an a ls o die a u f eine F e d e r e n tfa lle n d e s ta tis c h e E r s a t z ­ k r a ft w ie an ge ge b e n (d y n a m isch e r A n te il d reifac h ), d a n n k a n n d ie T r a g fä h ig k e it d e r F e d e r um 5 0 % h ö h e r an gen o m m en w erd en , a ls in d e r T a fe l a n gegeb en . D ie in den B e isp ie le n v o n Z e lle r ge w ä h lte n F e d e rs tä rk e n e n tsp re ch e n diesen B ed in g u n g e n .

Im A u fs a tz Z e lle r w ird v o n ein er E ig e n fre q u e n z des B a u g r u n ­ d es g esp ro ch en , d ie v o n d e r F u n d a m e n ta n la g e u n a b h ä n g ig is t un d die G rö ß e n o rd n u n g v o n e tw a 20 H e rtz h a t, in ein em Z u sa m m e n ­ h an g, a ls w ä re d iese E ig e n s c h w in g u n g g le ich b e d e u ten d m it der E ig e n sc h w in g u n g d es a m fe d e rn d e n B a u g r u n d sch w in g en d e n F u n ­ d a m e n te s. D a s k ö n n te zu dem T ru g sc h lu ß fü h re n , a ls h ä tte n a lle F u n d a m e n te , d ie a u f d en B a u g r u n d g e s te llt sin d , d iese lb e E ig e n ­ sch w in g za h l, n äm lich die d e r „ E ig e n fre q u e n z des B o d e n s “ e n t­

sp rech en d e. Z u r K la r s te llu n g se i b em e rk t, daß d e r B a u g r u n d — m it ge w isse n E in s c h rä n k u n g e n — a ls F e d e r b e tra c h te t w e rd e n k a n n , un d d em n ach d ie F u n d a m e n te am B a u g r u n d je n ac h G e w ich t und G ru n d flä c h e v e rsch ie d e n e E ig e n sc h w in g z a h le n au fw eise n kön n en , un d daß in e rs te r L in ie d iese E ig e n sc h w in g z a h le n zu b e ­ a c h te n sin d , w en n m a n d ie R e so n a n z la g e ve rm e id e n w ill, w ie d as a u c h d u rch V ersu ch e B e s tä t ig u n g fa n d 12. W e rd e n S ta h lfe d e rn u n te r d em F u n d a m e n tb lo c k v e rw e n d e t, d an n sin d zw ei F e d e ru n g e n h in te re in a n d e rg e s c h a lte t: d ie S ta h lfe d e rn un d die B a u g r u n d fe d e ­ ru n g. D a die e rste re n se h r w eich sin d im V e rh ä ltn is z u r le tz te re n , so k a n n in so lch e n F ä lle n die B a u g ru n d fe d e ru n g b ei d e r E r m it t ­ lu n g d e r E ig e n sc h w in g z a h le n d e r G rü n d u n g u n b e rü c k s ic h tig t b leib en .

giebigkeit. D as ist aus obigen Gründen unzulässig, bei starrer Verbin­

dung muß vielm ehr der Am boß m it dem Fundam ent fest veran kert und vergossen werden.

10 Eine Anordnung au f Schraubeniedern habe ich m. W. erstm alig 19 33 in V orschlag gebracht (Beton u. Eisen 35 (1936) S. 41).

11 „H ü tte “ 26. A u flage, I. B and , S. 668.

12 H e r t w i g - L o r e n z : D as dynam ische Bodenuntersuchungs­

verfahren (Abschnitt 5). Bauing. 16 (1935) S. 279.

3 4 4 R E I N I T Z H U B E R , B E R E C H N U N G D. N I E D R I G S T E N E I G E N S C H W I N G Z A H L VON S T A B W E R K E N . R( 3 3/ l f

Z u s a m m e n f a s s u n g .

A u s den b eid en gen an n te n A u fs ä tz e n u n d den vo rste h e n d e n A u sfü h ru n g e n lassen sich fü r die K o n s tru k tio n v o n H a m m e r­

fu n d am e n te n fo lgen d e n eu e S c h lü sse zieh en :

1 . D ie ein sch lägige n V o rs c h rifte n d e r G ew erb eo rd n u n g sin d v e r a lte t un d m ü ß ten neu b e a rb e ite t w erden .

