Der Stahlbau : Beilage zur Zeitschrift die Bautechnik, Jg. 9, Heft 3

DER STAHLBAU

S c h r i f t l e i t u n g :

2)r.s!3n 8- A. H e r t w i g , G eh . R egierungsrat, Professor an der T echnischen H och sch u le Berlin, B erlin-C h arlotten bu rg 2, T echnische H ochschule Fernsprecher: C I Steinplatz 0011

Professor W. R e i n , B reslau, T ech nische H och sch u le. — F ernsprecher: B reslau 421 61

B e i l a g e T ^ T T T ' D A T T H T 1 7

T_T TVT T T Z Fachschrift für das ge"

z u r Z e i t s c h r i f t | / | p , | ) M . [ J X D A y I 1 1

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10. Jahrgang BERLIN, 29. Januar 1937 Heft 3

B e it r a g zu r S ta b ilitä t s u n t e r s u c h u n g d e s

A l l e R e c h t e V o r b e h a l t e n . V on ©r.r^JUQ. F. B le ic h lind

D ie d erzeit gebräuchlichen Form eln zur B erech nung der K nickslcher- h e lt von p u n k tw eise elastisch gestü tzten Stäben , d ie E n g e ß e r - F o r m e l und d ie Form el von F. B l e i c h 1), erfassen nur den Fall fester S tü tzu n g der Stab en den b ei unveränderlichem Stabquerschnitt, gleich er E lastizität aller Z w isch en stü tzen und b ei unveränderlicher Druckkraft von ein em S tab en de zum anderen, ln ein er jüngeren Arbeit b eh a n d elt F. S c h w e d a 2) unter den g leich en V oraussetzu ngen den Stab m it elastisch g e stü tzten Enden und g ela n g t auf dem g leic h en W ege w ie F. B leich zu ein er g esc h lo sse n e n Form el für den erforderlichen W iderstand der E nd stü tzen. W enn auch kein e grundsätzlichen Sch w ierigk eiten b e ste h e n , d ie kritischen W erte der S tü tzen w id erstän d e b ei b elieb ig er V erän derlich keit der Druckkräfte S, d es T rägh eitsm om en tes J und der S tü tzen w id erstä n d e A zu berechn en , so kann doch im A n w en d u n g sfa lle auf die bereits von Z i m m e r m a n n 3) und M ü l l e r - B r e s l a u 4) a n g e g e b e n e n a llg e m ein en M eth od en , d ie aut m ehr oder m inder m ü h se lig e Z ahlenrechn un gen h in a u sla u fen , kaum zurück­

gegriffen w erd en . Im n ach folgen d en wird daher e in e a llg e m ein e B erech nu ngs­

m eth od e d argelegt w erd en , die sich auf das R i t z s c h e V e r f a h r e n zur F estleg u n g von N ä h eru n gslösu ngen e in es V ariation sproblem s stü tz t5).

W ährend aber ü b lich erw eise b ei der A n w en d u n g d ieser M eth ode Funk­

tion en folgen ¡p, sogen an n te M in im alfolgen , a n g esetzt w erd en , d ie den R an db edin gungen d es P rob lem s von vornherein g e n ü g e n , so daß der E nergieausdruck, von dem d ie P rob lem lösu n g ihren A u sg a n g nim m t, k ein e auf d ie Ränder b ezü g lich en G lieder zu en thalten braucht, wird hier ln der W eise v o rg eg a n g en w e r d en , daß d ie A n satzfunk tion en <p im a ll­

g e m ein e n nur m ehr ein en T eil der R an db edin gungen b efried igen . In folge­

d essen m üssen im A usdruck für die E nergie d e s S y stem s auch d ie auf den Rand b ezü g lich en G lied er aufgenom m en w erd en . Da aber die übrigen von den F u n k tionen <r nicht ein geh alten en R an dbedingungen als natürliche R an d b ed in gu n gen d es V ariation sproblem s aufsch ein en , so kon­

vergieren die L ösu n gen g e g e n ein e allen R an dbed in gun gen g en ü g en d e F unktion.

A. D ie D a r s t e llu n g d e r N ä h e r u n g s lö s u n g e n .

Wir g e h e n von ein em gerad en Stab von der Länge L aus, der in den P unkten 0, 1,

2 , r ... n

sam m en h an g zw isch en Stützendruck C r und V ersch ieb u n g y r voraus­

g e se tz t se i, derart, daß

(1) C r = A r y r

ist. A r heißt der S t ü t z e n w i d e r s t a n d der Stü tze r. Im beson deren können e in ze ln e P unk te fest sein . Dort ist Ar = o o und y r = 0.

Der Stab steh t im A u gen b lick d es A u sk nick ens unter ein er ver­

änd erlichen Druckkraft S, deren W ert an der S te lle x m it S x b ezeich n et wird. Das veränderliche T rägheitsm om en t d e s S tab es s e i J x. Im aus­

g e b o g e n e n G leich gew ich tszu stan d w erd en die O rdinaten der V erform ungs­

lin ie m itj^ . b ezeich n et (Bild 1). An den S tü tzstellen 0, 1, 2 . . . r, . . . fl h eiß en d ie A u sb ieg u n g en j/0, y r, . . . y n. Wir n eh m en , um m öglich st a llg em ein zu s e in , w eiter a n , daß auch der E lastizitätsm odul E m it S x veränderlich sei.

') F. B l e i c h , T heorie und B erech nu ng eiserner Brücken, Berlin 1924.

2) F. S c h w e d a , D ie B em essu n g d e s Endquerrahm ens offener Brücken, Sitzu n gsb er. d. Akad. d. W iss., W ien 1928.

3) H. Z i m m e r m a n n , D ie K nick festigk eit der Druckgurte offener B rücken, Berlin 1910.

4) H. M ü l l e r - B r e s l a u , G raphische Statik, Bd. II, 1.

5) D en ste tig elastisch gestü tz ten Stab hat S. T i m o s h e n k o mit H ilfe ein es N äh erun gsan satzes für d ie A u sb ieg u n g y b eh an d elt. S ieh e Ann. d es ponts et ch a u ssö es 1913.

p u n k t w e i s e e la s t is c h g e s t ü t z t e n S ta b e s.

S r .^ n g . H. B le ic h , W ien.

D ie p o ten tielle Energie des G esa m tsy stem s beträgt im au sg eb o g en en Zustande

L /, n

(2) A = \ f E J X y x - ri x - \ f S x y ’> d x + "

(I Ö r = O

Das erste G lied stellt d ie p o te n tie lle Energie d es S tab es in fo lg e der B iegu n g, das z w e ite G lied die Arbeit der Lasten S x und das le tz te G lied, in dem

A r = u A r

g e s e tz t w u rd e, die Arbeit der Stü tzen w id erstän de A r vor. D er Para­

m eter u ist e in e unbenan nte Zahl. Wir nehm en nun S x , Jx , E so w ie d ie A r als g e g e b e n an, w o b ei E e in e Funktion von S x / Fx is t , dann folgt der Param eter « bekan ntlich aus der B ed in gu n g

<)' A = 0,

w o b ei von Fall zu Fall b estim m te R an db ed in gun gen als N eb en b ed in g u n g en vorgesch rieb en sind. Es sind d ies je n e R an db edingun gen, d ie, w ie F e s t­

haltun gen und starre E inspannungen, kein en Beitrag zur p o ten tiellen Energie d es S y stem s leisten .

0 1 r r+1 n

A A A A A A A

X Ip

j I L

_ --- --- 17nl

Bild 1.

D er G rundgedanke d es im fo lg en d en dargelegten B erech nu ngs­

verfahrens b esteh t nun darin, als F u n k tion en folge <p d ie E ig en lö su n g en ein es H ilfsp rob lem s zu b en u tzen, bei d essen L ösu ng bereits die V er­

änd erlichk eit von S x und E J X berücksichtigt erscheint. Wir beschaffen uns zu d iesem Z w eck e d ie E ig en lö su n g en ein es verw an dten E xtrem al- p rob lem s, das durch das Integral

L I.

