Der Stahlbau : Beilage zur Zeitschrift die Bautechnik, Jg. 12, Heft 9

DER STAHLBAÜ

S c h r i f t l e i t u n g :

Professor 33r.=gng. K. K l ö p p e l , Darmstadt, T ech n isch e H ochschule Fernsprecher: Darmstadt 7 7 1 1 , Apparat 599

Professor W: R e i n , Breslau, Technische H ochschule. — Fernsprecher: Breslau 421 61 V eröffentlichungsbeitrüge an v o ran steh en d e Anschriften erbeten

B e i l a g e

z u r Z e i t s c h r i f t DIE BAUTECHNIK

Preis des Jahrganges 10 RM und P ostgeld

Fachschrift für das g e ­ sam te B auingen ieurw esen

12. Jahrgang BERLIN, 28. April 1939 Heft 9

Al le R e c h t e V o rb e h a lte n .

Ein Annäherungsverfahren zur Berechnung des Vierendeelträgers,

gültig für beliebige Querschnittsverhältnisse und Belastung der Gurte auch außerhalb der Knotenpunkte.

Von S5r.=3ng. O tto ln m ein er D isserta tio n 1) habe ich die versch ied en en ¿Möglichkeiten der B erü ck sich tigu ng nachträglicher Q uerschnittsänderungen bei der B e­

rechnung statisch un bestim m ter Tragwerke erläutert. A b g eseh en von dem gen a u en Verfahren w urde hierbei auch die M öglichkeit erwähnt, die Sp ann un gen d es geän d erten Tragw erkes aus den en d e s ursprünglichen verh ältn ism äßig leich t durch A nnäherung zu errechnen. Ich habe dabei (S. 62 der D issertation) d ie V erm utung ausgesprochen, für Q uerschnitts­

änderungen der V ertikalen d e s V ieren d eelträgers w erd e d ie se s A nnäherungs­

verfahren so gu t k on vergieren , daß sich darauf ein en d g ü ltig es B e­

rechnungsverfahren aufbauen lasse, das g e g en ü b er den sonst gebräuch­

lichen V orteile b iete. D as g ilt insb eson d ere, w enn es sich um den all­

g em ein en Fall d es Trägers m it nicht parallelen Gurten, b elieb ig en Q uer­

schn itten und Kraftangriff, g e g eb en e n fa lls auch außerhalb der K noten­

punkte, han delt. Es soll d ie B erechnung d e s V ieren d eelträgers hier als B eisp iel für d ie praktische A n w en d u n g der in m einer D issertation g e ­ g e b e n e n A b leitu n gen angeführt w,erden, w ob ei d ie se A b leitungen nur so w e it en tw ick elt w erd en , als e s für d ie B erechnung dieser Trägerart n o tw en d ig ist. D ie für je d e b e lie b ig e Trägerart gü ltig en A b leitungen sind in m ein er D issertation zu finden.

Zur B erech nu ng wird vorau sgesetzt, daß an den V ertikalen keine äußeren Lasten angreifen, ein e B edingu ng, die fast im m er erfüllt sein wird. D ie U ntersuchung e in es derartigen L astfalles w äre zwar m öglich, wird aber etw as um ständlich und unterbleibt w e g en seiner S elten h eit.

.Es wird sich im V erlauf der U ntersuchung zeig en , daß man w eitere V ereinfachu ngen erhält, w enn d ie Vertikalen sym m etrisch zu ihrer ¿Mitte (der horizontalen A chse) a u sg eb ild et sind, w as eb enfalls m eist der Fall ist, und w enn man es als z u lä ssig betrachtet, den Einfluß der Längung der V ertik alen (in folge Norm alkräfte) als un w esen tlich zu vern ach lässigen . D ie b eid en letztgen an n ten B ed in gu n gen so llen aber zunächst nicht als erfüllt g e lte n .

a ) E r lä u te r u n g d e s R e c h n u n g s g a n g e s .

Der G ed ank en gang, der zu dem Annäherungsverfahren führt, m öge zunächst kurz erläutert w erden :

Es wird zuerst statt d es en d gü ltigen Tragw erkes ein E rsatz-V ieren deel­

träger berechn et, der sich von dem en dgü ltigen nur dadurch unter­

sch eid et, daß se in e Vertikalen starr sind. D ie se s Ersatzsystem ist w e se n t­

lich einfacher zu berechn en als das v o llela stisch e; denn w äh lt man die statisch un bestim m ten Größen X k, Yk , Z k w ie in Bild 1 a n g eg eb en , w o ­ bei das Tragwerk m it ein em in jed em F eld durchschnittenen Gurt statisch b estim m tes H aup tsystem ist, so erstrecken sich die M k - Flächen infolge X k = 1 bzw . Yk — 1 bzw . Z k = 1 je w e ils nur über die Gurte d e s k ien F eld es und d ie b eid en V ertikalen, überdecken sich also m it den

j - F lächen und M k + , - Flächen der Nachbarfelder nur an den V ertikalen (vgl. a. Bild 2). Da d ie se starr sind (J — oo), so w erd en in den E lastizitätsgleich u n gen die V ersch ieb ungen Sk , u n d J 'A A+1 zu N ull, d. h. d ie E lastizitätsgleich u n gen für X k, Yk, Z k sind unabhängig von den übrigen. W ählt man außerdem d ie se drei U nbekannten X , Y, Z.

in jed em F eld e so, daß auch öxy< Sx z und Sy z versch w inden, d. h. läßt man sie im elastisch en Schw erpu nk te d es Einzelrahm ens m it starren V ertikalen angreifen, so erhält man lauter voneinan der unabhängige E lastizitätsgleichu ngen. Nach d ieser Wahl der statisch un bestim m ten

8

8 9

l) O. B r a u n , N achträgliche Q uerschnitts- und System än deru ngen statisch u n bestim m ter T ragw erke, in sb eson d ere S y stem e m it veränderlicher G liederu ng und abgesp ann te Konstruktionen. Ein Beitrag zur D eform ations- m eth ode. D iss. Berlin 1936.

B ra u n , A ugsburg.

Größen fällt je d e w eiter e G leich u n gsau flösu n g w eg , und d ie Spannungen d es E rsatzsystem s könnten verm ittels X , Y, Z berechn et w erden . D ie se Spann un gen d e s E rsatzsystem s unterscheiden sich noch von den en d es en d gü ltigen v o llela stisch en S y stem s. Es ist aber m öglich, im Ersatzsystem den en d gü ltigen Sp annungszustand h erzu stellen , z. B. indem man säm t­

liche starren V ertikalen durchschneidet und die durch den Schnitt g e ­ trennten Q uerschnitte g eg en ein a n d er versch iebt. B ei jeder V ertikalen sind drei derartige V ersch ieb u n gen m öglich, näm lich e in e Längs­

v ersch ieb u n g, ein e Q u erversch ieb u n g und e in e W ink eldreh un g der durch den Schnitt getren n ten Q uerschnitte. W enn sie bekannt wären, so könnte man aus den E lastizitätsgleichu ngen d e s E rsatzsystem s d ie Spannungen d e s en d gü ltigen v o llela stisch en S y stem s errechnen.