2. D ie b ish e r ü b lich e e lastisch e E in la g e zw isch en A m b oß und F u n d a m e n t is t zum S c h u tze des F u n d a m e n tb e to n s in d e r R e g e l e rfo rd erlich . H olz is t un geeign et, H a m m e rfilz zu em pfeh len. Z u r E rz ie lu n g eines m ö g lich st hohen S c h m ie d e w irk u n g sg rad e s soll die F ilz la g e so d ü n n sein , w ie es m it R ü c k s ic h t a u f die B e to n p re ssu n g (h öchsten s Oo k g/cm 2) noch z u lä ssig ist.

3. W e rd e n G e w ich t und A u fla g e rflä c h e d es A m b o sse s so groß g e w äh lt, daß die n ach G l. (4) e rrech n ete B e to n p re ssu n g in d e r A u f­

la g e rflä c h e d es A m b o sse s in zu lässig en G ren zen b le ib t, d a n n kan n im In te re sse des S c h m ie d e w irk u n g sg ra d e s a u f eine e la stisch e

Z w isch e n la g e v e r z ic h te t w e rd e n , de A m b o ß w ird v ie lm e h r u n ­ m itte lb a r a u f d en F u n d a m e n tb e to n a u fg e le g t (v e ra n k e rt un d v e r ­ gossen ).

4. E in w irk s a m e r E r sc h ü tte ru n g s sc h u tz fü r die U m g e b u n g k a n n d u rch P la tte n iso lie ru n g m e iste n s n ic h t e rre ich t w erd en , so n d ern n u r d u rch S ta h lfe d e rn (oder an d e re e n tsp re ch e n d w eich e F e d e ru n g ) u n te r dem F u n d a m e n tb lo c k . D ie F e d e rn m ü ssen zu ­ g ä n g lich sein (Ü b erw ach u n g , A u sw e ch slu n g ). S ie sin d so s t a r k zu bem essen , daß sie n ic h t n u r die ru h en d en L a s te n , so n d ern a u c h die d yn am isch e n K r ä f t e m it S ich e rh e it au fn e h m e n kön n en . Im In te r ­ esse d er S t a b ilit ä t d er A n la g e so ll fe rn e r d ie S c h la n k h e it d er F e d e r (H öhe zu D u rch m esser) n ich t grö ß er sein a ls e tw a 1 ,5 .

5. A ls A n h a lts p u n k t fü r ein en w irk sa m e n E r s c h ü tte ru n g s ­ sch u tz k a n n n ac h Z elle r d er G ru n d sa tz gelten , d aß die d y n a m isch e B o d e n b e la stu n g n ic h t größ er sein so ll, a ls e tw a 5 0 % d er sta tisc h e n .

Z U R B E R E C H N U N G D E R N I E D R I G S T E N E I G E N S C H W I N G Z A H L V O N S T A B W E R K E N .

V o n D r.-In g .

F. Reinitzhuber,

K ö ln -D e u tz .

d e r E ig c u fre q u e n z cu in d e r F o rm tu2 < A (v) die ge- 1 . D ie g e n au e B e re ch n u n g d er G ru n d sch w in g za h l eines F a c h ­ w erk es o d e r ein es b ie g u n g sste ife n S ta b w e rk e s s tö ß t b e i grö ß erer A n z a h l d e r S tä b e a u f b ed eu ten d e rech n erisch e S c h w ie rig k e ite n . In diesen F ä lle n le iste t b ek a n n tlich d a s N ä h e ru n g sv e rfa h re n v o n R a y l e i g h 1 se h r w e rtv o lle D ie n ste . D ie se s g ib t d a s Q u a d ra t

A (v) T (v )’

sa m te p o ten tielle E n e rg ie ein er F o rm ä n d e ru n g v des S y s te m s und T (v) d ie zu g eh ö rig e A m p litu d e d e r bezogenen k in e tisch e n E n e rg ie b ed eu tet. S tim m t die g e w ä h lte F o rm ä n d e ru n g des S y s te m s m it d e r w irk lic h e n S c h w in g fo rm ü b erein , d a n n g ilt d a s G le ich h eits­