(3) A' = \ \ E J X d x - g ' d x

u 6

definiert ist, w o b ei auch die g leich en N eb e n b ed in g u n g en w ie ob en vor­

gesc h rieb en w erd en so llen . Wir b ezeich n en die L ösu n gen <p als L ö s u n g e n d e s H i l f s p r o b l e m s . D ie B ed in gu n g S A ’ = 0 führt auf d ie b ek an n te D ifferen tialgleich u n g

(3') ( E J x r " ) " + > . { S x y')' = 0,

das ist d ie D ifferen tialgleich u n g d e s K nickproblem s d e s gerad en Stab es für den allg e m ein en F all, daß S x und E J X veränderlich sind.

Wir setzen zunächst voraus, daß d ie E ig en w erte X:- und die E igen - lösu n gcn tpi ( / = 1, 2 . . . ) d ieser D ifferen tialgleich u n g bekan nt wären.

V on H aus aus w issen wir aber, daß sie ein v o lls tä n d ig e s, orth ogonales F un k tion en system b ild en . Es lassen sich daher d ie L ösungen d es durch (2) g e g e b e n e n V ariationsproblem s durch den A nsatz

P

(4) y — 2 a i ipi,

i = i

w o a i p assend zu b e stim m en d e F estw erte sin d , m it b e lie b ig e m Grade der G en au igk eit app roxim ieren , w o b ei wir g eg en ü b er jedem anderen

1 8 F. B l e i c h u. H. B l e i c h , Beitrag zur Stabilitätsuntersuchung des p u n k tw eis e elastisch g estützten Stab es B e ila g e z u r Z e its c h rift .D i e B a u te ch n ik *

F u nk tion en system den V orteil g e w in n e n , daß d ie b eso n d eren Ortho- g on alitü tseigen sch aften der aus (3') hervorgeh en d en E igen fun ktionen <p den R ech nu ngsgang b ei der Durchführung d e s Ritzschen V erfahrens zur A ufsuchu ng der N ä h eru n gslösu ngen d e s v o rg eg eb en en V ariationsproblem s w esen tlich vereinfachen.

D ie zum E igen w ert 7.(- g eh ö rig e E igen lösu n g 9 i g en ü g t unter den je ­ w e ils vorgesch rieb en en R an dbed in gungen der D ifferen tialgleich u n g (3').

Es ist dem nach

[E J x T i ' ) " + h { s x ?’/ ) ’ = ° -

Wir m ultiplizieren mit f k und integrieren über den g a n zen B ereich, w ob ei (5) f ( E J x 9 / ' ) " r k d x + l J \ S x y , y n d x = 0

erhalten wird. D ie p artielle Integration liefert zunächst / [E J x 'Fi')" Tk d x = [(EJX r i ' Y Tk\ — f [ E J X r i ' ) ' T k d x

0 0

L I.

— [[E J x (Pi"Y Tk — E J x T i " T k ' \ + f E J T i " T k " d x 0 0

L L L

f {S xTi')' Tk d x = [Sx 9 ;<pk\ — f S x f l 9 k ' d x ,

0 0 0

w o m it G l. (5) ü b ergeh t in

L { [ ( £ Jx Ti ") ' + l i S x Ti'\ T k ~ E Jx T i ' Tk }

0 ^

+ / E J xTi " Tk d x — l , f S x y>/ V k ' d x = 0.

Der in der linken K lam m er ste h e n d e Ausdruck v ersch w in d et im m er bei den in unserem Problem in Betracht kom m end en h o m o g en en Rand­

b e d in g u n g e n 6), so daß

(6) / E J X f [ ' T k " d x — S x f ! f i ; d x = 0

zurückbleibt. Vertauscht man i und k, so g e w in n t man e in e z w eite B ezieh u n g

(6') f E J x f k " f l ' d x — ).k f S T k" r ! d x = 0

u u

und nach Subtraktion b eid er G leich u ngen

(*'■ — *ä) f S X t!tk d X — 0. A us dieser B ezieh u n g fo lg t d ie O rth ogonalitätsbedingu ng

L

(7) J S x f l f k' d x = 0 für i i|:- k

und dam it aus (6) 0

(7') f E J x f l ' f k ” d x — 0 für i -j- k.

u

+ 2

^ y

so liefert die Subtraktion beider G leich ungen

= a r 1 ) f S x T i ' 2 d x + 2 a i a j ' - A{ r T i r T j r

Mit den A bkürzungen (9 a)

(9b)

( 7 , - 1 ) f S x f l * d x = N i , n _

r = 0 r r ‘ ’- T j r == a i j '

w o b ei « t j = (Xji , nim m t der Ausdruck für A d ie einfache G estalt

(10) ?)

an. D ie ■ bild en ein e sym m etrisch e quadratische Matrix von der Form

A i).) M

03

deren G lieder gem äß Gl. (9b) in der W eise g e b ild et w erden, daß die Ordinaten der ^ - L in ie n in den Punkten 1 bzw . 2 bzw . 3 usw . m it den entsp rech en den Ordinaten der ^ - L i n i e m ultipliziert, mit Ä r verm ehrt und d ie Produkte sodann addiert w erden.

D ie S tab ilitätsb ed in gu n g S A = 0 liefert schließ lich p lin eare h o m o g en e G leich u n gen . .

ö A “ ¿ = 1 , 2 , . . . p t>ah = 0

zur Erm ittlung der E n tw ick lu n gsk oeffizien ten a it näm lich Ni

(

)

| ® u + J j + « 1 2 - f « 1 3 a 3 + . . . = 0

« 2 1 ° 1 + ^ « 2 2 " 1 ~l~j + “ 2 3 + . . . = 0

« 3 1 a l + « 3 2 a 2 + ^ « 3 3 + ry j a 3 + . ■ • — 0

A ußerdem b esteh t gem äß (6), w enn man i — k einführt, d ie V er­

knüpfung

(8) / E J X f l ' *d x - Sx f l * - d x = 0.

Wir g e h e n nun zur L ösu ng d es e ig en tlich en E xtrem alproblem s m ittels d e s A n satzes (4) über. D ie Einführung d ie se s A n satzes in (2) ergibt

L L n

A = 2

f EJx

0 0 r = 0

(i = 1, 2 . . . p ) {r = 0, 1, 2 . . . n).

f ir b e d e u te t d en Betrag der E ig en lö su n g f i an der S te lle r.

E ntw ickelt man d ie Q uadrate der S u m m en , so fin d et man, daß die G lied er, d ie d op p elte Produkte en th alten , w e g e n der O rth ogonalitäts­

b ed in g u n g en (7) u. (7') in den b eid en Integralen versch w in d en , s o daß dort nur d ie quadratischen G lied er Zurückbleiben. Man erhält daher

A = l V " a ? U E J x f P d x - f S x f l 2 d x \

~ - ■' ü 0

‘ i

Da außerdem gem äß G l. (8) d ie V erk nü pfu ng b e ste h t

i y " afU EJxf i 'z dx - lis'Sxfl*dx\ = 0,

z U 0

i

e) Man beachte, daß [ EJ x f l ' Y + l i S x f l = Q x d ie Querkraft an der S te lle x b ed eu tet. Man erk ennt auch, daß die R andbedingung Q x = 0 für x — 0 z . B . nicht üb erein stim m t m it ein er analogen R andbedingung Q x = = [ E J x y Y ' Y + S x y x = 0 d es ursprünglichen P rob lem s, da S x k e in e s­

w e g s g leich ¡-¡Sx ist.

deren D eterm inante v ersch w in d en muß, w en n für die n;- en d lich e W erte b esteh en so llen . D ie N u ll g e se tz te D eterm inante liefert im allg e m ein sten Fall für ,u ein e G leich u n g p - t e n G rades, deren größte p o sitiv e W urzel u den für die Stab ilität kritischen W ert ergibt. D am it ist in a llg em ein er Form der W eg zur A uffindung ein er N äh eru n gslösu n g d es ein gan gs auf­

g e ste llte n V ariationsproblem s au fgezeigt.