Um d ie se V ersch ieb u n gen , d ie der Q uerschnittsänderung von den starren zu den elastisch en V ertikalen g leich w ertig sind, zu b estim m en , könnte man E lastizitätsgleichu ngen aufstel len, w e lch e d ie V ersch ieb un gen als U n bekan nte enthalten.

Da hierb ei V ersch ieb u n­

g e n als U n bekannte auf- treten, so g eh ö ren d ie se G leich u n gen der D e ­ form ationsm ethode an.

D ieser exak te W eg ist in m ein er D issertation b eschrieb en . Er ist hier u nzw eckm äßig, w e il die /,-J . -A _ _ _ _ J G leich un gen zu um-

( k J * fangreich w erden , denn

je d e V ertik ale liefert

Bild 1. drei unbekannte V er­

schiebun gen .

Statt d ie se s um ständlichen, gen a u en Verfahrens kom m t man zu einem gu ten A nnäherungsverfahren durch fo lg en d e Ü b erlegu n g: W egen d e s gerin gen E in flu sses der V ertikalen w erden d ie bekannten Spannungen d e s E rsatzsystem s von den noch nicht bekannten en d gü ltigen nicht sehr stark a b w eich en . Es läßt sich aber z eig en , daß d ie g esu ch ten V er­

sch ieb u n gen von den en d gü ltigen Spannungen abhängig sind. S ie lassen sich als Funktionen der im Schnitt der V ertikalen auftretenden e n d ­ gü ltig en Kräfte (Norm alkräfte, Querkräfte und B iegu n gsm om en te) aus- driieken. Da w eiterhin die statisch un bestim m ten Größen w ied er von den V ersch ieb u n gen abhängen, so ist es m öglich, die Ä nderung der statisch un bestim m ten Größen se lb st als Funktionen dieser en d gü ltigen Schnittkräfte (der V ertikalen) auszudrücken. Formt man die erh altenen G leich u n gen noch etw as um, und setzt man für d ie Schnittkräfte zunächst d iejen igen d e s E rsatzsystem s ein, so erhält man N äh erun gsw erte für d ie durch den Ü b ergang von den starren zu den elastisch en V ertikalen b e ­ din gten Ä nderungen der statisch un bestim m ten G rößen. Dam it kann man w ied er verb esserte Schnittkräfte errechnen und m it d iese n dann w ied er g en a u ere statisch u n bestim m te Größen usw ., bis g e n ü g e n d e G en au igk eit erreicht ist. W ie d ie se A nnäherung im ein zeln en zu erfolgen hat, um m öglich st g u te K onvergenz zu erreichen, ist später ausführlich an gegeb en .

Der R ech nu ngsgang wird kurz zusam m engefaßt folgen d er: Man stellt d ie voneinan der unabhängigen E lastizitätsgleichu ngen d e s E rsatzsystem s mit starren V ertikalen auf und bestim m t die Kräfte für irgen d ein en Q uerschnitt der V ertikalen, m eist für d ie M itte. Zur B erücksichtigung der Elastizität der V ertikalen, d. h. zur B erü ck sich tigu ng ihrer Q u er­

schnittsänderung drückt man d ie Ä n deru ng der statisch unbestim m ten Größen als Funktion der en dgü ltigen Schnittkräfte der V ertikalen aus

7 0 B r a u n , Ein A nnäherungsverfahren zur B erechnung d es V ieren d eelträgers usw . Beilage im zeitscaritt .Die Biutecimik*

a j b )

d j

jjn*. (-

e) h ' i

■

¡1=

L f .L j st

(

Zustand X—1

b Si f - tfn

lustand Y— 1

% r M

( ’

6 Nz -0

Zustand Z - - 1

und formt die G leich u ngen etw as um. D ie ersten N äh eru n gsw erte fiir d ie Ä nderung der U nbekannten erhält man, ind em man als Schnittkräfte zunächst die d es E rsatzsystem s ein setzt. D ie g e n a u en W erte ergeben sich durch fortlaufende V erb esseru n g in der später a n g eg eb e n en R eihen­

folge.

b) D ie B e r e c h n u n g d e s E r s a t z s y s t e m s .

Zur A u fstellu n g der vonein an der un abhängigen E lastizitätsgleichu ngen d e s E rsatzsystem s m it starren V ertikalen m ü ssen die statisch un bestim m ten Größen je w e ils im elastisch en Schw erpunkt d e s E inzelrahm ens angreifen.

Der B estim m u n g d e s Schw erpu nk tes und der Art d es A ngriffes der U n­

bekannten d ien e Bild 2. M om en te, die auf der g estrich elten S e ite der Stäb e Z ug erzeu gen , se ie n positiv.

Für säm tlich e V ertik alen ist J = co , also ergibt sich du rchw eg J .

It • j = 0 . D ie L age d e s S chw erpu nk tes hängt nur von d en G urtstäben ab. ln dem einfachen, m eist v o rlieg en d e n Fall, daß d ie se je w e ils auf d ie F e ld w e ite konstanten Q uerschnitt haben und nicht gekrüm m t sind, wird man fo lg en d e H ilfsw erte einführen:

Bild 2 a bis e.

D em en tsp rech en d läßt sich 8 zu sam m en setzen aus:

und

und

Je

J n

w ob ei o und u d ie S tablän gen sind. D ie L age d es elastisch en Schw er­

punk tes erhält man aus den B ed ingu n gen — 0 und i = 0 . Da die G urte in folge Z — — l nur B iegu n gs-, k ein e Norm al- oder Schu bspann un gen haben, so ist d ie Schw erpu nktslage nur abh ängig von den T rägheits­

m om en ten der Gurte, nicht von ihren Q uerschnitten.

V.

Aus

(1)

4

.

j

A us = 0 folgt u ’ v u = o ' v 0 oder Es ist v u - f v 0 = v , a l s o :

(2) v

H ierbei ist

o ‘ + u' 1

■ v.

t > = y [hl + h r) .

D am it ist d ie L age d e s e la stisch en S ch w erpu nk tes bekannt, und man kann b ereits 8y v und f . . b estim m en . Bei V ern ach lässigu n g d e s Ein­

flu sses der Querkräfte ist:

» „ - U p, e s - + [ * i d s -

(3)

o u ' \ „ 4 • sin2 »•

T « • u" • sin1 e )

4 • sin : y 5*

x y

(4) t g « = ^{x y}

yy

= 0.

s l Sy y a <S

yy

D er W ert Sy y w u rd e bereits erm ittelt (Form el (3)1. W eiterhin wird

= f fM - M y d s - j

T +f N‘

• sin v • co s v • sin cos vz

1 2

= £ [dQ o ’ — d u u ') + - ~ (u " - sin ip - cos # x y

hierbei ist rf0 = y . t g r

- o ” • sin v • cos >'),

tg y ..

(5) 8 - y — (o’ • tg v — u ’ • tg y.) -F (u " ■ sin >p • cosy<— o" • sin v • co s v ).

*

iget. tyce.

-sl ■ tgec. ( b e w - % igccj mal

Zustand Y--1 Z u s t a n d X— 1

Bild 3.