zeichen . B e i w illk ü rlic h e r W a h l d e r F o rm ä n d e ru n g — w o b e i a b e r die R a n d - u n d a llfä llig e S y m m etrie b e d in g u n g en zu e rfü llen sin d — e rg ib t sich ein g rö ß eres cu2, u n d es is t die N ä h e ru n g u m so b esser, je b e n a c h b a rte r die ge w ä h lte D e fo rm a tio n d er w irk lich e n S c h w in g ­ form ist. T h . P ö s c h l 2 b erech n ete n ach d iesem V e r fa h r e n die G ru n d fre q u en z v o n zw e istieligen R a h m e n , w o b e i d ie B ie g e lin ie n d e r ein zelnen T e ile d es R a h m e n s d u rch P o ly n o m e e in fa c h s te r A r t a n g e n ä h e rt w erd en , K . F e d e r h o f e r 1 w ä h lt b ei d er B e ­ rech n u n g d e r G ru n d fre q u en z d e r F a c h w e rk sc h w in g u n g a ls b en a ch ­ b a rte S c h w in g fo rm eine D e fo rm a tio n des F a c h w e rk e s , die d u rch sta tis c h e B e la s tu n g h e rv o rg e b ra c h t w ird , in ä h n lich e r W eise ge h t A . H a b e l 4 in ein er k ü rzlich in d ieser Z e its c h rift ersch ienenen A rb e it b ei B e re c h n u n g d er R a h m e n sc h w in g u n g e n v o r.

I m fo lgen d en so ll z u n ä c h st in (2) die R a y le ig h s c h e G le ich u n g fü r ein b elieb iges, a u s ge rad en S tä b e n ge b ild e te s b ie g u n g sste ife s S ta b w e rk a n a lo g dem V o rg ä n g e v o n K . F e d e r h o f e r 3 e n t­

w ic k e lt un d so d an n in (3) d eren A n w e n d u n g zu r S c h w in g z a h l­

b erech n u n g a n m eh reren B e isp ie le n g e z e ig t w erd en , d ie den zw ei­

stieligen u n d zw e istö ck ig e n R a h m e n u n d eine B rü c k e (L a n g e rsch e r B alk e n ) b e tr e ffe n ; sch ließ lich w ird an dem B e is p ie l eines a u s ­ ge fü h rte n B rü c k e n fa c h w e rk e s d e r E in flu ß d e r b ie g u n g sste ife n K n o te n a u f die G röß e v o n o> zah len m äß ig e rm itte lt.

2. D i e B e r e c h n u n g d e r G r u n d s c h w i n g z a h l . D e r P u n k t m ein es g e ra d en S ta b e s h , lc (1, k E in h e its v e k to r) eines räu m lich en S ta b w e rk e s , d essen E n d p u n k te h, k z u r Z e it t d ie v e k ­ toriellen V ersch ie b u n g en tob sin tu t, tuk sin 0 11 erleiden, e rfä h rt eine G e sa m tv e rsch ie b u n g

I0m sin co t x„ L .

§ h f — + ‘» k + F m l l h . k X L k sin tu t, J h .k J-'h,k

die h e rv o rg e ru fe n w ird d u rch ein e k o n sta n te S t a b k r a ft S,bk

b,k l h,k

1 Handbuch der P h ysik, B d. V I. B erlin 192S. S. 363 u. f.

2 P ö s c h l , T h .: Ing.-A rch. 1 (1930) S. 469.

7 (1934) S. 6.

16 (1935) S. 4S5.

3 F e d e r h o f e r , K . : Stahlbau 4 H a b e l , A . : Bauini

S ta b h ,k v o n d er L ä n g e L h k in die A b sc h n itte x m, x'm g e te ilt ; d er d r itte S u m m a n d in o b ig e r G le ich u n g b e d e u te t die V e rsc h ie b u n g d es P u n k te s m zu r Z e it t se n k re c h t zu Ih k , h e rv o rg e ru fe n d u rch eine B e la s tu n g in d e r B ie g u n g se b e n e , w äh re n d d er A n te il d er V e r ­ sch ieb u n g en tnh, lük a n d er G e sa m tv e rsc h ie b u n g d u rch die ersten b eid en G lie d e r a u s g e d rü c k t is t (A b b . 1).

Abb. 1 . D er Stab hk mit den Verschiebungen der Punkte h, k und 111.

D ie k in e tisc h e E n e r g ie dieses S ta b e s, dessen g le ich fö rm ig v e r ­ te ilte M a sse m h k sei, is t d a n n zu r Z e it t

4i,k l4h,k

3

Inf, + tok + iuh • iuk + - — 5 (mh u h k i h k) I y m x m d x,

+ J i'k.