Es ist nun klar, daß das eb en d arg e leg te Berechnungsverfahren nur dann von ein ig em V orteil für d ie A n w en d u n g ist, w enn es g e lin g t, ein en g e n ü g e n d gen a u en N äh erun gsw ert m it H ilfe e in es z w ei-, h öch sten s drei­

g lied rigen A n satzes (4) zu finden. Hier ste llt sich aber g eg en ü b er ähn lichen K nickproblem en, d ie bish er nach dem R itzschen V erfahren g e lö s t w urden, d ie Schw ierigk eit ein, daß von H aus aus kein A nhaltspunkt für die G estalt der m aß geb en d en F orm än deru ngslinie im K nickzustande b e ste h t. Es ist bekannt, daß ein in n + 1 Punkten g estü tzter, also n-feidriger Stab in 1, 2, . . . n — 1 H alb w ellen ausknicken kann, je nach den V erh ältn issen der d ie S teifig k eit d es S y stem s k en n zeich n en d en G rößen, das sind die F eld ­ län gen , S teifig k eiten E J und R ahm enw iderstände A. Es ist daher, um ein en zw eck m äß igen A n satz für_y zu m achen, n o tw en d ig , sich durch zw eck ­ d ien lich e Ü b erleg u n g en oder durch kurze V orberechnu ngen m it H ilfe der ein gan gs erw ähnten Form eln ein b e ilä u fig e s Bild über die Z ahl der H alb­

w e lle n zu m ach en , in der der Stab bei den g e g e b e n e n S teifig k eits­

v erh ältn issen auskn icken wird. Man wird dann aus der R eihe der zur V erfü gu n g ste h e n d e n A n satzfunk tion en f jen e Linien ausw äh len, die m it­

einander kom biniert e in e Linie von der erw arteten W ellen za h l bilden k ön nen, ln den m eisten F ällen wird d ie V erb ind u n g zw eie r oder dreier benachbarter F unktionen g e n ü g e n , um den G rößtw ert v o n « ausreichend g en au zu fin d e n , b ei sym m etrisch en Stäben z. B. je ein e V erb indu ng aus benachbarten sym m etrisch en bzw . antisym m etrischen L ösungen f . Im übrigen s e i auf d ie B e isp iele v erw iesen .

Z w ei A u fgaben sind e s, d ie w ir hier b esonders ins A u ge fassen w o llen , und d ie sich im w ese n tlich en durch die v e rsch ied en e n R an db ed ingun gen von ein an d er u n terscheiden.

1. F a ll . D ie b eid en E nden d es S tab es sind fest und m om en ten frei g elagert. D ie Z w isch en stü tzen sind ela stisch n achgieb ig. In diesem F a lle lau ten d ie R andbedingungen

y = 0, y " = 0: für .* = 0 und x = L.

D ie b eid en R an db ed in gun gen sind in d iesem F a lle auch g leic h z eitig natürliche R an d b ed in gu n gen d es H ilfsp rob lem s, daher erfü llen d ie E ig en ­ lösu n gen f und dam it der L ösu ngsansatz (4) säm tliche R an dbedingungen der v o r g eleg te n A u fgabe stren ge.

7) S S ^ a j c t u = (fl) fl) « u + (7) a„ « „ + . . . ) + (a2 a i «21 + ai a2«22

i J

J,ll29KJanuar 19373 F. B l e i c h u. H. B l e i c h , B eitrag zur S tab ilitätsu ntersu ch un g d es p u n k tw eise elastisch gestü tzten S tab es 19

2. F a l l . S äm tlich e Stü tzp un kte sind elastisch nachgiebig. D ie Rand­

b ed in g u n g en haben d ie Form

Q [ E J x y"^j + S x y ' = 0 und y " = 0 : für * = 0 und x — L.

D ie natürlichen R an db edingun gen d es H ilfsp rob lem s, die aus der Variation d e s Integrals (3) fo lg en , sind aber

[ EJ X y>/')' + Xt S x tpl = 0, y " — 0 : für x — 0 und x = L.

D ie ersten der b e id en R andbedingungen stim m en nicht m ehr überein.

Es w erd en daher in den L ösu ngen y d es eig en tlich en E xtrem alp iob lem s d ie B ed in gu n gen am Rande, d ie sich dort auf das V ersch w in d en der Querkraft b e z ie h e n , nur n ä h eru n g sw eise erfüllt sein .

B. E r m ittlu n g d e r E ig e n w e r t e 7. un d E ig e n lö s u n g e n </ d e s H ilfs p r o b le m s .

1. U n v e r ä n d e r l i c h e s S u n d u n v e r ä n d e r l i c h e s EJ .

Das durch G l. (3') d efin ierte H ilfsproblem ist in d iesem F a lle nichts and eres als das Knickproblem des gerad en D ruckstabes m it unveränder­

lichem Q uerschnitt.

a) S i n d d i e b e i d e n S t a b e n d e n f e s t g e h a l t e n , F a l l 1 , so sind die E igen w erte d ie E ulersch en b zw . Engeßer-Kilrm änschen Traglasten

(!2 ) S X , : L--•" n "E J L2

und d ie zu geh ören d en E ig en lö su n g en d ie Funktionen i 71 x

(13) ¡Pi — C ■ sin -j~-

w o b ei E auch den Kärm anschen K nickm odul b ed eu ten kann.

Da d ie K onstante C w illk ürlich ist, so kön nen wir sie auch 1 setzen , so daß das in AL auftretende Integral, G l. (9a), den W ert

1. L

(14) / ’ >« J f 0 i 71X , i 1 n - J cp, - d x = / 2 J c o s- L rfx = - 2 /

0 u

annim m t. Som it sind die G rößen N , durch

(14') Nr - - ( S K - S ) —

fe stg ele g t.

b) Im F a l l 2 ste llt das H ilfsproblem den Knickfall d e s S tab es m it freien Enden vor. E igen w erte und E ig en lö su n g en sind d ie g leich en w ie vor, doch b esteh en noch z w e i w eitere E ig e n lö s u n g en , die die Rand­

b ed in g u n g en d es F a lle s 2 erfü llen und d ie wir m it <p0 und y>0 b ezeich n en w o llen , mit den E ig en w erten /¡0 und X0. D ie se L ösu n gen lauten:

y>0 = 1 m it dem E igen w ert ).0 = un bestim m t, (15)

( To — 1 ml J - 2 x

\ 'Pa = — -£~ + 1 m it dem E igen w ert X0 = 0.

W0 = 0 und N 0 = — S •

Um d ie R echenarbeit bei der F estste llu n g der E igen w erte X und E ig en ­ lösu n gen 97 innerhalb b esch eid en er G renzen zu halten, w ird man sich dam it b eg n ü g en , d en Stab in drei A bschnitte zu teilen , innerhalb w elch er S und E J konstant an gen om m en w erd en können. D am it ist das H ilfs­

problem fe stg ele g t. Es sind die / W . / V i ________ /TjJi

S', x 2 S',

Jl.

K nicklasten und d ie K nickbiege- 7 ! lin ien d es in Bild 2 d a rg estellten D ruckstabes zu berechn en , w o b ei Sym m etrie der A nordnung vor- L* .— k --- J a u sg ese tz t wird. D ie A bschnitt-

Bild 2. längen seien so a n g en o m m en , daß sie das V ie lfa ch e der F e ld ­ län ge l d arstellen . D as v o r lieg en d e Stabilitätsproblem ist mit H ilfe e in es der bekannten a llg e m ein en Verfahren, d ie d ie Stab ilität von Stab zü gen beh an d eln , leich t zu lö sen 8). Wir g e b e n im fo lg en d en nur die E rgeb n isse a n : a) F a l l 1. D i e E n d e n s i n d f e s t g e h a l t e n . D ie s y m m e t r i s c h e n E i g e n w e r t e findet man aus der B ed in gu ng

(16) w o b ei (16')

J

.

Yi

COtg —

Y i :

i ’ y--/2 =

■Io 1 s 2 i.