N achdem dam it auch tg * bekan nt ist, läßt sich d ie .V) v-F läche von Bild 2 und 8XX b estim m en . Man erhält zunächst:

(6)

h ra = v a + y - t g y . - r y * t g « = On - f y (tg y, - f tg « )

— y t g y > - tg « = Va — — (tg y, 4- tg «)

h lg = h l A«

- h l .

Dann ist: *x x = [ M \ d s . ‘ [ N i d s - ;

D ie N e ig u n g .-v d er U n b ek an n ten X g e g e n d ie H orizontale ergibt

Jc r Jc

sich au s der B ed in g u n g = f . t i , ,5Jr d s • — — j N s N . d s • y = 0.

(W enn e s erforderlich ersch ein t, k im n ie andh der Einfluß d er Q uerkrähe b erücksichtigt w erd en ,] D ie U n bek an n te s e i s o g e w ä h lt daß im Z ustand .V = 1 ihre H osizon talk om p on en te 3 i s t D ann ist d ie V en ik a ik o m p o n en te g le ic h z e itig t g * . M an kann also d en Z cstan d X = — 1 d e s B ild es 2 in d ie in B ild 3 d a rg estellten b e id en T eiizu sta n d e z er le g e n , von d e n e n der z w e ite d er (— Sj~ igat) - f a d ie Z ustand Y — — 1 i s t w äh rend d er erste m it A ' = — 1 b ezeich n e : s e i

(7) 1 = y K “ ■ < ) + ■

— o" (cos r 4- tg a • sin >•)- 4 u" (cos y> tg .v • sin y )2.

D ie E lastizitätsgleich u n gen für d ie drei U n bekan nten v o n irgend­

ein em F eld d e s V ieren d eelträgers m it starren V ertik alen lauten:

(8) A ' = 4 ^ - k = ' I ° " } • = ' z

<Vvv

» . i

S g x ' ^ o r un(4 ¿o - s'n4 d ie ¿-W erte in folge der äußeren B elastu n g, z, B.

J , r J ,

v A 8 0 X = [ M 0 M x d s - f ^ [ N 0 N x d s - - , . , w o b ei ,U . und

Jahrgang 12 H eit 9

28. April 1939 B r a u n , Ein Annäherungsverfahren zur B erechnung d es V iercn d eelträgers usw. 71

N g M om en te und Norm alkräfte d e s V ieren d eelträgers m it aufgeschn ittenem S tü tzen sen k u n gen e in es durchlaufenden Trägers a b g e leitet (vgl. S. 5 u.f.).

M k = M o k - ; K - h % X k + T (h‘u - h % . l Ą - l + l Gurt, d. h. e in es B alkens auf zw ei Stützen sind.

N achdem die statisch un bestim m ten Größen bekan nt sind, w äre es m öglich, a lle Kräfte d es E rsatzsystem s zu erm itteln. Für d ie w eitere U ntersuch ung b en ötigen wir led iglich d ie Kräfte in den Schnitten der V ertik alen, an d en en wir die V ersch ieb u n gen vornehm en. W enn die Q uersch nitte der V ertikalen zu ihrer M itte (und zwar zur horizontalen A chse) sym m etrisch sind, w as fast im m er der Fall sein wird, so durch- sch n eid en wir d ie V ertik alen in der M itte und bestim m en an jed er Schnitt­

ste lle d ie Querkraft und das B iegu n gsm om en t. D en Einfluß der N orm al- krüfte wird man im m er vern ach lässigen können. Für die M itte der Men V ertik alen ergibt sich nach Bild 2:

Qk — Q o k + x k — x k + 1

2 v*« 1 2

(9) . . + Yk + Yk + 1 + y-k ~ z ‘

g e g eb en en fa lls

N.k = N o k + X k - % * k - X * + x - % « k 4 r i [ , Y * + 2i - Y k + v W enn die V ertik ale nicht Zu ihrer M itte sym m etrisch ist, so wird der Schnitt, w ie w eiter unten ausgeführt ist, an ein e andere S te lle g e le g t.

Es ändert sich dann nur d ie Form el für M . , die an Hand von Bild 2k leich t a u fg e ste llt w erd en kann.

S äm tlich e Form eln w urden a b g e le ite t unter der V oraussetzu ng, daß d ie G urte zw isch en den K notenpunkten gerad e sind und auf die F eld- w e ite konstanten Q uerschnitt haben. F alls sie gekrüm m t sind oder man a u sn a h m sw eise ein e V eränderlichkeit d e s T rägh eitsm om en tes innerhalb der ein zeln en F elder berücksichtigen w ill, erhält man d ie elastisch en Schw erpu nkte und d ie t g a - , so w ie d ie ¿-W erte nach d en selb en Ü b er­

leg u n g e n . A uch der Einfluß der Schubspannungen läßt sich leich t b e ­ rücksichtigen.

c) D ie B e r ü c k s ic h tig u n g d e r E la s t iz it ä t d e r V e r tik a le n . W ie erwähnt, erhalten wir d ie Sp ann un gen d e s en d gü ltigen S y stem s aus d en en d e s E rsatzsystem s, indem w ir se in e säm tlich en starren V erti­

kalen du rchsch neid en und an jedem Schnitt drei ganz b estim m te Ver­

sch ieb u n gen vornehm en. Wir neh m en an, d ie se der Q uerschnittsänderung g leich w ertig en V ersch ieb un gen se ien uns b ereits bekannt. Für den Schnitt irg en d ein er starren V ertikalen se ien sie b ezeich n et m it Sq, <3m und ¿n (v g l. Bild 4).

H ierbei b e d e u te t i q d ie Q uerversch ieb u n g in Richtung der am Schnitt vorhand en en Querkraft Q, <tm d ie W ink eldrehun g in Richtung d es M om en tes M und Sn d ie L ängsverschiebung in Richtung der N orm alkraft X .

r

Ll-L

I r

Nach B estim m ung von Lx ergibt sich d ie Ä nderung der statisch bestim m ten Größe in fo lg e der S tü tzen sen ku ngen H

«5x x X ' = L . Qx 8q + M x dn 1 ’ Sm und Ön aus

+ N x i n. (D ie Ä nderung der U nbekannten

(10)

» X X * ' -

* „ y ■■ 8z z Z ’ .

+ H x Sn)l + {Qx \ + M x />m + N X 8n)r ■ ist m it X ' b ezeich n et.) Sind Sq, Sm und Sn nicht S tü tzen sen ku ngen , sondern d ie als bekannt vorau sgesetzten V ersch ieb ungen am Schnitt einer der Vertikalen und Q x, M x und X x die an diesem Schnitt vorhandenen Kräfte in folge X — — 1, so läßt sich X ' in gleich er W eise ableiten.