(tu

Mi.k

k h|, ,k L , k ) | Tu^{F m} d X m - f - h k

L., Lh,k

| Ym d x n <oä co s2 cu t ;

h ie rau s e rg ib t sich die m a x im a le k in e tisch e E n e r g ie d es s ch w in g e n ­ den S y s te m s m it B e rü c k sic h tig u n g a llfä llig e r E in z e lm a sse n G m, d a cos tu t = 1 :

T = ^co- L1h,k 3

ti'h + 'Uk + l»h • tuk + r „~ - (tuhn h kl

b k ^{b .k)} I ^y m - A n d X „ 4>,k

+ Lh k^{(«>k n}n .k ^h,k) ym x md x m +

^b,k L h,k

l

y m d x n G „

w o b ei die e rs te S u m m e ü b e r a lle S tä b e s des S ta b w e rk e s u n d die zw eite S u m m e ü b e r a lle m it E in z e lm a ss e n b e la ste te n P u n k t e e zu e rstre c k e n is t. D ie g rö ß te p o te n tielle E n e r g ie e rg ib t sich b ei g rö ß te r F o rm ä n d e ru n g (sin cu t = 1) u n d b e tr ä g t b ei b lo ß er B e r ü c k s ic h ti­

g u n g d e r B ie g u n g sm o m e n te M m u n d d e r A x ia lk r ä ft e S h k un d

eine B e la stu n g , d ie in ein er B ie g u n g se b e n e w irk t, d eren E in h e it s ­ v e k to r nhk ist, w o b ei ith k • l h k = 0. D u rc h den P u n k t m is t der

M>,k _ L v <

[ J

^{J h,k}d x m + S ji.k T zu— -M F,h,k h,k

D e r k o n sta n te Q u e rsch n itt des S ta b e s h ,k h a b e ein e S y m m e tr ie ­ ach se , d ie in d e r B ie g u n g se b e n e lie g e ; F h k se i sein e F lä c h e und

J h k d a s T rä g h e itsm o m e n t um die B ie g u n g sa ch se.

DE« . AUGUST I936UR IT Z H U B E R , B E R E C H N U N G D. N IE D R IG S T E N E IG E N SC H W IN G ZA H L VON S T A B W E R K E N . 3 4 5

A u s d e r G le ich se tz u n g d e r b eiden E n e rg ie b e trä g e fo lg t fü r d as Q u a d ra t d er k le in ste n K re isfre q u e n z allgem ein

V (I) 0»* =

h,k f p i d ,

J Jh b

Sc

Xm + h.k

hi k Lu

y i n lii k

t ü h

b,k I-h,k Lh,k

+ t o £ + mh • tuk + — (mhnh k I.ljk) I y mx'a d x m + -4- K »h k th.k) I ym x m d x m + 3 I y , - d x j +

k J L h k J L h kJ ¿ - J g

so is t

H a n d e lt es sich um ein ebenes S ta b w e rk , d an n h a t nh k fü r a lle S tä b e gleich e R ic h tu n g , un d z w a r se n k rec h t zu toh bzw . luk,

(2) CO2 =

s 2 ? ( f r * * ‘ + i r l L -

^J- w Jb.k b,k

Y > m b , k

h,k L h k

to£ + 10k + luh • h>k + T T - (t, k X ton) I

ym

x m d x m + (l, k x !ok) I y m x m d x m + I y 2, d >

■' L h k J L b k .J +

g W en n die V e rfo rm u n g des S y ste m s w äh re n d d er Sch w in g u n g d er Q u e rsch n itt F u + 1 . d a s T rä g h eitsm o m en t + 1 un d die b e k a n n t w ä re , w ü rd e n die G l. (i) u n d (2) die g e n au e E ig e n fre q u e n z S t a b k r a ft S ij( 1 a ls u n v e rä n d e rlich an geseh en w e rd e n können, liefern . In den fo lgen d en A n w en d u n gen w ird die A u sw e rtu n g d er D a n n b e h ä lt ’ die G l. (2) fü r d iese n S ta b te ile ih re G ü ltig k e it. D a G leich u n g en u n te r Z u gru n d e le g u n g ein er F o rm än d e ru n g des S ta b - die äuß ere B e la stu n g d u rch E in z e lla s te n in den K n o te n o, . . . i, . . . w erkes vo rgen om m en , die d er des sch w in gen den S y ste m s m ö g lich st 11 e rse tz t w erd en k a n n , so is t d er S ta b te il (i, i + 1) n u r d u rch die äh n lich ist. D u rch p asse n d g e w ä h lte B e la stu n g k a n n eine solch e E n d m o m e n te M ;, M i+ 1 un d d u rch die k o n sta n te S t a b k r a ft S U r l ge fu n d e n w erd en . b ela ste t, w e n n vo n den Q u e rk räfte n ab geseh en w ird . S in d nq und