E 2 Jo

(17)

D ie s y m m e t r i s c h e n E i g e n l ö s u n g e n lauten für den Bereich 0 < x , < L w [x,) — —

1 1 7 u sin -yi für den Bereich 0 <c x 2 < . U <p ( x 2)

sin Y1

• C O S y 2

w o m it das Integral / S x y>

(18)

cos y2/ 2

d x in G l. (9a) den W ert annim m t

T d x — S i Y , li • stn2 (-

Y1

S2 y22 2 lo D ie a n t i s y m m e t r i s c h e n E i g e n w e r t e K nick bedingu ng

(19) - l y J - - c o t g / i + 7i

■COS2 y , / 2

berechn et man aus der

h ¿ 1 Yi

COtg y j 2 = 0.

D ie zu geh ören d en a n t i s y m m e t r i s c h e n E i g e n l ö s u n g e n sind

1 ,

(

)

für den Bereich 0 -

für den Bereich 0 < x ,

: / i <p (x i) ^

. Io y (*^2) * sin yi

1

■ sin y.

l,

sin y.J2 .w om it das Integral / S x y’2 d x den W ert annim m t

(

)

v ersch ieb t. y0 b ein h a ltet ein e D rehun g d e s unverform ten S ta b es um sein e M itte. D ie zugeh ören d en , o b en a n g e g e b e n e n E ig en w erte folgen aus der R andb ed in gun g

Q = E J 9 - f X S y ' = 0.

A ußerdem ist gem äß der D efin itio n sg leich u n g (9a)

(15') ” " ' 4

« S in 2 : ly ■ sin2 y, +

21,

§ 2 Y i _____

■ sin2 y J 2

2. V e r ä n d e r l i c h e s S u n d v e r ä n d e r l i c h e S t e i f i g k e i t E J . In v ie le n F ällen wird se lb st b e i g leic h b le ib en d e m Q uerschnitt aber veränderlicher Druckkraft S auch E J veränderlich sein , da nach dem Ü b erschreiten der E la stizitä tsg ren ze vor dem A u sk nick en E von S ab­

hän gig w ird. Eine allzu g e n a u e V erfo lg u n g der Ä nderu ng von Stabkraft und S te ifig k eit Ist natürlich nicht n o tw en d ig und auch sch w er durchführbar.

Man drückt im A n w en d u n g sfa lle y 2 durch aus und löst die trans­

zen d en ten G l. (16) u. (19) durch V ersuchen nach y t auf, w om it auch der zu g e h ö ren d e E ig e n w e r t). bekan nt wird. U m die Lage der N u llste lle n der F unktion J rasch üb erblick en zu k ön n en , ist e s z w eck m äß ig, d ie se Funktion für d ie P unk te x = \ , 1,5, 2, 2 , 5 . . . ü b ersch lägig zu b estim m en und zeich n erisch d a rzu stellen . A u s d ieser D arstellu ng kann d ie b eilä u fig e L age der N u llste lle n en tn om m en w erd en . Der g en a u e W ert der W urzeln y^

wird m it H ilfe der b ek an n ten N äh erun gsregeln bestim m t.

b) F a l l 2. D i e S t a b e n d e n s i n d f r e i. In d iesem F a lle g e lte n die g leich en E igen w erte und E ig en lö su n g en w ie vor, doch treten noch d ie b e id e n E ig en lö su n g en (15) h in zu . (Schluß folgt.)

8) H. Z i m m e r m a n n , D ie K n ick festigk eit d es gerad en Stab es m it m ehreren F eldern . S itzu n gsber. d. K gl. p reu ß.A k ad. d. W iss. 1909. S. 180.

F. B l e i c h , T heorie und B erech n u n g der eisern en Brücken. Berlin 1924.

D ie n e u e n B e r e c h n u n g s g r u n d l a g e n für S ta h lb a u te ile v o n K ranen und K r an b a h n en

A lle R ech te V o r b e h a l t e n . V on O berregieru ngs- und -baurat W e d le r , Berlin.

Für d ie B erech nu ng der S ta h lb a u teile von Kranen und Kranbahnen waren bish er b a u polizeilich an sich d ie a llg e m ein en H och bau bestim m u ngen m aßgebend (v g l. Stah lb au 1934, H eft 2 4 /2 5 , S. 198). M it R ücksicht auf die beson d ers g eartete B eanspruchung d ieser B au teile waren schon lan ge B estreb u n gen im G ange, b eso n d ere B erech nungsgrun dlagen für d ie S tah l­

b a u teile von Kranen zu bearb eiten . Schon im Jahre 1928 ste llte ein A usschuß b ei dem d am a lig en D eu tsch en Kranbau-V erband e in en ersten Entwurf auf, dem 1930 ein z w eiter und 1933 ein dritter Entwurf fo lg ten . D ie se Arbeiten en tstan den im w esen tlich en unter der O bm annschaft von Herrn G eh elm rat Sr.=3ng. 6.f). K ä m m e r e r , Berlin, und b ez w ec k ten , die Anforderung, d ie d ie B e ste ller und d ie prüfenden B ehörden m anchm al ln versch ied en er W eise s te llte n , zu verein h eitlich en und so für die a n b ieten d en K ranbauanstalten e in e ein h e itlich e G ru nd lage für die A b gab e ihrer A n g eb o te zu schaffen.

D ie aus d iesen A rbeiten h er v o rg eg a n g en en drei Entw ürfe sind in der Praxis b ereits in großem U m fange a n gew an d t w orden. B a u p o lizeilich e

G eltu n g erlangten sie nicht. Da aber hierfür ein d rin gen d es B edürfnis b e sta n d , nahm der A u sschu ß für e in h eitlich e tech n isch e B a u p o lizei­

b estim m u n g en (E T B ) im Jahre 1934 d iese A rbeit im E invern eh m en m it der Fachgruppe H e b e z e u g e , Förderm ittel und A u fzü ge in der W irtschafts- gruppe M aschinenbau w ied er auf. D as E rgebnis ist das N orm blatt DIN 120, d e ssen Blatt 1 d ie o b en gen an n ten B erech n u n gsgrun dlagen und Blatt 2 G ru nd sätze für d ie b au lich e A u sb ild u n g enthält. Ein B eib latt g ib t zu leich teren H andhabungen der n eu en V orschriften Erläuterungen.

D ie B erech nu n gsgru n d lagen sind in zw isch en in P reuß en als b a u p o lizei­

liche V o rsch riften 1) m it W irkung vom 1. April d .J . ein gefü hrt, d ie G rund­

sä tze für d ie b au lich e A u sfüh ru ng zur B each tun g em pfoh len w orden.

G le ic h ze itig w u rd e das G ren zg eb iet zw isch en den B erech nungsgrun dlagen ') A bgedruckt m it am tlichem E inführungserlaß in der 1. B e ila g e zur Ztrlbl. d. Bauv. 1937. P reis g e h . 1,50 RM.

2 0 W c d l e r , Die neuen Bere ch nungsgrundlagen fijr Stah lbautelle vo n Kranen und Kranbahnen Beii«ce iur zeiudunt'^D^Bauitchniii-

für Stahl Im H ochbau DIN 1050 und den neu en Vorschriften g e re g elt (vgl. unten). D ie Einführung durch die anderen zu stän d igen S te lle n steh t

zu erwarten.

Hier soll ein kurzer Ü b erblick über d ie w ichtigsten F estsetzu n gen d es neu en N orm blattes g e g e b e n und b eson d ers auch auf d ie U n ter­

sch ied e zw isch en ihm und den B erech nu ngsgrun dlagcn für Stahl im H ochbau h in g ew ie se n w erd en .

D ie F estsetzu n g en d es N orm blattes über d ie B elastungsann ahm en und d ie Standsicherh eit g e lte n für a lle stäh lernen Krane, auch für S ch w im m ­ krane, und für Kranbahnen. D ie F estsetzu n g en für die F estig k eits­

berechn ung b e zieh en sich im w e sen tlich en auf g e n ie te te B au teile. Für g e sc h w e iß te B auteile so llen en tsp rech en d e V orschriften bearbeitet w erd en , sob ald die erforderlichen Erfahrungen hierfür v o r lieg en und d ie Vor­

schriften für g esc h w e iß te v o llw a n d ig e stäh lerne Straßenbrücken ver­

ab sch ied et sind. D ie B erech nu ngsgrun dlagen für Krane sch ließ en sich in der E inteilun g und F assu ng und, so w e it m öglich, auch sachlich e n g an die B erech nungsgrun dlagen für Stahl im H ochbau DIN 1050 an. D as er­

leichtert ihre B en u tzu n g w esen tlich .