W ie aus Bild 2 zu erseh en ist, treten in folge X 1 nur in zw ei V ertikalen Spannungen auf. D ie M om en te erstrecken sich nur über ein Rahm enfeld. Da in den w e iter w e g lieg en d en Vertikalen in folge X I k ein e Kräfte auftreten, d. h. Q x M x N x 0 sind, so sind V er­

sch ieb u n gen in d iesen Stäben oh n e Einfluß auf X ' . D ie Ä nderung der U nbekannten ist nur abh ängig von den V ersch ieb ungen der b eiden zum Rahm enfeld g eh ö rig en P fosten. U nterscheiden wir d ie zur linken bzw.

rechten V ertikalen d e s F e ld e s geh ö rig en W erte durch die Beiziffern / bzw. r, so ergibt sich die Ä nderung X ' der statisch un bestim m ten Größe a u s:

J p r M x Hn

In gleich er W eise läßt sich a b leiten :

: ( 9 y 8q + M y Sm - r N y 8n)l + {Q y 8q + M y 8m + N y 8n)r [Qz 8q + M Z 8m + N z 8n)l + (Q z 8q + M z 8nt + N z 8n)r ■ H ierbei ist z. B. Q in der K lam m er m it der Beiziffer l d ie Querkraft am Schnitt der linken V ertikalen in folge Y 1.

W enn säm tlich e V ersch ieb ungen 8„, fsm und 8n bekannt wären, könnte man d ie dadurch b ed in gte Ä nderung der statisch un bestim m ten Größen m it den v orsteh en d en G leich u n gen errechnen. Es sind also jetzt d ie se der Q uerschnittsänderung von d en starren zu den elastisch en Vertikalen g leich w ertig en V ersch ieb ungen zu bestim m en .

D ie V ersch ieb ungen sind so zu w äh len , daß d ie Sp ann un gen im Ersatzsystem und im en d gü ltigen S y stem g leic h sind. B eid e S y s tem e unterscheiden sich nur in der E lastizität der V ertikalen. D ie Gurte sind g leich . U n ter dem Einfluß d erselb en Spannun gen m üssen som it die

Gurte b eid er S y s tem e auch die g leich en Form änderungen au fw eisen , vor allem m üssen d ie O ber- und U ntergurtknotenpunkte beider S y s tem e d ie se lb en V ersch ieb u n gen und W inkeldrehungen ausführen. Wir können also auch sa g en : D ie V ersch ieb ungen am Schn itt der starren V ertikalen sind so zu w äh len, daß d ie K notenpunkte d e s b ela steten E rsatzsystem s d ie s e lb e Lage haben w ie die d e s b ela steten end gü ltigen S y stem s. Dann treten in den Gurten und zw an gläu fig auch in den V ertikalen d e s Ersatz­

sy stem s d ie se lb en Sp ann un gen auf w ie im en d gü ltigen.

Elastische Vertikale (endgültiges Sgstem)

Schnittkräffe S+fl'.r M+M'. N~H' Bild 4.

Starre Vertikale (irsatzsystem)

Schnittkräffe S, M. H Bild 5 a b is c.

Słarre Vertikale m tt Verschiebungen Schnilfkräfte

M ' l t r N+N'

M ehr als d ie s e drei V ersch ieb u n gen sind an ein em Schnitt nicht m öglich.

(Für d ie Kräfte Q , M , X w erd en hier, w ie üblich, große B uchstaben ver­

w en d et, im G eg e n sa tz zu m ein er D issertation, w o d ie Kräfte, um b ei anderen A b leitu n gen e in e klarere S ch reib w eise zu erhalten, m it den k lein en Buchstaben a b is r b e z eich n e t w orden waren.)

Nun so ll fe stg e s te llt w erd en , w e lch en Einfluß d ie se drei V ersch ie­

b u ngen im E rsatzsystem auf d ie benachbarten statisch un bestim m ten Größen hab en . Wir hatten z. B. für d ie statisch u n bestim m te Größe X

4

erm ittelt X — - - od er i x x X = 8o x , w ob ei Sg x d ie V ersch ieb u n g d es statisch bestim m ten H au p tsystem s in Richtung von — X in folge der XX äußeren B elastu n g ist. W ürde es sich um ein S ystem han deln, bei dem A u flagersen ku ngen von Einfluß sind, so w ürde d ie E lastizitätsgleichu ng lauten: Sx x X : So x-t Lx , w o b ei Lx den Einfluß der A u fiagersenkungen darstellt. Lx ist hierbei d ie V ersch ieb un g d e s Angriffspunktes von X in Richtung von X, verursacht durch d ie A uflagersen kungen, und zwar im statisch bestim m ten H aup tsystem , Am einfachsten ist d ie V ersch ieb u n g Lx nach der A rb eitsgleich u n g zu b estim m en . Sind d ie b ekan nten L ager­

sen k u n gen b e zeich n et m it Sq, Sm und Sn und haben d ie zu geh örigen Auflagerkräfte in fo lg e X 1 d ie G röße Q x, M x und X x, so ist nach der A rbeitsgfeich u n g d ie V ersch ieb u n g d es statisch b estim m ten Haupt­

sy stem s in Richtung von - X : 1 Lx • Q x 8q - f M x 8m 4- N x Sn. In m ein er D issertation w urde L noch in etw as anschaulicherer W e is e an Hand der

W elch e V ersch ieb u n gen am Schn itt der starren V ertikalen vorzunehm en sind, dam it d ie O ber- und U n tergurtkn oten pun kte d e s E rsatzsystem s d ie se lb e L age haben w ie d ie d e s en d gü ltigen , kann man sich am b e sten an Hand von Bild 5 klarm achen. (Auch in Bild 4 sind d ie se V ersch ie­

b u ngen b ereits a n g ed eu tet w orden.)

Bild 5 a z e ig t d ie L age ein er V ertik alen d e s en d gü ltigen vo liela stisch en S y stem s m it a n sch ließ en d em O ber- und Untergurt unter dem Einfluß d er äußeren B elastung. Bild 5 b z e ig t d ie L age der starren V ertikalen d e s E rsatzsystem s unter dem Einfluß d erselb en äußeren B elastung. D ie b e lie b ig g e w ä h lte S ch n ittstelle, an d er d ie V ersch ieb un gen vorgen om m en w erden s o lle n , ist bereits a n g e d e u te t Bild 5 c zeig t, w e ich e V ersch ieb u n gen erforderlich sind, dam it d ie G urte d ie s e lb e L age haben w ie in Bild 5a.

Am ein fach sten ist d ie L än gsversch ieb un g i ’n zu bestim m en . D ie Normalkraft der V ertikalen d e s E rsatzsystem s ist X . S ie w urde am Schluß von A b schn itt b errechnet [GL (9,[. Da d ie V ertik ale starr ist, so hat sie sich unter dem Einfluß v o n X nicht g elä n g t. D ie Normalkraft der V erti­

k a le n d e s en d gü ltigen S y stem s u n tersch eid e sich von d er d e s Ersatz- System s um X ' , s ie is t a lso X - X r. U n ter ihrem Einfluß län gt sich d ie ela stisch e V ertik ale um (.V — A " ) - ^ r - h, H ierb ei ist h d ie Stab län ge, F ' d er Q uersch nitt d er en d g ü ltig en V ertik alen . D ie starre V ertik ale muß also am Sch n itt um Sa = (iV X r) auseinandergedrückt (verlängert) w e rd en , um d ie se lb e Länge zu hab en w ie d ie e la stisch e. Beim A u f-

7 0 B r a u n , Ein Annäherungsverfahren zur Berechnung des Vierendeelträg ers usw. Beilage iur Zeitschrift „Die Bsutectinik"

CL) b ) C) d ) eJ

Zustand Y--1 Zustand Z - - 1

und formt die G leich u n gen etw as um. D ie ersten N äh eru n gsw erte für d ie Ä nderung der U nbekannten erhält man, indem man als Schnittkräfte zunächst die d es E rsatzsystem s ein setzt. D ie gen a u en W erte ergeben sich durch fortlaufende V erb esseru n g in der später a n g eg eb en en R eih en ­ folge.

b) D ie B e r e c h n u n g d e s E r s a t z s y s t e m s .