F ü r den h ä u fig vo rk o m m en d en F a ll d er B e la stu n g des S ta b e s to; ¡-1 die V ersch ieb u n g en d e r P u n k te i, i + 1 , d an n is t d e r A n te il h ,k d u rch d ie S t a b k r a ft S h k u n d du rch die E n d m o m e n te M h k un d des S ta b te ile s (i, i + 1) am N e n n er d e r G l. (2) d u rch G l. (3 a) un d am Z ä h le r d u rch G l. (3 b) gegeb en (w enn d arin h , k d u rch i u n d i + 1 e rse tz t w ird ). B e i d e r K ü r z e d er S tab e le m e n te (i, i + 1) w ird im allgem einen y m so k le in g e gen ü b er hq w erd en , daß die In te g ra l-

Sh,k

(

^{• Lh,k}

V V

"K/i Sh,k

Abb. 2. B elastu n g des Stab es (lik) durch die Stab k ra ft Shk und durch die Endm om ente Mh,k und Mk-,h-

M k:i (s. A b b . 2) v e r e in fa c h t s ich d er A n te il d ieses S ta b e s im N en n er d er G l. (2) zu

~ k { tob + h>k + hq, • iok -f-

3

(

ausdrtick e _■ 2 ( Ym Xni d x m i, i —f- i o^J

;-i,i + l

y m x md x m =

~ f , Xi,i + 1 ■'

2 Aj'.i ML I5E J ili+ J

2 -’•U H

(3 a) + 2 i- h k 1 5 E J llk

(i.. k x to|,)[Mh k + —M k h ] + (Ih k X to k) | — M h k - f M kh

15 E J i>i + i \ 8

_ ä _ / y i d x „, _ (m! + | m , , + M f , , )

+ (M lk + ~ Mh k Mkh + M J J }

3 r 5 E J i, k \ 16

n

w o fü r b e i E in fü h ru n g d er S ta b d re h w in k e l r h k un d r kih au ch ge ­ sch rieb en w e rd e n kan n

h,k ¡toh + toj + toh • mk +

"huk 3

(Ih,kx toh) [r hik + - r kih

+ (ih,kXtok) - T hik + Tk>l,

, 1 h , k ( , 1 3 . \ \

35~ \ ,k 2 h,k k,h ,h/ J ’

v e rn a c h lä s s ig t w erd en kön nen (vgl. B e isp ie l [b] im A b ­ sch n itte 3). M ith in b e trä g t d e r G e sa m ta n te il des S ta b e s o, n am N e n n er d er G l. (2)

—y — (tof + tof+ 1 + hq 10j ¡.i), i — O

un d es is t d ieser W e rt u m so g e n a u e r, je grö ß e r n g e w ä h lt w ird . D e r G e sa m ta n te il des S ta b e s o, n a m Z ä h le r d er G l. (2) e rg ib t sich zu

F a, D e r A n te il d e r M o m en te dieses S ta b e s im Z ä h le r v o n G l. (2) b e- E J C '

L

i.i-f 1 ^{1 Jc} (M f + M i M i y 1 + M f + a) + S ?i h i- Jc t r ä g t d ann

(3 b)

3 J i,i -h 1

D ie G l. (2) lä ß t sich m ith in e rsetzen du rch (S ie h e G le ich u n g (4) unten)

- ¡,1+ 1

(M£,k + M hik M k,h + M i,h) . 3 E J h . k

S in d T rä g h e itsm o m e n t und S t a b k r a ft ein es S ta b e s o, n w o b ei s x die Z a h l d er b ie g u n g sfe sten S tä b e un d s2 je n e d e r F a c h ­ ve rä n d e rlich , so te ilt m an ihn d u rch die P u n k te o, . . . i, . . . n in w e rk s s tä b e ist.