Eine R eihe von Fragen konnte für d ie B erechnu ng der S tah lb au teile von Kranen und Kranbahnen in d erselb en W eise g e re g elt w erd en w ie für S tah lb auteile im H ochbau. D ies ist b eso n d ers der Fall b e i den .A ll­

g em ein en Vorschriften für die F estig k eitsb erech n u n g “ m it A u sn ahm e der A b schn itte .W ah l d e s W erkstoffes* und „W ech selb eanspruchu ng“, bei den F estsetzu n g en über die z u lä ssig en Spannungen für St 37 und St 52 und über die B em essu n g der Zug- und Druckstäbe. D ie neu en F estsetzu n g en über den W inddruck en tsp rech en dem Entw urf der W ind belastungs- vorschriftcn im H ochbau DIN 1C55 (Bl. 4).

D a g eg en m ußten d ie F estsetzu n g en über d ie B elastungsann ahm en, die B erü ck sich tigung der häu fig w ie d erh o lte n B elastu n g und d ie Stand­

sicherheit b eson d ers g e r e g e lt w erd en . A ber auch hier war es m öglich, sich für d ie W ärm ew irkungen, d ie Brem skräfte aus der F ah rb ew egu n g und d ie Berücksichtigung der W ech selb ean spruchu ng an d ie Vorschriften für B rücken (DIN 1072 und BE) anzulehn en.

D ie v ersch ied en en A rb eitsbed in gu ngen der ein zeln en Krane verlangen ein e der Art und S ch w ere d e s B etrieb es entsp rech en de A u sb ild u n g der S tah lb au teiie. D iese E in flü sse, die b eso n d e rs d yn am isch er Art sind, w erd en durch A u sg leich za h len und Stoß beiw erte (sie h e unten) berück­

sich tigt. Hierfür w erden d ie Krane in vier K lassen e in g ete ilt. Maß­

g e b e n d für d ie E in teilu n g sind d ie b e z o g en e B etriebsdauer, die b ezo g en e B ela stu n g und d ie Stärke der Stöß e.

D ie b e z o g e n e B e t r i e b s d a u e r so ll die w ährend der L ebensd auer d es Kranes zu erw artende Zahl der L astw ech sel, d. h. der Be- und Ent­

lastu n gen b erü ck sich tigen ; denn m it steigen d er Zahl der L astw echsel sinkt d ie D a u erfestig k eit und dam it die zu lä ssig e Spannung d es W erkstoffs.

Um d ie b e z o g e n e B etriebsdauer zu b estim m en , muß man d ie B etrieb s­

zeit d es Kranes oh n e A rbeitspau sen schätzen. H ierbei sind auch die Z eiten v o ll ein zu rech nen, w o nicht alle M otore g leic h z eitig im Betrieb sin d . A ls S u m m e der reinen B etrieb szeit und der A rbeitspau sen muß bei Kranen, die fast das gan ze Jahr in etw a g leic h er W eise arbeiten, die täglich e S ch ich tzeit e in g e s e tz t w erd en . B ei ih n en ist ein e k le in e b e z o g en e B etrieb sd auer dann anzun eh m en , w enn im a llg em ein en d ie B etrieb szeit oh n e A rbeitspausen w en ig e r als d ie H älfte der täglichen S ch ich tzeit beträgt.

B ei Kranen, d ie nur zu b estim m ten Jahreszeiten oder überhaupt selten b en u tzt w erd en , sind zur B estim m u n g der b e z o g en en B etrieb sd auer en t­

sp rechend größere Zeiträum e zu vergleich en .

D ie b e z o g e n e B e l a s t u n g , d ie k lein oder groß sein kann, soll zum A usdruck bringen, ob d ie vom Kran zu h e b e n d e Last b ei der zu erw artenden G esam tsu m m e der L asthübe sehr häufig nah e an der zu lä ssig en G renze lie g t od er im a llg e m ein en w e se n tlich unter ihr b le ib t und sie nur verh ältn ism äßig se lten in v o lle r G röße oder nah ezu erreicht. Der erste Fall ist als große b e z o g en e B elastu ng, der z w eite als k lein e an zu seh en . K lein e b e z o g en e B elastu n g ist schon dann anzu n eh m en , w en n b ei etw a der H älfte der A rb eitssp iele die B elastu n g nur 2/ , der z u lä ssig en H öch st­

last beträgt.

Zu den S t ö ß e n a u s d e m B e w e g e n d e r L a s t sind auch d ie beim D rehen und W ippen d es Kranes und die b ei der G reifertätigk eit en t­

steh en d en Stöß e zu rechnen. D ie Stärke der S töß e aus dem B ew eg en der Last hängt b e is p ie ls w e is e d avon ab, ob z. B. beim S tü ck gutb etrieb mit Lasthaken b ei g ew ö h n lich e r H u b g esch w in d ig k eit oder m it Greifern und kurzem A u sleg er bei großer H u b g esch w in d ig k eit gea rb eitet wird.

Im ersten F alle sind Stöß e gew ö h n lic h er Stärke, im z w eite n F alle starke S tö ß e zu erwarten. D ie W irkung der S töß e kann b ei den ein zeln en T eilen e in es K ranes versch ied en groß sein. Es kann daher in Frage k om m en , d ie ein zeln en S ta h lb a u teile versch ied en e n G ruppen zuzuordnen, d. h. K ranteile, zu d e n en d ie S töß e b ereits stark abgesch w äch t g ela n g en , in d ie nächst n ied rige G ruppe ein zu stu fen . B el Kranen wird d ies nur a u sn a h m sw eise, b ei K ranbahnen reg elm ä ß ig m öglich sein , ln ein er Tafel sind häufig vorkom m en d e Kranarten, je nach der Art und S ch w ere der A rb eitsb ed ingu n gen in d ie vier Krangruppen ein geord u et.

Das G ew ich t e in es b estim m ten K ran teiles kann für den ein en Bauteil als stän dige Last, für ein en anderen als V erkeh rslast w irken. So ist bei der B erechnung ein es Laufkranes m it fahrbarer Katze das G ew ich t des Laufkranträgers (oh n e Katze) als stän d ige Last, bei der B erech nu ng der Kranbahn aber als V erkehrslast zu rechnen. Mit Rücksicht hierauf sind d ie se b e id en B egriffe b eson d ers e in g eh en d im Norm blatt und in den Erläuterungen b eh an d elt. Zur V erkehrslast rechnen auch die M assenkräfte, die beim D rehen und W ippen und beim A b brem sen d ieser B ew e g u n g e n oder beim G reiferbetrieb en tsteh en , nicht aber die Brem skräfte aus der F ah rb ew egu n g.

Bei Kranen ist Schrägzug im allg em ein en durch d ie U n fallverh ü tu n gs­

vorschriften verb oten . S o ll b ei ein em Kran aus beson d eren G ründen ein Schrägzug z u g e la sse n w erd en, so muß sein ungünstiger Einfluß bei der B e m essu n g d es Kranes, und zwar als Hauptkraft berücksichtigt w erd en.

Im H inblick darauf, daß Schrägzug im a llg em ein en v erb oten ist, sind die bisher in b a u p o lizeilich en B estim m u n gen als „Schrägzugkräfte“ b ezeich n eten Kraftwirkungen nu nm ehr als „W aagerechte S eiten k rä fte“ b ezeich n et w orden.

D ie se w aagerechte Seltenkraft in der G röße von ]/io a" er G n e F ahrbahn­

se ite b elasten d en Räder ein es Laufkranes soll a lle zah len m äß ig nicht erfaßbaren Seitenkräfte, z. B. beim S ch ieflau fen d es Kranes und bei ungenauer Lage der L aufsch ienen, decken. S ie schließ t auch e in e etw a senk recht zur Fahrbahn w irk en d e Bremskraft aus der F ah rbew egu ng einer Katze ein . Es ist also nicht erforderlich, d ie Bremskraft der Katze neben der gen an n ten Seitenkraft in R echnung zu ste lle n . B el Laufkranen ist b eid en Kranbahnträgern e in e au sreich en d e S e iten ste ifig k e it zu g e b e n , w o b ei b ei der Erm ittlung der w aagerechten Seitenkraft d ie Laufkatze je w eils in un gü n stigster S tellu n g anzun eh m en ist.