Zur A u fstellu n g der von ein an d er un abhängigen E lastizitätsgleichu ngen d e s E rsatzsystem s m it starren V ertikalen m ü ssen d ie statisch un bestim m ten Größen je w e ils im elastisch en Schw erpunkt d e s E inzelrahm ens angreifen.

D er B estim m u n g d e s Schw erpu nk tes und der Art d e s Angriffes der U n­

bekan nten d ien e Bild 2. M om en te, d ie auf der gestrich elten S e ite der Stäb e Z ug erzeu gen , se ien positiv.

Für säm tlich e V ertik alen ist J = o o, also ergibt sich du rchw eg J c

— 0. D ie L age d e s S chw erpunk tes hän gt nur von d en Gurtstäben ab. In dem einfachen, m eist vorlie g en d en Fall, daß d ie se je w e ils auf d ie F eld w eite konstanten Q uerschnitt haben und nicht gekrüm m t sind, wird man fo lg en d e H ilfsw erte einführen:

Bild 2 a bis e.

D em en tsp rech en d läßt sich 8x y zu sam m en setzen aus:

o — o - ,J ,

so w ie Je

und

und

Je Ja Je

o u

w o b ei o und u d ie S tab län gen sind. D ie Lage d e s elastisch en Schw er­

pu nk tes erhält man aus den B edin gu n gen Sxz = 0 und 8 — 0. Da die Gurte in folge Z — 1 nur B iegu n gs-, k ein e N orm al- oder Schu bspann un gen haben, so ist die S chw erpunk tslage nur abh ängig von den T rägheits­

m om en ten der Gurte, nicht von ihren Q uerschnitten.

J ,

■ / A us

(1)

A us 8XZ = 0 folgt

M y M z d s ■ ; = 0 folgt

u v Es ist v a + v 0 ■

(2)

H ierbei ist

: v, u a lso :

v„

_ a - y

oder v u

o ’ + u ’ i v.

V = Y W + >‘r) •

D am it ist d ie Lage d e s elastisch en Schw erpu nk tes bekannt, und man kann bereits 8y y und Sz z b estim m en . Bei V ern ach lässigu n g d e s Ein­

flu sses der Querkräfte ist:

yy

F

■ M ^{+ 0"}

4 • sin2 v

+ u" 4 • sin2 yi o2

(3)

yy

o CI ~

I Sz z —

°'

u'

D ie N e ig u n g « der U nbekan nten X g e g e n d ie H orizontale ergibt

J , r J,

sich a u s der B ed in gu ng 8X ■■ J M x M y d s ■ j - + J .A \. Ny d s - - ~ = 0.

(W enn e s erforderlich ersch eint, kön nte auch der Einfluß der Querkräfte berücksichtigt w erd en .) D ie U nbekan nte sei so g ew ä h lt, daß im Zustand X = 1 ihre H orizontalkom pon ente 1 ist. Dann ist d ie V ertik alk om ponente g leic h z eitig t g «. Man kann also den Zustand X = — 1 d es B ild es 2 in d ie in Bild 3 d argestellten b eiden T eilzustän de zerleg en , von den en der z w eite der ( - s ; - t g « ) - f a c h e Zustand Y — — 1 ist, w ährend der erste m it X = — 1 b ezeich n et sei.

- x y - x y - s r t g c t ä = 0 .

(4) t g « : x y 2 8xy

s i Sy y a 8,

yy

D er W ert Sy y w urde bereits erm ittelt [Form el (3)]. W eiterhin wird

Sx y^{= I ’Mx} M y d s ■ y + J N - N y d s - y

d 0 .1. « . 2 . „ 2 .

— • sin v • cos v -f a • — • sin y • cos w

a a

1 2

8 - y = [d0 ö — d u «') + —- (u" • sin \p • co s — o" • sin v • cos v),

hierb ei ist a

d o = M - t s v

¿„ = a0 -tg y ,.

2

(5) 8- „ = v (0' • tg v — u ’ • tg ip) + — («" • sin \p • cos <p— o" .s in t' • cos v).

* y o a

äE ^{tga fyec}

— rriF T F -Sftgcc ( - - f i g * ) -st ■ t g d (bezm-'Yß tg&)

mal Zustand Y--1

Z u s t a n d X— 1 Bild 3.

N achdem dam it auch t g a bekannt ist, läßt sich d ie /WA.-Fläche von Bild 2 und S xx b estim m en . Man erhält zunächst:

K = + y • tg ,/, + y • t g « = j v a + y (tg xp + t g « )

(6) ^, h a = v u — n 2' - t g “ = i , U - (tg + tg «)

!C0 = h r - h ru h ‘0 = h ‘ - h lu .

Dann ist: x x = f K - d s - Jy + f N l d S - J^

(7) J Sx x = {h o 4- 110 h o + h o ) + 3' [h u 4- }l\, h a + h u ) +

+ o" (cos r + tg « • sin v)2 + u" (cos ip — tg « • sin i/>)2.

D ie E lastizitätsgleich u n gen für d ie drei U nbekannten von irgend­

ein em F eld d e s V ieren d eelträgers m it starren V ertik alen lauten:

(8) X-- So x

»XX

y— s°y

*yy

8 0 v, So y und 80Z sind d ie i-W e r te in folge der äußeren B elastung, z. B.

ist 8o x= J m0 M x d s - f + f N 0 N x d s - - y - f w o b ei M 0 und

Jah rg an g 12 H eit 9

28. April 1939 B r a u n , Ein Annäherungsverfahren zur Berechnung des Vierendeelträg ers usw. 7 1

N 0 M om en te und Norm alkräfte d es V ierend eelträgers m it aufgeschn ittenem Gurt, d. h. ein es B alkens auf zw ei Stützen sind.

N achdem die statisch un bestim m ten Größen bekannt sind, w äre es m öglich, a lle Kräfte d e s E rsatzsystem s zu erm itteln. Für d ie w eitere U ntersu ch ung b en ö tig en wir led iglich die Kräfte in den Schnitten der V ertik alen, an den en w ir d ie V ersch ieb un gen vornehm en. W enn die Q uersch nitte der V ertikalen zu ihrer M itte (und zwar zur horizontalen A chse) sym m etrisch sind, w as fast im m er der Fall sein wird, so durch- sch n eid en w ir die V ertikalen in der M itte und b estim m en an jed er Schnitt­

s te lle d ie Querkraft und das B iegu n gsm om en t. D en Einfluß der Norm al- kräftc wird man im m er vern achlässigen können. Für d ie M itte der £*en V ertikalen ergibt sich nach Bild 2:

(9)

Qu — Q M k M o k

ok + X k 1 2

- ' V i

[h u ~ K ) k x k + [ K - ho)k + 1 X k + 1 + + Yk + Yk + ] + Z k - g e g eb en en fa lls

N k — X ok + x k ' *£ ak X k + i ‘ “ * + l ‘

- k + l

■ + a ' Yk + v W enn d ie V ertikale nicht Zu ihrer M itte sym m etrisch ist, so wird der Schnitt, w ie w eiter unten ausgeführt ist, an ein e andere S te lle g e le g t.