W ird s t a t t i, i -}- 1 w ie d e r h, k ein g e fü h rt un d sind die a u f d as n T eile

n—i

A-ur 1 — L 0in i = o

so daß fü r jed en S ta b te il (i, i + 1) S ta b w e rk w irk e n d e n E in z e lk r ä fte @ m v o n so lch er G röße, d aß der A n te il des E ig e n g e w ic h te s d e r S tä b e an d e r p o ten tiellen E n e rg ie

346

R E I N I T Z H U B E R , B E R E C H N U N G D. N I E D R I G S T E N E I G E N S C H W I N G Z A H L VON S T A B W E R K E N , des S y ste m s k lein is t geg e n ü b e r jen em d e r 65„

fü r

da n n e rh ä lt m an h = 11 ' k= i2'

(4 a )

A b = ^ 7 S£,k - = ^ - L hik = 1 , 3 9 8 - i o ' ^ m 3 h=o' X b.k

h=o'k=x'

y 1 — k k (löh + h>k + toh tok) + y '’ y y 5 t)c

(A n te il des Stab b o gen s)

3 " " — g

ein e G le ich u n g , die fo rm a l m it d e r v o n K . F e d e r h o f e r 3 fü r F a c h w e r k e a u fg e ste llte n G le ich u n g ü b e re in stim m t. D ie Su m m e im

s,

N e n n e r d er G l. (4 a) is t ü b e r a = n + s2 zu erstreck en . 3 . A n w e n d u n g e n , a) D e r z w eistielige u n d z w e istö ck ig e R a h m e n (A b b . 3). F ü r die B e re c h n u n g d e r E ig e n fre q u e n z d e r sy m m e trisc h e n S c h w in g u n g w u rd e a ls b e n a c h b a rte s S y s te m je n e s g e w äh lt, d as s ie l/ b e i B e la stu n g d es R a h m e n s d u rch E ig e n g e w ic h t s a m t N u tz la s t e rg ib t (A b b . 3 a ). H ie rb e i w ird co — 6 4 ,7 i / s ; d er

15000kg

¿1

h = u k = n '

A s = S£,k —— L h,k = 0 ,0 16 • 1 0 s t 2 m 3

h =I h-k

k = i'

und

T „ =

(A n teil d e r V e rtik a lstä b e ) h - 1 1

k = i2 V Sk.k h=ok = i

j [toh + tok + » h iuk ]

-3,00-

Abb. 3. System - und Belastungsskizze des Rahm ens.

F , = F 3 = 75 cm 2, J i = J 3 = 5 3 8o cm4, F 2 = F 4 = ic8 cm 2 J 2 = J 4 = 12 560 cm4.

g en au e W e r t w u rd e fü r dieses, ein er A r b e it v o n F . W . W a l t - k i n g 6 en tn om m en e B e is p ie l d o rt a u s d e r F re q u e n z e n g le ich u n g m it 6 4 ,3 i/ s b ere ch n e t. D e r F e h le r b e tr ä g t n u r + 0 ,6 2 % . U m die E ig e n fre q u e n z d e r u n sy m m etrisch e n S c h w in g u n g zu b erech n en , w u rd e a ls B e la s tu n g ein e h o riz o n ta le E in z e lla s t „ 1 “ am ob eren R ie g e l a n g e b ra c h t (A b b . 3 b). A ls K re isfre q u e n z co fin d e t m a n dan n a u s G l. (2) co = 1 1 , 7 i / s s t a t t d es gen au en W e r te s 1 1 ,6 6 i / s 5 (F e h le r + 0 ,3 4 % ) .

D ie B e r ü c k sic h tig u n g d er S ta b k r ä ft e e rg ib t b ei den s y m ­ m e trisch en S c h w in g u n g e n cw = 60,4 i/ s , b ei den u n sy m m etrisch e n S c h w in gu n gen co = 1 1 , 8 i/ s (also g e g e n ü b e r d en b ei V e r n a c h ­ lä ssig u n g d e r S t a b k r ä ft e g e rec h n e ten W e rte n eine A b w e ic h u n g v o n 6 ,1 b z w . 1 ,2 % ) . E in e g e n au e U n te rsu c h u n g m it B e r ü c k s ic h ­ tig u n g d e r S ta b k r ä ft e is t in d er A r b e it W a ltk in g s n ic h t e n th alten .

b) E ig e n fre q u e n z d es L a n g e r seh en B a lk e n s d e r A b b . 4.