T em peraturspannungen brauchen b ei fahrbaren Kranen in der R egel nicht berücksichtigt zu w erd en . Jed och Ist der Einfluß der T em peratur­

schw ank ungen b ei ein em festste h en d en Krantor im Freien zu berück­

sich tigen , w enn cs als Z w eigelen k rah m en a u sg eb ild et ist.

Brem skräfte aus der F ah rb ew egu n g v on Kranen sind nunm ehr du rchw eg als Zusatzkräfte zu berücksichtigen , g leic h v iel ob sie von einem oder von m ehreren Kranen herrühren.

Für d ie B erü cksich tigu ng der W in d b elastu n g ist ein n e u e s Verfahren v o r g eseh en , das sich, w ie bereits g e sa g t, an den Entw urf der neu en W ind­

belastun gsvorschriften anlehn t. Es paßt sich den w irklichen Z uständen b esser an, ohn e daß Im a llg em ein en d ie R echnu ngsw erte w e sen tlich von den W erten ab w eich en , d ie sich b ei den b ish erigen W inddruckannahm en ergaben. Der für den B etrieb szustand a n g e g e b e n e W ert q = 30 k g /m 2 ergibt m it c — 1,6 (Tafel 4) für F ach w erk e und V ollw andträger e in e W ind­

b ela stu n g w = 1,6 • 30 = 48 oder rd. 50 k g /m 2. E rfahrungsgem äß kann ein Kran bei d ieser W in d b elastu n g im allg em ein en nicht m ehr arbeiten. G e­

ändert ist d ie F estsetzu n g über d ie in Rechnung zu ste lle n d e Größe der W indangriffsflächen von hinten lie g e n d e n Trägern.

D ie in Tafel 9 d es N orm blatts a n g e g e b e n e n z u lä ssig e n Spannungen sind unter der V orau ssetzu n g g e w ä h lt, daß die B ela stu n g der Stah lb au­

te ile ruhend, d. h. dauernd unverändert ist. In W irklichkeit erleid en jedoch sehr v ie le B a u teile der Krane je nach der Art d es B etrieb s m ehr oder w en ig er starke Stöß e. A ußerdem sind sie häufigen W ied erh olu n gen der B e­

lastu n g un d Kräften von verän derlich er G röße und Richtung a u sg esetzt.

Zum A u sgleich derartiger aus der V erkeh rslast herrührender S töß e und auch d es E in flu sses e tw a ig er sch w ellen d e r B eanspru ch un gen m üssen alle durch die V erk eh rslast hervorgeru fen en Stabkräfte, B ieg e m o m en te und Querkräfte m it ein er A u sg leich sza h l y.- vervielfacht w erd en , d ie je nach der Kranklasse zw isch en 1,2 und 1,9 schw ankt.

B a u teile mit W ech selb ean sp ruch u n g kom m en im Kranbau häufiger vor, w e il d ie V erk eh rslasten und die von ih n en hervorgerufenen Sp an­

nu ngen im V erhältnis zur stän d igen Last oft sehr groß sind. D ie g eringere D au erfestigk eit b ei W ech selb ean sp ru ch u ng zw a n g dazu, d iesen Einfluß beson d ers zu berücksichtigen . D esh alb hat man d a s /-V e r fa h r e n aus den B erech nu ngsgrun dlagen für stäh lerne E isenbahnbrücken für den W ech sel­

bereich in etw as verein fach ter Form eingefü hrt. D an eb en ist auf W unsch der K ranbauanstalten auch das einfachere, im M aschinenbau üb liche V er­

fahren zu g ela ssen , die größten Zug- und D ruckspannungen, die in einem Punk te des Q uersch nittes (bei B iegu n gen in den Randfasern) infolge stän diger Last und V erk eh rslast auftreten, oh n e R ücksicht auf ihr V or­

zeich en zu sa m m en zu zäh len und mit der z u lä ssig e n Spann un g </zl|| zu ver­

g leich en . D ie se s V erfahren ergibt b ei St 37, H and elsb austah l und St 00 allerd in gs te ilw e is e w e se n tlich un gü n stigere W erte als das /-V erfa h ren . Bei St 52 sind die U n tersch ied e m eist nur u n w esen tlich .

B ei N ach w eis d e s E in flu sses der W ech selb ean sp ru chu ng sind in b eid en F ällen die B eiw erte v> und y (s. unten) zu b erü ck sichtigen , nicht aber die K nickzahl a>. D ie K nick sich erheit ist b eso n d ers n a ch zu w eisen und dab ei d ie B eiw erte y> und y , nicht aber d ie W ech selb ean spru ch u n g (z. B. die /-W erte) zu berücksichtigen . B ei F achw erkstäben m it W ech selb ean spruchu ng sind also in der R egel z w e i R echnungen durchzuführen: ein e, um den Einfluß der W ech selb ean spruchu ng, un d e in e, um d ie K nicksicherheit n ach zu w eisen . Für d ie B e m e ssu n g der Stäbe wird b ei groß en S ch lan k h eits­

J a h rg a n g 10 1 left 3

2 9 . J a n u a r 1937 W e d l e r , D ie neuen Berechnu ng sgrundlagen für Stah lb auteile von Kranen und Kranbahnen 21

graden und bet stark ü b er w ie g en d er Druckkraft d ie z w eite Rechnung, ln anderen Fällen die erste m aßgeben d sein .

Hat der zu b erech n en d e Kranteil e in e e ig e n e F ah rb ew eg u n g , so können in ihm zu sätzlich e B eanspruchungen auch durch Stöß e beim Fahren, z. B. durch U n eb en h eiten oder H in d ern isse auf den F ahrschienen en tsteh en . Zum A u sg leich d ie ser E inflü sse sind d ie von der stän digen Last h ervorgeru fen en Stabkräfte, B ieg em o m en te und Querkräfte m it einer Stoß zahl <p zu v erv ielfa ch en , so w e it sie nicht schon mit ein er A u sg leich ­ zahl w v ervielfach t sind . D ie Stoß zah l y hat den W ert 1,1 oder 1,2, je nach der F ah rgesch w in digk eit und dem V orhan densein von S ch ien en stöß en .

Für die B erech nung ist anzun eh m en , daß d ie Fahrbahnkrane oder K ranteile g le ic h z e itig fahren' und arbeiten. In dem B eisp iel ein es Tor­

drehkrans sind daher b ei der B e m essu n g d e s Tores die Stabkräfte, B ie g e ­ m o m en te und Querkräfte, die von der g etragen en Last und dem G ew ich t des sich drehenden T eils als V erk eh rslast hervorgerufen w erd en , mit der A u sgleich zah l y . d ie durch das G ew ich t d es fahrenden T ores als stä n d ig e Last hervorgeru fenen m it der Stoßzahl (p ln die B erechnung einzuführen.

St 0 0 und H and elsb austah l so lle n m öglich st nicht für Krane und Kranbahnen v erw en d et w erd en , da d ie se Stahlsorten, b eson d ers St 00, in ihren G ütew erten stark streuen können und daher für d ie dynam isch beanspruchten B a u teile der Krane nicht b eson d ers g e e ig n e t sin d . Für den Fall, daß d ie se Stahlsorten au sn a h m sw eise doch v erw en d et w erden s o lle n , sind die zu lä ssig en Spannungen entsp rech en d niedriger fe stg ese tz t w orden, näm lich für St 00 auf 1000 k g/cm 2, für H an d elsb au stah l auf 1200 k g /cm 2 in b eid en B elastungsfällen.