Es ändert sich dann nur die Form el für yVfft, d ie an Hand von Bild 2 leicht a u fg estellt w erd en kann.

S äm tlich e Form eln w urden a b g e leitet unter der V oraussetzu ng, daß d ie G urte zw isch en den K notenpunkten gerad e sind und auf d ie F e ld ­ w e ite konstanten Q uerschnitt haben. F alls sie gekrüm m t sind oder man a u sn a h m sw eise ein e V eränderlichkeit d e s T rägheitsm om en tes innerhalb der ein zeln en F elder berücksichtigen w ill, erhält man d ie elastisch en Schw erpu nk te und d ie t g a - , so w ie d ie <J-Werte nach d en selb en Ü b er­

leg u n g en . Auch der Einfluß der Schubspannungen läßt sich leich t b e ­ rücksichtigen.

c) D ie B e r ü c k s ic h t ig u n g d e r E la s t iz it ä t d e r V e r tik a le n . W ie erwähnt, erhalten wir d ie Spannungen d es en d gü ltigen S y stem s aus d en en d e s E rsatzsystem s, indem w ir se in e säm tlichen starren V erti­

kalen durchschneiden und an jed em Schnitt drei gan z b estim m te V er­

sch ieb u n gen vornehm en. Wir nehm en an, d ie se der Q uerschnittsänderung g leich w ertig en V ersch ieb u n gen se ien uns bereits bekannt. Für den Schnitt irgen d ein er starren V ertikalen seien sie b ezeich n et mit 8q< 8m und 8n (vgl. Bild 4).

H ierbei b e d e u te t 8q d ie Q uerversch iebu ng in Richtung der am Schnitt vorhanden en Querkraft Q, 8m d ie W inkeldreh ung in Richtung d es M om en tes M und 8n d ie L ängsverschiebung in Richtung der Normalkraft N.

r

t tH Mögliche Verschiebungen

(10);

S tü tzen sen k u n gen ein es durchlaufenden Trägers a b g e le itet (vgl. S. 5 u. f.).

Nach B estim m ung von Lx ergibt sich die Ä nderung der statisch un­

bestim m ten Größe in folge der S tü tzen sen ku ngen 8q , 8m und 8n aus 8XX X ’ = ¿ v = Q x Sq 4- M x Sm + N x Sn. (D ie Ä nderu ng der U nbekannten ist m it X ' b ezeich n et.) Sind Sq, Sm und 8n nicht S tü tzensen k u n gen , sondern die als bekannt vorau sgesetzten V ersch ieb ungen am Schnitt einer der V ertikalen und Q x, und Afv d ie an d iesem Schnitt vorhandenen Kräfte in folge X = — 1, so läßt sich X ' in gleich er W eise ableiten.

W ie aus Bild 2 zu erseh en ist, treten infolge X — — 1 nur in z w e i V ertikalen Spannungen auf. D ie M om en te erstrecken sich nur über ein Rahm enfeld. Da in den w eiter w e g lieg en d e n Vertikalen infolge X — — 1 k ein e Kräfte auftreten, d. h. Qx = M x = N x = 0 sind, so sind V er­

sch ieb u n gen in d iese n Stäben o h n e Einfluß auf X ' . D ie Ä nderung der U nbekannten ist nur abh ängig von den V ersch ieb ungen der b eiden zum R ahm enfeld g eh ö rig en P fosten. U n terscheid en wir d ie zur linken bzw.

rechten V ertikalen d e s F e ld e s geh örigen W erte durch die Beiziffern l bzw . r, so ergibt sich d ie Ä nderung X ' der statisch unbestim m ten Größe aus:

K v , X ' = (Qx 8q +■ M x Sm + N x Sn)L + (Q x äq + M x 8m + N x Sn)r . ln gleich er W eise läßt sich ab leiten :

8 y y y = (Qy 8„ + M y 8m ' + N y 8n)t + (Qy Sq + M y 8m + N y 8n)r 8z z Z ’ — [Q z Sq + M z Sm + N z 8n)l + {Q z 8q + M z 8m + N z 8n)r ■ H ierbei ist z. B. Qy in der K lam m er m it der Beiziffer l d ie Querkraft

am Schnitt der linken V ertikalen in folge Y = — 1.

W enn säm tlich e V ersch ieb ungen 8q, 8m und än bekannt wären, könnte man d ie dadurch b ed in gte Ä nderung der statisch un bestim m ten Größen m it den v orsteh en d en G leich u n gen errechnen. Es sind also jetz t d ie se der Q uerschnittsänderung von den starren zu den elastisch en Vertikalen g leich w ertig en V ersch ieb ungen zu b estim m en .

D ie V ersch ieb u n gen sind so zu w äh len, daß d ie Sp ann un gen im Ersatzsystem und im en d gü ltigen S ystem g leich sind. B eid e S y stem e u nterscheiden sich nur in der E lastizität der V ertikalen. D ie Gurte sind g leich . U nter dem Einfluß d erselb en Spannun gen m ü ssen som it die Gurte b eid er S y stem e auch d ie gleich en Form änderungen au fw eisen , vor allem m üssen d ie Ober- und U ntergurtknotenpunkte beider S y stem e d ieselb en V ersch ieb u n gen und W inkeldrehungcn ausführen. Wir können also auch sagen : D ie V ersch ieb ungen am Schnitt der starren V ertikalen sind so zu w äh len, daß d ie K notenpunkte d e s b ela steten E rsatzsystem s d ie se lb e Lage haben w ie d ie d e s b ela steten en dgü ltigen S y stem s. Dann treten in den Gurten und zw an gläu fig auch in den V ertikalen d e s Ersatz­

sy stem s d ie se lb en Spannungen auf w ie im en dgü ltigen . a )

Elastische Vertikale [endgültiges System)

Schnittkräfte ß t g '; M+M’. N+-N' Bild 4.

Starre Vertikale { Srsatisystem )

Schnittkräfte ß, M; N ' Bild 5 a bis c.

Starre Vertikale mit Verschiebungen Schnittkräfte e + d ] M+M'. N+N'

M ehr als d ie se drei V ersch ieb u n gen sind an ein em Schnitt nicht m öglich.

(Für d ie Kräfte Q, M , N w erd en hier, w ie üblich, große Buchstaben ver­

w e n d et, im G egen satz zu m ein er D issertation, w o d ie Kräfte, um bei anderen A b leitu n gen ein e klarere S ch reib w eise zu erhalten, m it den k lein en Buchstaben a b is r b ez eich n et w orden waren.)