A ls b e n a ch b a rte s S y ste m w u rd e je n e s g e w äh lt, d as sich d u rch eine gleich m äß ig v e r te ilte B e la s tu n g q = 5 ,9 1 t/m erg ib t, die die gleich en G rö ß tm o m en te e rze u g t w ie d er B e re ch n u n g sla ste n z u g

s a m t d er stän d igen L a s t . M an fin d e t nach (2) 3 6E J c g ( A v + A b + A s )

Je

Abb. 4. System skizze des L an g e r’schen Balkens.

= 1 • 373, yL = o • 3196 m2, j,C

1* ! r j : o . 4 0 15 111“, J2

~ = o • 4S5 m2, = 1 ' 2 35 m2.

q = 5 . 91 t/m, E = 21O0 t/cm2, 7. = 3 • 7 m.

J i = J c = 12 2 2 2 5 2 cm 4.

H f t) [(^h,k X toh) (M hik- f M kih) + (lh)k x luk) (¡j M hik+ M k,h)]

* 5 ^ J h .k

+ F P D Ü (M i'l- + r 6 M « M “ + M ä j j

= (2 9 2 ,5 - f 3 ,3 - f 0,0) 1 0 6 = 296 • 1 0 6 1 3 m 2 (A n teil des V e rste ifu n g strä g e rs) h - n '

,k = i2 '

T ß = ( 6 - y 2 ~ ) 2 J + + ^ . l u j = 2 3 2 • IO« • t 3 m 2

(A n te il d es Stab b o gen s) k = i'h=o'

h = n 6 E Jc. j 2 y gh.k

h=Tk - i '

(luf, + luk - f )uh • lok) = 1 1 0 • r o 6 1 3 m 2

A2 (T V + T B + T S + T E)

3 6 - 2 1,0- IO 6 • 0 ,0 1 2 2 2■ 9,8l • 2 6 3 9 - IO6

3,74 ‘7 4o6' i o 9 1 8 1 , 1 5 V s2 u n d d a h e r

w o b ei

A v = h = n k= 12 X , v h=o k = i

(0 = 13 ,4 6 i / s ,

7

^“ (Mh,k+ ^rh,k M k,h + M kjh) + Sg,k 7.

3

Jh.k J’ h.k

^ (0,284 + ° .9 4 i) • i o 6 t 2 m 3

(A n teil des V e rste ifu n g strä g e rs) 4 W a l t k i n g , F. W.: Ing.-Arch. II (1 9 3 2) S. 2 4 7.

(A n te il d er V e rtik a lstä b e ) / 6 E 1 \ 2 11

T , = ¿ G y j = 6408 • i o 6 • t 3 m 2 . (A n te il d er E in zelm assen )

W ie m a n a u s T v ersieh t, is t d e r A n te il d e r le tzte n b eiden Su m m en a n d er G e sa m tsu m m e v o n T v u n d d a h e r a u ch a n d er d es N e n n e rs so k lein , d aß e r u n b ed en k lich v e rn a c h lä s s ig t w erd en k a n n , w o ra u f b ere its im A b s c h n itt 2 h in g e w ie sen w u rd e . Im vo rlieg en d e n F a lle e rg ib t sich b ei A n w e n d u n g v o n (4) co = 1 3 ,4 6 i/ s (F e h le r 0 ,0 % ) u n d v o n (4 a) co = 1 3 ,4 3 i/ s (F e h le r 0 ,2 2 % ).

B e re c h n e t m a n die E ig e n fre q u e n z des L a n g e rsc h e n B a lk e n s n ach d e r e in fa ch e n G le ich u n g fü r die F re q u e n z ein es V o llw a n d ­ trä g e rs m it k o n sta n te m T rä g h e itsm o m e n te , d e r in B rü c k e n m itte die g le ich e D u rch b ie g u n g b e s itz t w ie d e r L a n g e rsc h e B a lk e n b ei ein er g le ich fö rm ig v e rte ilte n V o lla s t q = 5 ,9 1 t/ m , so e rg ib t sich d ie E ig e n fre q u e n z in v o lle r Ü b e re in stim m u n g m it dem gen au en W e rt zu co = 13 ,4 6 l/ s .