D ie V orau ssetzu n g für die A n w en d u n g der höh eren Spannungen im B elastu n gsfall 2 sind ln dem n eu en N orm blatt klarer als in DIN 1050 a n g eg eb en . D anach dürfen d iese Spannungen a n gew an d t w erd en , w enn außer den b ei dem betreffenden Bauteil vorkom m en den H auptkräften auch d ie v o rkom m en d en Zusatzkräfte berücksichtigt sin d , b eid e natürlich nur, so w e it sie u n gü n stig wirken. Es ist also nicht n ötig, daß a lle im N orm ­ blatt au fgezäh lten H aupt- und Zusatzkräfte b ei den betreffenden B auteilen V orkom m en. D ie höh eren Sp ann un gen für B elastu ngsfall 2 dürfen jedoch nicht angew an dt w erd en , w en n der b etreffen d e B auteil, z. B. ein Füllstab e in es W ind verbandes, durch k ein e Hauptkraft, sondern nur durch ein e ein zig e Zusatzkraft beansprucht wird. Ü ber d ie G ründe für d ie se M aß­

nahm e v g l. Jahrgang 1935, S e ite 198.

D ie Vorschriften über die Berechnung der ein- und m eh rteiligen D ruckstäbe entsp rech en , w ie schon ob en g e sa g t, den Berechnungsgrund­

lagen für Stahl im H ochbau DIN 1050. Jedoch ist m it Rücksicht auf Erfahrungen der letzten Z e it ausdrücklich darauf h in g ew ie se n , daß die ü b lich e K nickbercchnurig von F ach w erk stäben u sw . nur zu lä ssig Ist, w enn d ie Enden der in R echnung g e ste llte n freien K nicklänge sicher g e g e n se it­

lich es A u sw eich en g eh a lten sind . Derartige H in w e ise w erd en auch in die anderen B estim m u n gen au fgenom m en w erden m üssen. D ie in DIN 1050 v o r g eseh en e B eschränkung der rechnerischen Druckspannung auf d ie im B elastungsfall 1 z u g e la sse n e n W erte g ilt nicht für Krane und Kranbahnen.

Sehr e in g eh en d e F estsetzu n g en sind über d ie K ippsicherheit und P rob eb elastu n g der Krane getroffen, d ie d ie versch ied en en B ela stu n g s­

fälle und Kranarten beson ders berü ck sich tigen . B ei der B erechnung der S tan dsicherh eit b leib en die A u sg leich - und Stoß zah len außer Ansatz.

D ie F estsetzu n g en der B erech n u n gsgru n d lagen , beson d ers d ie vor­

g e sch rie b en e B erü ck sich tigu ng der A u sgleich zah l, der Stoßzahl und der W ech sclb ean spruchu ng setzen d ie tatsächlich ausnutzbaren Spannungen zum Teil stark herab. D ies ist bei Kranen und Kranbahnen berechtigt, denn tatsächlich wird kaum ein Bauteil so h äu fig m it der rechnungsm äßigen H öch stlast v o ll beansprucht w ie ein Kran. Erfahrungsgem äß w erd en Krane sogar sehr häu fig nicht un erh eb lich ü b erlastet. B eson d ers sind auch Kran­

bahnen bish er h äu fig auf K osten ihrer L eben sd au er oh n e au sg le ich en d e B erücksichtigung der S töß e und der D auerbeanspruchung b e m e sse n w orden, so daß sich nicht se lten in schw eren B etrieb en m it der Z eit Schäden z eig ten .

D ie G r u n d s ä t z e fü r d i e b a u l i c h e A u s b i l d u n g leh nen sich in der F assu ng und, so w e it m öglich, auch sachlich an d ie GE der R eich s­

bahn an. S ie enthalten Im w esen tlich en F estsetzu n g en über d ie M in dest­

ab m essu n g en , N ietab stän d e, Bauform en und V erbände.

D ie E r l ä u t e r u n g e n s o lle n das E inarbeiten in die B ercchnungs- grund iagen und ihr V erständ nis erleichtern . Sie bringen zu ein zeln en F estsetzu n g en kurze B egrü ndu ngen und erläutern ein e R eihe von B e­

stim m u n gen durch B eisp iele.

D ie B erech nu ngsgrun dlagen für Krane regeln e in z e ln e Fragen der B elastun gen und B erech nu ngen, d ie bish er in DIN 1055, Blatt 3, B ela stu n g s­

annahm en für V erk eh rslasten , und in DIN 1050, B erech nu ngsgrun dlagen für Stah l im Hochbau, zum T eil anders g e re g elt waren. B el der am tlichen Einführung d es n eu en Norm blatts m ußten daher zu b eid en V orschriften Ergänzungen und A b änd erun gen verfügt w erd en , d ie sich im a llg e m ein en auf H in w eise auf die n eu en Vorschriften b ezieh en . B esond ers g e reg elt ist im preußischen Einführungserlaß der Fall, daß B au teile außer Kran­

lasten auch w ese n tlich e andere Lasten tragen, z. B. H a llen stü tzen , d ie Dach und Kranbahn tragen. B esteh en d ie se Bauten aus St 0 0 oder H and elsb austah l, so brauchen in ihn en nicht die niedrigeren Spannungen entsprechend d en neu en Kranvorschriften, sondern es kön nen d ie in den B erech n u n gsgru n dlagen für Stahl im H ochbau fe stg ele g ten höheren Spann un gen zugrunde g e le g t w erd en . Die aus der B elastu ng durch ein en oder m ehrere Krane herrührenden B eanspruchungen d ieser B au teile sind jed och ste ts nach den neu en Kranvorschriften zu erm itteln, also z. B. unter B erü ck sich tigu ng der A u sg leich sza h len .

Für die A n w en d u n g höherer Sp ann un gen , als die für StOO fe stg e setz ten , g e lte n natürlich b ei Kranen d ie se lb en V oraussetzu ngen w ie beim übrigen Stahlhochbau. S o w eit d ie W alzw erke daher kein e a llg e m ein e G ew ähr dafür übernom m en h ab en , daß b estim m te S tah lquersch nitte nur in der G üte d e s H and elsb austahls geliefert w erd en , muß in d erselb en W eise, w ie es für d en übrigen H ochbau fe stg ele g t ist, n a ch g ew iesen w erd en , daß es sich tatsächlich um den Stahl han delt, für den d ie in der B erechnu ng zu ­ grunde g e le g te n zu lä ssig en Sp ann un gen nach den B estim m u ngen g elten . Für St'37, der für Krane bevorzu gt w erd en s o ll, ist also im m er m ind esten s ein W erkattest d es W alzw erks erforderlich.

S ch ließ lich wird im preußischen Einführungseriaß noch einm al b eson d ers auf d ie B each tung der ein sch lä g ig en U nfallverhütungsvorschriften h in g e w ie se n , da d ie hierin fe stg es e tz ten B estim m un gen , z. B. über den freien Lichtraum, erfahrungsgem äß beim Entw urf von H allen usw . nicht im m er g en ü g en d beachtet w erd en . Hierdurch können sch w ere U n fä lle en t­

ste h en .

Aik Rech« Vorbehalten. £ j n B e t r a g z u r Stab ilität d e s h o r iz o n t a l a u s g e s t e i f t e n S t e g b l e c h e s .

V on D oz. Dr. M iio s la v H an tp l, Prag.

(Schluß aus Heft 2.) 2. R e i n e r S c h u b (</ = 0) (Bild 3).

Wir n eh m en d ie Schu bspann un g r 0 als konstant an (C h w a lla — s. 5 . —

b erücksichtigt ihren parabolischen Verlauf).

Nach A u flö su n g der G l. 0 b ek om m t man z w e i W urzeln für die kritischen Spannun gen r 0 . W ieder hat nur die kleinere praktische B e­

d eutu ng.

B ezeich n et man die Beulziffern — , die In der Tafel II eingeführt üe

sin d , m it F ( ß , y), so kann man den kritischen W ert r0' auf fo lg en d e W eise ausrechnen. Es ist

7 t ~

12 (1 pF) E h 2

b 2

F[ß, ■/)■

D ie W erte von —-

<r„ (bzw . die klei-

h neren von ihnen) in A bhän gigk eit von

ß , ■/ sind in der Tafel II unten a n g eg eb e n p j|__

und ln Bild 4 dargestellt.