Nun soll fe stg e s te llt w erden, w elch en Einfluß d ie se drei V ersch ie­

b u ngen im E rsatzsystem auf d ie benachbarten statisch unbestim m ten Größen haben. Wir hatten z. B. für d ie statisch unbestim m te Größe X

8„

erm ittelt X -

<5,,-

oder Sx x X - , w o b ei 8 die V ersch ieb u n g des statisch bestim m ten H aup tsystem s in Richtung von — X in folge der äußeren B elastu n g ist. W ürde es sich um ein S ystem handeln, bei dem A u flagersen k u n gen von Einfluß sind, so w ürde die E lastizitätsgleichu ng lauten: <L . X = 8„ .. + _{X X O X X} w o b ei L r den Einfluß der A u flagersenkungen₄ darstellt. Lx ist hierbei d ie V ersch ieb u n g d es A ngriffspunktes von X in Richtung von — X , verursacht durch die A u flagersen kungen, und zw ar im statisch bestim m ten H aup tsystem . Am einfachsten ist d ie V ersch ieb u n g Lx nach der A rb eitsgleich u n g zu b estim m en . Sind die bekannten L ager­

sen k u n gen b ezeich n et m it 8q, 8m und än und haben d ie zugehörigen A uflagerkräfte in folge V = — 1 die Größe Q x, M x und N x ,' so ist nach der A rb eitsgleich u n g d ie V ersch ieb u ng d es statisch bestim m ten Haupt­

sy stem s in Richtung von — X : 1 Lx = Qx 8q + M x Sm + N x 8n. ln m einer D issertation w urde L noch in etw a s anschaulicherer W eise an Hand der

W elch e V ersch ieb u n gen am Schnitt der starren V ertikalen vorzunchm en sind, dam it d ie Ober- und U ntergurtknotenpunkte d e s E rsatzsystem s d ie se lb e Lage haben w ie die d e s en d gü ltigen, kann man sich am b esten an Hand von Bild 5 klarm achen. (Auch in Bild 4 sind d ie s e V ersch ie­

b u ngen b ereits a n g ed eu tet worden.)

Bild 5 a z eig t d ie L age ein er V ertikalen d e s en d gü ltigen vo llela stisch en S y stem s m it a n sch ließ en d em Ober- und Untergurt unter dem Einfluß der äußeren B elastung. Bild 5 b -zeig t die Lage der starren V ertikalen d es E rsatzsystem s unter dem Einfluß d erselb en äußeren B elastung. D ie b e lie b ig g e w ä h lte S ch n ittstelle, an der die V ersch ieb u n gen vorgen om m en w erden so llen , ist bereits a n g ed eu tet. Bild 5 c zeig t, w e lch e V ersch ieb ungen erforderlich sind, dam it d ie Gurte d ie se lb e Lage haben w ie in Bild 5a.

Am einfachsten ist d ie L ängsverschiebun g 8n zu bestim m en . D ie Normalkraft der Vertikalen d es E rsatzsystem s ist N . S ie w urde am Schluß von A bschnitt b errechnet [Gl. (9,]. Da d ie V ertik ale starr ist, so hat sie sich unter dem Einfluß von N nicht g elän gt. D ie Normalkraft der V erti­

kalen d e s en d gü ltigen S y stem s u n terscheide sich von der d e s Ersatz­

sy stem s um N ' , sie ist also N N ' . U nter ihrem Einfluß längt sich die elastisch e V ertik ale um (N + N') h

E F ' H ierbei ist h d ie Stablän ge, F ' D ie starre V ertik ale muß also am Schnitt um 8n = ( N + N ') ~ p y r

w e r d e n , um d ie se lb e Länge zu haben w ie die elastisch e. B eim Auf- der Q uerschnitt der en d gü ltigen V ertikalen.

,l auseinandergedrückt (verlängert)

7 2 DER STAHLBAU

B r a u n , E in Annäherungsverfahren zur Berechnung des Vierendeelträgers usw. Beilage zur Zeitschrift »Die Bautechnik“

stellen der E lastizitätsgleichu ngen d e s E rsatzsystein s w urde m it den E ./.-fa c h e n ¿'-W erten gerech n et. Es ist also auch hier m it der £ 7 e-fach en V ersch ieb u ng zu rechnen. Es wird Sn — ( N + N ' ) h • W ie b ei den

G urtstäben, führen w ir auch hier für h • Je F' ist ¿' = (N + N ' ) h " , w o b ei h " — h Je

F ' ist.

Sm ableiten <7 lassen.

Mq -Fläche Bild 6a bis c.

M - Fläche

Es m ö g e zunächst Q — 1 angreifen.

d S • f E J C - fachen fläche von Bild 6 b und die Q u erversch iebu ng ¿[

J' das T rägheitsm om ent der V ertikalen ist und m it den

¿-W erten g erech n et wird. (Es könnte notfalls auch der Einfluß der Quer- kräfte leich t berücksichtigt w erden.) Läßt man Af = + 1 angreifen, so erhält man d ie M om en tenfläche von Bild 6 c und d ie W inkeldrchung

Jc

I Af*, d s - j , • G leich zeitig tritt hierbei ein e Q uerversch ieb u n g

qm f -

- ! * d s • - J' e in e W inkeldrehung ■ ¿'mq

auf, e b en so w ie in fo lg e der Querkraft Q = auftrat. Ist d ie Querkraft nicht ' S 'qm

+ 1 + 1, sondern Q + Q' und das M om en t Af + /Vf', so sind d ie V ersch ieb ungen entsprechend größer, nämlich

und

(iQ + Q ') d qq + (M + M')ä'c Q ') ä m o + { M + M ’) h ’n qm

u i ) ¿„ : (Q + Q ) h' *m = ( A f + M ’) S m

Q x , Q v usw ., d. h. d ie Kräfte in fo lg e X sind aus Bild 2

A fv ist v ersch ied en , je nach L age d es Schnittes, m itte wäre

1

1, Y = — 1 und Z = 1

M x 2

M.. = — 1 M ,

[hla - A')] Nx :

N y N '

t g « 1

~s~i 0.

Für d ie rechte V ertik ale ist entsprechend:

d ie B ezeich n u n g h" ein. A lso

Qx

Qy Q :

1 [im Fall M x = + - U k ru - h $ j W , = -

0

Af„

M z:= -

D ie Q u erversch ieb u n g Sq und d ie W inkeldreh ung Sm sind b eid e sow ohl von der Querkraft an der S ch n ittstelle als auch vom M om ent ab­

hängig, aber nicht von der Normalkraft, d ie beim gerad en Stab nur auf die L ängung einen Einfluß hat. Am Schnitt der V ertik alen d es E rsatzsystem s h ab e die Querkraft die Größe Q , das M om ent d ie Größe M [Gl. (9)].

Da d ie V ertik ale starr ist, so hat sie sich nicht verform t (vgl. Bild 5b).

B eim Ü b ergang zum en d gü ltigen S ystem m it elastisch en V ertikalen ändert sich Q um Q' und M um Af'. D ie en d g ü ltig e Querkraft und das en d ­ g ü ltig e M om ent an der S ch n ittstelle sind dann Q + Q' bzw . Af + AT.

U nter dem Einfluß d ieser Kräfte hat sich d ie elastisch e V ertikale en t­

sprechend Bild 5 a verform t. Wir können sic uns in d erselb en L age an den Enden (den Gurten)

ein gespann t und an der g leich en S te lle w ie die starre V ertik ale durch­

schnitten denk en (vgl.