Im F alle des S ch u b es kann sich die obere b zw . un tere H älfte der Platte >

(w enn in ihrer M itte ein e h orizontale S te ife ist) für sich se lb st auch so a u s­

b e u le n , daß die S te ife gerad e bleibt.

Daher ist e s n ötig, den kritischen W ert t 0 ' z u b estim m en , w elch er einer Platte mit den S eiten a, b' = ^ und o h n e S teife (y = 0) entspricht.

Den W ert für r0’ b ek om m t m an, w en n man in der letzten G leich u n g für b d en W ert b' == f , für ß den Wert ß' = = 2 / 9 und y = 0 ein se tzt. A lso

12(1 — ¡1-) E JF - U *

■ F ( 2 ß , 0 ) = de . ‘\ F V ß , 0).

Bild 3 .

D er W ert 0 = 4 F ( 2 ß , 0) b egren zt d ie G ü ltig k eit der Tafel II und d es 0e

B ild es 4 (die gestrich e lte Kurve). A u s Bild 4 ist ersichtlich , daß z. B.

für /9 = 0 ,8 0 es kein en Sinn hätte, d ie S teife steifer zu w ä h len , als dem

2 2 H a m p l , Ela Beitrag zur Stabilität des horizontal ausges tei ften S te g b le ch es B e i l a g e z u r Z e i t s c h r i f t . D i e B a u t e c h n i k -

W ert / == 5 entspricht, denn durch e in e V ersteifu n g y > 5 kön n te man zw ar die A u sb eu lu n g der ganzen P latte verhindern, nicht aber die A u s­

b eu lu n g der oberen bzw . unteren H älfte für sich.

T a fe l II. F ü r f e „ = — •

T a fe l III. F ü r — ■ To

- Y 0 0,5 1 2 5 10 20

■' ■

o o 4 •

ac

0,4 41,5 57,3 67,9 82,5 124,2 133,7 146 49,05

0,5 26,86 35,22 41,3 50,3 66,0 79,1 89,6 98,6 37,7

0,667 16,03 20,05 23,1 27,98 37,2 46,1 55,1 68,0 30,02

0,8 12,29 14,70 16,78 19,92 28,1 33,3 41,0 57,1 28,15

1,0 9,40 10,90 11,92 13,98 18,2 23,0 28,95 49,8 26,84

1,25 7,86 8,78 9,50 10,65 13,31 16,52 21,02 45,5 26,61

1,5 7,15 7,86 8,36 9,15 11,02 13,38 16,78 45,2 26,60

2,0 6,71 7,28 7,65 8,19 9,27 10,66 12,8 46,3

2,5 6,66 7,17 7,57 8,06 9,01 10,06 11,62 57,3

d ß = l ß = \ , /* = !, II cT CO ß = 0,6,

do y = o 7 = 5 y = co 7 — 0 / = OO

0 i 1 1 1 1

0,1 0,994 0,994 0 ,996 0,995

0,2 0,975 0,976 0 ,965 0,983 0,980

0,3 0,943 0,945 0,939 0,961 0,955

0,4 0,898 0,900 0,928 0,919

0,5 0,837 0,841 0,839 0,882 0,869

0,6 0,758 0,763 0,821 0,805

0,7 0,658 0,663 0,682 0,738 0,721

0,8 0,530 0,534 0,569 0,626 0,609

0,9 0 ,3 5 5 0,363 0,410 0,457 0,448

0,95 0,2 3 6 0,331 0,326

1,0 0 0 0 O 0

a dn

D ie a n g eg eb en en W erte für y = oo hab en nur th eoretisch e B ed eu tu n g!

Ö T

sie so lle n z e ig e n , daß d ie A b hän gigk eit — von b ei versch ie d en en y

ao To

praktisch unveränderlich b leib t. Daher w urden nur d ie Kurven ß , '/j für y — 0 und ß — \ b zw . 0,6

in Bild 6 d argestellt. Man erk en n t, daß die Kurve ß — \ u n t e r dem E inh eitsk reise lieg t.

Wir w o llen noch zeig en , w ie man d ie D iagram m e Bild 2, 4, 6 zur B estim m u n g der Sicherh eit g e g en A u s­

b eu lu n g benutzt.

B e isp iel:

a — 193,75 cm , b — 220 cm , / i = l , 2 c m , 7 = 2 1 5 cm 4,

£ = 2 , 1 • 108 k g/cm 2, ß = = 0 ,8 8 0 , y = 6,2,

Bild 4. Bild 5.

x ___

% B ild 6.

3. B i e g u n g u n d S c h u b (Bild 5).

Durch L ösu ng der G leich u n g z / = 0 b ek om m t man d ie W urzelpaare d, r ,

w elch e die kritischen A usb eu lspan n u n gen darstellen. W enn wir — w ie C hw alla ( I . e . 6 . ) — die V erh ältniszahlen - d- bzw . — (w o b ei d0 b zw . r 0

do To

d ie kritischen A u sb eu lsp an n u n gen b e i reiner B ieg u n g b zw . reinem Schub b ed eu ten ) einführen, bek om m en wir

D ie se G leich u n g ste llt die G renzkurve, w e lch e natürlich durch die P unk te (0,1 und 1,0) g e h t, dar.

Wir führen in der fo lg en d en Tafel III e in ig e b eso n d ere F älle an:

/ 3 = 1 . y = 0

ß — \ , y — 5 ß = l , y — od

ß —

0,6,

0

0,6,

D ie P latte se i durch ein B ieg u n g sm o m en t m it <* = 800 k g/cm 2 als B iegu n gssp an n u n g und durch ein e S ch u bspann ung r = 300 k g /c m 2 b elastet.

I. A us Bild 2 für reine B ieg u n g b estim m t man die A u sb eu lziffer k d ~ 35,2, also d ie kritische B iegu n gssp an n u n g d0 = k d de ~ 2000 k g /cm 2.

II. A us Bild 4 für reinen Schub b estim m t man k t ~ 23,6, also die kritische Schu bspann un g r 0 — k z d e ~ 1330 k g /cm 2.

III. M an sucht jetzt im B ild 6 d en Punkt A m it d en K oordinaten 300 o o o c .4 d 803

= T33Ö = 0,226 und — - 0,40. Durch d iesen Punkt A

t

0

und durch den K oordinatenursprung führt man e in e G erade, w e lc h e d ie interpoliert g ed a ch te K urve ß = 0,88 ln ein em P unk te /108S sch n eid et.

0 Äq g g

Das V erh ältnis - = ( — ist g leic h der Sicherh eit g e g en die A u sb eu lu n g.

0/1

V e r s c h i e d e n e s .

P r a k tis c h e A n w e n d u n g e n e in e r a llg e m e in e n I n t e g r a t io n s in e t h o d e z u r B e s tim m u n g v o n M o m e n te n . Im fo lg en d e n so ll g e z e ig t w erd en , w ie das über ein e b e lie b ig e F läche od er Flächenstück zu erstreck en de Integral

O- = = /V " y " d f

^(ry)

praktisch auf ein fach e W eise g e lö s t und verw ertet w erd en kann.

D as Integral ste llt in dieser allg e m ein en Form M o m en te b elieb ig er O rdnung der F läch e um irgen d ein rech tw in k lig es oder auch sch ief­

w in k lig es A chsen kreu z dar. D ie L age d e s S chw erpu nk tes b ezü glich der A ch sen sp ie lt dab ei k e in e R olle.

D ie g e n a u e L ösu ng d ie ser A u fgaben ist schon b ei einfachen Flächen sehr zeitraubend.

Durch d ie hier g e z e ig te M eth od e wird d ie L ösu ng w esen tlich v e re in ­ facht. D ie für die Praxis erforderliche G en au igk eit kann rasch erreicht w erd en .

I. A n a ly t is c h e L ö s u n g .

x und y b e d eu ten d ie A b stän d e d es F lä ch e n elem en ts d f = d x d y von d en b e id en A ch sen (Bild 1 a).

Es ist & — f f x m y n d x d y . K x y )

Wir schreib en d ie se s Integral in fo lg en d er Form : r m + 1

m + I ■ d - y n + 1

7T+T

r ixy)