Bild 6a). Am Schnitt greifen die inneren Kräfte

Q f Q' und Af + /Vf' als äußere Kräfte an.

Es en tsteh en zw ei Krag­

arme, die d ie B ieg elin ie der elastisch en V erti­

kalen haben und mit deren H ilfe sich S„ und

Mit d iesen W erten lauten Gl. (10):

S x x X ' = [S q + M x S m + t g “ S n )l -s.

Dann erhält man d ie M om en ten- Jc w enn

q q U n d

A ußerdem war Sn ==(/V + N') h".

Mit d iesen V ersch ieb u n gen lassen sich d ie Ä nderungen der statisch un­

b estim m ten Größen nach den ob en a b g e leitete n G leich u n gen (10) erm itteln.

Es war

(10) Sx x X ' = (Q x S + M x s m + N x än)l + (Qx Sq + M x ¿„, + N x ¿n)r.

Entsprechend lauten d ie G leich u ngen für Y' und Z'.

* „ r = ( - S z z Z ' = ' \ ni S etzt man für Sq< Sn

*n) + (~

Sr S,

N y N z

q + M X *.

+ i . „ ,

- t g « 1 Sl 0 .

(12)

Sn d ie oben erm ittelten W erte(l 1) ein, so erhält man Sx x X ' = [ ( Q + Q ’) ä q q + M x ( M \ M ’) S'mm + t g « ( N + N ' ) / i " ] l + + [ - ( ( ? + ( ? ' ) # ; , + M x ( M + M ' ) ä ; i m - i g « ( N + N ' ) h " ] r

- ( M + M ') S'mm - ( W + N ' ) /¡"] +

Sl 1

S y y T

i „ Z ' = [ ( M + M ' ) ä ; n

- / (Ai + /Vf ') ¿;„ + — ( N + N ' ) h"

M ' ) * m l [(Af | twi i ”mm jr -

D ie G leich u n gen (12) g e lte n noch ganz allgem ein . Es können also d ie Gurte auch zw isch en den K notenpunkten gekrüm m t sein oder ver­

änd erliches T rägheitsm om ent haben. D esg leich e n können d ie Vertikalen veränderlichen Q uerschnitt haben. E benso w ie in A bschnitt b soll aber d ie w e iter e U n tersu ch ung für ein Tragwerk erfolgen , d essen Gurte zw ischen den K notenpunkten gerad e sind und auf die F e ld w eite konstanten oder w en ig sten s zur F eld m itte sym m etrischen Q uerschnitt haben, so daß also die elastisch en Schw erpunk te d e s E rsatzsystem s je w e ils in F eld m itte lieg en . Außerdem so llen die V ertik alen auf ihre H öh e g le ic h b le ib en d e s T rägheitsm om en t haben, dam it der Schnitt der V ertikalen, für den ¿^ m = 0 ist, in ihrer M itte liegt. S o w eit d ie gem ach ten V oraussetzu ngen aus­

n a h m sw eise nicht erfüllt sind, m üßten die w eiteren A b leitun gen ent­

sprechend geän d ert w erd en .

W enn der ela stisch e Schw erpunkt in F eld m itte liegt, wird s , — s r = -y .

1 2 * Sr

— = — und —

Si a

oben schon a n g eg eb en ,

links M x = — y [ h lu — h '0 ) und rechts M x = + y ( h q — h r0 ) • h - h'

W eiterhin ergibt sich dann nach Bild 6 b : ¿ ^ = v — und nach Bild 6 c :

= 1. Bei in der M itte gesch n itten er V ertik ale ist, w ie

12

ä'mm = h'. S etzt man d ie se W erte in Gl. (12) ein, so erhält m an:

m q v ' » m m •

D ie G leich u n gen w erd en vereinfacht, w en n man den Schnitt so leg t, daß Sq m = ä'm q ~ 0 wird. Ist d ie V e rtik a le -sy m m e trisc h zur horizontalen A chse, so muß der Schnitt in ihrer M itte lieg en . W ürde au sn ah m sw eise k ein e S ym m etrie vo rlieg en , ein Fall, der w oh l kaum vorkom m t, so wäre d ie Lage der S ch n ittstelle aus der B ed ingu ng äqm = 0 zu erm itteln, indem man zunächst den Schnitt an ein en der K notenpunkte legt, dafür ¿ ’ und den g leic h z eitig en d gü ltigen W ert S'mm b erech n et und daraus b e­

stim m t, u m .w ie v ie l d ie S ch n ittstelle verschoben w erd en muß, dam it ä'q m versch w indet. N achdem d'q m = ä'm q — 0 ist, ergibt sich für die V er­

sch ieb un gen :

(13)

•• X ' = h - h' 12 h"

IQ

+

t g « ( W + N ' t h! -,

-A 0 )(Ai+Af') +

h 2 h' 12 +

y y Y'

(<? +

+

2 [ K - ,lo) (M + M ') - h " • tg « (Af + N ') ' +

Af') + — • h" (N + N ') +

Z ' =

- h' (Af - [ A ' ( A f + Af')]; - [ A ' ( A f + M',)r .

[Für Schnitt in V ertikalen-

W enn man d ie se G leich u n gen für das Annäherungsverfahren zur B estim m u n g ‘von A ', Y' und Z' benu tzen w ill, wird man m eist die Er­

fahrung m achen, daß das Verfahren e n tg e g en der Erwartung sehr schlech t oder überhaupt nicht konvergiert. D er Grund dafür ist der, daß die K raftänderungen Q', M ' und N ' se lb st w ied er F unktionen der g esu ch ten X ', V" und Z' sind, w ob ei d ie se letzteren ein en so großen A nteil haben, daß d ie K on vergen z zu schlech t ist. Zum B eisp iel ist in der ersten G leich u n g X ’ ein e Funktion von sich selb st, w eil es in Q' und Af' en t­

halten ist. Zur V erb esseru n g der K onvergenz wird desh alb der auf der rechten S e ite der ersten G leich u n g en th alten e A n teil von X ' elim iniert und m it ¿ VVA" auf der linken S e ite zusam m engefaßt. Um X ' auf der rechten S e ite zu entfernen, m üssen wir festste lle n , w ie groß der A nteil von X ' in Q' und AI' ist. D er in N ' en th a lten e A n teil wird nicht entfernt, w eil er zu klein und u n b ed eu ten d ist. D ie G leich u ngen für Y' und Z' w erd en in entsp rech en der W eise um geform t.

A us Bild 2 c ergibt sich infolge X ' ein e Q uerkraft in der linken V ertik alen Q [ — — X ' , in der rechten Q r' — + X ' . D ie M om en te in­

fo lg e A ' sind M ; = + y (h u — h Q)t X ' und A f / = — ~ (ha — h 0)r X ' . ln Q[ steck t also der A n teil — X ' . Man muß, um aus (Q + Q')t d en A n teil von X ' zu entfernen, — X ' subtrahieren und erhält {(<? + <?’) / + A ' J — A". In dem ein gek lam m erten Teil ist der W ert X '